河南省顶级名校2017届高三10月第一次月考数学(文)试题Word版含答案

河南省顶级名校2016—2017学年高三10月第一次月考试卷
数学（文）
一、选择题（每题5分，共60分） 1．已知集合{
}
∅=-=
=B A x y x A ,1，则集合B 不可能是（ ）
A ．{}
124+<x x x B ．{}
1),(-=x y y x C ．{}1-=x y D ．{}
)12(log 22++-=x x y y 2．i 是虚数单位，若
21i
a bi i
+=++（a ，R b ∈）
，则()2log a b -的值是（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．12
3．曲线2sin()cos()44
y x x π
π
=+-与直线12y =在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记
为123,,,
p p p ，则24||p p 等于（ ）
A ．π
B ．2π
C ．3π
D ．4π
4．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）
A ．
1
2 B
C ．
17
4 D ．4
5．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（ ）
A ．2()f x x =
B ．1
()f x x
=
C ．()x f x e =
D ．()sin f x x =
6．已知函数()2
1f x ax =-的图像在点()()
1,1A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行，若
数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭
的前n 项和为n S ，则2015S 的值为（ ）
A ．
40304031 B ．20144029 C ．20154031 D ．40304031
7．已知函数f （x ）=x 2
﹣2cosx ，对于,22ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上的任意x 1，
x 2，有如下条件：①x 1＞x 2；②22
12x x >；③|x 1|＞x 2；④x 1＞|x 2|，其中能使()()12f x f x >恒成立的条件个数共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
8．已知O 为坐标原点，双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左焦点为()F ,0c -（0c >），
以OF 为直径的圆交双曲线C 的渐近线于A,B ，O 三点，且()
F F 0AO +A ⋅O =．关于x 的方程
20ax bx c +-=的两个实数根分别为1x 和2x ，则以1x ，2x ，2为边长的三角形的形状是
（ ）
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ． 锐角三角形
D ．等腰直角三角形
9．设12,F F 是双曲线2
2
1
4y x -=的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P ，使
()2
2
0OP OF F P +⋅=（O 为坐标原点）且1
2
PF
PF λ=则λ的值为（ ）
A ．2
B ．12
C ．3
D ．13
10．已知函数()213
ln 22
f x x x =-
+在其定义域内的一个子区间()1,1a a -+内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A 13,22⎛⎫-
⎪⎝⎭ B ．51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．31,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
11．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组0
040x y x y ≥⎧⎪
≥⎨⎪+-≥⎩所确定的平面区域内的动点，
,M N 是圆221x y +=的一条直径的两端点，则PM PN ⋅的最小值为（ ）
A ．
4 B ．1
C ．
D ．7
12．已知定义在[)1,+∞上的函数()3
48,122
1,22
2x x f x x f x ⎧--
≤≤⎪⎪
=⎨
⎛⎫
⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩，当()
1*
2,2n n x n N
-⎡⎤∈∈⎣⎦
时，函数()f x 的图象与x 轴围成的图形面积为n S ，则12n S S S ++
+=（ ）
A ．2n
B ．2n
C ．122n +-
D ．2n n +
二、填空题（每题5分，共20分）
13．若数列
{}
n a 是正项数列，且
23n a n n +=+，则
12
23
1
n
a a a n +++
=+________. 14．已知,,,P A B C 是球O 球面上的四点，ABC ∆是正三角形，三棱锥ABC P -的体积为
4
3
9，且︒=∠=∠=∠30CPO BPO APO ，则球O 的表面积为______________. 15.已知双曲线22221y x a b
-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与圆22(3)9x y -+=相交于A ，B 两点，若|AB|=2，则该双曲线的离心率为 16．给出下列命题：
①函数a ax ax x x f -++=2
3
)(既有极大值又有极小值，则30><a a 或； ②若x
e x x
f )8()(2
-=，则)(x f 的单调递减区间为)2,4(-；
③过点),(a a A 可作圆0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线，则实数a 的取值范围为
13>-<a a 或;
④双曲线12222=-b y a x )0,0(>>b a 的离心率为1e ，双曲线122
22=-a
y b x 的离心率为2e ，则
21e e +的最小值为22.其中为真命题的序号是 .
三、解答题(共70分)
17．(10分)已知函数2
()2sin cos f x x x x =+．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；
（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满
足()26
A f π
-=sin sin B C +=，求bc .
18(12分).已知数列{}n a 是递增的等比数列，满足14a =，且
35
4
a 是2a 、4a 的等差中项，数列{}n
b 满足11n n b b +=+，其前n 项和为n S ，且264S S a +=. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）数列{}n a 的前n 项和为n T ，若不等式2log (4)73n n n T b n λ+-+≥对一切*n N ∈恒成立，求实数λ的取值范围.
19.(12分)郑州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
20．（12分）在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，
PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.
（1）求证：AC PB ⊥； （2）求证://PB 平面AEC ； （3）求二面角E AC B --的大小.
21（12分）．已知直线1y x =+被圆223
2
x y +=
截得的弦长恰与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长相等，椭圆C
的离心率e =
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过点1
(0,)3
M -的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的坐标，若不存在，请说明理由．
年龄 0．0．0．0．0．0．0．
22．（12分）已知函数2
()ln (01)x f x a x x a a a =+->≠且 （1）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 单调区间；
（3）若存在[]1,21,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥-（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．
数学（文）参考答案
一、选择题 DBACC DCAAD DB
二、填空题 13. 226n n + 14π16. 15.3 16. ①②④ 三、解答题
17．解：（1
）2()2sin cos sin 2f x x x x x x =+= 2sin(2)
3
x π=+，
因此()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=， （2）
由()2sin(2())2sin 26263A A f A πππ-=-+==
又∵
A
为锐角，∴3
A π=
，由正弦定理可
得
2sin a R A ===
，
sin sin 214
b c B C R ++=
=，
则1314b c +==，由余弦定理可知，22222()21
cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，
可求得40bc =．
18.解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，14n n a q -=， ∵
354
a 是24,a a 的等差中项，∴324524a a a ⨯=+，即2
2520q q -+=.
∵1q >，∴2q =，∴11422n n n a -+=⋅=. 依题意，数列{}n b 为等差数列，公差1d =， 又26432S S a +==，∴1165
(21)6322
b b ⨯+++=，∴12b =， ∴1n b n =+ （2）∵1
2
n n a +=，∴24(21)
2421
n n n T +-==--.
不等式2log (4)73n n n T b n λ+-+≥化为27(1)n n n λ-+≥+，∵*n N ∈，
∴271
n n n λ-+≤+对一切*n N ∈恒成立.
而227(1)3(1)99(1)333111n n n n n n n n -++-++==++-≥=+++，
当且仅当9
11
n n +=+即2n =时等号成立，∴3λ≤. 19.解：
(1)解决频率分布直方图的问题，关键在于找出图中数据之间的关系，这些数据中，比较明显的有组距、
组距
频率
，间接的有频率，小长方形的面积，合理使用这些数据，再结合两个等量关系：小长方形的面积等于频率，小长方形的面积之和等于1，因此频率之和为1；（2）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举. 试题解析：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,
第5组的人数为0.1×100=10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第3组:30
60
×6=3； 第4组:20
60
×6=2； 第5组:
10
60
×6=1；
即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
（Ⅱ）记第3组的3名志愿者为1A ,2A ,3A ,第4组的2名志愿者为1B ,2B ,第5组的1名志愿者为1C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
( 1A ,2A ), (1A ,3A ),( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 1A ,1C ), ( 2A ,3A ),( 2A 1B ),( 2A ,2B ), ( 2A ,1C ), ( 3A ,1B ), 3A ,2B ), (3A ,1C ),
( 1B ,2B ),( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),共有15种. 其中第4组的2名志愿者1B ,2B 至少有一名志愿者被抽中的有:
( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 2A 1B ),( 2A ,2B ), ( 3A ,1B ), (3A ,2B ),( 1B ,2B ), ( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),共有9种,………10分 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93
155
= …………12分 20．解：（1）
PA ABCD ⊥平面，
∴AB 是PB 在平面ABCD 上的射影， 又AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ，∴ AC ⊥PB. （2）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ，
ABCD 是平行四边形∴O 是BD 的中点又E 是PD 的中点，∴ EOPB.又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，
∴PB //平面AEC ，
（3）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则
EF 是△PAD 的中位线，∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD 同理FO 是△ADC 的中位线，∴FO //AB ∴FO AC ，由三垂线定理可知∴
EOF 是二面角E －AC
－D的平面角.又FO＝1
2
AB＝
1
2
PA＝EF。

∴EOF＝45而二面角E AC B
--与二面角E－AC－D互补，故所求二面角E AC B
--的大小为135.
21．解：（1）圆心到直线的距离
为d==，
又r=，所以弦长
为2
l==，所以1
b=
，又e=
，则
2
c
a
==
，a=C的方程是
2
21
2
x
y
+=．
（2）假设存在点(,)
T u v，若直线l的斜率存在，设其方程为
1
3
y kx
=-，将它代入椭圆方程，并整理得22
(189)12160
k x k
+--=．
设点A B
、的坐标分别为
1122
(,),(,)
A x y
B x y，则
122
122
12
189
16
189
k
x x
k
x x
k
⎧
+=
⎪⎪+
⎨
-
⎪=
⎪+
⎩
，
因为
111222
(),()
TA x u y v TB x u y v
=--=--及
1122
11
,
33
y kx y kx
=-=-，
所以
2
1
1
(
3
v T⋅
＝
22222
2
(666)4(3325)
62
u v k ku u v v
k
+--+++-
+
．
当且仅当0
TA TB =恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T，
所以
22
22
6660
40
33250
u v
u
u v v
⎧+-=
⎪
=
⎨
⎪++-=
⎩
，解得0,1
u v
==，
此时以AB为直径的圆恒过定点(0,1)
T．
当直线l的斜率不存在，l与y轴重合，以AB为直径的圆为221
x y
+=也过点(0,1)
T．
综上可知，在坐标平面上存在一个定点(0,1)
T，满足条件．
22．解：⑴因为函数2
()ln(0,1)
x
f x a x x a a a
=->≠
+，
所以
()ln 2ln x f x a a x a
'=-+，(0)0f '=，
又因为
(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．
⑵由⑴，
()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．
因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数， 又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+， 故函数
()f x 的单调增区间为(0,)∞+，递减区间为
(),0-∞
⑶因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立， 而当[1,1]x ∈-时，12max min ()()()()f x f x f x f x --≤， 所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可． 又因为x ，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：
所以
()
f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值
()()min 01f x f ==，
()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．
因为11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a
a
--=--=--+++，
令1()2ln (0)g a a a a a
=-->，因为22121()1(1)0g a a
a
a
'=-=->+，
所以1()2ln g a a a a
=--在()()0,11+a ∈∞、，
上是增函数． 而(1)0g =，故当1a >时，()0g a >，即(1)(1)
f f >-；
当01a <<时，()0g a <，即
(1)(1)f f <-．
所以，当1a >时，(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01a <<时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a
+-≥，函数1ln y a a
=+在
(0,1)a ∈上是减函数，解得1
0e
a <≤
．
综上可知，所求a 的取值范围为1(0,][e,)e
a ∈∞+．。