乌鲁木齐市70中初中数学九年级下期中测试卷(培优专题)

一、选择题
1．(0分)[ID：11131]若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数1
y
x
=-的图象上，并且x1＜0＜x 2＜x3，则下列各式中正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
2．(0分)[ID：11113]如图，用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，那么下列说法中，不正确的是（）．
A．边AB的长度也变为原来的2倍；B．∠BAC的度数也变为原来的2倍；C．△ABC的周长变为原来的2倍；D．△ABC的面积变为原来的4倍；
3．(0分)[ID：11112]在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为（）
A．1B．2C．5D．25
4．(0分)[ID：11101]下列判断中，不正确的有（）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
5．(0分)[ID：11086]如图，△OAB∽△OCD，OA：OC＝3：2，∠A＝α，∠C＝β，
△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是()
A．
3
2
OB
CD
=B．
3
2
α
β
=C．1
2
3
2
S
S
=D．1
2
3
2
C
C
=
6．(0分)[ID：11085]如图，过反比例函数的图像上一点A作AB⊥轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则的值为（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．(0分)[ID：11083]如果两个相似三角形对应边之比是1:3，那么它们的对应中线之比是（）
A．1:3B．1:4C．1:6D．1:9
8．(0分)[ID：11074]在同一直角坐标系中，函数
k
y
x
=和y=kx﹣3的图象大致是（）
A．B．C．
D．
9．(0分)[ID：11070]河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：3，则AC的长是( )
A．10米B．53米C．15米D．103米
10．(0分)[ID：11061]如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，
∠APC=30°，则CD的长为（）
A15B．5C．15D．8
11．(0分)[ID：11053]若△ABC∽△A′B′C′且
3
4
AB
A B
=
''
,△ABC的周长为15cm，则△A′B′C′
的周长为（）cm.
A．18B．20 C．15
4
D．
80
3
12．(0分)[ID：11045]如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（）
A．
B．
C．
D．
13．(0分)[ID：11042]如图所示，在△ABC 中，AB＝6，AC＝4，P 是AC 的中点，过 P 点的直线交AB 于点Q，若以 A、P、Q 为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ 的长为 ( )
A．3B．3或4
3
C．3或
3
4
D．
4
3
14．(0分)[ID：11041]在平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），点F（﹣1，﹣1），以点O 为位似中心，按比例1：2把△EFO缩小，则点E的对应点E的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）
15．(0分)[ID：11033]给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=3
x
；③y=2x2；④y=3x，上述函
数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（）A．①③B．③④C．②④D．②③二、填空题
16．(0分)[ID：11203]如图，矩形ABOC的面积为3，反比例函数y＝k
x
的图象过点A，
则k＝_____．
17．(0分)[ID：11184]如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，则CD的长为___________．
18．(0分)[ID：11168]若△ABC∽△A’B’C’，且△ABC与△A’B’C’的面积之比为1:4，则相似比为____．
19．(0分)[ID：11151]如图，点A在双曲线
1
y=
x
上，点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x
轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积
为．
20．(0分)[ID：11147]如图，点D、E、F分别位于△ABC的三边上，满足DE∥BC，EF∥AB，如果AD：DB=3：2，那么BF：FC=_____．
21．(0分)[ID：11136]如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则∠1+∠2= ．
22．(0分)[ID：11211]《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是______步．
23．(0分)[ID ：11192]如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，2EC BE =，联结AE 交BD 于点F ，若BFE ∆的面积为2，则AFD ∆的面积为______.
24．(0分)[ID ：11165]已知点P 在线段AB 上，且AP ：BP=2：3，那么AB ：PB=_____．
25．(0分)[ID ：11222]如果a c e b d f
===k （b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f ），那么k=_____． 三、解答题
26．(0分)[ID ：11311]如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且AD CD CD BD
=．
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；
（2）求∠ACB 的大小．
27．(0分)[ID ：11286]如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，其边长为2，点A ，点C 分别在轴，
轴的正半轴上．函数2y x =的图象与CB 交于点D ，函数k y x
=（k 为常数，0k ≠）的图象经过点D ，与AB 交于点E ，与函数2y x =的图象在第三象限内交于点F ，连接AF 、EF ．
（1）求函数k y x =
的表达式，并直接写出E 、F 两点的坐标． （2）求△AEF 的面积．
28．(0分)[ID ：11283]如图，已知反比例函数y ＝k x
的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.
(1)求k 和m 的值；
(2)若点C (x ，y )也在反比例函数y ＝k x
的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．
29．(0分)[ID ：11240]如图，已知在ABC 中，4AB =，8BC =，D 为BC 边上一点，2BD =.
(1)求证：ABD CBA ； (2)过点D 作//DE AB 交AC 于点E ，请再写出另一个与ABD △相似的三角形，并直接写出DE 的长.
30．(0分)[ID ：11238]如图，△ABC 是一张锐角三角形的硬纸片．AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ．从这张硬纸片剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ．使它的一边EF 在BC 上，顶点G ，H 分别在AC ，AB 上．AD 与HG 的交点为M ．
（1）求证：AM HG AD BC
=； （2）求这个矩形EFGH 的周长．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．B
3．B
4．B
5．D
6．C
7．A
8．A
9．B
10．C
11．B
12．C
13．B
14．A
15．B
二、填空题
16．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|
17．【解析】【分析】【详解】解：∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5∴AB=10∵在▱ABCD中AB=CD∴CD=10故答案为：10【点睛】本题考查①相
18．1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：∵△ABC相似△A′B′C′面积比为1：
4∴△ABC与△A′B′C′的相似比
19．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD 为矩形则它的面积为3－1＝2
20．3:2【解析】因为DE∥BC所以因为EF∥AB所以所以故答案为:3:2
21．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG的长度（用a表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF∽△GCA问题即可解决【详解】设正方形的边长为a则
AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF∴△ACF∽△
22．【解析】【分析】如图根据正方形的性质得：DE∥BC则△ADE∽△ACB列比例式可得结论【详解】如图∵四边形CDEF是正方形∴CD=EDDE∥CF设ED=x则CD=xAD=12-
x∵DE∥CF∴∠AD
23．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE再由平行四边形得到AD∥BC判定△ADF∽△EBF 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE∵四边形ABCD是平行四边形∴AD
24．5:3【解析】【详解】试题解析：由题意AP：BP=2：3AB：PB=（AP+PB）：PB=
（2+3）：3=5：3故答案为5:3
25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y=﹣1
x
中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每
一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定和性质，可得出这两个三角形相似，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】
解：∵用放大镜看△ABC，若边BC的长度变为原来的2倍，
∴放大镜内的三角形与原三角形相似，且相似比为2
∴边AB的长度也变为原来的2倍，故A正确；
∴∠BAC的度数与原来的角相等，故B错误；
∴△ABC的周长变为原来的2倍，故C正确；
∴△ABC的面积变为原来的4倍，故D正确；
故选B
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据正切的定义得到BC=1
2
AC，根据勾股定理列式计算即可．
【详解】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠B=2，
∴AC
BC
=2，
∴BC=1
2 AC，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2）2=AC2+（1
2
AC）2，
解得，AC=2，
故选B．
【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角A的对边a与邻边b的比叫做
∠A的正切是解题的关键．
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则他们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
A选项，在△OAB∽△OCD中，OB和CD不是对应边，因此它们的比值不一定等于相似
比，所以A选项不一定成立；
=，所以B选项不成立；B选项，在△OAB∽△OCD中，∠A和∠C是对应角，因此αβ
C选项，因为相似三角形的面积比等于相似比的平方，所以C选项不成立；
D选项，因为相似三角形的周长比等于相似比，所以D选项一定成立.
故选D.
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：观察图象可得，k＞0，已知S△AOB=2，根据反比例函数k的几何意义可得k=4，故答案选C.
考点：反比例函数k的几何意义.
7．A
解析：A
【解析】
∵两个相似三角形对应边之比是1:3，
∴它们的对应中线之比为1:3.
故选A.
点睛: 本题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应周长，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比,掌握相似三角形的性质及灵活运用它是解题的关键.
8．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据一次函数和反比例函数的特点，k≠0，所以分k＞0和k＜0两种情况讨论．当两函数系数k取相同符号值，两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案．
【详解】
分两种情况讨论：
①当k＞0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，没有图像符合要求；
②当k＜0时，y=kx﹣3与y轴的交点在负半轴，过二、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A符合要求．
故选A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由k的取值确定函数所在的象限．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．
【详解】
Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：3；
∴AC=BC÷tanA=53米；
故选：B．
【点睛】
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用
AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的
直角三角形的性质计算出OH=1
2
OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出
CH=15，所以CD=2CH=215．【详解】
作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°，
∴∠POH=30°，∴OH=1
2
OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，∴22=15
OC OH
∴15
故选C．
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键
11．B
解析：B
【解析】
∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴34ABC AB A B C A B ''=''='的周长的周长， ∵△ABC 的周长为15cm ，∴△A ′B ′C ′的周长为20cm ．故选B ．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
利用如图所示的计算器计算2cos55°，
按键顺序正确的是
．
故答案选C ． 13．B
解析：B
【解析】
AP AQ AB AC =,264AQ =，AQ=43
，
AP AQ AC AB =,246
AQ =，AQ =3.
故选B.
点睛：相似常见图形
（1）称为“平行线型”的相似三角形（如图,有“A型”与“X型”图）
（2）如图：其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形，有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”，如下图：
14．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用位似比为1：2，可求得点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1），注意分两种情况计算．
【详解】
∵E（-4，2），位似比为1：2，
∴点E的对应点E′的坐标为（2，-1）或（-2，1）．
故选A．
【点睛】
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比．注意位似的两种位置关系．
15．B
解析：B
【解析】
分析：分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．详解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
②y=3
x
，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；
③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；
④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确．
故选B．
点睛：本题主要考查了一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的性质，正确把握相关性质是解题的关键．
二、填空题
16．-3【解析】【分析】根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=的图象中任取一点过这一个点向x轴和y轴分别作垂线与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题【详解】解：∵矩形ABOC的面积为3∴|k|
解析：-3
【解析】
【分析】
根据比例系数k的几何含义：在反比例函数y=k
x
的图象中任取一点,过这一个点向x轴和y
轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|即可解题．
【详解】
解：∵矩形ABOC的面积为3,
∴|k|=3.
∴k=±3.
又∵点A在第二象限,
∴k<0,
∴k=−3.
故答案为：−3.
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义,反比例函数图象上点的坐标特征,属于简单题,熟悉反比例函数的图像和性质是解题关键.
17．【解析】【分析】【详解】解：∵EF∥AB∴△DEF∽△DAB∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5∴AB=10∵在▱ABCD中AB=CD∴CD=10故答案为：10【点睛】本题考查①相
解析：【解析】
【分析】
【详解】
解：∵EF∥AB,∴△DEF∽△DAB,∴EF：AB=DE：DA=DE：（DE+EA）=2：5,∴AB=10,∵在▱ABCD中AB=CD．
∴CD=10．
故答案为：10
【点睛】
本题考查①相似三角形的判定；②相似三角形的性质；③平行四边形的性质．
18．1：2【解析】【分析】由△ABC相似△A′B′C′面积比为1：4根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解【详解】解：∵△ABC相似
△A′B′C′面积比为1：4∴△ABC与△A′B′C′的相似比
解析：1：2
【解析】
由△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解.
【详解】
解：∵△ABC相似△A′B′C′，面积比为1：4，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为：1：2，故答案为: 1：2.
【点睛】
本题主要考查的是相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方.
19．2【解析】【分析】【详解】如图过A点作AE⊥y轴垂足为E∵点A在双曲线上∴四边形AEOD的面积为1∵点B在双曲线上且AB∥x轴∴四边形BEOC的面积为3∴四边形ABCD为矩形则它的面积为3－1＝2
解析：2
【解析】
【分析】
【详解】
如图，过A点作AE⊥y轴，垂足为E，
∵点A在双曲线
1
y=
x
上，∴四边形AEOD的面积为1
∵点B在双曲线
3
y=
x
上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC的面积为3
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3－1＝2
20．3:2【解析】因为DE∥BC所以因为EF∥AB所以所以故答案为:3:2 解析：3:2
【解析】
因为DE∥BC,所以
3
2
AD AE
DB EC
==,因为EF∥AB,所以
2
3
CE CF
EA BF
==,所以
3
2
BF
FC
=,故答
案为: 3:2.
21．45°【解析】【分析】首先求出线段ACAFAG的长度（用a表示）求出两个三角形对应边的比进而证明△ACF∽△GCA问题即可解决【详解】设正方形的边长为a则AC=∵∴∵∠ACF=∠ACF∴△ACF∽△
解析：45°．
【解析】
首先求出线段AC 、AF 、AG 的长度（用a 表示），求出两个三角形对应边的比，进而证明△ACF ∽△GCA ，问题即可解决．
【详解】
设正方形的边长为a ，
则=，
∵AC
CF ==CG AC == ∴AC CG CF AC
=， ∵∠ACF=∠ACF ，
∴△ACF ∽△GCA ，
∴∠1=∠CAF ，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．
点睛：该题以正方形为载体，主要考查了相似三角形的判定及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．
22．【解析】【分析】如图根据正方形的性质得：DE∥BC 则△ADE∽△ACB 列比例式可得结论【详解】如图∵四边形CDEF 是正方形∴CD=EDDE∥CF 设ED=x 则CD=xAD=12-x∵DE∥CF∴∠AD 解析：
6017
． 【解析】
【分析】 如图，根据正方形的性质得：DE ∥BC ，则△ADE ∽△ACB ，列比例式可得结论.
【详解】
如图，
∵四边形CDEF 是正方形，
∴CD=ED ，DE ∥CF ，
设ED=x ，则CD=x ，AD=12-x ，
∵DE ∥CF ，
∴∠ADE=∠C ，∠AED=∠B ，
∴△ADE ∽△ACB ， ∴
DE BC ＝AD AC ， ∴x 5＝12-x 12
，
∴x=6017
， 故答案为
6017.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，设未知数，构建方程是解题的关键．
23．18【解析】【分析】根据求得BC=3BE 再由平行四边形得到AD∥BC 判定△ADF∽△EBF 再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果【详解】∵∴BC=3BE∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD
解析：18
【解析】
【分析】
根据2EC BE =求得BC=3BE,再由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定△ADF ∽△EBF,再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得结果.
【详解】
∵2EC BE =,
∴BC=3BE,
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC,AD=BC,
∴△ADF ∽△EBF,
∴AD=3BE,
∴AFD ∆的面积=9S △EBF =18，
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，由平行四边形ABCD 得到AD ∥BC,判定
△ADF ∽△EBF 是解题的关键，再求得对应边的关系AD=3BE,即可求得AFD ∆的面积. 24．5:3【解析】【详解】试题解析：由题意AP ：BP=2：3AB ：PB=（AP+PB ）：PB=（2+3）：3=5：3故答案为5:3
解析：5:3
【解析】
【详解】
试题解析：由题意AP ：BP=2：3，
AB：PB=（AP+PB）：PB=（2+3）：3=5：3.
故答案为5:3.
25．3【解析】∵=k∴a=bkc=dke=fk∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)∵a+c+e=3(b+d+f)∴k=3故答案为：3
解析：3
【解析】
∵a c e
b d f
===k，∴a=bk，c=dk，e=fk，∴a+c+e=bk+dk+fk=k(a+b+c)，
∵a+c+e=3(b+d+f)，∴k=3，
故答案为：3.
三、解答题
26．
（1）证明见试题解析；（2）90°．
【解析】
试题分析：（1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．
试题解析：（1）∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵AD CD CD BD
=．
∴△ACD∽△CBD；
（2）∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．
考点：相似三角形的判定与性质．27．
（1）
2
y
x
=，E（2，1），F（-1，-2）；（2）
3
2
．
【解析】
【分析】
（1）先得到点D的坐标，再求出k的值即可确定反比例函数解析式；
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．由E、F两点的坐标，得到AE=1，FG=2-（-1）=3，从而得到△AEF的面积．
【详解】
解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点D的纵坐标为2，即y=2，将y=2代入y=2x，得到x=1，
∴点D的坐标为（1，2）．
∵函数
k
y
x
=的图象经过点D，∴2
1
k
=，∴k=2，
∴函数
k
y
x
=的表达式为
2
y
x
=．
（2）过点F作FG⊥AB，与BA的延长线交于点G．
根据反比例函数图象的对称性可知：点D与点F关于原点O对称∴点F的坐标分别为（-1，-2），
把x=2代入
2
y
x
=得，y=1；
∴点E的坐标（2，1）；∴AE=1，FG=2-（-1）=3，
∴△AEF的面积为：1
2
AE•FG=
13
13
22
⨯⨯=
. 28．
(1) k＝4， m＝1；(2)当－3≤x≤－1时，y的取值范围为－4≤y≤－4 3 .
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解．
试题解析：（1）∵△AOB的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为
4
y
x
=，∵A（4，
m），∴m=4
4
=1；
（2）∵当x=﹣3时，y=﹣43
； 当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数4y x =
在x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y 的取值范围为﹣4≤y≤﹣43
． 考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
29．
(1)证明见解析；(2)△CDE ,3DE =.
【解析】
【分析】
（１）中根据图中B 为公共角，找到三角形相似的“夹角相等”的条件，只要证明AB BD BC AB
=，依据是“两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似 ；（２）由//DE AB 可得出C ABD ED ∽，在（１）中ABD CBA ，所以可得
EDC CBA ，于是可构建与线段ＤE 有关的比例式，即可求出DE 的长 ．
【详解】
(1)【证明】∵4AB =，8BC =，2BD =，
12
AB BD CB BA ∴
==. ∵ABD CBA ∠=∠， ∴ABD CBA . (2)【解】由(1)知，ABD CBA .∵//DE AB ， ∴CDE CBA ，∴ABD CDE . 由CDE CBA ，得DE DC BA BC =， 即8248
DE -=， 解得3DE =.
【点睛】
本题考查的知识点是相似三角形的判定，关键是根据题中的线段的长和图形的特点，通过仔细观察和计算寻找缺少的条件．
30．
（1）证明见解析；（2）72cm ．
【解析】
【分析】
（1）根据矩形性质得出∠AHG =∠ABC ，再证明△AHG ∽△ABC ，即可得出结论； （2）根据（1）中比例式即可求出HE 的长度，以及矩形的周长．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM HG AD BC
=；
（2）解：由（1）AM HG
AD BC
=得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm．
∵AD=30cm，
∴AM=（30﹣x）cm．∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得：30
3040
x x
-
=，
解得：x=12，
故HG=2x=24，
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）．
答：矩形EFGH的周长为72cm．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据矩形性质得出△AHG∽△ABC是解决问题的关键．。