广东省中山市普通高中学校高三数学4月月考模拟试题5

2018高考高三数学4月月考模拟试题05
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

(1)cos300o
的值是
(A)
12 (B)1
2
-
(D)(2)若复数Z R a i
i
a ∈-+=(213，i 是虚数单位）是纯虚数，则Z 的值为
(A)2 (B)3 (C)i 3 (D)i 2 (3)已知程序框图如下，则输出的i 的值是
(A)10 (B)11 (C)12 (D)9
(4)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
(A)6 (B)5.5
(C) 5 (D) 4.5
(5)在等差数列{}n a 中，135792()3()48a a a a a ++++=，则此数列的前10项的和10S =
（A ）10 （B ）20 （C ）40 （D ）80
(6)已知向量(cos ,2),(sin ,1),//a b a b αα=-=r r r r 则tan()4π
α-等于
（A ）3 （B ）3- （C ）13 （D ）1
3
-
(7)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
(8)双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为 （A ）
38 （B ）83 （C ）316 （D ）16
3 (9)设z x y =-,变量x 和y 满足条件30
20x y x y +-⎧⎨-⎩
≥≥,则z 的最小值是
（A ）1 （B ）-1 （C ）3 （D ）3-
正视图 侧视图 俯视图 1 1 1 2 3
(10)如右图所示，三棱锥P ABC -的高8,3,30,PO AC BC ACB M N ===∠=︒、分别在BC
和PO 上，且,2((0,3])CM x PN x x ==∈，下面的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC
-的体积V 与x 的变化关系，其中正确的是
(11)已知球的直径SC ＝4，A 、B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S —ABC 的体积为 （A ）3 3 （B ）2 3 （C ） 3 （D ）1 (12) 各项互不相等的有限正项数列
{}
n a ,集合{}
1,2,,...n
A a a a =,集合
}{
(,),,,1,i j i j i j B a a a A a A a a A i j n =∈∈-∈≤≤ ,则集合B 中的元素至多有
(Ａ)2
)1(-n n 个 (Ｂ)121
--n 个 (Ｃ)2)1)(2(-+n n 个 (Ｄ)1-n 个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)设全集U Z =,=A {}
13)3(<-x x x ，=B {
}
)1(log 2-=
x y x ，则A B =I
(14) 下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损.则甲的
平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_____.
甲 8 9 4 3 0 1 2 3 2 6 5 乙 P
C
• N
O
B
A
• M
E D C A
(15)已知,a b 都是正实数， 函数2ax
y ae b =+的图象过(0,1)点，则
11
a b
+的最小值是 .
(16) 已知数列{}n a 的前n 项和122
++=n n S n ，则
=⨯++⨯+⨯=
+1
32211
11n n n a a a a a a T ΛΛ .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(17) （本小题满分12分）
已知函数21()cos cos 2
f x x x x =--，.x R ∈ （Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别,,,a b c 且3c =,()0f C =，若sin()2sin ,A C A +=求,a b 的值．
(18) （本小题满分12分）
如图所示，ABC ∆和BCE ∆是边长为2的正三角形，
且平面⊥ABC 平面BCE ，⊥AD 平面ABC ，32=AD . （Ⅰ）证明：BC DE ⊥；
（Ⅱ）求三棱锥ABE D -的体积.
(19) （本小题满分12分）
一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：
（Ⅰ）要从
于90分的概率；
（Ⅱ）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程ˆy
= bx+a ．
（20）（本小题满分12分）
设椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>> 的左、右焦点分别为12F F 、，上顶点为A ，在x 轴负半
轴上有一点B ，满足112BF F F =u u u r u u u u r
，且20AB AF ⋅=u u u r u u u u r . （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设D 是过2A B F 、、三点的圆上的点，D 到直线30l x -=：的最大距离等于椭
圆长轴的长，求椭圆C 的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，线段MN 的中垂线与x 轴相交于点(,0)P m ，求实数m 的取值范围．
O 数学成绩) y (物理成绩)
(21)（本题满分12分）
已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---．a ∈R （Ⅰ）当a ＝1时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在1
(0,)2
上无零点，求a 的最小值.
请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。

做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

(22)（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2交于点G ．
（Ⅰ）求证：∠EAG =∠EFG ；
（Ⅱ）若⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3，AC =10，AG 切⊙O 2于G ，求线段
AG 的长．
（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：2
2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 是参数）． （Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； （Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且||14AB =m 值．
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数()214f x x x =+--．
（Ⅰ）解不等式()0f x >；
（Ⅱ）若()34f x x m +->对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．
参考答案
13．{2} 14．2/5 15．641203+-
n (614060
n n -+) 三 解答题： 17. 解：（1）1cos 21()2sin(2)1226
x f x x x π+=
--=--……．3分 则()f x 的最大值为0，()3
x k k Z π
π=
+∈时取到;
最小正周期是22
T π
π=
=…………………6分 （2）()sin(2)106f C C π=-
-=则sin(2)16
C π
-= 1100222666C C C πππππ<<∴<<∴-<-<Q 2623
C C πππ
∴-=∴=
sin()2sin A C A +=Q 由正弦定理得1
2
a b =①……………………9分
由余弦定理得2
2
2
2cos
c a b ab π
=+- 即22
9a b ab +-=②
由①②解得a =b =…………………………12分
18. （Ⅰ）证明：取BC 的中点为F ，连结ＡＦ，ＥＦ，ＢＤ
∵△ＢＣＥ正三角形，∴ＥＦ⊥ＢＣ，又平面ＡＢＣ⊥平面ＢＣＥ，且交线为ＢＣ，∴ＥＦ⊥平面ＡＢＣ
，又ＡＤ⊥平面ＡＢＣ∴ＡＤ∥ＥＦ，∴,,,D A F E 共面，又易知在正三角形ＡＢＣ中，ＡＦ⊥ＢＣ，F EF AF =⋂ ∴BC ⊥平面DAFE ，又⊂DE 平面DAFE 故DE BC ⊥；．．．．．．．．．．6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ＥＦ／／ＡＤ 所以有ABF
D DAB F DAB
E ABE D V V V V ----===
所以23*21==
∆AF BF s ABF ，所以1*31
==∆-AD S V ABF ABF D 即1=-ABE D V ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分
19.解：（1）从5名学生中任取2名学生的所有情况为:45(,)A A 、
41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 、12(,)A A 、13(,)A A 、23(,)A A 共种情10况.………3分
其中至少有一人物理成绩高于90分的情况有：45(,)A A 、41(,)A A 、42(,)A A 、43(,)A A 、
51(,)A A 、52(,)A A 、53(,)A A 共7种情况，
故上述抽取的5人中选2人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90分的概率
7
P 10
=. ………………………5分
（2）散点图如右所示. ……………………6分
可求得： x =
5
97
95939189++++=93，
y =5
9392898987++++=90， ……………………………………………8分
5
1
()()30i
i
i x x y y =--=∑
∑=-5
1
i 2
i
)
x x (=2
2222420)2()4(+++-+-=40，
30
40
b =
=0.75，
a y bx =-=20.25， ……………………………………………11分 故y 关于x 的线性回归方程是：
ˆ0.7520.25y x =+. ……………………………………………12分 20. （Ⅰ）连接1AF ，因为2AF AB ⊥，211F F BF =，所以112AF F F =，
即2a c =，故椭圆的离心率2
1
=e ．．．．．．．．．．．．．．．．3分
（Ⅱ）由（1）知,21=a c 得a c 2
1
=于是21(,0)2F a ， 3(,0)2a B -，
Rt ABC ∆的外接圆圆心为11(,0)2F a -，半径21
||2
r F B a ==．
．．．．．．．．．．．5分 D 到直线033:=--y x l 的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，
所以a a =--2
|321
|
，解得2,1,a c b =∴==
所求椭圆方程为13
42
2=+y x . ．．．．．．．．．．．．．．．．7分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知)0,1(2F ， l ：)1(-=x k y
⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134
)1(22y
x x k y 代入消y 得 01248)43(2222=-+-+k x k x k 因为l 过点2F ，所以0∆>恒成立
设),(11y x M ，),(22y x N 则2221438k k x x +=+，12122
6(2)34k
y y k x x k
-+=+-=+ MN 中点222
43(,)3434k k
k k -++ ．．．．．．．．．．．．．．．9分
当0k =时，MN 为长轴，中点为原点，则0m = ．．．．．．．．．．．．．．．10分
当0k ≠时MN 中垂线方程2
22
314()3434k k y x k k k
+=--++．
令0y =，4314322
2
+=
+=∴k
k k m
230k >Q
，2
1
44k +>， 可得4
10<<∴m
综上可知实数m 的取值范围是1
[0,)4
． ．．．．．．．．．．．．．．12分
21. 解：（I ）当2
1,()12ln ,()1,a f x x x f x x
'==--=-时则 …………2分
由()0,2;f x x '>>得由()0,0 2.f x x '<<<得
故(][)()0,2,2,.f x +∞的单调减区间为单调增区间为 …………4分
（II ）因为1
()0(0,)2
f x <在区间上恒成立不可能，
故要使函数1()(0,)2
f x 在上无零点，只要对任意的1
(0,),()02
x f x ∈>恒成立，
即对12ln (0,),221x
x a x ∈>--恒成立。

…………6分
令2ln 1
()2,(0,),12
x l x x x =-∈-
则2
2
22(1)2ln 2ln 2
(),(1)(1)x x x x x l x x x --+-'=-=-- …………8分 22
21
()2ln 2,(0,),
2
222(1)
()0,
m x x x x x m x x x x =+-∈--'=-+=<再令则
11
()(0,),()()22ln 20,
22
1
()0,()(0,)2
m x m x m l x l x >=->>故在上为减函数于是从而,于是在上为增函数,
[)1
()()24ln 2,
2
2ln 2,24ln 2,,
1
l x l x
a a x <=->-∈-+∞-所以故要使恒成立只要
综上，若函数1
()(0,),2
f x 在上无零点 24ln 2.a -则的最小值为…………12分
22．（1）证明 连接GD ，因为四边形BDGE ，CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2，∴∠AEG =∠BDG ，
∠AFG =∠CDG ，
又∠BDG +∠CDG =180°，∴∠AEG +∠AFG =180°．
即A ，E ，G ，F 四点共圆，∴∠EAG =∠EFG ． ………………5分 （2）解 因为⊙O 2的半径为5，圆心O 2到直线AC 的距离为3， 所以由垂径定理知FC =22235-=8，又AC =10，
∴AF =2，∵AG 切⊙O 2于G ，∴AG 2
=AF ·AC =2×10=20，AG =25．………………10分
23.（I ）曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=化为直角坐标方程为:
0422=-+x y x
直线l 的直角坐标方程为：m x y -= ………………5分
（Ⅱ）解法一：由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，
∴圆心到直线l 的距离,2
2)2
14(222=-=d
∴
1|2|2
22
|
02|=-⇒=
--m m
∴1=m 或3=m ………………10分
解法二：把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y m t x 2222（t 是参数）代入方程0422=-+x y x ， 得04)2(22
2=-+-+m m t m t ，
m m t t m t t 4),2(222121-=--=+∴． ∴
.
14)4(4)]2(2[4)(||||2
2
2122121=----=-+=-=m m m t t t t t t AB
∴1=m 或3=m ……………10分
24．解：（1）当x 4≥ 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0得x>-5所以x 4≥成立
当42
1
<≤-
x 时，f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0得x>1，所以1<x<4成立 当2
1
-<x 时 f(x)=-x-5>0得x<-5 所以x<-5成立
综上，原不等式的解集为{x|x>1或x<-5} ………………5分
（2）f(x)+43-x =|2x+1|+2|x-4|9|)82(12|=--+≥x x
当时等号成立42
1
≤≤-
x 所以m<9 ………………10分。