《圆——垂径定理》数学教学PPT课件(2篇)

A.2 5 cm
C.2 5 cm 或 4 5 cm
B.4 5 cm
D.2 3 cm 或 4 3 cm
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-19-
知识点2 垂径定理的应用
4.位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复,如图1是其中一处中式圆形门,图2是
它的平面示意图.已知AB过圆心O,且垂直CD于点B,测得门洞高度AB为1.8米,门洞下沿
A.9 cm
B.6 cm
C.3 cm
D. 41 cm
8.(广州中考)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,
∠BAD=20°,则下列说法中正确的是 ( D )
A.AD=2OB
B.CE=EO
C.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD
9.(衢州中考)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F.
CD宽为1.2米,则该圆形门洞的半径为 ( A )
A.1米 B.1.2米
C.1.6米 D.1.8米
5.一条排水管的横截面如图所示,已知排水管的半径OA=1 m,水面宽AB=1.2 m.若某天
下雨后,水管水面上升了0.2 m,则此时排水管水面宽CD等于 1.6 m.
3.3 垂径定理
第三章
知识要点基础练
(2)问经过几秒后,△APC是等腰三角形.
解:(1)过点O作OD⊥AC于点D,
易知OD平分AC,AO=5 cm,OD=4 cm,
从而AD=3 cm,AC=6 cm.
14
(2)经过 5 s 后,AC=PC,△APC是等腰三角形;
经过4 s后,AP=AC,△APC是等腰三角形;
经过5 s后,AP=CP,△APC是等腰三角形.
弦心距等问题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
布置作业：
1、教科书习题3.3第1题、第2题．（必做题）
2、教科书习题3.3第3题、第4题．（选做题）
谢谢观看！
第三章 圆
垂径定理
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-17-
知识点1 垂径定理及推论
1.下列命题中错误的有 ( C )
即 r2=42+(r-2)2,解得 r=5,∴AE=5+3=8.
在 Rt△AEB 中,由勾股定理得 AB= 82 + 42 =4 5,

∴sin ∠BAD= = 4
4
5
=
5
.
5
-20-
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-21-
7.过☉O内一点M的最长弦长为10 cm,最短弦长为8 cm,则OM的长为 ( C )
若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考
数据:sin 41.3°≈0.66,cos 41.3°≈0.75,tan 41.3°≈0.88)
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
解:连接CO并延长,交AB于点D,则CD⊥AB,∴D为AB的中点.
说出你的作法．
A
B
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
课堂小结：
本节课你学到了哪些数学知识？
在利用垂径定理解决问题时，你掌握了哪些数学方法？
1、本节课我们探索了圆的轴对称性；
2、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；
3、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、
综合能力提升练
拓展探究突破练
6.如图,已知AD是☉O的直径,AB,BC是☉O的弦,AD⊥BC,垂足是点E,BC=8,DE=2,求
☉O的半径和sin ∠BAD的值.
解:设☉O 的半径为 r,
∵直径 AD⊥BC,
1
1
∴BE=CE=2BC=2×8=4,∠AEB=90°.
在 Rt△OEB 中,由勾股定理得 OB2=OE2+BE2,
综合能力提升练
(2)连接B2C2,B2C2与AD1相交于点E1,
∵将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,
∴E1是弓臂B2AC2的圆心.
∵弓臂B2AC2长不变,
120π×30
180
∴
=
180π×2 1
,解得
180
B2E1=20 cm.
在 Rt△B2D2E1 中,
由勾股定理得 D2E1= 2 22 -2 12 =
【创设情境】
问题2 你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我
国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所
对的弦长)为37.4m， 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出
赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【启发思考】
（1）平分弦所对的两条弧的直径，垂直平分弦；
（2）弦的垂直平分线，必过圆心且平分弦所对的两条弧．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
弦CD
弦CD
弦CD
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
追问：现在能解决课前提出的赵州桥问题了吗？
1
2
解： 如图，由题意可知，AB=37m，CD=7.23m，所以AD= AB＝18.5m，
∵A是弓臂B1AC1的中点,
1
∴∠B1D1D=2∠B1D1C1=60°,B1E=C1E,AD1⊥B1C1.
在 Rt△B1D1E 中,
3
B1E=B1D1·cos ∠D1B1E=30× 2 =15 3 cm,
则 B1C1=2B1E=30 3 cm.
拓展探究突破练
-27-
3.3 垂径定理
第三章
知识要点基础练
(1)图2中,求弓臂两端B1,C1的距离.
(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为多少?
3.3 垂径定理
第三章
知识要点基础练
综合能力提升练
解:(1)如图,连接B1C1,B1C1与AD1相交于点E,
∵D是弓弦BC的中点,
∴AD1=B1D1=C1D1=30 cm,
由三点确定一个圆可知,D1是弓臂B1AC1的圆心.
所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.
1
2
在 Rt△AOD 中,∵AD= AB=3,∠OAD=41.3°,

∴OD=AD·tan 41.3°≈2.64,OA=cos41.3°≈4,
∴CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64.
答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.
若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是 ( D )
A.3 cm
C.2.5 cm
B. 6 cm
D. 5 cm
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓☉O 的直径,弦 AB⊥CD,垂足为 E.若 = ,CE=1,AB=6,则
302 -202 =10 5 cm,
则 AD2=AE1+D2E1=(20+10 5) cm,
即 D1D2=AD2-AD1=20+10 5-30=(10 5-10) cm.
拓展探究突破练
-28-
48
弦 AF 的长度为 5 .
1
提示:连接 OA,OB,OB 交 AF 于点 G.∵AB⊥CD,∴AE=BE=2AB=3.
设☉O 的半径为 r,则 OE=r-1,OA=r.在 Rt△OAE 中,32+(r-1)2=r2,解得 r=5.
∵ = ,∴OB⊥AF,AG=FG.
在 Rt△OAG 中,AG2+OG2=52,①在 Rt△ABG 中,AG2+(5-OG)2=62.
24
48
②解由①②组成的方程组得到 AG= 5 ,∴AF=2AG= 5 .
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-23-
11.如图,AB是半圆O的直径,AC是弦,点P从点B开始沿BA边向点A以1 cm/s的速度移动.
若AB的长为10 cm,点O到AC的距离为4 cm.
(1)求弦AC的长;
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-24-
12.(安徽中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在
《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心
O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
第三章
圆
3 垂径定理
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【创设情境】
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，将其沿圆心所在的任一条直线对折，
你会发现什么？多折几次试一试．
追问1：由折纸可知圆是轴对称图形吗？
追问2：如果是一个残缺的圆形纸片，你能找到它的圆心吗？
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
你能文字语言叙述问题5和问题6中的结论吗？
问题5的结论（垂径定理）：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
两条弧．
问题6的结论（垂径定理的推论）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【形成结论】
追问：如果弦AB是直径，以上结论还成立吗？
类似还有如下结论：
【探究问题】
问题6 如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于
点M．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
（3）AB与CD的位置关系如何？说一说你的理由．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【形成结论】
综合能力提升练
拓展探究突破练
-18-
3.(泸州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是
( B )
A. 7
C.6
B.2 7
D.8
【变式拓展】(安顺中考)已知☉O的直径CD=10 cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,
且AB=8 cm,则AC的长为 ( C )
OD OC CD R 7.23 ．
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AO2 OD2 AD2 ，即
R 2 18.52 R 723 ，解得
2
R 27.3 （m）．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
学生练习1 课本76页随堂练习第2题．
学生练习2 如图，已知 弦AB ，请你利用尺规作图的方法作出 弦AB的中点，
①弦的垂直平分线经过圆心;②平分弦的直径垂直于弦;③平分弦的直径平分弦所对的
两段弧.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.如图,AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D.若☉O的半径为10,BC=16,则AB的长
为( D )
A.16
B.20
C.8 3
D.8 5
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
-25-
第三章
3.3 垂径定理
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-26-
13.(金华中考)如图1是小明制作的一副弓箭,A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦
BC=60 cm.沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,
当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30 cm,∠B1D1C1=120°.
问题3 通过前面的折纸我们知道圆是轴对称图形，那么它有几条对称轴？分
别是什么？
结论：
⑴圆是轴对称图形；
⑵经过圆心的每条直线都是它的对称轴；
⑶圆的对称轴有无数条．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【启发思考】
问题4 如图，对折⊙O使圆的两半部分重合得到一条折痕CD，在OC上取一点M，
过点M再次对折⊙O，使CM与MD重合，新的折痕与⊙O交于A、B两点．
（1）观察图形，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【探究问题】
问题5 已知：如图 ，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且
CD⊥AB，垂足M．
求证：AM=BM，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD
北京师范大学出版社 九年级 | 下册