人教A版高中数学必修四高一下学期期末考试 (2).docx

鑫达捷
沈阳铁路实验中学2018届高一下学期期末考试
数学试题
命题人：高三年组 考试时间:120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（每道题5分，共60分） （1）=︒1（ ）rad .
A.
π
180
B.
180π C. π360 D. 360
π
（2）已知x ，y 的取值如下表：从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为$0.95y x a =+，则a =( ) A. 3.25 B. 2.6 C. 2.2 D. 0
（3）某电视台一档娱乐节目征集现场参与观众，所有报名的900人由老年人、中年人、青年人三个层次组成，已知其中中年人为180人，用分层抽样的方法抽取90人参加现场节目，抽取的青年人数比抽取的老年人数多54人，则在报名的900人中老年人数是（ ）
A. 100
B.120
C. 90
D. 60 （4）设
4
32π
απ
<
<，角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为c b a ,,，则（ ）.
A. b c a >>
B. c a b >>
C. b a c >>
D. c b a >>
（5）已知5
5
cos sin -
=-αα，则αtan 的值为（ ）. A.2或2- B.
21或21- C. 21或2 D. 2
1
-或2- （6）一个口袋里装有大小形状完全相同的6个小球，其中有1个绿球，2个红球，3个黄球，
从中随机摸出2个球，则在摸出的两个小球中至少有1个红球的概率是（ ） A ． B ． C ． D ．
（7）已知在矩形ABCD 中，AB=5，BC=7，在其中任取一点P ，使满足90APB ︒∠>，则
P 点出现的概率为 （A ）
556π （B ）5
56
（C ）
1
2
（D ）不确定 （8）为得到函数sin()3
y x π
=+
的图像，可将函数cos y x =的图像向右平移(0)m m >个单
位长度，则m 的最小值是（ ） A.
116π B.56π C.3π D.6
π （9）平面向量a 与b 的夹角为60°，()1,0,2==b a ，则=+b a 2（x 0 1 3 4
y 2.2 4.3 4.8 6.7
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A ．3
B ．32
C ．4
D ．12
（10）右面程序框图中，若输入k 的值为11，则输出A 的值为（ ）. A.1- B.0 C.1 D.2
（11）如图，在△ABC 中，AB=3，AC=5，若O 为△ABC 的外心，
则AO BC ⋅u u u r u u u r
的值是（ ）
A ．3．6
（12）已知向量a r ，b r 满足||3a =r ，||1b =r
，且对任意实数x ，
不等式||||a xb a b +≥+r r r r
恒成立，设a r 与b r 的夹角为θ，则tan2θ=（ ）
2 B.2- C.22- D.2
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
（13）化简)120cos(3)60sin(2)60sin(x x x -︒-︒-+︒+的结果是 .
（14）=-
))2
2
(tan(arccos . （15）锐角三角形ABC 中，若2C B ∠=∠，则
AC
AB
的范围是 . （16）已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )(R x ∈，且0,0,0≤≤->>ϕπωA .若)(x f 的部分
图象如下，且与y 轴交点)2
2,0(-
M ，则+ϕω . 三、解答题（17题10分，其余各题每12分，共70分）
（17）（本小题10分）
已知a ρ、b ρ、是同一平面内的三个向量，其中a ρ
1,2=．
(1)若||25c =r //a ρ
，求的坐标；
(2) 若|b |=
,2
5
且a ρ+2b ρ与b a -2垂直，求a ρ与b ρ的夹角θ． （18）（本小题12分）
某果农选取一片山地种植沙糖桔，收获时，该果农随机选取果树20株作为样本测量它们每一株的果实产量(单位：kg)，获得的所有数据按照区间[40,45]，(45,50]，(50,55]，(55,60]
· ·
· · · y x
1 -1
o ·
4 M ·
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进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中产量在区间(45,50]上的果树株数是产量在区间(50,60]上的果树株数的
4
3
倍．
(1)求a ，b 的值；
(2)从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，求产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中的概率． （19）（本小题12分）
通过市场调查，得到某产品的资金投入x
（万元）与获得的利润y （万元）的数据，如下表所示：
（1）画出数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$y bx a =+； （3）现投入资金10（万元），求估计获得的利润为多少万元.
$11
2
2211
()())
()n n
i i i i
i i n n
i i
i i x x y y x y nx y b x x x
nx
a y bx
====⎧
---⎪
⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑$$
（20）（本小题12分）
如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为5米，圆上最低点与地面距离为1米，60秒转动一圈.图中OA 与地面垂直.设从OA 开始转动，逆时针转动θ角到OB.设B 点与地面距离为h . （Ⅰ）当︒=150θ时，求h 的值；
（Ⅱ）若经过t 秒到达OB ，求h 与t 的函数解析式.
（21）（本小题12分） 在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π
==.
（Ⅰ）若ABC △3,求,a b ;
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积. （22）（本小题12分）
· ·
·
A O
B h
θ
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已知函数(
)22sin 5244f x x x a ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
---+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
． （1）设sin cos t x x =+，将函数()f x 表示为关于t 的函数()g t ，求()g t 的解析式； （2）对任意0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，不等式()62f x a ≥-恒成立，求a 的取值范围．
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2016学年度(下)高一年级数学试卷答案及评分标准
一、本题共12小题，每小题5分，共60分．
13．0 14．-1 15．()3,2 16．16
5π
-
三．解答题（共70分）
17．(1) )4,2(),4,2(--==或；(2)θπ=．
解：⑴设),,(y x = x y y x 2,02),2,1(,//=∴=-∴=Θ
20,52,52|2222=+∴=+∴=y x y x c Θ,20422=+x x
∴⎩⎨
⎧==4
2
y x 或 ⎩⎨⎧-=-=42y x ∴)4,2(),4,2(--==c c 或 ……5分
⑵0)2()2(),2()2(=-⋅+∴-⊥+Θ
0||23||2,0232222
2=-⋅+∴=-⋅+ ,45
)25(
||,5||222===Θ代入上式, 2
5
0452352-=⋅∴=⨯
-⋅+⨯∴
,12
552
5
|
|||cos ,25||,5||-=⋅
-
=⋅=∴=
=b a θΘ πθπθ=∴∈],0[Θ…10分
18．（1）a ＝0．08，b ＝0．04 （2）3
5
【解析】(1)样本中产量在区间(45,50]上的果树有a ×5×20＝100a(株)，
样本中产量在区间(50,60]上的果树有(b ＋0．02)×5×20＝100(b ＋0．02)(株)， 依题意，有100a ＝
43×100(b ＋0．02)，即a ＝4
3
(b ＋0．02)． ① 根据频率分布直方图可知(0．02＋b ＋0．06＋a)×5＝1， ②
由①②得：a ＝0．08，b ＝0．04． …………….6分
(2)样本中产量在区间(50,55]上的果树有0．04×5×20＝4(株)，分别记为A 1，A 2，A 3，A 4， 产量在区间(55,60]上的果树有0．02×5×20＝2(株)，分别记为B 1，B 2．
从这6株果树中随机抽取2株共有15种情况：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．
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其中产量在(55,60]上的果树至少有一株被抽中共有9种情况：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)．
记“从样本中产量在区间(50,60]上的果树中随机抽取2株，产量在区间(55,60]上的果树至少有一株被抽中”为事件M ，则P(M)＝
915＝3
5
．………..12分 19．(1)详见解析；（2）8.17.1ˆ-=x y ；（3）2.15万元.
试题解析：（1）……….4分
（2）2345645x ++++=
=，2356955
y ++++==
1
2
21
2333455669545
1.749162536516
n
i i
i n
i i x y nx y
b x nx
==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=
=
=++++-⨯-∑∑
∴ 1.8a y bx =-=-，∴$1.7 1.8y x =-……………..8分 （3）当10x =（万元），$15.2y =（万元）…………12分
20．（1）2356+
（米）…6分（2）)2
30sin(56π
π-+=t h （0≥t ）…12分 21．（Ⅰ）2==b a （Ⅱ）3
3
2=
∴∆ABC S 【解析】（1）43sin 2
1
=∴==
∆ab Cab S ABC 2
1
2cos 222=-+=ab c b a C ，所以2==b a ….4分
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（2）
A A 2sin 2)232sin(23=-+π，)6
2sin(21π-=A 2
6,65662,21)62sin(ππππππ或或==-=-∴A A A
3
3
2=
∴∆ABC S …………12分 22．（1）()2
252g t t t a =--+
，t ⎡∈⎣；（2）53
a ≤-．
【解析】（1）
()()()1cos 22cos sin 52sin 22cos sin 532f x x x x a x x x a π⎛
⎫=-+-+-+=-+-+ ⎪⎝
⎭，
因为sin cos t x x =+，所以2sin 21x t =-
，其中t ⎡∈⎣，
即()2
252g t t t a =--+
，t ⎡∈⎣． …….6分
（2）由（1）知，当0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，sin cos 4t x x x π⎛
⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 又()()2
2252151g t t t a t a =--+=--+
在区间⎡⎣上单调递增，
所以()()min 115g t g a ==-，从而()min 15f x a =-， 要使不等式()62f x a ≥-在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立，只要1562a a -≥-， 解得：5
3
a ≤-． ………….12分。