(同步课堂)高中数学 3.4 对数名师考点精讲 北师大版必修1

（同步课堂）2013-2014学年高中数学 3.4 对数名师考点精讲 北师大版必修1
[读教材·填要点]
1．对数的概念与性质 (1)定义：
一般地，如果a (a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b
＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ．其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．log a N 读作以a 为底N 的对数．
(2)常用对数与自然对数：
以10为底的对数叫作常用对数，记作lg_N ；以e 为底的对数叫作自然对数，记作ln_N ． (3)基本性质：
①负数没有对数，即log a N 中真数必须大于零； ②1的对数为0，即log a 1＝0； ③底数的对数为1，即log a a ＝1； ④对数恒等式：a
log a
N
＝N ．
2．对数的运算性质
如果a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则： (1)积的对数：log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (2)商的对数：log a M N
＝log a M －log a N ； (3)幂的对数：log a M n
＝n log a M (n ∈R )． 3．对数的换底公式
log b N ＝log a N log a b
(a ，b ＞0，a ，b ≠1，N ＞0)．
[小问题·大思维]
1．指数式a b
＝N 和对数式log a N ＝b (a ＞0且a ≠1，N ＞0)有什么关系？ 提示：关系如图示 2．如何用对数的定义证明a
log a
N
＝N?
提示：因为若a b
＝N ，则b ＝log a N (a ＞0且a ≠1)，所以由等量代换得a log a
N
＝N .
3．对数运算性质(1)当M 、N 同号时成立吗？ 提示：不一定成立．如lg [(－5)×(－3)]有意义， 而lg(－5)、lg(－3)无意义．
[研一题]
[例1] (1)将对数式log 1327＝－3化为指数式；
(2)将指数式(14)－2
＝16化为对数式；
(3)求式子log 2(log 5x )＝0中的x ； (4)计算412
(log 29－log 25
)．
[自主解答] (1)因为log 1327＝－3，所以(13
)－3
＝27；
(2)因为(14
)－2
＝16，所以log 14
16＝－2；
(3)因为log 2(log 5x )＝0，所以log 5x ＝1，所以x ＝5； (4)原式＝2log 29－log 25＝
2log 292log 25＝9
5
.
[悟一法]
(1)对数式和指数式互化的主要依据是关系式a b
＝N 等价于b ＝log a N (a ＞0且a ≠1，N ＞0)，要注意a 、b 、N 的位置．
(2)有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值为“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．
(3)对于对数恒等式a
log a
N
＝N 要注意其结构特点：①它们是同底的；②指数中含有对数
形式；③其值为对数的真数．
[通一类]
1．(1)将指数式104
＝10 000和(13)m ＝5化为对数式；
(2)将对数式log 0.10.01＝2和ln x ＝1
2化为指数式；
(3)求式log 3(lg x )＝1中的x ； (4)计算7
1－log 7
5
的值．
解：(1)lg 10 000＝4, m ＝log 135；
(2)0.12
＝0.01, e 1
2＝x ；
(3)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝3，∴x ＝103
＝1 000； (4)原式＝77log 75＝7
5
.
[研一题]
[例2] 计算下列各式的值． (1)log 2
748＋log 212－1
2
log 242； (2)lg 27＋lg 8－lg 1 000
lg 1.2；
(3)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋lg 2
2.
[自主解答] (1)原式＝log 27×12
48×42
＝log 2
1
2
＝－12；
(2)原式＝32lg 3＋3lg 2－32lg 3＋2lg 2－1＝32（lg 3＋2lg 2－1）lg 3＋2lg 2－1＝3
2；
(3)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(1＋lg 2)＋(lg 2)2
＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝2＋lg 5＋lg 2＝2＋1＝3.
[悟一法]
利用对数的运算性质化简、求值的一般策略：①把复杂的真数化简；②正用公式：将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商再化简；③逆用公式：将式中对数的和、差、积、商运用对数的运算法则，将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．
[通一类]
2．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：
(1)log a xy z ； (2)log a x 2y
3
z
.
解：(1)log a xy z
＝log a (xy )－log a z ＝log a x ＋log a y －log a z ；
(2)log a
x 2y
3
z
＝log a (x
2
y )－log a 3
z
＝log a x 2
＋log a y －log a 3z ＝2log a x ＋12log a y －1
3
log a z .
[研一题]
[例3] (1)计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．
(2)设3a ＝4b
＝36，求2a ＋1b
的值．
[自主解答] (1)法一：原式＝(log 253
＋log 225log 24＋log 25log 28)(log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125)
＝(3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22)(log 52＋2log 522log 55＋3log 52
3log 55)
＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22
log 25
＝13.
法二：原式＝(lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8)(lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8
lg 125)
＝(3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2)(lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 2
3lg 5)
＝(13lg 53lg 2)(3lg 2lg 5
)＝13；
(2)法一：由3a
＝4b
＝36，得a ＝log 336，b ＝log 436， ∴2a ＋1
b
＝2log 363＋log 364
＝log 369＋log 364 ＝log 3636＝1.
法二：对已知条件取以6为底的对数，
得a log 63＝2，b log 62＝1，∴2a ＝log 63，1
b
＝log 62.
于是2a ＋1
b
＝log 63＋log 62＝log 66＝1.
[悟一法]
(1)解决指数、对数的化简、求值时，一般通过指数、对数互化及换底公式，使所求式子的底数与已知条件中的底数统一，从而达到代入化简求值的目的．
(2)用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用换底公式来解决． (3)在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地说，给出的等式是以指数形式出现时，常用此法，在取对数时，要注意底数的合理选取．
[通一类]
3．(1)设log 1227＝a ，求证log 616＝4（3－a ）
3＋a ；
(2)已知14a
＝2，用a 表示log
2
7.
解：(1)法一：4（3－a ）3＋a ＝4（3－log 1227）
3＋log 1227
＝4log 12123
27log 12（123×27）＝4log 1243log 12（43×36）＝log 124
12
log 12（43×36
） ＝6log 1242
6log 12（2×3）＝log 1216log 126＝log 616， 故原式得证．
法二：a ＝log 1227＝3log 312＝3
2log 32＋1，
∴log 32＝32a －1
2，
log 616＝4log 62＝4log 22
log 26
＝
41＋log 23＝41＋2a 3－a
＝4（3－a ）
3＋a
；
(2)∵14a
＝2，∴log 142＝a ， log
2
7＝
log 147log 14
2
＝1－log 14212log 142＝1－a 12
a ＝2－2a a . 已知lg x ＋lg y ＝21g(x －2y )，求log 2x
y
的值． [错解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2
， 即x 2
－5xy ＋4y 2
＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0， 解得x ＝y 或x ＝4y . 则x y ＝1或x y
＝4，
所以log 2x y ＝log 21＝0或log 2x y
＝log 24＝4.
[错因] 错解中忽略了lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )成立的前提是⎩⎪⎨⎪
⎧x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，
即x ＞2y ＞
0，在求出x ，y 的关系后未检验是否满足前提条件，从而导致产生增根．
[正解] 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， 所以xy ＝(x －2y )2
，即x 2
－5xy ＋4y 2
＝0. 所以(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y . 因为x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，所以x ＝y 应舍去．
则x y ＝4，所以log 2x y
＝log 24＝4. 1．下列各式中正确的个数是( ) ①lg(lg 10)＝0；②lg(lne)＝0； ③若10＝lg x ，则x ＝10； ④若log 25x ＝1
2，则x ＝±5.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：∵lg 10＝1，∴lg(lg 10)＝lg 1＝0，∴①正确；
∵lne＝1.∴lg(lne)＝lg 1＝0，∴②正确；若10＝lg x ，则1010
＝x ，∴③不正确；若log 25x ＝1
2
，则251
2＝x ，∴x ＝5，④不正确．故只有①②正确．
答案：B
2．下列各等式中正确运用对数运算性质的是(其中x ，y ，z ＞0)( ) A ．lg(x 2
y z )＝(lg x )2
＋lg y ＋lg z B ．lg(x 2y z )＝z lg x ＋2lg y ＋2lg z C ．lg(x 2y z )＝2lg x ＋lg y －2lg z D ．lg(x 2
y z )＝2lg x ＋lg y ＋12
lg z
解析：lg(x 2y z )＝lg x 2
＋lg y ＋lg z ＝2lg x ＋lg y ＋12lg z .
答案：D
3．(2012·安徽高考)(log 29)·(log 34)＝( ) A.1
4 B.12 C ．2
D ．4
解析：(log 29)·(log 34)＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2
lg 3＝4.
答案：D
4．已知ln x ＝a ，ln y ＝b ，则ln [x ·(y
e
)2
]＝________．(用a ，b 表示)
解析：由于ln [x ·(y
e )2
]＝ln x ＋ln (y
e )2
＝ln x 1
2＋2ln y e ＝1
2
ln x ＋2ln y －2ln e
＝1
2
a ＋2
b －2.
答案：1
2
a ＋2
b －2
5．log 332·l og 227＝________．
解析：原式＝log 325
·log 233
＝5log 32×3log 23 ＝15log 32·log 23＝15. 答案：15
6．计算下列各式：
(1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5lg 10·lg 0.1
；
(2)log a n
a ＋log a 1a
n ＋log a 1n
a
(a ＞0且a ≠1)．
解：原式＝lg 23
＋lg 53
－lg 2－lg 5lg 1012·lg 10－1
＝2（lg 2＋lg 5）
－1
2
＝－4lg 10＝－4.
(2)法一：原式＝log a a 1n ＋log a a －n ＋log a a －
1
n
＝log a a 1
n
－n －
1
n ＝log a a －n
＝－n .
法二：原式＝log a (n a ·1a
n ·1n
a
)＝log a a －n
＝－n .
一、选择题
1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x －
1
2等于( )
A.1
3 B.123 C.
122
D.
133
解析：∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，即x ＝23
＝8. ∴x －
1
2＝1
22
.
答案：C
2．已知lg x －lg y ＝a ，则lg(x
2)3
－lg (y
2
)3
＝( )
A ．3a B.32a C ．a
D.a
2
解析：lg (x
2)3
－lg (y
2)3
＝3(lg x 2－lg y
2)＝3[(lg x －lg 2)－(lg y －lg 2)]＝3(lg x
－lg y )＝3a .
答案：A
3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧2e x －1
， （x ＜2）log 31
（x 2－1）， （x ≥2），则f (f (2))＝( ) A.2
e 2 B ．2e 2
C ．2e
D ．2
解析：∵f (2)＝log 3
1（22－1）
＝log 33－1
＝－1.
∴f (f (2))＝f (－1)＝2e －2
＝2e 2.
答案：A
4．已知2m ＝7n
＝p ，1m －1n
＝4，则p 的值是( )
A ．(27)4
B ．(27)14
C ．(72
)4
D ．(72
)14
解析：∵2m
＝7n
＝p ，∴m ＝log 2p ，n ＝log 7p . 又1m －1n ＝1log 2p －1log 7p ＝log p 2－log p 7＝log p 2
7＝4，
∴p 4
＝27.∴p ＝(27
)1
4.
答案：B 二、填空题
5．方程lg x ＋lg(x ＋3)＝1的解为________．
解析：由原方程得lg x (x ＋3)＝lg 10，∴x (x ＋3)＝10， 即x 2
＋3x －10＝0，解得x 1＝2, x 2＝－5 又x ＞0，
∴x ＝2. 答案：x ＝2
6．若a ＞0，a 23＝4
9
，则log 23a ＝________．
解析：∵a ＞0, a 23＝49，∴log a 49＝2
3，
∴log a 23＝1
3
，∴log 23a ＝3.
答案：3
7．已知2x
＝3，log 483＝y ，则x ＋2y ＝________．
解析：∵2x
＝3，∴x ＝log 23. ∵log 48
3
＝y ，
∴y ＝log 48－log 43＝log 28log 24－log 23
log 24
＝32－1
2
log 23， ∴x ＋2y ＝log 23＋2(32－1
2log 23)＝3.
答案：3
8．若10α
＝2，β＝lg 3，则100α－
1
2β＝________．
解析：法一：∵10α
＝2，β＝lg 3，∴α＝lg 2， 100α－12β
＝100lg 2－1
2lg 3
＝(10
lg 2)2
·(10
lg 3) －
2
2＝22×3－1
＝43
.
法二：∵10α
＝2，β＝lg 3.∴10β
＝3， 100
α－12β
＝100α·100－1
2β
＝(10α)2·(10β)－1＝22×3－1
＝43.
答案：43
三、解答题
9．(1)求值：2
log 3
2
＋log 2＋
3
(3－2)2－(log 22)2
.
(2)2013年我国国民生产总值为a 亿元，如果年平均增长率为8%，那么大约经过多少年后国民生产总值是2013年的两倍？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 1.08≈0.033 4，精确到1年)
解：(1)原式＝2
log 2
9
＋2log (2＋
3)
(2－3)－(12
)2
＝9－2－14＝27
4
；
(2)设经过x 年后国民生产总值是2011年的两倍． 经过1年，生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，生产总值为a (1＋8%)2
， …，
经过x 年，生产总值为a (1＋8%)x
. 由题意得a (1＋8%)x ＝2a ，即1.08x
＝2. 两边取常用对数，得lg 1.08x
＝lg 2. 故x ＝lg 2lg 1.08≈0.301 0
0.033 4
≈9(年)．
答：约经过9年，国民生产总值是2011年的两倍．
10．若a ，b 是方程2(lg x )2
－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．
解：原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，
则原方程化为2t 2
－4t ＋1＝0. ∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝1
2
.
由已知a ，b 是原方程的两个根， 则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，
即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝1
2
，
∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )(lg b lg a ＋lg a
lg b )
＝（lg a ＋lg b ）[（lg b ）2
＋（lg a ）2
]lg a lg b
＝(lg a ＋lg b )·（lg b ＋lg a ）2
－2·lg a lg b
lg a lg b
＝2×22－2×1212
＝12.
即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。