河南省安阳市内黄县第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

河南省安阳市内黄县第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1． 已知抛物线24y x =的焦点为F ，(1,0)A -，点P 是抛物线上的动点，则当||
||
PF PA 的值最小时，PAF ∆的 面积为（ ）
A.
2
B.2
C.
D. 4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力. 2． 设函数()log |1|a f x x =-在(,1)-∞上单调递增，则(2)f a +与(3)f 的大小关系是（ ） A ．(2)(3)f a f +> B ．(2)(3)f a f +< C. (2)(3)f a f += D ．不能确定 3． 四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，若该四棱锥的所有顶点都在
体积为
24316
π
同一球面上，则PA =（ ）
A ．3
B ．72
C ．
D ．9
2
【命题意图】本题考查空间直线与平面间的垂直和平行关系、球的体积，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．
4． 函数()2cos()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕ-π<<）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ）
A.3
2
-
B.1-
C.
D.
【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用. 5． 复数满足2＋2z
1－i ＝i z ，则z 等于（ ）
A ．1＋i
B ．－1＋i
C ．1－i
D ．－1－i
6． 已知集合，则( )
A
B
C D
7． 设集合
,
,则
( )
A B
C
D
8． 已知i z 311-=，i z +=32，其中i 是虚数单位，则2
1
z z 的虚部为（ ） A ．1- B ．
54 C ．i - D ．i 5
4 【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
9． 复数i i
i
z (21+=
是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1- B ．i - C ．i 2 D ．2
【命题意图】本题考查复数的运算和概念等基础知识，意在考查基本运算能力． 10．将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 11．设复数z 满足z （1+i ）=2，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ）
A1 B ﹣1 Ci
D ﹣i
12．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是
（ ）
A ．1
B ．2
C ．-1
D ．-2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.
14．已知函数21,0
()1,0
x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，()21x g x =-，则((2))f g = ，[()]f g x 的值域为 ．
【命题意图】本题考查分段函数的函数值与值域等基础知识，意在考查分类讨论的数学思想与运算求解能力. 15．已知函数22tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______.
【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 16．已知函数2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6
x π
=，则函数()f x 的最大值为___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为a 正方形，CF ⊥平面
ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．
（1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ； （2）若4a =，求三棱锥G ADE -的体积．
【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，间在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．
18．（本小题满分12分） 已知函数21
()x f x x +=
，数列{}n a 满足：12a =，11n n a f a +⎛⎫= ⎪⎝⎭
（N n *∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
【命题意图】本题主要考查等差数列的概念，通项公式的求法，裂项求和公式，以及运算求解能力.
19．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A 南偏西45方向10海里的B 处有一艘海 难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向 一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C 处相遇，如图，在ABC ∆中，求角B 的正弦值.
20．（本小题满分12分）
已知函数ln ()a x
f x x
+=
()a R ∈. （1）若4a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()f x 的图象与函数()1g x =的图象在区间2(0,]e 上有公共点，求实数的取值范围.
21．（本题满分15分）
已知抛物线C 的方程为2
2(0)y px p =>，点(1,2)R 在抛物线C 上．
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过点(1,1)Q 作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B ，若直线AR ，BR 分别交直线:22l y x =+于
M ，N 两点，求MN 最小时直线AB 的方程．
【命题意图】本题主要考查抛物线的标准方程及其性质以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在考查运算求解能力.
22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知
1cos )sin 3(cos 2
cos 22
=-+C B B A
. （I ）求角C 的值；
（II ）若2b =，且ABC ∆的面积取值范围为，求c 的取值范围． 【命题意图】本题考查三角恒等变形、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，意在考查基本运算能力．
河南省安阳市内黄县第一中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．【答案】B
【解析】设
2
(,)
4
y
P y
，则
2
1
||
||
y
PF
PA
+
=.又设
2
1
4
y
t
+=，则244
y t
=-，1
t…
，所以
||
||2
PF
PA
==，当且仅当2
t=，即2
y=±时，等号成立，此时点(1,2)
P±，PAF
∆的面积为
11
||||222
22
AF y
⋅=⨯⨯=，故选B.
2．【答案】A
【解析】
试题分析：由()
()()
()()
log1,,1
log1,1,
a
a
x x
f x
x x
-∈-∞
⎧⎪
=⎨
-∈+∞
⎪⎩
且()
f x在(),1
-∞上单调递增，易得
01,112
a a
<<∴<+<.()
f x
∴在()
1,+∞上单调递减,()()
23
f a f
∴+>，故选A.
考点：1、分段函数的解析式；2、对数函数的单调性.
3．【答案】B
【解析】连结,
AC BD交于点E，取PC的中点O，连结OE，则O E P A，所以OE⊥底面ABCD，则O 到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O
球心，均为1
2
PC==
可得3
4243
316
π
π=，解得
7
2
PA=，故选B．
4．【答案】D
【解析】易知周期11
2()
1212
T
π5π
=-=π，∴
2
2
T
ω
π
==.由
5
22
12
k
ϕ
π
⨯+=π（k∈Z），得
5
2
6
k
ϕ
π
=-+π
（k Z ∈），可得56ϕπ=-，所以5()2cos(2)6f x x π=-
，则5(0)2cos()6
f π
=-=，故选D. 5． 【答案】
【解析】解析：选D.法一：由2＋2z
1－i ＝i z 得
2＋2z ＝i z ＋z ， 即（1－i ）z ＝－2，
∴z ＝－2
1－i ＝－2（1＋i ）
2＝－1－i.
法二：设z ＝a ＋b i （a ，b ∈R ）， ∴2＋2（a ＋b i ）＝（1－i ）i （a ＋b i ）， 即2＋2a ＋2b i ＝a －b ＋（a ＋b ）i ，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧2＋2a ＝a －b
2b ＝a ＋b ， ∴a ＝b ＝－1，故z ＝－1－i. 6． 【答案】C 【解析】∵，∴
.
7． 【答案】C
【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C 。

8． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=，所以2
1z z 的虚部为54.
9． 【答案】A 【解析】()12(i)
122(i)
i i z i i i +-+=
==--，所以虚部为-1，故选A. 10．【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
11．【答案】B
【解析】解：由z （1+i ）=2，得，
∴复数z 的虚部是﹣1． 故选：B ．
考查方向
本题考查复数代数形式的乘除运算.
解题思路
把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
易错点
把﹣i 作为虚部. 12．【答案】B 【解析】
考点：向量共线定理．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）
13．【答案】(1,2)-，(,5)-∞.
【解析】将圆的一般方程化为标准方程，2
2
(1)(2)5x y m -++=-，∴圆心坐标(1,2)-， 而505m m ->⇒<，∴m 的范围是(,5)-∞，故填：(1,2)-，(,5)-∞. 14．【答案】2，[1,)-+∞. 【
解
析
】
15．【答案】π.
16．【答案】1
【解析】
三、解答题（本大共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．【答案】
【解析】（1）连接FH ，由题意，知CD BC ⊥，CD CF ⊥，∴CD ⊥平面BCFG ．
又∵GH ⊂平面BCFG ，∴CD ⊥GH ．
又∵EF CD ，∴EF GH ⊥……………………………2分 由题意，得14BH a =，34CH a =，12BG a =，∴2222516
GH BG BH a =+=， 22225()4FG CF BG BC a =-+=，22222516
FH CF CH a =+=， 则222FH FG GH =+，∴GH FG ⊥．……………………………4分
又∵EF FG F =，GH ⊥平面EFG ．……………………………5分
∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG ．……………………………6分
18．【答案】
【解析】（1）∵211()2x f x x x +==+，∴11()2n n n
a f a a +==+. 即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是以首项为2，公差为2的等差数列，
∴1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-=. （5分）
（2）∵数列{}n a 是等差数列， ∴1()(22)(1)22
n n a a n n n S n n ++=
==+， ∴1111(1)1
n S n n n n ==-++. （8分） ∴1231111n n T S S S S =++++ 11111111()()()()1223341
n n =-+-+-++-+ 111n =-+1
n n =+.
（12分） 19．【答案】（1）23小时；（2 【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇.
在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =.
由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，
所以2221
(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-， 化简得2369100t t --=，解得23t =
或512
t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为23
小时. （2）由2963AC =⨯=，221143BC =⨯=.
在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin1202sin 1414AC BAC B BC ⨯
∠=
===. 所以角B 的正弦值为14
. 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键．
20．【答案】（1）
370x y +-=；（2）1a ≥.
【解析】
试题解析：（1）∵4a =，∴ln 4()x f x x
+=且(1)4f =. 又∵'''22
(ln 4)(ln 4)3ln ()x x x x x f x x x +-+--==， ∴'2
3ln1(1)31f --==-. ∴()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为：43(1)y x -=--，即370x y +-=. （2）'''
222
(ln )(ln )1ln 1ln ()x a x x a x x a a x f x x x x +-+----===， （ⅰ）当12a e e -<，即1a >-时， 由()f x 在1(0,)a e -上是增函数，在12(,]a e e -上是减函数，
∴当1a
x e -=时，()f x 取得最大值，即1max ()a f x e -=. 又当a x e -=时，()0f x =，当(0,]a x e -∈时，()0f x <，
当2(,]a x e e -∈时，1()(0,]a f x e -∈，
考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、极值．
21．【答案】（1）24y x =；（2）20x y +-=．
【解析】（1）∵点(1,2)R 在抛物线C 上，22212p p =⨯⇒=，…………2分 即抛物线C 的方程为2
4y x =；…………5分
22．【答案】
【解析】（I ）∵1cos )sin 3(cos 2
cos 22=-+C B B A ， ∴0cos sin 3cos cos cos =-+C B C B A ， ∴0cos sin 3cos cos )cos(=-++-C B C B C B ， ∴0cos sin 3cos cos sin sin cos cos =-++-C B C B C B C B ， ∴0cos sin 3sin sin =-C B C B ，因为sin 0B >，所以3tan =C 又∵C 是三角形的内角，∴3π
=C .。