潜山县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

潜山县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 函数f （x ）=3x +x 的零点所在的一个区间是（ ） A ．（﹣3，﹣2） B ．（﹣2，﹣1） C ．（﹣1，0） D ．（0，1）
2． 设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使
得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
C ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，
0）∪（0，2）
3． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．16163π-
B ．32163π-
C ．1683π-
D ．32
83
π-
【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力． 4． 已知两条直线12:,:0L y x L ax y =-=，其中为实数，当这两条直线的夹角在0,12π⎛⎫
⎪⎝⎭
内变动 时，的取值范围是（ ）
A ． ()0,1
B ．3⎛ ⎝
C ．()1,33⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
D ．(
5． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是
A 、28+
B 、30+
C 、56+
D 、 60+
6． 已知集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，若A ⊆B ，则实数a 的范围是（ ）
A ．[3，+∞）
B ．（3，+∞）
C ．[﹣∞，3]
D ．[﹣∞，3）
7． 定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（ ）
A ．1
B ．±2
C ．或3
D ．1或2
8． 连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量=（m ，n ），向量=（1，﹣2），则⊥的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． f （）=，则f （2）=（ ）
A ．3
B ．1
C ．2
D ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
11．定义运算：,,a a b
a b b a b
≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f x x x =*的值域为（ ）
A ．22⎡-
⎢⎣⎦ B ．[]1,1- C ．⎤⎥⎣⎦ D ．⎡-⎢⎣
⎦
12．已知集合A={0，m ，m 2﹣3m+2}，且2∈A ，则实数m 为（ ）
A ．2
B ．3
C ．0或3
D ．0，2，3均可
二、填空题
13．设曲线y=x n+1（n ∈N *）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n =lgx n ，则a 1+a 2+…+a 99的值为 ．
14．已知集合{}|03,A x x x R =<∈≤，{}|12,B x x x R =-∈≤≤，则A ∪B ＝ ▲ ．
15．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
16．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给 出以下命题：
①函数321y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ ②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数； ③设点A,B 是抛物线21y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<
恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()1
e e x
x
f x =-，其中e 为自然对数的底数，则不等式()()
2
240f x f x -+-<的解集为________．
18．已知函数，则__________；的最小值为__________．
三、解答题
19．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是． （1）求f （x ）的解析式；
（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；
（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围．
20．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
21．（本小题满分16分）
给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x =- （1）若()f x 在1=x 处取最值．求的值；
（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．
22．已知曲线y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0
）上的一个最高点的坐标为（
，），由此点到相邻最低点
间的曲线与x
轴交于点（π，0），φ∈
（﹣
，）．
（1）求这条曲线的函数解析式； （2）写出函数的单调区间．
23．【镇江2018届高三10月月考文科】已知函数，其中实数为常数，为自然对数的底数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，解关于的不等式
；
（3）当时，如果函数
不存在极值点，求的取值范围.
24．本小题满分10分选修41-：几何证明选讲
如图，ABC ∆是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PB 交AC 于点E ，交⊙O 于点D ，
PE PA =，︒=∠45ABC ，1=PD ，8=DB ．
Ⅰ求ABP ∆的面积； Ⅱ求弦AC 的长．
潜山县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由函数f （x ）=3x +x 可知函数f （x ）在R 上单调递增，
又f （﹣1）=﹣1＜0，f （0）=30
+0=1＞0，
∴f （﹣1）f （0）＜0，
可知：函数f （x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）． 故选：C ．
【点评】本题考查了函数零点判定定理、函数的单调性，属于基础题．
2． 【答案】A
【解析】解：设g （x ）=，则g （x ）的导数为：
g ′（x ）=
，
∵当x ＞0时总有xf ′（x ）﹣f （x ）＜0成立， 即当x ＞0时，g ′（x ）＜0，
∴当x ＞0时，函数g （x ）为减函数，
又∵g （﹣x ）=
=
=
=g （x ），
∴函数g （x ）为定义域上的偶函数， ∴x ＜0时，函数g （x ）是增函数，
又∵g （﹣2）=
=0=g （2），
∴x ＞0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＜g （2），解得：0＜x ＜2， x ＜0时，由f （x ）＞0，得：g （x ）＞g （﹣2），解得：x ＜﹣2， ∴f （x ）＞0成立的x 的取值范围是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）． 故选：A ．
3． 【答案】D
【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为21132
244428233
V =π⨯⨯-⨯⨯⨯=π-，故选D ． 4． 【答案】C 【解析】1111]
试题分析：由直线方程1:L y x =，可得直线的倾斜角为0
45α=，又因为这两条直线的夹角在0,
12π⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以直线2:0L ax y -=的倾斜角的取值范围是0
3060α<<且0
45α≠，所以直线的斜率为
00tan30tan 60a <<且0tan 45α≠，即
13
a <<或1a << C. 考点：直线的倾斜角与斜率.
5． 【答案】B
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。

利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
10,10,10,S S S S ====后右左底
因此该几何体表面积30S =+B ． 6． 【答案】B
【解析】解：∵集合A={x|1≤x ≤3}，B={x|0＜x ＜a}，
若A ⊆B ，则a ＞3， 故选：B ．
【点评】本题考查了集合的包含关系，考查不等式问题，是一道基础题．
7． 【答案】D
【解析】解：∵当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|． 当1≤x ＜2时，2≤2x ＜4，
则f （x ）=f （2x ）=（1﹣|2x ﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值； 当2≤x ≤4时， f （x ）=1﹣|x ﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x ≤8时，2＜≤4，
则f （x ）=cf （）=c （1﹣|﹣3|）， 此时当x=6时，函数取极大值c ．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
8．【答案】A
【解析】解：因为抛掷一枚骰子有6种结果，设所有连续抛掷两次骰子得到的点数为（m，n），有36种可能，
而使⊥的m，n满足m=2n，这样的点数有（2，1），（4，2），（6，3）共有3种可能；
由古典概型公式可得⊥的概率是：；
故选：A．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法得到满足条件的事件数，是一个基础题．
9．【答案】A
【解析】解：∵f（）=，
∴f（2）=f（）==3．
故选：A．
10．【答案】B
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
s=0，n=0
满足条件n＜i，s=2，n=1
满足条件n＜i，s=5，n=2
满足条件n＜i，s=10，n=3
满足条件n＜i，s=19，n=4
满足条件n＜i，s=36，n=5
所以，若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为4，
有n=4时，不满足条件n＜i，退出循环，输出s的值为19．
故选：B．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题．
11．【答案】D
【解析】
考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.
12．【答案】B
【解析】解：∵A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，
∴m=2或m2﹣3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3．
当m=0时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=2时，集合A={0，0，2}不成立．
当m=3时，集合A={0，3，2}成立．
故m=3．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．
二、填空题
13．【答案】﹣2．
【解析】解：∵曲线y=x n+1（n∈N*），
∴y′=（n+1）x n，∴f′（1）=n+1，
∴曲线y=x n+1（n∈N*）在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），
该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，
∵a n=lgx n，
∴a n =lgn ﹣lg （n+1）， ∴a 1+a 2+…+a 99
=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+（lg4﹣lg5）+（lg5﹣lg6）+…+（lg99﹣lg100） =lg1﹣lg100=﹣2． 故答案为：﹣2．
14．【答案】1－1，3] 【解析】
试题分析：A ∪B ＝{}{}|03,|12,x x x R x x x R <∈-∈≤≤≤＝1－1，3]
考点：集合运算 【方法点睛】
1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
15．【答案】
．
【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3
+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即
y'=
在x ＞0时有解，
所以3（a ﹣3）x 3
+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．
函数f （x ）=x 3﹣ax 2
﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立，
即f'（x ）=3x 2
﹣2ax ﹣3≤0恒成立，即
，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数
的最大值为
，
所以，所以．
综上．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
16．【答案】②③
【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k -
=(,)A B ϕ∴=<
②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；1212(,)x x x x A B ϕ=
=
，
1211,(,)A B ϕ==因为1
(,)
t A B ϕ<
恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111] 考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 17．【答案】()32-，
【解析】∵()1e ,e x x f x x R =-
∈，∴()()11x
x x x f x e e f x e e --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝
⎭，即函数()f x 为奇函数，又∵()0x
x
f x e e
-=+>'恒成立，故函数()f x 在R 上单调递增，不等式()()2240f x f x -+-<可转化为
()()224f x f x -<-，即224x x -<-，解得：32x -<<，即不等式()()
2240f x f x -+-<的解集为
()32-，
，故答案为()32-，. 18．【答案】
【解析】【知识点】分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】
当时，
当时，
故
的最小值为
故答案为：
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）二次函数f （x ）图象经过点（0，4），任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ）
则对称轴x=，
f（x）存在最小值，
则二次项系数a＞0
设f（x）=a（x﹣）2+．
将点（0，4）代入得：
f（0）=，
解得：a=1
∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．
（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x
=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．
当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；
当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；
当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．
综上所述：
当t≤0时，最小值4；
当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；
当t≥1时，最小值﹣2t+5．
∴．
（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，
∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，
∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，
∴m＜．
20．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 21．【答案】（1） 2a = （2） a ≥2（3）两个零点． 【解析】
试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′
，解得2a = ，需验证（2） ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′
≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241
x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数
()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <，
4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数
试题解析：（1） ()2a
f x x x
=-′
由已知，(1)0f =′
即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意
所以 2a = ………………………………………4分
因为(]0,1x ∈，所以[)1
1,x ∈+∞，所以2min
112x x ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()max 2F x =，所以a ≥2 ……………………………………10分
（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为(
)22ln 6m x x x x =--+
所以(
)
)(
)1222
221x m x x x x
=--+==′ ………12分
当()1,0∈x 时，()'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m
所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分 32
41-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424
8
12(21))0e e e m e e -++-=>（
44
42()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：
函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，
所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】
对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等． 22．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得A=，=﹣，求得ω=．
再根据最高点的坐标为（，），可得sin（×+φ）=，即sin（×+φ）=1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点（π，0），可得得sin（×+φ）=0，即sin（+φ）
=0 ②，
由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin（x+）．
（2）对于函数y=sin（x+），令2kπ﹣≤+≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+，
可得函数的增区间为[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z．
令2kπ+≤+≤2kπ+，求得4kπ+≤x≤4kπ+，
可得函数的减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
23．【答案】（1）单调递增区间为；单调递减区间为．（2）（3）
【解析】试题分析：把代入由于对数的真数为正数，函数定义域为，所以函数化为，求导后在定义域下研究函数的单调性给出单调区间；代入，，分和两种情
况解不等式；当时，，求导，函数不存在极值点，只需
恒成立，根据这个要求得出的范围.
试题解析：
（2）时，．
当时，原不等式可化为．
记，则，
当时，，
所以在单调递增，又，故不等式解为；当时，原不等式可化为，显然不成立，
综上，原不等式的解集为．
24．【答案】 【解析】Ⅰ
PA 是⊙O 的切线，切点为A ∴PAE ∠=45ABC ∠=︒
又∵PE PA = ∴PEA ∠=45︒，APE ∠=90︒
由于1=PD ，8=DB ，所以由切割线定理可知92
=⋅=PB PD PA ，既3==PA EP
故ABP ∆的面积为
12PA BP ⋅=272
．
Ⅱ在Rt APE ∆APE 中，由勾股定理得AE =
由于2=-=PD EP ED ，6=-=DE DB EB ，所以由相交弦定理得
EC EA EB ED ⋅=⋅ 12= 所以222
312==
EC ，故=AC ．。