2019-2020年高考数学一轮复习讲练测 第一节 集合及其运算(讲案)

2019-2020年高考数学一轮复习讲练测第一节集合及其运算（讲案）【考纲解读】
1．集合的含义与表示
(1)了解集合的含义，元素与集合的属于关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．
3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系和运算．
【考情分析】
高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:
1.集合的概念与运算是历年来必考内容之一,题型主要以选择填空题为主,单纯的集合问题以解答题的形式出现的机率不大,多数与函数的定义域、值域、不等式的解法相联系，解题时要注意利用韦恩图、数轴、函数图象相结合.另外,集合新定义信息题是近几年命题的热点,注意此种类型.
2.xx年的高考将会继续保持稳定,坚持考查集合运算,命题形式会更加灵活、新颖.
【基础知识】
1．集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．
(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；
实数集R.
(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集.
2．集合间的基本关系
(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，即∅⊆A，
空集是任何非空集合的真子集，即∅B(B≠∅)．
(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．
(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
3．集合的基本运算
4．集合的运算性质
①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；
②A∩A＝A，A∩∅＝∅；
③A∪A＝A，A∪∅＝A；
④A∩∁U A＝∅，A∪∁U A＝U，∁U(∁U A)＝A，
∁U（A∪B）=∁U A∩∁U B, ∁U（A∩B）=∁U A∪∁U B
【分析题型】
题型一：元素与集合
（1）掌握集合的概念，关键是把握集合中元素的特性，要特别注意集合中元素的互异性，一方面利用集合元素的互异性能顺利找到解题的切入点；另一方面，在解答完毕之时，注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确．
（2）解决集合问题时一定要弄清楚集合中的元素是什么，尤其是用描述法表示的集合，要特别注意它们形式上的区别，以下给出一些常见的集合形式及其含义：
集合 {x|f(x) ＝0} {x|f(x) >0} {x|y ＝f(x)} {y|y ＝f(x)} {(x ，y)| y ＝f(x)}
含义
方程f(x)＝0的解集
不等式f(x)>0的解集
函数y ＝f(x)的定义域
函数y ＝f(x) 的值域
函数y ＝f(x)图象上的点集
【典型例题】
设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________．
【迁移训练】
1. 设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,2,5}，Q ＝{1,2,6}，则P ＋Q 中元素的个数为 ( ) A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
2.若a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝{0，b
a
，b}，求b －a 的值．
3.设集合，若,求实数的值。

【解析】当时，解之得，但是时，集合A 中两个元 素为2，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去。

所以
同理舍去，所以a=0.
当时，解之得
综合得
题型二：集合间的基本关系
1.子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为，真子集个数为，非空真子集个数为.
2．判断集合与集合的关系，基本方法是归纳为判断元素与集合的关系．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素及它的属性，可将元素列举出来直观发现或通过元素特征，求同存异，定性分析．应做到意义化(分清集合的种类，数集、点集、图形、定义域、值域、方程或不等式的解或解集等)、具体化(具体求出相关的集合并化简)、直观化(借助数轴、Venn图、函数图象等，即数形结合的思想)．
【典型例题】
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4，}，N＝{1,3,5，}，P＝M∩N，则P的子集共有 ( ) A．2个B．4个
C．6个D．8个
【迁移训练】
1.已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
3.设集合，，若,求实数的取值范围。

【解析】
||22222(2,2)21212123
110002222(2)(3)023(2,3)22
01
23
x a x a a x a A a a x x x x x x x x x x x x B a A B a a -<∴-<-<∴-+<<+∴=-+------<∴-<∴<∴<++++∴+-<∴-<<∴=--≥-⎧⊆∴∴≤≤⎨+≤⎩
题型三：集合的基本运算
在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍． 【典型例题】
（xx 年全国高考统一考试天津数学（文卷）已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则 （ ） (A)
(B) [1,2]
(C) [－2,2]
(D) [－2,1]
【迁移训练】
1.设集合A ＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧ x ，y ⎪⎪⎪ m
2
≤x －2
2
＋y 2≤m 2
，
⎭
⎬⎫
x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y)|2m≤x＋y≤2m
＋1，x ，y ∈R}．若A∩B≠，则实数m 的取值范围是________．
|2－2m －1|2≤|m|，解得2－22≤m≤2＋2，由于12>2－22，所以1
2≤m≤2＋ 2. 综上所述，m 的取
值范围是1
2≤m≤2＋ 2.
2.集合，
（1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围。

3.设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(∁R A)∩B＝B，求实数a的取值范围．
题型四：集合的新定义运算
处理此类问题的关键在于读懂定义，当题目的条件中提供一种信息，需要解题者很好地把握这种信息，并恰当地译成常见数学模型，然后按通常数学模型的求解方法去解决．有时可以采用验证法和特例法进行解题．
【典型例题】
1.设S为复数集C的非空子集.若对任意，都有，则称S为封闭集．下列命题：
①集合S＝{a＋bi|（为整数，为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集. 其中真命题是（写出所有真命题的序号）（）
【迁移训练】
1.定义集合运算:A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和为( )
A．0 B．2 C．3 D．6
【解析】根据题中定义的集合运算知A*B＝{0,2,4}，故应选择D.
2.设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
【解析】由题知S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，即这三个元素一定是相连的三个数．故有{1,2,3}；{2,3,4}；{3,4,5}；{4,5,6}；{5,6,7}；{6,7,8}共6个．
3.在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，
即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
①xx∈[1]; ②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．
其中，正确结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型五：要注意利用数形结合思想解决集合问题
集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题
直观化、形象化、明朗化，然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解．
【典型例题】设全集U={x|0<x<10,x∈N*}，若A∩B={3}，A∩C U B={1，5，7}，C U A∩C U B={9}，则集合A、B是________．
【答案】A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}.
【解析】由题意,画出图如下:
由图可知: A={1，3，5，7}，B={2，3，4，6，8}．
【名师点睛】本题用推理的方法求解不如先画出文氏图，用填图的方法来得简捷，由图不难看出
【考题回放】
xx 年题组
1、【xx 高考（大纲文）】设集合集合，则（ ） （A ） （B ） （C ） （D ）
2、【xx 年高考（新课标Ⅱ理）】已知集合M=｛x|(x-1)2
< 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N= （ ）
（A ）｛0，1，2｝ （B ）｛-1，0，1，2｝ （C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}
3、【xx 年高考（新课标Ⅰ理）】已知集合A=｛x|x 2
－2x ＞0｝，B=｛x|－5＜x ＜5｝，则( ) A 、A∩B=∅ B 、AB=R C 、BA
D 、AB
4、【xx 高考（辽宁理）】已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A
B =<<=≤=，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5、【xx 高考（山东文）】已知集合均为全集的子集，且,,则
A. B. C. D.
6、【xx 高考（广东理）】设集合,,则( ) A .
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】因,,所以,故选D ．
【考点定位】集合的运算、二次方程的解法 7、【xx 年高考（浙江理）】设集合，则（ ） A. B. C. D.
{|41},{|2}()(,1]R R T x x C s x x C s T =-≤≤=≤-∴=-∞.所以选C
【考点定位】此题zxxk 考查集合的运算之补集和并集，zxxk 考查一元二次不等式的解法，利用数轴即可解决此题，体现数形结合思想的应用，此考点是历年来高考必考考点之一，属于简单题； 8、【xx 年高考（湖北理）】已知全集为R ，集合A=，B=，则A ∩B= A. B.
C. ＜2或x ＞
D. ＜x ≤2或x ≥
9、【xx 高考（安徽文）】 已知，则（ ）
（A ） （B ）
（C ）
（D ）
10、【xx 高考（福建文）】设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数满足： （i ）（ii ）对任意121212,,()(),x x S x x f x f x ∈<<当时，恒有 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ① ② ③
其中，“保序同构”的集合对的序号是_______。

（写出“保序同构”的集合对的序号）。

【答案】○1○2○3
【解析】条件（i ）说明S 到T 是一个一一映射，条件（ii ）说明函数单调增。

对于○1可拟合函数
xx年题组
1 ．（xx年高考（新课标））已知集合;则中所含元素的个数为（）
A．B．C．D．
【解析】选,,,共10个
2 ．（xx年高考（浙江））设集合A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则A∩()=（）
A．(1,4) B．(3,4) C．(1,3) D．(1,2)
3 ．（xx年高考（陕西））集合,,则（）
A．B．C．D．
【解析】,,,故选C.
4 ．（xx年高考（山东））已知全集,集合,则为（）
A．B．C．D．
5 ．（xx年高考（辽宁））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合
B={2,4,5,6,8},则为（）
A．{5,8} B．{7,9} C．{0,1,3} D．{2,4,6}
【解析】法一：因为全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集合B={2,4,5,6,8},所以,所以为{7,9}.故选B
法二：集合为即为在全集U中去掉集合A和集合B中的元素,所剩的元素形成的集合,由此可快速得到答案,选B
【点评】本题主要考查集合的交集、补集运算,属于容易题.采用解析二能够更快地得到答案.
6 ．（xx年高考（湖南））设集合M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则M∩N=（）
A．{0} B．{0,1} C．{-1,1} D．{-1,0,0}
【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分.先求出,再利用交集定义得出M∩N.
7 ．（xx年高考（广东））(集合)设集合,,则（）
A．B．C．D．
【解析】
8 ．（xx年高考（大纲））已知集合,则（）
A．0或B．0或3 C．1或D．1或3
【解析】因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B. 【命题意图】本试题主要考查了集合的概念和集合的并集运算,集合的关系的运用,元素与集合的关系的综合运用,同时考查了分类讨论思想.
9．（xx年高考（天津））已知集合,集合,且,则__________,___________.
【解析】先化简集合在最简形式，然后由交集可知-1是方程的一根，求得，此时，，则，所以. 10．（xx年高考（四川））设全集,集合,,则
_______.
【解析】∵；∴{a,c，d}
[点评]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误.
11．（xx年高考（上海））若集合,,则=_________ .
【解析】根据集合A ，解得，由，所以.
12．（xx年高考（上海春））已知集合若则______.
【解析】所以
13．（xx年高考（江苏））已知集合,,则____
【复习小结】
高考对集合的考查主要以考查集合的含义、基本关系和基本运算为主．题目简单、易做，大多都是送分题，题型以选择题为主．近几年一些试题在力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现.。