高二数学选修精选 知识点全面

选修2-1、知识点
选修2-1
第一章常用逻辑用语 1. 命题及其关系
① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件
p 是q 的充要条件：p q ⇔ p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿
p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q q
p 靠
3. 逻辑联结词“或”“且”“非”
4. 全称量词与存在量词注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化.
例：“a=1”是“0,21a
x x x
∀>+≥”的（）
A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 第二章圆锥曲线与方程 1.
2.
回归定义”是一种重要的
解题
策略。

如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。

3. 直线与圆锥曲线的位置关系
（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.
应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)
常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；
②点差法
（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：
1212210021
2,2,22x x y y y y
x y k x x ++-===-） （2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）
①直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ②直线斜率不存在,则12AB y y =-.
（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。

考查三个方面：A 存在性（相交）；B 中点；C 垂直（121k k =-）
注:1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算。

2.当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法.
3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。

4.注意向量在解析几何中的应用（数量积解决垂直、距离、夹角等）
（4）求曲线轨迹常见做法：定义法、直接法（步骤：建—设—现（限）—代—化）、代入法（利用动点与已知轨迹上动点之间的关系）、点差法（适用求弦中点轨迹）、参数法、交轨法等。

例1.已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是（答：C ）；
A ．421=+PF PF
B ．62
1=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122
221=+PF PF
例2已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且ο6021=∠PF F ，
3122
1=∆F PF S ．求该双曲线的标准方程（答：22
1412
x y -
=） 例3已知椭圆的一个顶点为A （0，-1），焦点在x 轴上，若由焦点到直线的距离为3. （1）求椭圆分方程；（2）设椭圆与直线相交于不同的两点M,N ，当|AM|=|AN|时，求m
的取值范围。

（答：221
1; (,2)32
x y m +=∈）
例4过点A （2，1）的直线与双曲线x y 2
2
2
1-=相交于两点P 1、P 2，求线段P 1P 2中点的轨迹方程。

第三章空间向量与立体几何 1. 空间向量及其运算
① a ==r d AB =AB =
u u u r ② 共线向量定理：//a b a b λ⇔=r r r r (0)b ≠r r
③ 共面向量定理：,,(,)p a b p xa yb x y R ⇔=+∈u r r r u r r r
共面；
四点共面(,)MP xMA yMB x y R =+∈u u u r u u u r u u u r
④ 空间向量基本定理(,,)p xa yb zc x y z R =++∈u r r r r （不共面的三个向量,,a b c r r r
构成一组基
底，任意两个向量都共面）
2. 平行：（直线的方向向量，平面的法向量）（,a b r r
是a,b 的方向向量，n r 是平面α的法向
量）
线线平行：//a b ⇔//a b r r
线面平行：//a a n α⇔⊥r r 或//a b r r ，b α⊂或(a xb yc b c =+r r r r r
，
是α内不共线向量） 面面平行：12////n n αβ⇔u r u u r
3. 垂直
线线垂直：a b ⊥⇔0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r
线面垂直：//a a n α⊥⇔r r 或 , (a b a c b c ⊥⊥r r r r r r
，
是α内不共线向量） 面面垂直：12n n αβ⊥⇔⊥u r u u r
4. 夹角问题
②计算法向量夹角；③回答二面角（空间想象二面角为锐角还是钝角或借助于法向量的方向），只需说明二面角大小，无需说明理由））
5. 距离问题（一般是求点面距离，线面距离，面面距离转化为点到面的距离）
P 到平面α
A 是平面α内任一点，n r 为平面α的法向量） 6. 立体几何解题一般步骤
坐标法：①建系（选择两两垂直的直线，借助于已有的垂直关系构造）；②写点坐标；③写向量的坐标；④向量运算；⑤将向量形式的结果转化为最终结果。

基底法：①选择一组基底（一般是共起点的三个向量）；②将向量用基底表示；③向量运算；④将向量形式的结果转化为最终结果。

异面直线夹角——平移直线（借助中位线平行四边形等平行线）； 线面角——找准面的垂线，借助直角三角形的知识解决；
二面角——定义法作二面角，三垂线定理作二面角；作交线的垂面. 选修2-2
第一章导数及其应用
1. 平均变化率x
f x f x y x x ∆-∆+=∆∆)()(00 2. 导数（或瞬时变化率）x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim
)(0000
导函数(导数)：x
x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)
()(lim )(0
3. 导数的几何意义：函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f '(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))
处的切线的斜率，即k ＝f '(x 0)．
4. 导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C )′＝0(C 为常数)；②(x α)′＝1x αα-(x ＞0，Q α∈)；③(sin x )′＝cos x ； ④(cos x )′＝－sin x ；⑤(e x )′＝e x ；⑥(a x )′＝a x ln a (a ＞0，且a ≠1)；
⑦x
x 1)(ln =；⑧1
(log )ln a x x a =(a ＞0，且a ≠1)．
(2)导数的运算法则：
①[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )；②[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )； ③)0)(()
()
()()()(])()([
2
=/'-'='⋅x v x v x v x u x v x u x v x u . 5. 设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数
()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅=或
(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'。

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，
乘以中间变量对自变量的导数。

6. 定积分的概念，几何意义，区边图形的面积的积分形式表示，注意确定上方函数，下方
函数的选取，以及区间的分割.微积分基本定理
()()|()()b
a
b f x dx F x F b F a a
==-⎰
.
物理上的应用：汽车行驶路程、位移；变力做功问题。

7. 函数的单调性
（1）设函数)(x f y =在某个区间（a ，b ）可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数； （2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。

★★★反之，若已知可导函数)(x f y =
恒为零；可导函数)(x f y =.
求单调性的步骤：
① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）； ② 解不等式'()0'()0f x f x ><或；
③ 确定并指出函数的单调区间（区间形式，不要写范围形式），区间之间用“，”★
隔开，不能用“U ”连结。

8. 极值与最值
对于可导函数()f x ，在x a =处取得极值，则'()0f a =. 最值定理：连续函数在闭区间上一定有最大最小值.
若()f x 在开区间(,)a b 有唯一的极值点，则是最值点。

求极值步骤：
① 确定函数)(x f y =的定义域（不可或缺，否则易致错）； ② 解不等式'()=0f x ；
③ 检验'()=0f x 的根的两侧的'()f x 符号（一般通过列表），判断极大值，极小值，还是非极值点.
求最值时，步骤在求极值的基础上，将各极值与端点处的函数值进行比较大小，切忌直接说某某就是最大或者最小。

9. 恒成立问题“max ()()f x a f x a <⇔<”和“min ()()f x a f x a >⇔>”，注意参数的取值
中“=”能否取到。

例1313y x =
，过8
(2 , )3
P 的切线方程为 例2设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1,2x x ==处取得极值。

（1）求,a b 的值；
（2）若对于任意的[0,3]x ∈，都有2()f x c <成立，求c 的取值范围。

（答：(1)a=-3,b=4;(2)(,1)(9,)c ∈-∞-+∞U ）
例3设函数.10,323
1
)(223<<+-+-=a b x a ax x x f
（1）求函数)(x f 的单调区间、极值.
（2）若当]2,1[++∈a a x 时，恒有a x f ≤'|)(|，试确定a 的取值范围.
（答：（1）()f x 在（a ，3a ）上单调递增，在（-∞，a ）和（3a ，+∞）上单调递减；x a
=时，34()3f x b a =-极小，3x a =时，()f x b =极小（2）a 的取值范围是4
[,1)5
）
第二章推理与证明
1. 分清概念：合情推理与演绎推理
2. 综合法分析法的步骤规范
3. 反证法步骤：①提出反设；②推出矛盾；③肯定结论
4. 数学归纳法步骤规范：（1）归纳奠基；（2）递推步骤 （最后一定说明当n=k+1时，结论成立，根据（1）（2），结论对于*n N ∈(或者其他)成立，必不可少）
例1用综合法和分析证明sin 2sin 21cos α
αα
≤-
例2已知00a b c ab bc ca ++=++≤，求证：
例3{}1131
,23
n n n n a a a a a +==+数列中，，求234,,a a a 的值，由此猜想{}n a 的通项公式，并证
明。

（答：3
5
n a n =+）
第三章数系的扩充与复数的引入
1. 复数的概念三种表示形式：代数形式：z a bi =+，复平面内点Z(a,b)，向量OZ uuu r
. 2.
3. 4. 例1a bi c di +=+（,,,a b c d R ∈）的充要条件是_________________________
例2设复数z 满足条件,1=z 那么i z ++22的最大值是（） （A ）3（B ）4（C ）221+（D ）32 例3实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫
=++++
⎪++⎝⎭
．
（1）为实数；
（2）为虚数； （3）为纯虚数；
（4）对应点在第二象限.
例4．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若2
34z z ω=+-，求ω；（2）若2211
z az b
i z z ++=--+，求a ，
b 的值．
数学选修2－3
第一章 计数原理
知识点：
1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方
法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一步有m1种不同的方
法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．
排成一列，叫做从n 个
不同元素中取出m 个元素的一个排列
4、排列数：),,()!
(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ
5、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m
个元素的一个组合。

6、组合数：)!
(!!
!
)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m
m
m
n m n -=+--==Λ
7、二项式定理：(
)a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r
n n n
+=++++++---011222
…… 8、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r n
r n r r
+-==101() 第二章 随机变量及其分布
1、随机变量：如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验
的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X 、Y 等或希腊字母ξ、η等表示。

2、离散型随机变量：在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X 可能取的值，我
们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X 可能取的值为x 1,x 2,.....,x i ,......,x n
X 取每一个值x i (i=1,2,......）的概率P(ξ=x i ）＝P i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列
4、分布列性质①p i ≥0,i=1，2，… ；②p 1+p 2+…+p n =1．
5、二点分布：如果随机变量X 的分布列为：
其中0<p<1，q=1-p ，则称离散型随机变量X 服从参数p 的二点分布
6、超几何分布：一般地,设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取
n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值
为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N M n
N
C C P X k k m C --===L ， 其中{}min ,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤
7、条件概率：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，
叫做条件概率.记作P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率
公式：
8、相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响, 这样的两个事件叫做相互独立事件。

)()()(B P A P B A P ⋅=⋅
9、n 次独立重复事件：在同等条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验
10、二项分布：设在n 次独立重复试验中某个事件A 发生的次数，A 发生次数ξ是一个随机
变量．
如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，事件A 不发生的概率为q=1-p ，那么在n 次独立
重复试验中)(k P =ξk n k k n q p C -=（其中k=0,1,……,n ，q=1-p ）
于是可得随机变量ξ的概率分布如下：
这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数
12、数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
则称E ξ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn ＋…为ξ的数学期望或平均数、均值，数学期望又简称为期望．是离散型随机变量。

13、方差:D(ξ)=(x 1-E ξ)2·P 1+（x 2-E ξ)2·P 2+......+（x n -E ξ)2·P n 叫随机变量ξ的均方差，简称方差。

14、集中分布的期望与方差一览：
若概率密度曲线就是或近似地是函数
的图像，其中解析式中的实数0)μσ
σ>、（是参数，分别表示总体的平均数与标准差．
则其分布叫正态分布(,)N μσ记作：，f(x)的图象称为正态曲线。

16、基本性质：
①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交．
②曲线关于直线x=μ对称，且在x=μ时位于最高点. ③当时μ<x ，曲线上升；当时μ>x ，曲线下降．并且当曲
线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近．
④当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越
“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中． ⑤当σ相同时,正态分布曲线的位置由期望值μ来决定. ⑥正态曲线下的总面积等于1. 17、3σ原则：
从上表看到,正态总体在)2,2(σμσμ+-以外取值的概率只有%,在)3,3(σμσμ+-以外取值的概率只有%由于这些概率很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的. 第三章统计案例 独立性检验
{x 1,x 2}和{y 1,y 2}，其样本频数列联表为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a+b x 2 c d c+d 总计
a+c
b+d
a+b+c+d
1系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度。

具体的做法是，由表中的数据算出随机变量K^2的值（即K 的平方） K 2=n(ad-bc)2/[(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)]，其中n=a+b+c+d 为样本容量，K 2的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大。

K 2≤时，X 与Y 无关；K 2>时，X 与Y 有95%可能性有关；K 2
>时X 与Y 有99%可能性有关 回归分析
回归直线方程bx a y
+=ˆ?? 其中x
SS SP x x y y x x x n x y x n xy b =---=--
=∑∑∑∑∑∑∑2
22)
())(()
(1
1
,x b y a -= 数学选修4-4
极坐标
两点分布
Eξ=p Dξ=pq，q=1-p 二项分布，ξ～B （n,p ）
Eξ=np
Dξ=qEξ=npq，（q=1-p ）
1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨
⎧>⋅='>⋅=').
0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变
换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极
轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为
ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM .极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.
4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表
示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5．极坐标与直角坐标的互化： 6。

圆的极坐标方程：
在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是r =ρ；
在极坐标系中，以)0,(a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρcos 2a =； 在极坐标系中，以)2
,(π
a C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；
7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线.
在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 参数方程
1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t
的函数⎩
⎨⎧==),(),
(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点
),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

2．圆2
22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩
⎨⎧+=+=r b y r a x .
椭圆122
22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.
sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .
抛物线px y 22
=的参数方程可表示为)(.
2,22为参数t pt y px x ⎩⎨
⎧==. 经过点),(o o O y x M ，倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为⎩⎨⎧+=+=.
sin ,
cos o o ααt y y t x x （t 为参数）
.
3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。

在参数方程与普通方程的互化中，必须使y x ,的取值范围保持一致.。