稳定性判别方法

§ 5.3 稳定性判别方法
1. 线性定常系统的稳定性判别 定理5.6 设
()()x x =t A t . (5.11)
则
(i)平衡点稳定⇔ A 的所有特征值的实部非正, 且实部为零的特征值对应着一阶约当块； (ii)平衡点渐近稳定⇔ A 的所有特征值实部为负. 证 (i)因是线性系统,只需证明平衡点e x 0=的稳定性.
设 11
m J T AT J J -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
.
(注:与能控标准变换不同) 其中,1,2,
i J i m =为约当块，则
11
1
000e ()e e e m J t
At Jt J t x t x T T x T T x --⎡⎤⎢⎥===⎢
⎥
⎢⎥⎣
⎦
. 而e
i J t
的非零元素形如
e i t λ或e i i k t t λi i i j λαβ=+−−−−
→e i i t j t
αβ+或e
i i i k t j t
t αβ+
i k ≤约当块阶数减1.
如10i J λλ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
, 则 1211
1
11()e
010i J t
s s s s s λλλλλ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎛⎫--⎢⎥ ⎪==⎢⎥
⎪-⎢⎥
⎪⎝⎭⎢⎥⎣
⎦ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦
L L e
e 0
e t
t
t
t λλλ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
若0i α<. 则lim e
0i i i k t j t
t t αβ+→+∞
=→e
i i i k t j t
t αβ+有界；
若0i α=且对应一阶约当块→e i j t
β也有界.
故有K > 0， 使
e
,0At
K t ≤≥.
其中
ij
ij
a
∑
对0ε∀>，取/K δε=. 当00x δ-<
时. 有
00()e At
x t x K x ε=≤<,
故稳定；
(ii)若全为0i α<, 则全lim e
0i i i k t j t
t t αβ+→+∞
=→渐近稳定.
例5.1 设系统矩阵分别如下：
010101(1);(2);(3)000212A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥
---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
. 试判别e x 0=的稳定性. 解
(1) 由2
()λλ∆=, 得0λ=(2重), e x 0=不稳定. (2) 由()(2)λλλ∆=+, 得120λ=-<和20λ=, 因20λ=对应一阶约当块→e x 0=是稳定的.
(3) 由2
()(1)λλ∆=+,得1,210λ=-< e x 0=渐近稳定.
若3n ≥, 常用Hurwitz 判别法(介绍).
定理5.7 常系数n 次代数方程
1
01100,(0)n n n n a a a a a λλ
λ--++
++=>
的所有根的具有负实部⇔下列不等式同时成立：
1
10
112332132
5
43
0,0,0,a a a a a a a a a a a a a ∆∆∆=>=
>=> 1
031021
22
23
24
0002
00n n n n n
n
a a a a a a a a a a a ∆----=
>.
其中12210n n n a a a ++-====.
例5.2 验证系统矩阵为
211110111A --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
时, e x 0=是渐近稳定的. 证 由
3
2
02
11||1
1
453,
1
1
1
(10)
I A a λλλλλλλ+--=-+=+++--+=>.
得 00a > 及
1140,
a
∆==>
10 2
3241
170, 35
a a
a a
∆===>
332510,
a
∆∆
==>
由Hurwitz判别法→所有特征值有负实部→渐近稳定. 对非线性系统, 常用李雅普诺夫判别法.
2. 稳定性的李雅普诺夫判别法(介绍)
(1)李雅普诺夫第一法(一阶近似) 设n 维非线性系统为
()()(),x t F x t t =, (,)0e F x t = (5.12)
且n 维向量函数(),F x t 对x 有连续偏导. 将(),F x t 在e x 处展成泰勒级数, 得
()[()]e
e e T
x x F x x x R x x x
=∂=-+-
∂
. (5.13)
其中[]R ⋅为e x x -的高阶项, 而
111122221212n n T n
n n n f f f x x x f f f F x x x x f f f x x x ∂∂∂⎡⎤⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂⎢⎥∂∂∂=⎢⎥∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎣⎦
称为雅可比矩阵.
令e x x x =-和e
T x x F A x =∂=∂, 得线性化方程：
x Ax =. (5.14)
李雅普诺夫给出下述结论：
(i) 若A 的所有特征值实部为负,
则系统在平衡点e x 是渐近稳定的, 且与[]R ⋅无关；
(ii) 若A 的特征值中有一个具有正实部,
则系统在平衡点e x 是不稳定的；
(iii)若A 的特征值中有一个实部为零,
则系统在平衡点e x 的稳定性与[]R ⋅有关.
例5.3 设非线性系统为
11122212,,
x x x x x x x x =-⎧⎨=-+⎩ 试判平衡点[]00T
e x =的稳定性.
解 由0e x =处的雅可比矩阵为 21210110101x x x A x x =--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+-⎣⎦
⎣⎦, 得121,1λλ=-= 在0e x =处不稳定.
(2)李雅普诺夫第二法(虚构”能量”函数)
若系统能量随时而衰, 则稳定.
如 ()()()my t ky t y t μ'''=--
1,1,1m k μ===−−−−−→
()()()0y t y t y t '''++= → 12(),
(),x y x y ='=位置速度→11220111x x x x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 这是一个在0e x =处稳定的系统.
作一个”能量”函数
221212((),())()()0V x t x t x t x t =+>,(正定)
则 (势能, 动能) k y
μm
平衡线
112222t V x x x x '''=+−−−−−→代入系统方程22()20V t x '=-<
12(,)V x x 单调递减趋于0(因(0,0)0.V =且连续)
这样的12(,)V x x 就称为李雅普诺夫函数.
对一般系统, 设法构造如此标量函数()0V x >. 下面给出一般标量函数的正定、负定等概念. 设标量函数(),n
V x x R ∈且(0)0V =.
若对任意0x ≠, 有
(i) ()0(0)V x >≥, 则称()V x 是正定的(半正定的)； (ii) ()0(0)V x <≤, 则称()V x 是负定的(半负定的)； (iii) 有()0V x >、也有()0V x <, 则称()V x 是不定的.
()V x 根据系统方程, 常取为x 的二次型函数, 即
()T V x x Px =.
P 是实对称矩阵, 此时()V x 的正、负定性与P 一致. 而P 的正定性由其主子行列式为正负来判定 如 2
112()()V x x x =-+是半负定的；
222123()()V x x x x =++
是半正定的.
下面介绍主要结果.
定理5.8 设系统为 ()0()(),,x t F x t t t t =≥. (5.15)
0e x =是其平衡点.
若存在标量函数()V x (具有连续的一阶偏导数), 满足 (i) ()V x 是正定的；
(ii)沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的.
则平衡点0e x =是稳定的.
定理5.9 设系统为(5.15), 平衡点为0e x =. 若有标量函数()V x (具有连续的一阶偏导), 满足 (i) ()V x 是正定的；
(ii) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是负定的；或者 (ii ’) 沿着方程(5.15)计算的()V x 是半负定的,
且对0()0x t ∀≠来说,()V x 不恒为零,
则平衡点0e x =是渐近稳定的.
进一步, 若当x →+∞时, 有()V x →+∞, 则平衡点0e x =是全局渐近稳定的.
注 对(ii ’)的说明.
由于()V x 为半负定, 所以在0x ≠时, 或许有()0V x =, 可能会出现下图5.5的两种情形：
2x 0x 2x 0
x
定理 5.10系统方程、平衡点同定理 5.9中假设相同.若标量函数()
V x(具有连续的一阶偏导).满足
V x是正定的；
(i) ()
V x也是正定的；(ii)沿着状态方程(5.15)计算的()
则平衡点0e x =是不稳定的.
注 上述定理条件是充分的.
例5.4 设非线性系统为
22121122221212()()
x x x x x x x x x x ⎧=-+⎪⎨=--+⎪⎩. 试分析稳定性.
解 由(,)0F x t =, 得0e x =是其唯一的平衡点.
构造
2212()V x x x =
+.
是正定的. 对()V x 关于t 求导, 得
12112212d d ()22d d x x V V V x x x x x x t x t
∂∂=+=+∂∂. 代入状态方程得
22212()2()V x
x x =-+→
负定
→
()V x 为一李雅普诺夫函数,
且当x →+∞时, 有()V x →+∞
→0
x=为全局渐近稳定(而且是一致的).
e
对线性定常系统, 有
定理5.11设线性定常系统为
x t Ax t
=,
()()
x=是渐近稳定的←→
则平衡点0
e
对任意正定阵Q, 矩阵方程
T
+=-(李雅普诺夫方程) (5.16)
A P PA Q
有唯一正定阵解P.
由于必要性证明涉及过多知识, 故只证充分性. 证(充分性)
由0Q ∀>, 0P ∃>满足(5.16), 作
()T
V x x Px =.
对t 求导且将系统方程代入, 得 ()()()
()T T T T T T T V x x Px x Px Ax Px x P Ax x A P PA x x Qx =+=+=+=-，
.
→()V x 负定,
且当x →+∞时,
有()V x →+∞, →平衡点0e x =为全局渐近稳定(且一致).
(注: 实用中, 渐近稳定为主要特性)
例5.5 设系统为
01()()23x t x t ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦
. 试分析0e x =的稳定性.
解 设
1112212210,,01p p Q P p p ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. 代入矩阵方程(5.16)式, 得
1112111221222122020110132301p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 展开并令对应元素相等, 得唯一解
511411P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
. 它的各主子式行列式
12510,044
∆=>∆=>. →P 正定→0e x =是渐近稳定.
且
系统是线性定常的 所有平衡点是一致全局渐近稳定. 注
(1) 正定阵Q的选择尽可能简单.
Q>, 矩阵方程(5.16)无解,
(2) 若对某0
x=不是渐近稳定的.
则平衡点0
e
(3) 可以证明: 对线性定常系统,
x=是渐近稳定的,则系统必为BIBO稳定. 若平衡点0
e
即
()()x t Ax t =渐近稳定→()()()()()
x t Ax t Bu t y t Cu t =+⎧⎨=⎩BIBO 稳定 反之不一定. 如
[]101,,10010A B C -⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦→1()1G s s =+ 则()()()Y s G s U s =是BIBO 稳定, 但x Ax '=是不稳定的.。