清华大学物理系普通物理电磁学6

由
d dB S ei dt dt
与所设绕行方向一致
两种绕行方向得到的结果相同
>0
正号说明 电动势的方向
S
ei
2. 楞次定律
Lenz law
闭合回路中感应电流的效果，总是反抗 引起感应电流的原因。
演示 电磁感应（KD035）
楞次定律（KD036，KD047）
3. 磁链
magnetic flux linkage
B
t
S'

'
S
S ''
d ' e lim t 0 t dt
L
dl
dS dl t
' B (dl t )
L
e B (dl ) ( B) dl
L L
非静电力－－洛仑兹力
f m qv B
1. 原则
B E感生 dl dS t L S
对称性才有可能 计算出来
E感生具有某种
2. 特殊
空间均匀的磁场被限制在圆柱体内，磁感强度 方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场。 磁场随时间变化 则
感生电场具有柱对称分布
B t

感生电场对称性的分析
动生电动势使运动的导体中的电荷运动
感生电动势使静止导体中的电荷运动
电动势是非静电场产生
研究的问题是：
动生电动势的非静电场？ 感生电动势的非静电场？性质？
§7.2 动生电动势
一. 典型装置
a
l
均匀磁场
v

B
导线 ab在磁场中运动
电动势怎么计算？
b a
ei
1.单位时间内切割磁力线的条数
ei Blv
dei v B dl
ba
e i de i
• 电动势要对电路中载流子做功， f2m e 但洛仑兹力不做功， 动生电动势本质是洛仑兹力， u 矛盾？
a

B
v
f1m
b
B
d l 移动 d e 动
电功率：d P 电 I de动 I (V B) d l I dl 安培力功率：
dB c dt
L B o
r
E感生 dl E感生 2 r
L
由法拉第电 磁感应定律
dB S dt
S dB E感生 2 r dt
r< R S r E r dB 感生
2
2 dt
2
r >R S R
2
R dB E感生 2r dt
对称性
一. 现象
磁的电效应？
历经十年 1）回路 L 运动 2）场源运动 3）都静止，但 R 变化
e
R
L
G
前面三种情况均可使电流计指针摆动
三种都使穿过回路的磁通发生变化，产生电动势。
二. 规律
1. 法拉第电磁感应定律
induction emf
前面三种情况共同特征是穿过回路的磁通量发生变化
d ei dt
矿石 高（中）频炉
电磁淬火：
导体板面 B 板面

r
dΦ e r2 dt 电阻 R r
涡电流i e / R r 2 3 单位长度上的发热功率 P 热 i Rr
越外圈发热越厉害，符合表面淬火的要求。
TV 高频淬火高频淬火电磁灶（注2）电磁灶 减小涡流的措施：
绝缘层
（t）
横截面
• 动生电动势 和 感生电动势 具有相对性
动生电动势 和 感生电动势的相对性
线圈不动 源动
在源参考系 线圈动
ˆ z
感生
B
ˆ z
动生
B
I
N
I

N

S
S
运动电荷在磁场受力 <=> (换参考系) 静止电荷受电场力
* 涡流
▲ 热效应
大块导体中的感应电流称“涡流”。
（eddy current）
电磁冶炼：
交流电源
qv B EK vB q
dl e vB
a

B
ei v B dl
b
a
b
fm
v
a
ei
ba
vBdl vBl >0
ei
b
讨论
d ei 适用于一切产生电动势的回路 dt ei v B dl 适用于切割磁力线的导体
线段ab内的感生电动势
解：补上两个半径oa和bo与ab构成回路obao
d e i e ob e ba e ao dt
e ao 0 e ob 0
dB e ba S dt
又如磁力线限制在圆 dB c 柱体内, 空间均匀 dt
求:
e ab于N 匝串联回路 每匝中穿过的磁通分别为
1，2， ，N
则有
e i e1 e 2 e N
i
i
d ei dt
d N d1 d 2 dt dt dt
磁链
例：直导线通交流电 置于磁导率为 的介质中
求：与其共面的N匝矩形回路中的感应电动势 已知 I I 0 sin t 似稳电路 c 其中 I0 和 是大于零的常数
硅钢片
▲电磁效应（用于控制）
割断了大的涡流

铁芯
金 属 片
如：无触点开关
感应触发 磁场抑制
接近铁芯产生涡流
▲ 机械效应
电磁阻尼：
铝转盘
电度表的阻尼原理 标记
演示 涡流 跳圈
加热
涡流
(KD038) 铝转盘
涡流阻尼摆(KD041)
安培力 （阻尼力）
涡流阻尼管(KD039)
*（高频）趋肤效应 （skin effect）
限制在圆柱内的空间 均匀的变化磁场
^ E z ^ E ^ E感生 Er r z
上下平移/镜像对称
建柱坐标系
B(t )

z
r
Ez 0
Er 0
E感生 dS 0
S
作正柱面，如图
^ E感生 E
3. 特殊情况下感生电场的计算
空间均匀的磁场限制在半径为 R 的圆柱内， B 的方向平行柱轴 且有 求：E感生 分布 解：设场点距轴心为r ,根据对称性，取以 o为心，过场点的圆周环路 L
S
d a
S

d
I ldx 2 x
L
I
d
dS l
a
d ei dt 0 r NI 0l d a cos tln 2 d
o
交变的 电动势
x
0 r NI 0l d a ei cos tln 2 d
t
t 2
ei > 0
e i <0
设电流 i I 0 sin （2 π ft ）
i
.

B
i涡
i 、B 、i涡
的正方向
总效果： 一个周期平均，内部电 流削弱，表面电流加强。
§7.4 自感
互感现象
实际线路中的感生电动势问题 一.自感现象 自感系数 反抗电流变化的能力 self-indutance

线 圈
(电惯性)
演示
i
A B
K
ei
K合上 灯泡A先亮 B晚亮
演示1
电感中的电流不能突变（KD037）
由于自己线路中的电流的变化 而在自己的
线路中产生感应电流的现象－－自感现象 自感系数的定义 非铁磁质
I
I
B
LI

I

L
ˆ Idl r 2 4 r
B dS I
S S L
ˆ) dS (dl r 2 4 r
由楞次定律定方向
b
2. 法拉第电磁感应定律
建坐标如图
L
a b
均匀磁场
设回路L方向如图
Blx t
d dx ei Bl dt dt
l 0
v

B
x
a b
Blv
负号说明电动势方 向与所设方向相反
ei
感应电动势只与 在磁场中运动的导体相关
3. 动生电动势与非静电场强的积分关系
a
e ab
d dt
b
eoabo
d e oa e ab ebo dt
e ab S 扇形
dB dt
eoa 0 ebo 0 BS扇形
电子感应加速器的基本原理
R B
1947年世界第一台 70MeV
e
140
v 0.9999745 c
e eBR m BR R R m
首先任定回路的绕行方向
规定电动势方向与绕行方向一致时为正
当磁力线方向与绕行方向成右手螺旋时
规定磁通量为正
如均匀磁场 B
dB >0 dt
均匀磁场 B . . . . . . .
. .
求：面积S边界回路中的电动势 若绕行方向取如图所示的回路方向
S . .
. . .
. . . . . . .
V
d F安
dP 即洛仑兹力作功的总和为0。 电 dP 安 0，
d P安 d F安 V ( I d l B) V IV ( B d l ) I (V B) d l d P 电
则 dP安 < 0， 外力 若 dP电 > 0（e 动与 I 一致），
解：设当I 0时，电流方向如图
设回路L方向如图 建坐标系如图 I 在任意坐标处取一面元
d
L
dS l
d a
dS
N N B dS
S
o
x
N N B dS N BdS N
N Il d a ln 2 d NI 0 l d a sin t ln 2 d
ei ei
L
I
d
dS l
a

o
x
e
R
L
G
1）回路 L 运动 2）场源运动 3）都静止，但 R 变化
产生感应电动势的机理或本质原因是什么?
为什么有磁通量的改变就产生电动势呢? 三种情况感应电动势分为两种基本形式
动生电动势
感生电动势
motional emf (第一种)
induced emf (第二、三种)
第七章 电磁感应和似稳电路
electromagnetic induction §7.1 法拉第电磁感应定律
§7.2 动生电动势
§7.3 感生电动势 感生电场
§7.4 自感
互感现象
§7.5 似稳电路和暂态过程 §7.6 磁场能量
§7.1 法拉第电磁感应定律
Faraday law of electromagnetic induction 奥斯特 电流磁效应

dB >0 dt dB <0 dt
ei <0
e i> 0

例、求半径oa线上的感生电动势
R 可利用这一特点较方便地求其他线段内的感生电动势
补上半径方向的线段构成回路利用法拉第电磁感应定律
E感生R
e 感生
b E dl 0
oB(t )
a
例
求上图中
克服安培力作正功， （发电机）； 机械能电能 则 dP安 > 0， 外部
若 dP电 < 0（e 动与 I 相反），
电源克服e 动作正功， 电能机械能（电动机）。
洛仑兹力起到了能量转换的桥梁作用。
B Br , t
B dS
S
§7.3 感生电动势 感生电场 由于磁场的时间变化而产生的电场
LI
L
按约定
磁通量为正
即
BS
< 0
由
d dB S ei dt dt
与所设的绕行方向相反
负号说明 电动势的方向
S
ei
若绕行方向取如图所示的方向 按约定 磁通量取负
均匀磁场 B . . . . . . .
. . . S. . . . . . . . . . .
BS
L
d ei dt
B e i dS t S
一.感生电场的性质 S是以L为边界的任意面积 B E感生 dl dS 法拉第电磁感应定律 t L S S 非保守场 L E感生 dS 0
S
无源场 涡旋场
二. 感生电场的计算
高频电流通过导线时，越靠表面电流密度越大。
R
电流密度
j0
j(d ) j0e
d / d S

i
j j0 j 0
j
dS — 趋肤深度（skin depth） 1 dS f —频率 f d
R r
j0 d d S 时 ，j 0.37 j0 e
f 100k Hz时，Cu 的 d S 0.21mm
d e d (m ) eE感生 dt 2 R dt

2
0, 0

e m 2 R
1 BR B 2 2 R 2
1 B R2
rR
B dS
讨论

• 感生电场是以法拉第电磁感应定律为基础的
源于法拉第电磁感应定律又高于法拉第电磁感 应定律。只要以L为边界的曲面内有磁通的变 化，就存在感生电场。