吉林省高中数列多选题试题含答案

吉林省高中数列多选题试题含答案
一、数列多选题
1．已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和0n S >，设213
2
n n n b a a ++=-，记{}n b 的前n 项和为n T ，则下列判断正确的是（ ） A ．若1q =，则n n T S = B ．若2q >，则n n T S > C ．若1
4q =-
，则n n T S > D ．若3
4
q =-
，则n n T S > 【答案】BD 【分析】
先求得q 的取值范围，根据q 的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出n T 和n S 的大小关系. 【详解】
由于{}n a 是等比数列，0n S >，所以110,0a S q =>≠， 当1q =时，10n S na =>，符合题意； 当1q ≠时，()1101n n a q S q
-=
>-，即
101n
q q ->-，上式等价于1010
n q q ⎧->⎨->⎩①或10
10
n q q ⎧-<⎨
-<⎩②.解②得1q >.解①，由于n 可能是奇数，也可能是偶数，所以()()1,00,1q ∈-.
综上所述，q 的取值范围是()
()1,00,-+∞.
2213322n n n n b a a a q q ++⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以232n n T q q S ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，所以
()2311222n n n n T S S q q S q q ⎛⎫⎛
⎫-=⋅--=⋅+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，而0n S >，且()()1,00,q ∈-⋃+∞.
所以，当1
12
q -<<-，或2q >时，0n n T S ->，即n n T S >，故BD 选项正确，C 选项错误. 当1
2(0)2
q q -
<<≠时，0n n T S -<，即n n T S <. 当12
q =-
或2q 时，0,n n n n T S T S -==，A 选项错误.
综上所述，正确的选项为BD. 故选：BD 【点睛】
本小题主要考查等比数列的前n 项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数
学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
2．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数()2k k ≥，使得对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是“间隔递增数列”，k 是{}n a 的“间隔数”，下列说法正确的是（ ） A ．公比大于1的等比数列一定是“间隔递增数列” B ．若()21n
n a n =+-，则{}n a 是“间隔递增数列”
C ．若(),2n r
a n r r n
*=+
∈≥N ，则{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为r D ．已知2
2021n a n tn =++，若{}n a 是“间隔递增数列”且“间隔数”的最小值为3，则
54t -<≤-
【答案】BCD 【分析】
利用新定义，逐项验证是否存在正整数()2k k ≥，使得0n k n a a +->，即可判断正误. 【详解】
选项A 中，设等比数列{}n a 的公比是()1q q >，则
()1111111n k n n n k k n a a a a q q q a q +---+=-=--，其中1k q >，即()
110n k q q -->，若10a <，则0n k n a a +-<，即n k n a a +<，不符合定义，故A 错误；
选项B 中，()()
()()()21212111n k
n n k n k n a a n k n k ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤++--+-=+---⎣
⎦-=⎣⎦⎣⎦
，
当n 是奇数时，()211k
n k n a a k +=---+，则存在1k
时，0n k n a a +->成立，即对任
意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义；当n 是偶数时，()211k
n k n a a k +-=+--，则存在2k ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义.综上，存在
2k ≥时，对任意n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，故B 正确；
选项C 中，
()()1n k n r r kr r a a n k n k k n k n n k n n k n +⎡⎤-⎛
⎫⎛⎫++-+=+
=-⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎢⎣-⎦
=⎥()2n kn r k n k n +-=⋅+，令2()f n n kn r =+-，开口向上，对称轴02
k -<，故2
()f n n kn r =+-在n *∈N 时单
调递增，令最小值(1)10f k r =+->，得1k r >-，
又k *∈N ，2k ≥，,2r r *
∈≥N ，故存在k r ≥时，0n k n a a +->成立，即对任意
n *∈N ，均有n k n a a +>，符合定义，“间隔数”的最小值为r ，故C 正确；
选项D 中，因为2
2021n a n tn =++，是“间隔递增数列”，则
()()()
2
222021202012n k n a a n k t n k kn k t n n k t +⎡⎤-=-=++>⎣++++⎦
++，即
20k n t ++>，对任意n *∈N 成立，设()2g n k n t =++，显然在n *∈N 上()g n 递增，
故要使()20g n k n t =++>，只需(1)20g k t =++>成立，即2t k --<. 又“间隔数”的最小值为3，故存在3k ≥，使2t k --<成立，且存在k 2≤，使
2t k --≥成立，故23t --<且22t --≥，故54t -<≤-，故D 正确. 故选：BCD. 【点睛】
本题的解题关键在于读懂题中“间隔递增数列”的定义，判断是否存在正整数()2k k ≥，使
0n k n a a +->对于任意的n *∈N 恒成立，逐项突破难点即可.
3．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()211
21n n
S n a -=-⋅ B ．212
n n S S =
C ．2311222
n n n S S ≥
-+ D ．212
n n S S ≥+
【答案】CD 【分析】
根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：
22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.
【详解】
因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，
所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()13
22122
⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122
S =+=，而 111
22S =，故错误；
C. 当1n =时， 213122
S =+
=，而 3113
2222-+=，成立，当2n ≥时，
211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以
11212
n n >-，所以
111111311...1 (352148222)
n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111
...1232n n S S n n n n
-=
+++++++，令()1111...1232f n n n n n
=
+++++++，因为()11111
1()021*******f n f n n n n n n +-=
+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()1
12
f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】
本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.
4．下列说法正确的是（ ）
A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列
()k N *
∈
B ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，
仍为等比数列
()k N *
∈
C ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值
D ．若数列{}n a 满足2
1159,4n n n a a a a +=-+=，则
1211
1
122
2
n a a a +++
<--- 【答案】ACD 【分析】
根据等差数列的定义，可判定A 正确；当1q =-时，取2k =，得到20S =，可判定B 错误；根据等差数列的性质，可判定C 正确；化简得到1111
233
n n n a a a +=----，利用裂项法，可判定D 正确. 【详解】
对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ， 因为12k k S a a a =++
+，2122k k k k k S S a a a ++-=++
+，
3221223k k k k k S S a a a ++-=+++，
，
可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==∈，
所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，
构成等差数列，故A 正确；
对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ≠，
当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误； 对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列， 此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；
对于D 中，由2
159n n
n a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-， 所以2n a ≠或3n a ≠， 则
()()
111
113
2332n n n n n a a a a a +=
=
------，所以1111
233
n n n a a a +=----， 所以
121223111
11111
11
2223333
33
n n n a a a a a a a a a ++++
=-+-++
---------- 111111
1333
n n a a a ++=
-=----. 因为14a =，所以2
159n n
n n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113
n a +-<-，故D 正确.
故选：ACD 【点睛】
方法点睛：由2
159n n
n a a a +=-+，得到()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-⋅-，进而得出1111
233
n n n a a a +=----，结合“裂项法”求解是解答本题的难点和关键.
5．在递增的等比数列{}n a 中，已知公比为q ，n S 是其前n 项和，若1432a a =，
2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）
A ．2q
B ．数列{}2n S +是等比数列
C ．8
510S =
D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列
【答案】ABC 【分析】 计算可得2q
，故选项A 正确；8
510S =，122n n S ++=，所以数列{}2n S +是等比数
列，故选项,B C 正确；lg lg 2n a n =⋅，所以数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 【详解】
{}n a 为递增的等比数列，由142332,12,a a a a =⎧⎨+=⎩得23142332,
12,a a a a a a ==⎧⎨+=⎩
解得234,8a a =⎧⎨=⎩或23
8,
4a a =⎧⎨=⎩，
∵{}n a 为递增数列，
∴234,8
a a =⎧⎨=⎩∴
322a q a ==，212a a q ==，故选项A 正确； ∴2n
n a =，(
)1
2122
212
n
n n
S +⨯-==--，
∴9822510S =-=，1
22n n S ++=，
∴数列{}2n S +是等比数列，故选项B 正确；
所以122n n S +=-,则9
822510S =-=，故选项C 正确.
又lg 2lg 2lg n
n n a ==⋅，
∴数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故选项D 错误. 故选：ABC. 【点睛】
方法点睛：证明数列为等差（等比）数列常用的方法有： （1）定义法； （2）通项公式法 （3）等差（等比）中项法
（4）等差（等比）的前n 项和的公式法.要根据已知灵活选择方法证明.
6．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*131
2ln
n n n n b a b n N n
++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．数列{}n n a b -单调递增
B ．数列{}n n a b +单调递增
C ．数列{}n a 单调递增
D ．数列{}n b 从某项以后单调递增
【答案】BCD 【分析】
计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1
113
ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算
10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合
指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】
由题可知，12n n n a a b +=+①，13
1
2ln
n n n n b a b n ++=++②，①-②得，1131
ln
n n n n n a b a b n
+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，
故A 错误．
①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，
()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比
的等比数列，∴()1
11ln 3
-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1
113
ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又
110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，
()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，
故C 正确．
将③代入②得，()()1
11133
11ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()1
1113
ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数
的增长速度知，从某个()*
n n N
∈起，()1
1
1
3
ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，
∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
判定数列单调性的方法：
（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；
（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.
7．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数
列”
，其通项公式1122n n
n a ⎡⎤⎛⎛-⎢⎥=- ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列
{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．10711S a =
B ．2021201920182a a a =+
C ．202120202019S S S =+
D ．201920201S a =-
【答案】AB 【分析】
选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =++++
+，
202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可判断.选项D.由
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.
【详解】
因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；
由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =++++
+，202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，
所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为
()()()()()123324354652122
n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++
+=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.
故选：AB. 【点睛】
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由
202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得
202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.
8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+1
4,()n n a S a n N *
==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩
⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ）
A ．24a =
B ．2n
n S =
C ．38
n T ≥
D ．12
n T <
【答案】ACD 【分析】
在1+14,()n n a S a n N *
==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；
令12(1)n n n b n n a ++=
+，13
8
b =，
2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，裂项求和3182
n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】
解：由1+14,()n n a S a n N *
==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；
32212822S a a =+==≠，故B 错误；
+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，1
2n n
a a +=， 所以2n ≥时，2
42
2n n n a -=⋅=， 令12(1)n n n b n n a ++=
+，12123(11)8
b a +==+，
2n ≥时，()()11
12211
(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=
==-++⋅+⋅，
113
8
T b ==，2n ≥时，
()()2334
113111111111
8223232422122122
n n n n T n n n ++=+-+-+
+
-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，31
82
n T ≤<，故CD 正确；
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n
n a n a S S n -=⎧
=⎨-≥⎩递推数列的通项，注
意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和.
二、平面向量多选题
9．已知集合()(){}=
,M x y y f x =,若对于()1
1
,x y M ∀∈,()2
2
,x
y M ∃∈,使得
12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集
合:(){}2
1,1M x y y x =
=+;(){2
,M x y y ==
;(){}3,x
M x y y e =
=;
(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )
A ．1M
B ．2M
C ．3M
D ．4M
【答案】BD 【分析】
根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．
【详解】
由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点
P '，使得OP OP '⊥．
在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合； 对1y x =
+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，
所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；
在x
y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点
集”集合；
对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】
本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．
10．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条不同的直径，2BF FO =，则（ ）
A ．13
BF FC = B ．89
FD FE ⋅=-
C ．41cos ,5
FD FE -<<-
>≤ D ．满足FC FD FE λμ=+的实数λ与μ的和为定值4 【答案】BCD 【分析】
A. 根据2BF FO =易得12
BF FC =判断；B. 由()()
FD FE OD OF OE OF ⋅=-⋅-运算求解判断；，C.建立平面直角坐标系：设,0,
2DOF παα⎡⎤
∠=∈⎢⎥⎣⎦
，则
()()1cos ,sin ,cos ,sin
,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，得到11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，由cos ,FD FE FD FE FD FE ⋅<>=⋅利用三角恒等变换和三角函数的性质判断；D. 将FC FD FE λμ=+，利用线性运算变形为()()4OF OD OF λμλμ-=--+判断；
【详解】
A. 因为2BF FO =，所以12BF FC =，故错误；
B. ()()2
FD FE OD OF OE OF OD OE OD OF OF OE OF ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+， ()22181099
OE OF OD OE OF =-+++=-++
=-，故正确； C.建立如图所示平面直角坐标系：
设,(0,
]2DOF παα∠=∈，则()()1cos ,sin ,cos ,sin ,,03D E F αααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以11cos ,sin ,cos ,sin 33FD FE αααα⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以222289
cos ,11cos sin cos sin 33FD FE
FD FE FD FE αααα-⋅<>==⋅⎛⎫⎛⎫-+⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
849
(1,]5
822cos2819α-
---⋅，故正确； D. 由FC FD FE λμ=+，得
()()()()4OF OD OF OE OF OD OF λμλμλμ-=-+-=--+，所以4λμ+=，故正确；
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.。