2018-2019学年福建省长泰县第一中学高二下学期第一次月考数学(文)试题

2018-2019学年福建省长泰县第一中学高二下学期第一次月考
数学(文科）
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知复数z 满足(1+i)z=2i (i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位
于( )
(A)第一象限
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2.若复数i i a 213++ (,R a i ∈为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ( ) A.2- B.4 C. 6- D. 6
3.称命题“x R ∀∈，254x x +=”的否定是 （ ）
A.x R ∃∈，254x x +=
B.x R ∀∈，254x x +≠
C.x R ∃∈，254x x +≠
D.以上都不正确
4.圆锥曲线(t 为参数)的焦点坐标是( ).
A.(1,0)
B.(1,1)
C.(0,1)
D. (-1,0)
5.已知a 、b 为不等于0的实数，则a b
>1是a >b 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6.二楼食堂的原料费支出x 与销售额y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为=8.5x+
7.5,则表
中的m 的值为( )
(A)50 (B)55 (C)60 (D)65
7.极坐标方程ρ=4cos 表示的图形的面积是( )
A.4
B.4π
C.8
D.8π 8.对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )
A ．0≤a ≤21
B ．a ＝0或a ＝7
C.a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21
9.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方
图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A.11
B.5.11
C.12
D.5.12
10. 设P 为椭圆x 29＋y 24
＝1上的一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )
A.83
B.163
C.433
D.833
11.下列说法正确的是（ ）
A.命题“若a b >，则22a b >”的否命题是“若a b >，则22a b ≤”
B.2x =是2560x x -+=成立的必要不充分条件
C.命题“若2x ≠，则2560x x -+=”的逆命题是“若2560x x -+≠, 则2x ≠”
D.命题“若αβ=，则cos cos αβ=”的逆否命题为真命题
12.抛物线ay x =2)0(>a 的准线l 与y 轴交于点P ,若l 绕点P 以每秒12
π弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则t 等于（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数3()f x x =,0()6f x '=,则0x =
14.有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18
米的概
率为 ．
15..如右图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，
则21x x += .
16.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l :(t 为参数)过椭圆C :(φ
为参数)的右顶点,则常数a 的值为 .
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
18. (本小题满分12分)袋子中有质地、大小完全相同的4个球，编号分别为
1，2，3，4．甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号．若两个编号的和为奇数则甲获胜，否则乙获胜．记基本事件为(,)x y ，其中x 、y 分别为甲、乙摸到的球的编号．
（1）求甲获胜且编号之和为5的事件发生的概率；
（2）比较甲胜的概率与乙胜的概率的大小，并说明这种游戏规则是否公平．
19. (本小题满分12分)已知命题,0],2,1[:
2”“≥-∈∀a x x p 命题q ：关于x 的 方程0222=+++a ax x 有解。

若命题“p 且q ”是真命题, 求实数a 的取值范围.
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为
(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C
的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出☉C 的直角坐标方程;
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标.
21.(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为36，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线2:-=x y l 与椭圆C 交于N M ,两点，O 是原点，求OMN ∆的
面积
22.(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)求f (x )的单调区间；
(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．
参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知复数z 满足(1+i)z=2i(i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于
( A )
(A)第一象限
(B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2.若复数i
i a 213++ (,R a i ∈为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 ( C ) A.2- B.4 C. 6- D. 6
3.称命题“x R ∀∈，254x x +=”的否定是C
A.x R ∃∈，254x x +=
B.x R ∀∈，254x x +≠
C.x R ∃∈，254x x +≠
D.以上都不正确
4.圆锥曲线(t 为参数)的焦点坐标是( A ).
A.(1,0)
B.(1,1)
C.(0,1)
D. (-1,0)
5.已知a 、b 为不等于0的实数，则a b >1是a >b 的( )D
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
6.二楼食堂的原料费支出x 与销售额y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为=8.5x+
7.5,则表中的m 的值为( C )
(A)50 (B)55 (C)60 (D)65
7.极坐标方程ρ=4cos 表示的图形的面积是( D )
A.4
B.4π
C.8
D.8π 8.对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是(A )
A ．0≤a ≤21
B ．a ＝0或a ＝7
C.a ＜0或a ＞21 D ．a ＝0或a ＝21
9.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方
图，则由图可估计样本重量的中位数为C
A.11
B.5.11
C.12
D.5.12
11. 设P 为椭圆x 29＋y 2
4
＝1上的一点，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( B )
A.83
B.163
C.433
D.833
11.下列说法正确的是D
A.命题“若a b >，则22a b >”的否命题是“若a b >，则22a b ≤”
B.2x =是2560x x -+=成立的必要不充分条件
C.命题“若2x ≠，则2560x x -+=”的逆命题是“若2560x x -+≠, 则2x ≠”
D.命题“若αβ=，则cos cos αβ=”的逆否命题为真命题
12.抛物线ay x =2)0(>a 的准线l 与y 轴交于点P ,若l 绕点P 以每秒12π弧度的角速度按逆时针方向旋转t 秒钟后,恰与抛物线第一次相切,则t 等于 C
A.1
B.2
C.3
D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.函数3()f x x =,0()6f x '=,则0x =
14.有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为 ． 4
3 15..如右图是函数d cx bx x x f +++=23)(的大致图像，
则21x x += .
3
2
16.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l :(t 为参数)过椭圆C :(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 3
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1
＋(a 2－5a －6)i(a ∈R)，试求实数a 取什么值时，z 分别为 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
解: (1)当z 为实数时，则a 2
－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义， ∴a ＝－1，或a ＝6，且a ≠±1，
∴当a ＝6时，z 为实数．
(2)当z 为虚数时，则a 2
－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义， ∴a ≠－1，且a ≠6，且a ≠±1.
∴当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，
即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．
(3)当z 为纯虚数时，则有a 2
－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0. ∴⎩⎨⎧ a ≠－1，且a ≠6，a ＝6.
∴不存在实数a 使z 为纯虚数．
18、(本小题满分12分)袋子中有质地、大小完全相同的4个球，编号分别为
1，2，3，4．甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号．若两个编号的和为奇数则甲获胜，否则乙获胜．记基本事件为(,)x y ，其中x 、y 分别为甲、乙摸到的球的编号．
（1）求甲获胜且编号之和为5的事件发生的概率；
（2）比较甲胜的概率与乙胜的概率的大小，并说明这种游戏规则是否公平．
19、(本小题满分12分)已知命题,0],2,1[:
2”“≥-∈∀a x x p 命题q ：关于x 的 方程0222=+++a ax x 有解。

若命题“p 且q ”是真命题, 求实数a 的取值范围.
解： .1)(min 2=≤⇔x a p ……………………………………3分
.210)2(442≥-≤⇔≥+-=∆⇔a a a a q 或……………………6分
∵“p 且q ”为真命题，∴p 、q 都是真命题……………………8分 ∴1-≤a ∴“p 且q ”是真命题时, 实数a 的取值范围是]1,(--∞……10分
20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为
(t 为参数),以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C
的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)写出☉C 的直角坐标方程;
(2)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求点P 的直角坐标.
由ρ=2sin θ, 得ρ2=2ρsin θ,
从而有x 2+y 2=2y , 所以x 2+(y-)2=3. N 故☉C 的直角坐标方程为x 2+(y-
)2=3. (2)设P , 又C (0,),
所以|PC|=
,
故当t=0时,|PC|取得最小值,
此时,点P 的直角坐标为(3,0). 21.(本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b
y a x C 的离心率为36，椭圆C 上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为6． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线2:-=x y l 与椭圆C 交于N M ,两点，O 是原点，求OMN ∆的 面积
解:（Ⅰ）椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为36，椭圆C 上任意一点 到椭圆两焦点的距离之和为6．
∴62=a ，3
6=a c ………………………………2分 ∴3=a ，6=c ，∴3222=-=c a b …………………3分
∴椭圆C 的方程为13
92
2=+y x ． …………………………4分
（Ⅱ）由03124139
2222=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x x y x x y ……………………5分 设),(),,(2211y x N y x M ，则321=+x x ，4
321=⋅x x ∴212212212214)[(2)()(||x x x x y y x x MN -+=-+-=
32)4
343(22=⨯-= …………………8分 ∵原点O 到直线2-=x y 的距离22|200|=--=
d ………10分 ∴OMN ∆的面积为62322
1=⨯⨯=S ． ………………12分 22.(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋1)x ＋2a ln x (a >0)．
(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)求f (x )的单调区间；
(3)若f (x )≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)∵a ＝1，∴f (x )＝x 2－4x ＋2ln x ，
∴f ′(x )＝2x 2－4x ＋2x (x >0)， f (1)＝－3，f ′(1)＝0，
所以切线方程为y ＝－3.
(2)f ′(x )＝2x 2－2a ＋1x ＋2a x ＝2x －1x －a x
(x >0)， 令f ′(x )＝0得x 1＝a ，x 2＝1，
当0<a <1时，在x ∈(0，a )或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 在x ∈(a,1)时，f ′(x )<0，
∴f (x )的单调递增区间为(0，a )和(1，＋∞)，单调递减区间为(a,1)；当a ＝1时，f ′(x )＝2x －1
2x ≥0，
∴f (x )的单调增区间为(0，＋∞)；
当a >1时，在x ∈(0,1)或x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，
在x ∈(1，a )时，f ′(x )<0，
∴f (x )的单调增区间为(0,1)和(a ，＋∞)，单调递减区间为(1，a )．
(3)由(2)可知，f (x )在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f (x )在区间
[1，e]上的最大值必在区间端点取到，
∴f (1)＝1－2(a ＋1)≤0且f (e)＝e 2－2(a ＋1)e ＋2a ≤0，
e2－2e 2e－2.
解得a≥。