椭圆于双曲线题型分类(元丽丽)
椭圆与双曲线常见题型归纳
(川)设P 是该椭圆上的一个动点，求PBF 1的周长的最大值.椭圆与双曲线常见题型归纳曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0, .3),(0, .3)的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线uuu uuu(I)写出C 的方程；(U)若OA OB ，求k 的值2例2•设F i 、F 2分别是椭圆— y 21的左、右焦点•(I)若P 是该椭圆上的一个动点,4的最大值和最小值；(U)设过定点M(0,2)的直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOB 为锐角 (其中O 为坐标原点)，求直线I 的斜率k 的取值范围2例3.设F 1、F 2分别是椭圆— y 2 1的左、右焦点，B(0, 1) . (I)若P 是该椭圆上的一个动点,4UJU UUUy kx 1与C 交于A, B 两点。
UULT UULU 求 PF PF求PF1 PF2的最大值和最小值；(U )若C为椭圆上异于B 一点，且BF1 CF1，求的值；(川)设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值.例4.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，3,0)(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线I : y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ,且OA OB 2(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
22広例5•已知椭圆 笃 爲(a >b >0)的离心率e —，过点A (0, - b )和B (a , 0)的直线与原点 a b 3一的距离为 —.(1)求椭圆的方程.(2)已知定点E(-1 , 0),若直线y = kx + 2 (k 工0)与椭圆交于2C 、D 两点•问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.2•“中点弦型”例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率e , 3，焦距为2.3(I )求该双曲线方程.(II )是否定存在过点P (1 , 1)的直线I 与该双曲线交于A , B 两点，且点 P 是线段AB 的中点？若存在，请求出直线I 的方程，若不存在，说明理由. 例8•已知椭圆的中心在原点，焦点为 F i （0,2冋,F 2 （0, 2罷）,且离心率e 亠。
圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线 知识点总结 例题习题精讲
课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+= 或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
平面内与两个定点的距离的比(商)值 等于常数的点的轨迹的探究——由椭圆和双曲线的定义想到的
成长应 注重经验 的积 累 ， 经验需要 反思 ．教 学反思 是 教师专 业发展 的重要 内容 ， 同心理 学 家波斯纳 给 出 美
了一个教 师成长 的公 式 ： 师成 长 ＝经验 ＋反思 ． 教 他
在 每 一 １时 间段 到 达 的概 率 都 是一 甲乙 到达 时 ＼ １ 一
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中学数 学杂 志
个正方形 区域 ， 面积 为 Ｓ ＝１ 时 间 Ａ表示 甲乙 两人 ．
２ｌ ０Ｏ年第 １期
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由此 呵以看 到这类 题 目也能 利 用分类 讨 沦的思
思对教 师成 长的重要 性 ． 新 的课程 标 准 ， 的教 学理 念 ， 的教 学 形式 ， 新 新
上 会面与不会向的概率都是 三． 甲乙阳 人到达时 ｉ ＿ ¨
问所在 的时 段有 间 隔时 ， 人 一 不 能 会 俩 ．其 两 定 中 甲乙到达时 问在 同 一时 间段 有 ４种 情 况 ： 乙都 甲
日教学 的点滴 做起 ， 时观察 ， 于反思 ， 结经验 ， 随 勤 总
甲乙到达 时 间存 相 邻两 个 时 问 段有 ６种 情 况 ： 甲在
时 问段 （ ）乙在时 间段 （ ） 甲在时 间段 （ ）乙在时 １ ２， ２ 问段 （ ） 甲在 时 问段 （ ）乙 存 时 问段 （ ） 甲在 时 １， ２ ３， 间段 （ ）乙在 时间 段 （ ） 甲 时间段 （ ）乙在 时 间 ３ ２ ， ３
图２
２中的简便方 法来 解决 呢？
将 ６： ０ ～７： ０ 成 Ｏ Ｏ分
４段 ： Ｏ ～ ６： ５ ６：１ ６： ０ １， ５
高考数学专题二十一椭圆与双曲线
专题二十一椭圆与双曲线一、知识网络二、高考考点1.椭圆与双曲线的定义、标准方程与几何性质；2.有关圆锥曲线的轨迹（或轨迹方程）的探求；3.直线与圆锥曲线的问题：对称问题；最值问题；范围问题等；4.圆锥曲线的探索性问题或应用问题；5.以圆锥曲线为主要内容的综合问题；6.数形结合、等价转化、分类讨论等数学思想方法以及数学学科能力、一般思维能力等基本能力。
三、知识要点(一)椭圆Ⅰ定义与推论1、定义1的的认知设M为椭圆上任意一点，分别为椭圆两焦点，分别为椭圆长轴端点，则有（1）明朗的等量关系：（解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系：，（寻求某些基本量取值范围时建立不等式的基本依据）2、定义2的推论根据椭圆第二定义，设为椭圆上任意一点，分别为椭圆左、右焦点，则有：（d1为点M到左准线l1的距离）（d2为点M到右准线l2的距离）由此导出椭圆的焦点半径公式：Ⅱ标准方程与几何性质1、椭圆的标准方程中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程①中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程②（1）标准方程①、②中的a、b、c具有相同的意义与相同的联系：（2）标准方程①、②统一形式：2、椭圆的几何性质（1）范围：（有界曲线）（2）对称性：关于x轴、y轴及原点对称（两轴一中心，椭圆的共性）（3）顶点与轴长：顶点，长轴2a，短轴2b（由此赋予a、b 名称与几何意义）（4）离心率：刻画椭圆的扁平程度（5）准线：左焦点对应的左准线右焦点对应的右准线椭圆共性：两准线垂直于长轴；两准线之间的距离为；中心到准线的距离为；焦点到相应准线的距离为 .Ⅲ挖掘与引申1、具特殊联系的椭圆的方程（1）共焦距的椭圆的方程且（2）同离心率的椭圆的方程且2、弦长公式：设斜率为k的直线l与椭圆交于不同两点，则；或。
（二）双曲线Ⅰ、定义与推论1．定义1的认知设M为双曲线上任意一点，分别为双曲线两焦点，分别为双曲线实轴端点，则有：（1）明朗的等量关系：（解决双焦点半径问题的首选公式）（2）隐蔽的不等关系：，（寻求某些基本量的取值范围时建立不等式的依据）2．定义2的推论设为双曲线上任意上点，分别为双曲线左、右焦点，则有，其中，为焦点到相应准线l i的距离推论：焦点半径公式当点M在双曲线右支上时，；当点M在双曲线左支上时，。
圆锥曲线--椭圆_双曲线、抛物线的经典题型和相关练习
FA P HBQ专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a by a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。
双曲线常见题型与典型方法归纳(修改版 附详解答案)
双曲线常见题型与典型方法归纳考点一 双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点21,F F 距离的差的绝对值等于|)|2(221F F a a <的点的轨迹。
（1）距离之差的绝对值.（2）当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是同一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 【典例】到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹（ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数)1(>e 的动点的轨迹。
2双曲线的标准方程及几何性质标准方程)0,0(12222>>=-b a by a x )0,0(12222>>=-b a bx a y 图形性 质焦点 F 1（-)0,c ，F 2（)0,c F 1（),0c -，F 2（),c o焦距 | F 1F 2|=2c 222c b a =+范围 R y a x ∈≥,|| R x a y ∈≥,||对称 关于x 轴，y 轴和原点对称顶点 （-a ，0）。
（a ，0） （0，-a ）（0，a ）轴 实轴长2a ，虚轴长2b离心率)1(>=e ace （离心率越大，开口越大） 准线ca x 2±=ca y 2±=通径22b d a=22b d a=渐近线x ab y ±= x bay ±=注意：等轴双曲线（1）定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线 （2）方程：222x y a -=或222y x a -= （3）离心率e =渐近线y x =±（4）方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为22(0)x y λλ-=≠ 【典例】 已知等轴双曲线经过点1)-，求此双曲线方程 3双曲线中常用结论（1）两准线间的距离: 22a c （2）焦点到渐近线的距离为b （3）通径的长是ab 22考点二 双曲线标准方程一 求双曲线标准方程的方法（1）定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a b c 、、即可求得方程； （2）待定系数法，其步骤是①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程； ③定值：根据题目条件确定相关的系数。
椭圆和双曲线练习题及答案解析
第二章圆锥曲线与方程一、选择题1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：选D 根据椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝2×5＝10，故选D.2．已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是( )A ．23B ．6C ．43D ．12解析：选C 由于△ABC 的周长与焦点有关，设另一焦点为F ，利用椭圆的定义，|BA |＋|BF |＝23，|CA |＋|CF |＝23，便可求得△ABC 的周长为4 3.3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 利用椭圆定义．若P 点轨迹是椭圆，则|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)，故甲是乙的必要条件． 反过来，若|PA |＋|PB |＝2a (a ＞0，常数)是不能推出P 点轨迹是椭圆的．这是因为：仅当2a ＞|AB |时，P 点轨迹才是椭圆；而当2a ＝|AB |时，P 点轨迹是线段AB ；当2a ＜|AB |时，P 点无轨迹，故甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．4．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：选D 由a 2＞a ＋6＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －6＞0，a ＋6＞0，所以⎩⎨⎧a ＜－2或a ＞3，a ＞－6，，所以a ＞3或－6＜a ＜－2.5．已知P 为椭圆C 上一点，F 1，F 2为椭圆的焦点，且|F 1F 2|＝23，若|PF 1|与|PF 2|的等差中项为|F 1F 2|，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 212＋y 29＝1B.x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1 C.x 29＋y 212＝1D.x 248＋y 245＝1或x 245＋y 248＝1 解析：选B 由已知2c ＝|F 1F 2|＝23，得c ＝ 3. 由2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝43，得a ＝2 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝9.故椭圆C 的标准方程是x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.6．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．7．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， 又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3. 又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.9．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32B.22 C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|.又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23，即a a ＋c ＝23，∴e ＝c a ＝12.10．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A.22B.33C.12D.13解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P －c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ，又在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a ，根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ，从而可得e ＝c a ＝33.法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中，|PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c .所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33.11．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24. 12．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．13．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12B.32C.72D ．5 解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当P 在M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.14．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D. 15．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知，2a ＝(2＋2)2＋32－(2－2)2＋32＝5－3＝2， ∴a ＝1.又c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 16．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1B.x 24－y 22＝1C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32，∴c 2a 2＝32，则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．17．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8B ．x 2－y 2＝4C ．y 2－x 2＝8 D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)，∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.18．(广东高考)若实数k 满足0＜k ＜5 ，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线 x 216－k －y 25＝1的( )A ．实半轴长相等 B. 虚半轴长相等C ．离心率相等 D. 焦距相等解析：选D 由0＜k ＜5易知两曲线均为双曲线，且焦点都在x 轴上，由于16＋5－k ＝16－k ＋5，所以两曲线的焦距相等．19．双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k4. 又e ∈(1,2)，∴1＜1－k4＜4，∴－12＜k ＜0.20．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1C.3x 225－3y 2100＝1D.3x 2100－3y 225＝1 解析：选A 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝bax 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a ＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2＋b 2＝c 2＝25，解得a 2＝5，b 2＝20，故双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题21．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是________．解析：当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，c 2＝m －4，又2c ＝2，∴c ＝1.∴m －4＝1，m ＝5. 当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，∴c 2＝4－m ＝1，∴m ＝3. 答案：3或522．已知椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点，则椭圆C 的标准方程为____________． 解析：法一：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.法二：依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋9b 2＝1，a 2－b 2＝4，解得b 2＝12或b 2＝－3(舍去)，从而a 2＝16.所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝123．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆的标准方程为__________．解析：如图，当P 在y 轴上时△PF 1F 2的面积最大，∴12×8b ＝12，∴b ＝3.又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.答案：x 225＋y 29＝124．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________． 解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1.答案：x 220＋y 225＝125．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m ＝12⇒m ＝163.综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或16326．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过P (－5,4)，则椭圆的方程为__________． 解析：∵e ＝c a ＝55，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，∴5a 2－5b 2＝a 2即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)，∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1.解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝127．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：1628．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝129．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a .两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝130．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________．解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7，又焦点在x 轴上，则焦点坐标为(±7，0)． 答案：(±7，0)31．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a ，即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：232．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x－5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B |＝12×(5－3)×3215＝3215.答案：3215.三、解答题33．设F 1，F 到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．解：由点⎝⎛⎭⎫3，32在椭圆上，得(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．34．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2||F 1F 2＝||PF 1＋||PF 2. (1)求此椭圆的方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得||F 1F 2＝2，∴||PF 1＋||PF 2＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22－2||PF 1||PF 2cos 120°，即4＝()||PF 1＋||PF 22－||PF 1||PF 2，∴4＝(2a )2－||PF 1||PF 2＝16－||PF 1||PF 2，∴||PF 1||PF 2＝12，∴S △PF 1F 2＝12||PF 1||PF 2sin 120°＝12×12×32＝3 3.35．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12，从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12.由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1.36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a22，所以y 2＝ax －x 2.①又P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0，∵x ≠a ，x ≠0，∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1.即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，1. 37．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5.设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1.∵点P ⎝⎛⎭⎫－52，－6在双曲线上，∴⎝⎛⎭⎫－522a 2－(－6)225－a2＝1.化简，得4a 4－129a 2＋125＝0， 解得a 2＝1或a 2＝1254.又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1. 38．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C .(1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1.∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ，∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为x 2－y 23＝1(x ＞1)． 39.已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程．解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)．因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.40．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33.(1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎨⎧a 2c ＝33，ca ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2.所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1，得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5.故m ＝±1.。
椭圆、双曲线
0<e<1
e>1
e=1
标准方程(画图标出所有量）
椭圆
x2 y2 焦 点x轴 上 2 2 1(a b 0) a b y2 x2 焦 点y轴 上 2 2 1(a b 0) a b
双曲线
x2 y2 焦 点x轴 上 2 2 1(a , b 0) a b y2 x2 焦 点y轴 上 2 2 1(a , b 0) a b
正 西 、 正 北 两 个 观 测同 点时 听 到 了 一 声 巨 响 ,正 东 观 测 点 听 到
题型四：特殊的最值问题
内 部, 点P为 椭 圆 上 的 点 ,求 ：
体会第一定义与 第二定义的运用
18.椭 圆5 x 2 9 y 2 45的 左 右 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点A(1,1)在 椭 圆 3 | PF2 | 的 最 小 值 . 2 2 y 19.已 知 点 A(3,2)、F ( 2,0), 在 双 曲 线 x2 1上 求 一 点 P, 3 1 使 | PA | | PF | 的 值 最 小 . 2 (1) | PA | | PF1 | 的 最 小 值(； 2) | PA |
(看x2，y2哪个分母大)
a b c (a b 0, a c )
2 2 2
(看x2，y2哪个系数正)
c a b
2 2
2
一个闭合图形
(c a,c b,a,b 无大小关系 ) |PF1|－|PF2|=2a， 为靠近F2的一个分支 |PF2|－|PF1|=2a， 为靠近F1的一个分支
a c PF a c (1)若 PF a c , P不 存 在 ( 2)若 PF a c , P唯 一 (3)若a c PF a c , P有2个 ( 4)若 PF a c , P唯 一 (5)若 PF a c , P不 存 在
秒杀题型 焦点三角形(椭圆与双曲线)
2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题之秒杀题型三：椭圆、双曲线焦点三角形椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。
秒杀题型一：性质：1.周长为定值：2()a c +。
2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。
类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。
)。
1.(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C 1323=+m y x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是()A.(][)+∞,91,0 B.(][)+∞,93,0 C.(][)+∞,41,0 D.(][)+∞,43,0【解析】：当03m <<时,椭圆的焦点在x 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=,则tan 60ab≥= ,即≥.得01m <≤;当3m >时,椭圆的焦点在y 轴上,要使C 上存在点M 满足120AMB ∠= ,则tan 60ab ≥= ,≥,得9m ≥,故m 的取值范围为(][)+∞,91,0 ,选A.秒杀题型二：3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。
1.(高考题)已知1F ,2F 是椭圆1:2222=+by a x C )0(>>b a 的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9,则b =.【解析】：由椭圆焦点三角形面积公式得：94tanb 22==b π，3=∴b 。
〖母题1〗已知12,F F 是椭圆22195x y +=的焦点,点P 在椭圆上且123F PF π∠=,求12F PF ∆的面积.【解析】：由椭圆定义及余弦定理得：533。
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型(学生版)
椭圆与双曲线12个常考二级结论与模型本份讲义以选填中档题和压轴题为主近4年考情(主要以新高考为主)考题示例考点分析关联考点2023年新高考I卷，第16题求双曲线离心率，焦点三角形+几何性质双曲线的焦点三角形问题2023年新高考II卷，第5题椭圆的焦点三角形面积比椭圆的焦点三角形面积2022年新高考I卷，第16题椭圆焦点弦公式，双焦点三角形模型椭圆的定义，离心率，垂直平分线性质2022年新高考II卷，第16题椭圆中点弦问题(点差法)由弦长关系求直线方程2021年新高考I卷，第5题椭圆中的最值问题由基本不等式求最值，椭圆的定义2020年新高考，第22题平移+齐次化(手电筒模型)由斜率积为定值求直角过定点2022年甲卷(理)，第10题椭圆第三定义(点差法)斜率积为定值求离心率2023乙卷·理11·文12题点差法，验证双曲线弦中点是否存在点差法求直线斜率，判断直线与双曲线是否有2个交点【题型1】点差法(弦中点模型)【题型2】点差法(第三定义)【题型3】双曲线焦点三角形内切圆【题型4】焦点弦长与焦半径公式【题型5】焦点弦被焦点分为定比【题型6】 焦点三角形+几何性质求离心率【题型7】 利用对称性【题型8】渐近线的垂线模型【题型9】双焦点三角形倒边模型【题型10】利用邻补角余弦值为相反数构造方程(2次余弦)【题型11】取值范围问题【题型12】椭圆与双曲线共焦点问题2023·新高考1卷T 161已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2．点A 在C 上，点B 在y 轴上，F 1A ⊥F 1B ,F 2A =-23F 2B ，则C 的离心率为．2022·新高考2卷16题2已知直线l 与椭圆x 26+y 23=1在第一象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且|MA |=|NB |,|MN |=23，则l 的方程为．2022年新高考I 卷第16题3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，C 的上顶点为A ，两个焦点为F 1，F 2，离心率为12．过F 1且垂直于AF 2的直线与C 交于D ，E 两点，|DE |=6，则△ADE 的周长是．4(2023·全国·高考真题)已知椭圆C :x 23+y 2=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线y =x +m 与C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 面积是△F 2AB 面积的2倍，则m =( )．A.23B.23C.-23D.-232022年全国甲卷(理)T 10--第三定义5椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为()A.32B.22C.12D.132023全国乙卷·理11·文126设A ，B 为双曲线x 2-y 29=1上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是()A.1,1B.-1,2C.1,3D.-1,-47(2021·全国·高考真题)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则MF 1 ⋅MF 2 的最大值为()A.13B.12C.9D.6【题型1】点差法(弦中点模型)中点弦模型(圆锥曲线中的垂径定理)k AB ⋅k OM =e 2-1k AB ⋅k OM =-1½椭圆垂径定理(中点弦模型)：已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上任意2点，且弦AB 不平行x 轴，M 为线段AB 中点，则有k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则M x 1+x 22,y 1+y 22，k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆上，代入A ，B 坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a2=e 2-1【思考】(1)椭圆焦点在y 轴上时，结论是否仍然成立？；(2)在双曲线中是否有类似的性质？(1)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则Mx 1+x 22,y 1+y 22 ，仍有k OM =y 1+y 2x 1+x 2，k AB =y 1-y 2x 1-x 2，k AB ⋅k OM =y 12-y 22x 12-x 22∵A ，B 在椭圆x 2b 2+y 2a2=1上，代入A ，B 坐标得①:x 12b 2+y 12a 2=1②：x 22b 2+y 22a2=1两式相减得：x 12-x 22b 2+y 12-y 22a 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-a 2b 2∴k AB ⋅k OM =-a 2b2(2)∵A ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入A ，B 坐标得x 12a 2-y 12b 2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2可以看到，这一等式建立了二次曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间关系式．也就是说，已知弦的中点，可求弦的斜率；已知斜率，可求弦的中点坐标．同时也不难得出这样的经验，当题目问题涉及到弦的斜率与弦的中点时，就可以考虑“点差法”．诸如求中点弦的方程，弦中点的轨迹，垂直平分线等等，这些都是较为常见题型．注：抛物线中同样存在类似性质：k AB ⋅y M =p2024·江西鹰潭·一模1已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点为F ，如图，过点F 作倾斜角为60°的直线与椭圆E 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若5FM =OF (O 为坐标原点)，则椭圆E 的离心率为()A.33B.63C.223D.2772024·湖南邵阳·二模1已知直线l :x -2y -2=0与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点.若弦AB 被直线m :x +2y =0平分，则椭圆C 的离心率为()A.12B.24C.32D.542024·宁波十校·3月适应性考试1已知双曲线E ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 ，斜率为-19的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P 的坐标为-1,1 ，直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D .若直线CD 的斜率为-19，则E的离心率为.2024·福建龙岩·一模1斜率为-1的直线与椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)交于A ,B 两点，点T 是椭圆上的一点，且满足TA ⊥TB ，点P ,Q 分别是△OAT ,△OBT 的重心，点R 是△TAB 的外心.记直线OP ,OQ ,OR 的斜率分别为k 1,k 2,k 3，若k 1k 2k 3=-18，则椭圆C 的离心率为.2024·浙江温州·一模1斜率为1的直线与双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)交于两点A ,B ，点C 是曲线E 上的一点，满足AC ⊥BC ，△OAC 和△OBC 的重心分别为P ,Q ，△ABC 的外心为R ，记直线OP ，OQ ，OR 的斜率为k 1，k 2，k 3，若k 1k 2k 3=-8，则双曲线E 的离心率为.2024·吉林白山·一模1不与坐标轴垂直的直线l 过点N x 0,0 ，x 0≠0，椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上存在两点A ,B 关于l 对称，线段AB 的中点M 的坐标为x 1,y 1 ．若x 1=2x 0，则C 的离心率为()A.33B.12C.22D.322024·浙江省强基联盟联考1(多选)已知抛物线E :y 2=4x 上的两个不同的点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 关于直线x =ky +4对称，直线AB 与x 轴交于点C x0,0 ，下列说法正确的是()A.E 的焦点坐标为1,0B.x +xC.x 1x 2是定值D.x 0∈-2,2【题型2】点差法(第三定义)第三定义k PA ⋅k PB =-1k PA ⋅k PB =e 2-1½点差法是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点A 1(-a ,0)，A 2(a ,0)的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a 2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a 2．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对称的点A (m ，n )，B (-m ，-n )的斜率乘积等于常数e 2-1的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于-1小于0时为椭圆，此时e 2-1=-b 2a2；当常数大于0时为双曲线，此时e 2-1=b 2a2．【证明】A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上的一组对称点，P 为椭圆上任意点，则有k PA ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1证明(点差法)：设P x1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22∵P ，A 在椭圆上，代入坐标得x 12a 2+y 12b2=1①x 22a 2+y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a 2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=-b 2a2=e 2-1法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的k PA ⋅k PB =k OM ⋅k PB =-b 2a2=e 2-1【思考1】在双曲线中是否有类似的性质？设P x 1,y 1 ，A (x 2,y 2)，B (-x 2,-y 2)，k PA =y 1-y 2x 1-x 2，k PB =y 1+y 2x 1+x 2，k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2-y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2=e 2-1法二：构造中位线设P x ,y ，B (x ,y )∵P ，B 在双曲线x 2a 2-y 2b2=1上，代入双曲线方程得x 12a 2-y 12b2=1①x 22a 2-y 22b2=1②两式相减得：x 12-x 22a 2=y 12-y 22b 2，整理得y 12-y 22x 12-x 22=b 2a2∴k PA ⋅k PB =k PB ⋅k OM =b 2a2=e 2-1同理可得，当焦点在y 轴上时，椭圆有：k PA ⋅k PB =-a 2b 2；双曲线有：k PA ⋅k PB =a 2b21已知M 为双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，A 为双曲线右支上一点，若点A 关于双曲线中心O 的对称点为B ，设直线MA 、MB 的倾斜角分别为α、β，且tan α⋅tan β=14，则双曲线的离心率为()A.5B.3 C.62D.522已知双曲线C 1:x 220-y 210=1的左､右顶点分别为A ,B ，抛物线C 2:y 2=4x 与双曲线C 1交于C ,D 两点，记直线AC ，BD 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1k 2为.3已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-2,0 ，F 22,0 ，A 为椭圆C 的左顶点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 在第一、二象限的交点分别为M ，N ，若直线AM ，AN 的斜率之积为13，则椭圆C 的标准方程为()A.x 23+y 2=1B.x 26+y 22=1C.x 29+y 25=1D.x 28+y 24=12024·浙江绍兴·二模1已知点A ，B ，C 都在双曲线Γ：x 2-y 2=1a >0,b >0 上，且点A ，B 关于原点对称，∠CAB =90°.过A 作垂直于x 轴的直线分别交Γ，BC 于点M ，N .若AN =3AM，则双曲线Γ的离心率是()A.2B.3C.2D.232024届·河南天一大联考(六)·T 141已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的右焦点为F ，左､右顶点分别为A 1、A 2，点M 在C 上运动(与A 1、A 2枃不重合)，直线MA 2交直线x =54a 于点N ，若FN ⋅MA 1 =0恒成立，则C 的离心率为.2024·江苏镇江·开学考试1已知过坐标原点O 且异于坐标轴的直线交椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)于P ,M 两点，Q 为OP 中点，过Q 作x 轴垂线，垂足为B ，直线MB 交椭圆于另一点N ，直线PM ,PN 的斜率分别为k 1,k 2，若k 1k 2=-12，则椭圆离心率为()A.12B.33C.32D.632024届·湖北省腾云联盟高三联考1已知A ，B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点，P 是双曲线x 2a 2-y 2b2=1在第一象限上的一点，直线PA ，PB 分别交椭圆于另外的点M ，N ．若直线MN 过椭圆的右焦点F ，且tan ∠AMN =3，则椭圆的离心率为．江苏省盐城中学2023届高三三模数学试题2已知A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 与双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan ∠AMB =-3，则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.233【题型3】双曲线焦点三角形内切圆一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线x=±a上证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设ΔPF1F2的内切圆的圆心I在三边上的投影分别为B，E，D因为|PD|=|PE|,|F1D|=|F1B|,|F2B|=|F2E|,由双曲线定义，可知：2a=|PF1|-|PF2|=|PD|+|F1D|-(PE|+|F2E|)=|F1D|-|F2E|=|F1B|-|F2B|又因为|F1B|+|F2B|=2c，所以|F1B|=a+c=|F1O|+|OB|，所以|OB|=a。
(完整版)双曲线题型大全-
双曲线题型一双曲线的定义和几何性质1．设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是A．B．C．D．2．已知双曲线的一条渐近线截椭圆所得弦长为，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3．已知直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．变式：4．已知点为双曲线的左右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（）A．B．C．D．，则双曲线方程为（）A．B．C．D．7．在下列双曲线方程中，表示焦点在y轴上且渐近线方程为的是A．B．C．D．题型二双曲线的离心率问题8．已知点为双曲线右支上一点，点分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是（）A．B．C．D．9．设、是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（为坐标原点）且则的值为（）A．B．2C．D．310．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于（）A．B．C．D．11．设F1，F2是双曲线(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使()·＝0(O为坐标原点)，且|PF1|＝|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．＋1C．D．＋1变式：12．已知、分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于、两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．13．若双曲线的离心率大于，则的取值范围为（）A．B．C．D．今日作业14．若双曲线的渐近线与圆相切，则的渐近线方程为__________．15．设、分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，若，的面积为，且，则该双曲线的离心率为_____________.10．椭圆的离心率为，其右焦点到椭圆外一点的距离为，不过原点．．．．的直线与椭圆相交于，两点，且线段的长度为．（1）求椭圆C的方程；（2）求面积的最大值.参考答案1．A【解析】【分析】由题意画出图形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，求出∠PF2F1和∠F1PF2为直角时|PF1|+|PF2|的值，可得△F1PF2为锐角三角形时|PF1|+|PF2|的取值范围．【详解】△F1PF2为锐角三角形，不妨设P在第一象限，P点在P1与P2之间运动，如图，当P在P1处，∠F1P1F2为=90°，∴S=|F1F2|•|y|=|P1F1|•|P1F2|，由|P1F1|2+|P1F2|2=|F1F2|2，|P1F1|﹣|P1F2|=2，可得|P1F1|•|P1F2|=6，此时|P1F1|+|P1F2|=2，当P在P2处，∠P2F1F2为=90°，x=2，易知y=3，此时|P2F1|+|P2F2|=2|P2F2|+2=8，∴△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（2，8），【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查等价转化思想方法，属于中档题．2．B【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程．与椭圆的方程联立，利用弦长转化求解即可．【详解】双曲线的一条渐近线不妨设为：，则：，可得：一条渐近线截椭圆所得弦长为，可得：，可得，解得．故选：B．【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．属中档题.3．B【解析】【分析】设,则有，利用点差法可得，从而可得结果.因为直线与双曲线交于，两点，且线段的中点的横坐标为，所以，，设,则有，，两式相减可化为，可得，，双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本题主要考查待定系数法求双曲线的方程与离心率及“点差法”的应用，属于难题.对于有弦关中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.4．A【解析】【分析】由特殊角等腰三角形的三边关系以及双曲线的定义可表示出a、c的关系，对关系式化简，通过离心率公式，对关系式变型，解方程求出离心率.【详解】由题意知：，因为等腰三角形的顶角为，所以根据三角形的性质可求出，由双曲线定义可得：，由离心率公式可得：.故选A.【点睛】本题考查双曲线的离心率，求离心率有两种方式，一种是由题目中条件求出参数值，根据离心率公式得离心率，另一种是根据条件求得a、c的齐次式，等号两侧同时除以a或等，构造离心率.5．D【解析】【分析】利用双曲线方程求出实轴与虚轴长，列出方程求解即可．【详解】双曲线﹣=1（m＞0）的虚轴长是实轴长的2倍，可得=，解得m=2，则双曲线的标准方程是：﹣=1．故选：D．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．6．C【解析】【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出、，即可得到双曲线方程.【详解】双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为，可得，即，解得，所求双曲线方程为：.故选：C.【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.7．C【解析】由题意，该双曲线的焦点在轴上，排除A、B项；又方程的渐近线方程为，而方程的渐近线方程为，故选C.8．D【解析】分析：设的内切圆半径为，由，用的边长和表示出等式中的三角形面积，结合双曲线的定义得到与的不等式，可求出离心率取值范围.详解：设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，，，由题意得，故，故，又，所以，双曲线的离心率取值范围是，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的定义、简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的范围.9．B【解析】【分析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.10．D【解析】分析：运用离心率公式和渐近线方程，结合点到直线的距离公式可得的值，再由的关系即可求得的值，然后求得焦距详解：双曲线的离心率为双曲线的渐近线方程为不妨设，即，则焦点到渐近线的距离为，，解得则焦距为故选点睛：本题考查了双曲线的几何性质，根据题意运用点到线的距离公式进行求解，本题较为基础。
椭圆与双曲线常见题型总结(附答案)
由直线和抛物线交于两点，得 即
由韦达定理，得： 。则线段AB的中点为 。
线段的垂直平分线方程为：
令y=0,得 ，则 为正三角形， 到直线AB的距离d为 。
解得 满足 式此时 。
思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的 倍，将k确定，进而求出 的坐标。
，则椭圆方程为： 将点C 代入方程，得 ，
椭圆E的方程为 ( ) 直线PC与直线QC关于直线 对称，
设直线PC的斜率为 ，则直线QC的斜率为 ，从而直线PC的方程为：
，即 ，由 消y，整理得：
是方程的一个根，
即 同理可得：
＝
＝ ＝
则直线PQ的斜率为定值 。
方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线 对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用 是方程
老师支招：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为： ，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。
例题3、已知椭圆C： 的离心率为 ，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（ ）求椭圆的方程；
（ ）若直线 与x轴交于点T,点P为直线 上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。
分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A1、A2的坐标都知道，可以设直线PA1、PA2的方程，直线PA1和椭圆交点是A1(-2,0)和M，通过韦达定理，可以求出点M的坐标，同理可以求出点N的坐标。动点P在直线 上，相当于知道了点P的横坐标了，由直线PA1、PA2的方程可以求出P点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M、N点的坐标，求出直线MN的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。
椭圆和双曲线的类似的基本题型prt
，所以所求方程为：
解法二：由题知椭圆 的焦点坐标为 ，而欲求椭圆和它有相同的焦点，故可设欲求椭圆的标准方程为： ，则有：
，所以所求方程为：
②求过点 且与双曲线 有相同的焦点的椭圆的标准方程
解法一：由题可设欲求双曲线的标准方程为： ，则有：
，所以欲求双曲线的标准方程为：
6、①（椭圆）已知椭圆 内有一点 ， 为右焦点，椭圆上一点 ，使得 的值最小，求 的坐标
解：由题可知椭圆的离心率为 ，如右图1：
有：
所以： ，故最小值
是当 三点共线（见图2），并且当点 在 之
间时取得。此时点 的纵坐标和点 的纵坐标相
同为 ，将 代入椭圆方程可得： ，舍去负值，
得点 坐标为 即为所求。
，可知判别式
所以，所求直线 与双曲线有两个不同的交点，满足题意，即⑤式为所求。
注：以上两题也可以用常规解法来做，椭圆和双曲线的解法也类似，但是计算过程相对麻烦许多，而且道理也简单易懂，在此略去不写了。这种解法由于是将点的坐标设而不求，代入方程作差，利用中点坐标公式巧妙的求出直线斜率，从而简捷的解决问题。这种方法称为“点差法”。但是这种方法对于椭圆只需要验证题目中给出的中点在椭圆内部就可以保证所求直线为所求。而对于双曲线，则要在求出直线方程后与双曲线方程联立，用判别式来判断所求直线是否与双曲线有两个不同的交点。如果有则是所求直线，若没有，则所求方程不满足。这些验证是必要的，尤其是对双曲线，因为有时用这种方法得到的直线和双曲线根本就没有交点。这里就不举例了。
②（双曲线）已知双曲线 ，有一点 ， 为右焦点，双曲线上一点 ，使得 的值最小，求 的坐标
解：由题可知双曲线的离心率为 ，如右图1：
有：
高中数学学习中的椭圆与双曲线应用题
高中数学学习中的椭圆与双曲线应用题椭圆和双曲线是高中数学中的重要内容，它们在各个领域中都有广泛的应用。
椭圆和双曲线的特性使得它们能够描述一些重要的现象和问题，例如天体运动、抛物线反射成像、电磁波传播等等。
本文将以高中数学学习中的椭圆与双曲线应用题为主题，介绍一些常见的应用题解法及相关原理。
一、椭圆的应用题1. 玩具狗轮廓问题某工厂生产木材玩具狗，狗的轮廓可以用椭圆来描述。
已知椭圆的长轴长为16厘米，短轴长为12厘米。
现在需要计算该狗的轮廓内部的面积。
根据椭圆的面积公式S=πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，代入数据可得：S=π*8*6=48π≈150.8平方厘米。
所以该玩具狗的轮廓内部的面积约为150.8平方厘米。
2. 椭圆轨道上的行星运动假设行星的轨道是一个椭圆，行星离太阳的最近距离为147千米，最远距离为152千米，现在需要计算行星离太阳的平均距离。
根据椭圆的定义，平均距离等于长轴的长度。
长轴的长度为(147+152)/2=149.5千米。
所以行星离太阳的平均距离约为149.5千米。
二、双曲线的应用题1. 椭圆与双曲线拱桥设计某地拟建一座拱桥，为了保证桥的稳固性，需要进行桥面的设计。
在设计中，采用了双曲线曲线形状来保证桥面受力均匀。
已知拱线的方程为x^2/9-y^2/4=1，需要计算拱桥的高点坐标及宽度。
由双曲线的标准方程可知，a=3，b=2。
根据双曲线方程可解得，拱桥的高点坐标为(3,0)和(-3,0)，拱桥的宽度为2a=6。
2. 双曲线镜的应用双曲线镜可以用来聚焦光线，因为它们具有能够使入射光线聚焦的特性。
假设双曲线镜的焦距为15厘米，现在需要计算物距为30厘米时，像的位置。
根据双曲线镜成像公式1/f=1/v-1/u，其中f是焦距，v是像距，u是物距。
代入数据可得1/15=1/v-1/30，解得v=20厘米。
所以当物距为30厘米时，像的位置为20厘米处。
三、小结椭圆和双曲线在高中数学学习中的应用题中起到了重要的作用。
圆锥曲线与方程-椭圆与双曲线(11大重点题型)高二数学(苏教版2019选择性必修第一册)
【答案】D
即
【 解 析 】 由题 意知 ， = 2， =
3， = 1，
15
3
=
1
2
由 椭圆 的定 义知， 1 + 2 = 2 = 4 ， 1 2 = 2 = 2 ， 不 妨 取
∴ △ 1 2 的 周 长 为 1 + 2 + 1 2 = 4 + 2 = 6， 即A
5
4
, 2 = 2 + 2，
∴ b ＝ 6 ，c＝ 10，a＝ 8，
2
∴ 标 准 方 程为 −
64
2
36
= 1或
2
64
−
2
36
= 1．
3
2
9
由 = 且 a ＝3， ∴ = 2 ．
2
∴ 所 求 双 曲线 的标 准 方程 为 9
2
9
2
∴ 标 准 方 程为 9
−
81
4
= 1；
−
（ 3 ） 设与 双曲 线
3
A．6
B．12
+
2
9
= 1 上 一点 ，椭 圆的 左、 右焦 点分 别为 1 、2 ， 且
）
C．
9 2
2
【答案】C
【解析】由椭圆
2
25
D．2 2
故 △1 2 =
2
25
+
2
9
= 1，
=
得 = 5， = 3， = 4．
×
27
2
×
故选：C．
设 1 = ， 2 = ，
（
A．
）
3
2
B．
椭圆与双曲线常见题型归纳
椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。
（Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥，求k 的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±．例2．设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得2k -<<2k <<例3． 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.例3．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ==，所以())12,F F ,设(),P x y ,则())2212,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值 1（Ⅱ）设C （0x 0，y），)1,0(-B ()10F由11CF BF λ=得λλλ1,)1(300-=-=y x ，又142020=+y x 所以有0762=++λλ解得 )01(7舍去>=-=λλ（Ⅲ）因为|P 1F |＋|PB|＝4－|PF 2|＋|PB|≤4＋|BF 2|∴1PBF ∆周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．例4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点3 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用(三)
例5．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末）
5．已知椭圆 ： （ ）与双曲线 ： （ ）有相同的焦点 、 ，椭圆 的离心率为 ，双曲线 的离心率为 ，点 为椭圆 与双曲线 的第一象限的交点，且 ，则 取最大值时 的值为___________________.
（八）求 （ 为正常数）型最值问题
④求 （ 为正常数）型最值问题．
解题方法：先由结论4或结论5得出 的等量关系式，将问题转化为二元条件最值问题，若求 （ 为正常数）型最值，一般可考虑柯西不等式、三角换元或常值代换等方法处理．
上节中我们已经研究了类型（五），现在我们继续研究题型（六）～（八）及其解法．
（六）求椭圆、双曲线离心率之积的取值范围或最值问题
则 ， ，所以 ， ， ，
，整理得： ，即 ．
【结论6】已知点 是椭圆 与双曲线 共同的焦点，点 是椭圆 与双曲线 的一个公共点，则椭圆 与双曲线 在点 处的切线相互垂直．
证明：椭圆 在点 处的切线方程为 ，该切线的斜率为 ，
双曲线 在点 处的切线 ，该切线的斜率为 ， ；又由结论1得 ，
则椭圆 与双曲线 在点 处的切线相互垂直．
【强化训练】
一、单选题
（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）
一、常用结论
【结论1】已知点 是椭圆 与双曲线 共同的焦点， 分别为 的离心率，点 是 与 的一个公共点，则 ．
证明：由已知得 消去 得 ，
又 ，因此 ．
又 ．
【结论2】已知点 是椭圆 与双曲线 共同的焦点， 分别为 的离心率，点 是 与 的一个公共点， ，则 ．
证明：由椭圆与双曲线的定义得 两式分别平方再相减得 ．
专题17 椭圆与双曲线共焦点问题 微点3 椭圆与双曲线共焦点常用结论及其应用（三）
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椭圆与双曲线常考题型
总结人：元丽丽
题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义：
（1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用
（1）寻找符合条件的等量关系; （2）等价转换，数形结合.
【例1】动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,求圆心M 的轨迹方程.
【例2】方程表示的曲线是
题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由22,y x 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上； 2、双曲线：由22,y x 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向.
【例1】已知方程1212
2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 .
【例2】k 为何值时,方程
1592
2=---k
y k x 的曲线： (1)是椭圆;(2)是双曲线.
题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、椭圆焦点三角形面积2
tan
2α
b S = ；双曲线焦点三角形面积2
cot
2α
b S =；
2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解；
3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用.
【例1】已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且
，
．求该双曲线的标准方程.
题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法
1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值；
2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围；
3、注重数形结合思想不等式解法.
【例1】已知1F 、2F 是双曲线122
22=-b
y a x （0,0>>b a ）的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，
若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）
A. 324+
B. 13-
C. 2
1
3+ D. 13+
【例2】双曲线22
221x y a b
==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲
线离心率的取值范围为（ ） A. (1,3) B.(]1,3
C.(3,+∞)
D.[)3,+∞
【例3】椭圆G ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两焦点为12(,0),(,0)F c F c -，椭圆上存在
点M 使120FM F M ⋅=. 求椭圆离心率e 的取值范围.
【例4】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） （A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞
题型五：点、直线与圆锥的位置关系判断
1、点与椭圆的位置关系
（1）点在椭圆内⇔122
22<+b y a x
（2）点在椭圆上⇔122
22=+b y a x
（3）点在椭圆外⇔122
22>+b
y a x
2、直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题： （1）方法一：（代数法）
∆>0⇔相交
∆=0⇔相切 （需要注意二次项系数为0的情况） ∆<0⇔相离
（2）方法二：（几何法）
【例1】求证：不论m 取何值时，直线01:=+--m y mx l 与椭圆19
162
2=+
y x 总有交点.
【例2】（1）过双曲线194:22=-y x C 的左焦点作倾斜角为6
π
的直线l 与双曲线C 的交点情况是（ ）
A.没有交点
B.只有一个交点
C.有两个交点且都在左支上
D.有两个交点且分别在左、右两支上 （2）①直线x y l 2:=和双曲线422=-y x 的交点个数为 ；
②直线12
1
-:+=x y l 和双曲线422=-y x 的交点个数为 .
3、弦长公式： =AB ()()
[]
212
2
1
2
212411x x x x k x x k -++=-+
=AB ()[]
212
212
21241111y y y y k y y k -+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-+
【例1】椭圆两顶点)01(),01(，，B A -过焦点)10(，F 的直线l 与椭圆交于CD 两点.当22
3
=CD 时，
求l 的方程.
4、圆锥曲线的中点弦问题： （1）韦达定理： （2）点差法：
①带点进圆锥曲线方程，做差化简； ②得到中点坐标比值与直线斜率的等式关系.
【例1】双曲线4422=-y x 的弦AB 被点)1,3(-M 平分,求直线AB 的方程.
【例2】已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆与直线L:x+y=1交于A,B 两点，C 是AB 的中点，若|AB|=22，O 为坐标原点，OC 的斜率为2
2
，求椭圆的方程.
题型六：动点轨迹方程：
1、求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；
2、求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立
之间的关系
；
【例1】如已知动点P 到定点F(1,0)和直线的距离之和等于4，求P 的轨迹方程．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数.
【例2】如线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）
，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x
轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 .
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程. 【例3】由动点P 向圆
作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨
迹方程为 .
【例4】点M与点F(4,0)的距离比它到直线的距离小于1，则点M的轨迹方程是_______
【例5】一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，则动圆圆心的轨迹为 .
(4)代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程.
【例6】如动点P是抛物线上任一点，定点为,点M分所成的比为2，则M的轨迹方程为__________.
(5)参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）.
【例7】过抛物线的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程是 .。