人教A版文科数学课时试题及解析(29)数列的概念与简单表示法

课时作业(二十九) [第29讲 数列的概念与简单表示法]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 3＝( )
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
2． 把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图K29－1所示)，则第七个三角形数是( )
A ．27
B ．28
C ．29
D ．30
3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2，则a 9＋a 10＝( )
A ．16
B ．24
C ．32
D ．48
4．已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15，写出数列{a n }的一个通项公式a n ＝________. 能力提升
5．已知数列5，7，3，11，…，则21是该数列的( )
A ．第6项
B ．第7项
C ．第9项
D ．第11项
6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－16n ，第k 项满足6<a k <9，则k ＝( )
A ．13
B ．12
C ．10
D ．9
7．设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( )
A ．S 3
B ．S 4或S 5
C ．S 5
D ．S 6
8．n 个连续自然数按规律排成下表：
01234567891011…
根据规律，从2011到2013的箭头方向依次为( )
A ．↓→
B ．→↑
C ．↑→
D ．→↓
9． 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n
，记数列{a n }的前n 项之积为∏n ，则∏2012的值为( )
A ．－12
B ．－1 C.12
D ．1 10．1，23，12，25
，…的一个通项公式是________． 11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于所有n ∈N *，S n ＝a 1(3n －1)2
，且a 4＝54，则a 1＝________.
12．数列{a n }中，a n ＝1n ＋n ＋1
，若S n ＝7，则n ＝________. 13． 一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)： ●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○
若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2013个圆中，空心圆的个数为________．
14．(10分) 设数列{a n}中，a1＝1，点(a n，a n＋1)(n＝1,2,3，…)均在直线y＝2x＋1上．
(1)求a2，a3，a4的值；
(2)求数列{a n}的通项公式．
15．(13分)已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2S n＝3a n－3.
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)设数列{b n}的通项公式是b n＝
1
log3a n·log3a n＋1
，前n项和为T n，求证：对于任意的正
整数n，总有T n<1.
难点突破
16．(12分)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，已知2a2＝a1＋a3，数列{S n}是公差为d(d≠0)的等差数列，求数列{a n}的通项公式(用n、d表示)．
课时作业(二十九)
【基础热身】
1．A [解析] 由S 1＝2(a 1－1)得a 1＝2；由S 2＝2(a 2－1)得a 2＝4；由S 3＝2(a 3－1)得a 3＝8.故选A.
2．B [解析] 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好
是本身的序号，所以根据这个规律可得第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝7×(1＋7)2
＝28，故选B.
3．C [解析] a 9＋a 10＝S 9－S 8＋S 10－S 9＝S 10－S 8＝92－72＝32.故选C.
4．2n －1 [解析] 因为1＝2－1,3＝4－1＝22－1,7＝8－1＝23－1,15＝16－1＝24－1，…
联想到2n ，可以归纳出通项公式为a n ＝2n －1.
【能力提升】
5．C [解析] 原数列可写成5、7、9、11、…，可以看出根号内的数是从5开始的奇数构成的数列，所以21＝5＋(n －1)×2，所以n ＝9.故选C.
6．B [解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －17，当n ＝1时，a 1＝－15，满足上式，所以通项公式是a n ＝2n －17.因为6<a k <9，所以6<2n －17<9，即11.5<n <13，又因为k ∈N *，所以k ＝12.故选B.
7．B [解析] 该数列是单调递减数列，由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大．故选B.
8．D [解析] 观察4的倍数0,4,8，…的位置．由于2012是4的倍数，故指向2012的箭头是→，从2012指出的箭头是↓.故选D.
9．D [解析] 因为a n ＋2＝1－1a n ＋1＝1－a n a n －1＝11－a n
， a n ＋3＝1－1a n ＋2＝a n
， 所以{a n }是周期为3的周期数列．又a 1＝2，a 2＝1－12＝12，a 3＝1－112
＝－1，从而∏3＝－1，
所以∏2012＝(－1)670×2×12
＝1.故选D. 10．a n ＝2n ＋1
[解析] 若把12换成24，同时首项1换成22，规律就出现了． 11．2 [解析] 因为a 4＝S 4－S 3＝40a 1－13a 1＝27a 1＝54，所以a 1＝2.
12．63 [解析] a n ＝1n ＋n ＋1
＝n ＋1－n ，所以S n ＝n ＋1－1，当S n ＝7时，有n ＋1－1＝7，所以n ＝63.
13．448 [解析] 复制一次得圆总数为27个，其中空心圆的个数为6个，要得到2013个圆，需先复制74次，再复制前15个圆即可，所以空心圆的个数为74×6＋4＝448.
14．[解答] (1)由已知可得a n ＋1＝2a n ＋1，所以a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15.
(2)因为a n ＋1＝2a n ＋1，所以可设a n ＋1＋λ＝2(a n ＋λ)，得a n ＋1＝2a n ＋λ，所以λ＝1， 于是a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是等比数列，首项为2，公比为2，
所以通项公式为a n ＋1＝2×2n －1，即a n ＝2n －1.
15．[解答] (1)由已知得⎩
⎪⎨⎪⎧
2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2). 故2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1，
故a n ＝3a n －1(n ≥2)．
故数列{a n }为等比数列，且公比q ＝3.
又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，
所以a 1＝3，所以a n ＝3n .
(2)证明：b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1
. 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1
<1. 【难点突破】
16．[解答] 由题意知d >0，S n ＝S 1＋(n －1)d ＝a 1＋(n －1)d ， 由2a 2＝a 1＋a 3，得3a 2＝S 3，所以3(S 2－S 1)＝S 3， 即3[(a 1＋d )2－a 1]＝(a 1＋2d )2， 化简得a 1－2a 1·d ＋d 2＝0，所以a 1＝d ，a 1＝d 2. 所以S n ＝d ＋(n －1)d ＝nd ，S n ＝n 2d 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2d 2－(n －1)2d 2＝ (2n －1)d 2，
当n ＝1，a 1＝d 2满足上式．
所以所求的通项公式为a n ＝(2n －1)d 2.。