黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题含答案

黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高一下学期
期末考试数学（文）试题含答案
鹤岗一中2020——2021学年度下学期期末考试
高一文科数学试题
一、选择题（共
12题,每题5分）
1．已知向量a ，b ，满足1a =，1a b ⋅=-，则()a a b ⋅+=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．已知数列{}n a 满足11
2
n n a a +=,若48a =，则1a 等于 A ．1
B ．64
C ．2
D ．128
3．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线AC 与1BC 所成的角为( ） A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．90°
4．圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）
A ．)
π
１ B ．4π
C ．3π
D ．5π 5．在ABC ∆中，060,3,2A
a
b
，则角B
( )
A 、045
B 、0135
C 、0045135或
D 、以上答案都不对
6．设长方体的长、宽、高分别为3、2、1，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3π
B ．6π
C ．12π
D ．14π
7．已知,,a b c ∈R ，则下列推理中正确的是 ( ) A ．22>⇒>a b am bm B ．a b
a b c c >⇒> C ．3311
,0a b ab a b
>>⇒
< D ．2211,b 0a b a a b
>>⇒
<
8．等差数列
中，11
10
1a
a <-，若其前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立
的最大自然数n 的值为（ ） A ．19
B ．20
C ．9
D ．10
9．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ) A ．()1,+∞
B ．[)1,+∞
C ．(),1-∞
D ．(],1-∞
10．已知关于x 的不等式210x x a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．5,4⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
B ．5,4⎛⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
C ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝
⎭
D ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
11．在ABC 中，E 为AC 上一点,3AC AE =，P 为BE 上任一点，若
(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则
31
m n
+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
12．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-。

若对任意正整数n 都有
10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ）
A ．(),1-∞
B ．12⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
， C ．13⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
， D ．14
⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
，
二、填空题（共4题，每题5分）
13．在数列{}n a 中，若31n a n =+,则2014是这个数列的第______项。

14．已知向量,a b 满足2a b ==,且2a b ⋅=，则向量a 与b 的夹角为
___________. 15．
若11
0a b
<<，则不等式（1)a b ab +<；(2）a b >；(3）a b <；
（4）2b a
a b
+>中，正确的不等式有__________个．
16．如图，三棱锥A BCD -中, 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分
别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．
三、解答题（共6题,其中17题10分，其余每题12分） 17．已知向量()1,2a =,向量()3,2b =-。

（1）求向量2a b -的坐标;
（2）当k 为何值时，向量ka b +与向量2a b -共线. 18．如图，直三棱柱中，AC BC ⊥，1AC BC ==，12CC =,点M
是11A B 的中点。

(1）求证：1B C //平面1AC M ； （2)求三棱锥11A AMC -的体积。

19．已知函数()1f x x a x =-++ (Ⅰ)当1a =时，解不等式()3f x <； （Ⅱ）若()f x 的最小值为1，求a 的值
20．在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足
()()()sin sin sin sin 0a b A B c C A +-+-=.
（1)求角B 的大小； （
2)若b =
求a c +的取值范围。

21．已知公差不为0的等差数列{}n a 满足，26a =,1a ,3a ,7a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；
(2）设22n
a n
b n -=⋅，求n b b b b ++++ 321的值．
22．已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =。

（1）证明：数列{}2n a -为等比数列；
（2）设1
(1)(21)(21)n n
n n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围。

数学文科参考答案
1D 2B 3B 4C 5A 6 D 7C 8A 9A 10D 11D 12C 13．671 14．3π
15. 2 16．78
17 （1)()7,2-(2）12
k =-
（1）()()()21,223,27,2a b -=--=- （2）()()()1,23,23,22ka b k k k +=+-=-+,
()()()21,223,27,2a b -=--=-∵ka b +与2a b -共线,∴()()72223k k +=--
∴
12
k =- 18：(1）证明见解析；（2)16。

（1)连接1A C 交1
AC 与N ，则N 为1A C 的中点，又M 为11A B 的中点，
1//MN B C ∴,又因为MN ⊂平面1AC M ，1B C ⊄平面1AC M ，1//B C ∴平面1AC M ；
（2）因为，直三棱柱111A B C ABC -中，
AC BC ⊥，1AC BC ==,12CC =,且点M
是11A B 的中点
所以1
1
A AMC
V -11A A C M V -=11113A C M S AA ∆=⨯111
111
32A C B S AA ∆=⨯⨯=16
19．（Ⅰ）3
32
2x x ⎧
⎫
-
<<⎨⎬⎩
⎭
（Ⅱ）2a =-或0a = 试题解析：（Ⅰ）当1a =时，()113f x x x =-++<,当1x ≥时，不等式化为
3232x x <⇒<
,
此时不等式的解集为3
12x ≤<，同理当1x <时，不等式化为3232x x -<⇒>-
，此时不等式的解集为3
12
x -<<，综上不等式()3f x <的解集为3322x x ⎧⎫
-<<⎨
⎬⎩
⎭
(Ⅱ）()1f x x a x =-++的几何意义为数轴上到a 和-1 距离的和的点的集
合，函数()f x 的最小值为
a 和-1 之间的距离即min ()11f x a =+=解得2a =-或0a =
20。

(1）3
B π
= （2)(
]
32,3
（1）在ABC ∆中,满足()()()sin sin sin sin 0a b A B c C A +-+-=.
由正弦定理边角转化可得()()()0a b a b c c a +-+-=化简可得222a b c ac -+=
由余弦定理可知2221
cos 222
a c
b a
c B ac ac +-===因为0B π
<< 所以3
B π
=
（2）由正弦定理可知
2sin sin sin a b c R A B C
===（R 为ABC ∆外接圆半径） 则由（1）可知3
B π
=
,b =
22
sin sin 3
b R B =
== 则2sin 2sin ,2sin 2sin a R A A c R C C ==== 所以
2sin 2sin a c A C +=+2sin 2sin 3A A ππ⎛⎫=+-- ⎪⎝
⎭
3sin A A =
6A π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为3
B π
=所以203
A π
<<
则
56
6
6A π
π
π<+
<
1sin ,162A π⎛
⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝
⎭⎝⎦
所以6A π⎛
⎫+∈
⎪⎝
⎭ 即a c +的取值范围为(]
32,3
21．（1)22n a n =+； （2)
1314
499
n n +-+. 解:(1）根据题意，设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，由于26a =，1a ,3a ，
7a 成等比数列,
则有()()2
1111626
a a d a d a d ⎧+=+⎪⎨
+=⎪⎩,解得14a =,2d =,∴22n a n =+．
（2）由224n n n b n n =⋅=⋅,记123n n b b b b S ++++=，
则231142434(1)44n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+
-⋅+⋅①，
4×①得23414142434(1)44n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+-⋅+⋅②
由①—②得2
3
1
3144
444
n n n S n +-=⋅+++
-⋅()1414414
n n n +-=
-⋅- ，
∴()1441493
n n
n n S +⋅=-+
，
∴1314
499
n n n S +-=
+，*n N ∈． 22．（1）详见解析；（2）2
[,)9
-
+∞。

（1）证明:因为1220n n a a +-+=,所以122n n a a +=- 即()1222n n a a +-=-，则
()
*12
22
n n a n N a +-=∈-
从而数列{}2n a -是以6为首项，2为公比的等比数列 （2)解:由（1）知1262n n a --=⨯，即322n n a =⨯+ 所以()
()(
)()
()()()
()1
1
1
13?22
111121212
121212
1n
n
n
n
n
n n n n
n n
n a b +++-+-⎛⎫=
=
=-+ ⎪++++++⎝⎭
当n 为偶数时,
223
11
111111112121212121212121n n n n n T -+⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--++++--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
111111
2121321
n n ++=-
+=-++++ 当n 为奇数时,
223
11
11111
1112121212121212121n n n n n T -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++++++-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++++⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
111111
2121321
n n ++=-
-=--+++
当n 为偶数时，111321n n T +=-++是递减的，此时当2n =时,n T 取最大值29
-，则29
m ≥-;
当n 为奇数时，111321n n T +=-
-+是递增的，此时13n T <-，则13
m ≥-。

综上，m 的取值范围是2,9⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。