(泰安重点推荐)新2020版中考数学第一部分基础知识过关第三章函数及其图象第12讲二次函数精练【下载

第12讲二次函数
A组基础题组
一、选择题
1.(2018陕西)对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.(2018威海)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示,下列结论错误的是( )
A.abc<0
B.a+c<b
C.b2+8a>4ac
D.2a+b>0
3.(2017甘肃兰州)将抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到的新抛物线的表达式为( )
A.y=3(x-3)2-3
B.y=3x2
C.y=3(x+3)2-3
D.y=3x2-6
4.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5),B(9,2)
两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )
A.-1≤x≤９
B.-1≤x<9
C.-1<x≤９
D.x≤-1或x≥９
5.在同一坐标系中,一次函数y=-mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是( )
6.(2017湖北武汉)已知关于x的二次函数y=ax2+(a2-1)x-a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m,0).若2<m<3,则a的取值范围是.
7.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图所示的
三处各留 1 m宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27 m,则能建成的饲养室面积最大为m2.
8.如图,Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD,边CD与该抛物线交于点P,则点P的坐标为.
三、解答题
9.如图,需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案.按照图中的直角坐标系,最左边的抛物线
可以用y=ax2+bx(a≠0)表示.已知抛物线上B,C两点到地面的距离均为 m,到墙边的距离分别为
m, m.
(1)求该拋物线的函数关系式,并求图案最高点到地面的距离;
(2)若该墙的长度为10 m,则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案?
B组提升题组
1.下列关于二次函数y=ax2-2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断,正确的是( )
A.没有交点
B.有一个交点,且它位于y轴右侧
C.有两个交点,且它们均位于y轴左侧
D.有两个交点,且它们均位于y轴右侧
2.(2018枣庄)下图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )
A.b2<4ac
B.ac>0
C.2a-b=0
D.a-b+c=0
3.(2018潍坊)已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当自变量x的值满足2≤x≤５时,与其对应的函数值y的最大值为-1,则h的值为( )
A.3或6
B.1或6
C.1或3
D.4或6
4.(2018菏泽)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+a与反比例函数
y=在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )
二、填空题
5.(2017青岛)若抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,则m的取值范围是.
6.(2018淄博)已知抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧),若B,C是线段AD的三等分点,则m的值为.
7.(2017广东)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P 是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点 C.
(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;
(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,求sin∠OCB的值.
8.(2018陕西)已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点 C.
(1)求A、B、C三点的坐标,并求△ABC的面积;
(2)将抛物线L向左或向右平移,得到抛物线L',且L'与x轴相交于A'、B'两点(点A'在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△A'B'C'和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函
数表达式.
二次函数的综合应用培优训练
一、选择题
1.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y千米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的( )
A.第9.5秒
B.第10秒
C.第10.5秒
D.第11秒
2.烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)
的关系式是h=-t2+12t+30,若这种礼炮在升空到最高点时引爆,则从点火升空到引爆需要的时
间为( )
A.3 s
B.4 s
C.5 s
D.6 s
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分如图所示,x=-1是对称轴,下列结
论:①<0;②ａ-b+c=-9a;③若(-3,y1),是抛物线上两点,则y1>y2;④将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=a(x2-9).其中正确的是( )
A.①②③
B.①③④
C.①②④
D.①②③④
二、填空题
4.科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这种植物高度的增长情况,部分数据如表:
温度t/℃-4 -2 0 1 4
植物高度增长量l/mm 41 49 49 46 25
科学家经过猜想并推测出l与t之间是二次函数关系.由此可以推测最适合这种植物生长的温度为℃．
5.如图,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式
mx+n>ax2+bx+c的解集是.
三、解答题
6.旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租
一次,且每辆车的日租金x(元)是5的倍数.发现每天的运营规律如下:当x不超过100元时,观光车能全部租出;当x超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费是 1 100元.
(1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少
元?(注:净收入=租车收入-管理费)
(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多?
7.我国中东部地区雾霾天气趋于严重,环境治理已刻不容缓.我市某电器商场根据民众健康需要,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价
是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元/台,就可多售出50台.供货商规定这种空气
净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.
(1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式;
(2)求售价x的范围;
(3)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大
利润是多少?
8.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A和B(4,m)两点,点P是线段AB 上异于A、B的动点,过点P作PC⊥ｘ轴于点D,交抛物线于点 C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)是否存在这样的P点,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
9.如图,直线y=-x+3与x轴,y轴分别交于B(3,0),C(0,3)两点,抛物线y=ax2+bx+c过A(1,0),B,C 三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M是抛物线在x轴下方的一个动点,过点M作MN∥ｙ轴交直线BC于点N,求线段MN的最大值;
(3)在(2)的条件下,当MN取得最大值时,在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使△PBN是以BN 为腰的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
10.如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线
y=-x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点 D.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式;
②当S最大时,在抛物线y=-x2+bx+c的对称轴l上是否存在点F,使△DFQ为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
11.如图1,平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴分别交于点A、B、C,其中
点A(0,8),OB=OA.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若OD=OB,点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,E为DF的中点.
①当△CEF的面积最大时,求出点E的坐标;
②如图2,将△CEF绕点E旋转180°,C点落在M处,若M点恰好在该抛物线上,求出此时△CEF 的面积.
12.如图,直线y=-x+2与x轴交于B点,与y轴交于C点,A点坐标为(-1,0).
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在直线BC上方的抛物线上有一点D,过D作DE⊥BC于E,作DF∥ｙ轴交BC于F,求△DEF周长的最大值;
(3)在满足第(2)问的条件下,在线段BD上是否存在一点P,使∠DFP=∠DBC.若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
13.如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点 C.抛物线y=ax2+bx+c
的对称轴是x=-且经过A、C两点,与x轴的另一交点为点 B.
(1)求二次函数y=ax2+bx+c的表达式;
(2)若点P为直线AC上方的抛物线上的一点,连接PA,PC,BC.求四边形PABC面积的最大值,并求出此时点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在点M,过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
第12讲二次函数
A组基础题组
一、选择题
1.C 当x=1时,y=a+2a-1+a-3>0,解得a>1,又根据抛物线顶点坐标公式可得
-<0,=<0,所以这条抛物线的顶点一定在第三象限,故选 C.
2.D A.由图象开口可知:a<0,
由对称轴可知:->0,
∴b>0,
∴由抛物线与y轴的交点可知:c>0,
∴abc<0,故A正确;
B.由图象可知:x=-1时,y<0,
∴ｙ=a-b+c<0,
∴a+c<b,故B正确;
C.由图象可知:顶点的纵坐标大于2,
∴>2,
∵a<0,
∴4ac-b2<8a,
∴ｂ2+8a>4ac,故C正确;
D.对称轴x=-<1,a<0,
∴2a+b<0,故D错误.
故选D.
3.A
4.A
5.D
二、填空题
6.答案-3<a<-2或<a<
解析把(m,0)代入y=ax2+(a2-1)x-a得am2+(a2-1)m-a=0,
m==,
解得m1=,m2=-a,
∵2<m<3,∴2<<3或2<-a<3,
解得<a<或-3<a<-2.
7.答案75
解析设垂直于墙的材料长为x米,
则平行于墙的材料长为27+3-3x=30-3x,
则总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,
故饲养室的最大面积为75平方米.
8.答案(,2)
解析∵Rt△OAB的顶点A(-2,4)在抛物线y=ax2(a≠0)上,∴4=4a,解得a=1,∴抛物线的解析式为y=x2,
∵AB⊥ｘ轴,
∴B(-2,0),
∴OB=2,
∵将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°,得到△OCD,
∴Ｄ点在y轴上,且OD=OB=2,
∴D(0,2),
∵DC⊥OD,
∴DC∥ｘ轴,
∴Ｐ点的纵坐标为2,代入y=x2,
得2=x2,解得x=(负值舍去),
∴P(,2).
三、解答题
9.解析(1)根据题意得B,C,
把B,C代入y=ax2+bx(a≠0)得
解得
∴拋物线的函数关系式为y=-x2+2x,
∴图案最高点到地面的距离==1 m.
(2)令y=0,即-x2+2x=0,
解得x1=0,x2=2,
∵10÷2=5,
∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案.
B组提升题组
一、选择题
1.D ∵a>1,
∴Δ=(-2a)2-4a=4a(a-1)>0,
∴ax2-2ax+1=0有两个不相等的实数根,即函数图象与x轴有两个交点,
x=>0,故选 D.
2.D ∵抛物线与x轴有两个交点,
∴ｂ2-4ac>0,即b2>4ac,所以A选项错误;
∵抛物线开口向上,
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方,
∴c<0,
∴ac<0,所以B选项错误;
∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,
∴-=1,∴2a+b=0,所以C选项错误;
∵抛物线过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是x=1,
∴抛物线与x轴的另一个交点为(-1,0),
∴ａ-b+c=0,所以D选项正确.
故选D.
3.B 对于二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当x=h时,函数有最大值0,又当自变量x的值满足
2≤x≤５时,与其对应的函数值y的最大值为-1,故h<2或h>5.当h<2,2≤x≤５时,y随x的增大而减小,故当x=2时,y有最大值,此时-(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(舍去);当h>5,2≤x≤５时,y随x的增大而增大,故当x=5时,y有最大值,此时-(5-h)2=-1,解得h1=6,h2=4(舍去),综上可知h=1或6.故选 B.
4.B ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,
∴a>0,
∵该抛物线对称轴位于y轴的右侧,
∴a、b异号,即b<0.
∵当x=1时,y<0,
∴a+b+c<0.
∴一次函数y=bx+a的图象经过第一、二、四象限,
反比例函数y=的图象分布在第二、四象限,
故选B.
二、填空题
5.答案m>9
解析∵抛物线y=x2-6x+m与x轴没有交点,
即(-6)2-4×1×m<0,
解得m>9.
6.答案 2
解析如图,∵B,C是线段AD的三等分点,
∴AC=BC=BD,
由题意得:AC=BD=m,
当y=0时,x2+2x-3=0,
(x-1)(x+3)=0,
x1=1,x2=-3,
∴A(-3,0),B(1,0),
∴AB=3+1=4,
∴AC=BC=2,
∴m=2,
故答案为 2.
三、解答题
7.解析(1)把A(1,0),B(3,0)代入抛物线y=-x2+ax+b,
得解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.
(2)当点P是线段BC的中点时,
易得点P的横坐标为,
当x=时,y=,
所以点P的坐标为.
(3)由(2)得点C的坐标为,
∴OC=,又OB=3,
∴BC==.
∴sin∠OCB===.
8.解析(1)令y=0,得x2+x-6=0,
解得x=-3或x=2,
∴A(-3,0),B(2,0).
∴AB=5,
令x=0,得y=-6,
∴C(0,-6),
∴OC=6,
∴Ｓ△ABC=AB·OC=×5×6=15.
(2)由题意得A'B'=AB=5.
要使S△A'B'C'=S△ABC,只要抛物线L'与y轴的交点为C'(0,-6)或C'(0,6)即可. 设所求抛物线L':y=x2+mx+6,y=x2+nx-6.
∵抛物线L'与抛物线L的顶点的纵坐标相同,
∴=,=,
解得m=±7,n=±1(n=1舍去).
∴抛物线L'的函数表达式为y=x2+7x+6,y=x2-7x+6或y=x2-x-6.
二次函数的综合应用培优训练
一、选择题
1.C 当x=7时,y=49a+7b;
当x=14时,y=196a+14b.
根据题意得49a+7b=196a+14b,
∴b=-21a,
根据二次函数图象的对称性及抛物线的开口方向,
得当x=-=10.5时,y最大,即高度最高.
故选C.
2.B ∵礼炮在升空到最高点时引爆,且二次函数图象的开口向下, ∴高度h取最大值时,t=-,
即t=-=4.
故选B.
3.D ∵二次函数的图象开口向下,
∴a<0,
∵抛物线与y轴的正半轴相交,
∴c>0,
∴<0,故①正确;
∵抛物线的对称轴x=-=-1,
∴b=2a,
当x=2时,y=0,
∴4a+2b+c=0,
∴4a+4a+c=0,
∴c=-8a,
∴ａ-b+c=-9a,故②正确;
∵抛物线的对称轴为x=-1,∴当x=-1时,抛物线有最大值,-3距离-1有2个单位长度,距离-1
有个单位长度,
∴ｙ1>y2,故③正确;
设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+k,
将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y=ax2+k,
∵c=-8a,
∴a+k=-8a,
∴k=-9a,
∴将抛物线沿x轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y=ax2-9a,即y=a(x2-9),故④正确.
正确结论为①②③④.故选 D.
二、填空题
4.答案-1
解析设l=at2+bt+c(a≠0),将(0,49),(1,46),(4,25)代入后得方程组
解得
所以l与t之间的二次函数解析式为l=-t2-2t+49,
当t=-=-1时,l有最大值50,
即最适合这种植物生长的温度是-1 ℃．
5.答案x<-1或x>4
解析由题图可知,当x<-1或x>4时,直线y=mx+n的图象在抛物线y=ax2+bx+c的上方,
∴不等式mx+n>ax2+bx+c的解集为x<-1或x>4.
三、解答题
6.解析(1)由题意知,若观光车能全部租出,则0<x≤100,
由50x-1 100>0,
解得x>22,
∵ｘ是5的倍数,
∴每辆车的日租金至少应为25元.
(2)设每天的净收入为y元,
当0<x≤100时,y1=50x-1 100,
∵ｙ1随x的增大而增大,
∴当x=100时,y1的最大值为50×100-1 100=3 900;
当x>100时,
y2=x-1 100
=50x-x2+20x-1 100
=-x2+70x-1 100
=-(x-175)2+5 025,
当x=175时,y2的最大值为 5 025,
5 025>3 900,
故当每辆车的日租金为175元时,每天的净收入最多,是5 025元.
7.解析(1)根据题中条件售价每降低10元/台,月销售量就可多售出50台,
则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式为y=200+50×,化简得y=-5x+2 200.
(2)根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务,
则
解得300≤x≤350.
所以售价x的范围为300≤x≤350.
(3)w=(x-200)(-5x+2 200),
整理得w=-5(x-320)2+72 000.
∵x=320在300≤x≤350内,
∴当x=320时,w有最大值,为72 000,
即售价定为320元/台时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大,最大利润是72 000元.
8.解析(1)∵B(4,m)在直线y=x+2上,
∴m=6,即B(4,6),
∵Ａ和B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,
∴
解得
∴抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.
(2)存在.
设动点P的坐标为(n,n+2),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),
∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2+,
∵-2<0,
∴抛物线开口向下,有最大值,
∴当n=时,线段PC的长有最大值.
9.解析(1)由题意将点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c中,
得解得
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)设点M的坐标为(m,m2-4m+3),
∵MN∥ｙ轴,
∴点N的坐标为(m,-m+3).
∵A(1,0),B(3,0)在抛物线上且点M是抛物线在x轴下方的一个动点. ∴1<m<3.
∵线段MN=-m+3-(m2-4m+3)=-m2+3m=-+,
∴当m=时,线段MN取最大值,最大值为.
(3)假设存在.设点P的坐标为(2,n).
当m=时,点N的坐标为,
∴PB==,
PN=,
BN==.
△PBN以BN为腰的等腰三角形,分二种情况:
①当PB=BN,即=时,
解得n=±,
此时点P的坐标为或.
②当PN=BN,
即=时,
解得n=,
此时点P的坐标为或.
综上可知:在抛物线的对称轴l上存在点P,使△PBN是以BN为腰的等腰三角形,点P的坐标为
或或或.
10.解析(1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式,得
解得
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+8.
(2)①∵OA=8,OC=6,
∴AC==10,
过点Q作QE⊥BC与E点,
则sin∠ACB===,
∴=,
∴QE=(10-m),
∴S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m.
②∵S=·CP·QE=m×(10-m)=-m2+3m=-(m-5)2+, ∴当m=5时,S取最大值;
在抛物线对称轴l上存在点F,使△DFQ为直角三角形,
∵抛物线y=-x2+x+8的对称轴为x=,D的坐标为(3,8), Q的坐标为(3,4),
当∠FDQ=90°时,F1,
当∠FQD=90°时,则F2,
当∠DFQ=90°时,设F,
则FD2+FQ2=DQ2,
即+(8-n)2++(n-4)2=16,
解得n=6±,
∴Ｆ3,F4,
满足条件的点F共有四个,分别为
F1,F2,
F3,F4,6-.
11.解析(1)∵OA=8,
∴OB=OA=4,
∴B(4,0),
∵y=-x2+bx+c的图象过点A(0,8),B(4,0),
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2-x+8.
(2)①当y=0时,-x2-x+8=0,
解得x1=4,x2=-8,
∴Ｃ点坐标为(-8,0),
∵Ｄ点坐标为(0,4),
∴设直线CD的解析为y=kx+d(k≠0),
故
解得
故直线DC的解析为y=x+4.
如图,过点F作y轴的平行线交DC于点P,
设F点坐标为,则P点坐标为, 则FP=-m2-m+4,
∴Ｓ△FCD=·FP·OC=×-m2-m+4×8=-m2-6m+16,
∵Ｅ为FD中点,
∴=×=-m2-3m+8=-(m+3)2+,
当m=-3时,有最大值,
∴-m2-m+8=-×9+3+8=,
E点纵坐标为×=,
∴Ｆ,
∴Ｅ.
②∵Ｆ点坐标为,
C点坐标为(-8,0),D点坐标为(0,4),
∴Ｍ,
又∵Ｍ点在抛物线上,
∴-(m+8)2-(m+8)+8=-m2-m+12,
解得m=-7,
故=-m2-3m+8=.
12.解析(1)直线y=-x+2与x轴交于B(2,0),与y轴交于C(0,2), 设过A、B、C的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
把A(-1,0),B(2,0),C(0,2)的坐标代入,
解得a=-1,b=1,c=2,
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.
(2)设D(x,-x2+x+2),F(x,-x+2),
∴DF=(-x2+x+2)-(-x+2)=-x2+2x,
所以x=1时,DF最大=1,
∵OB=OC,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∵DE⊥BC,DF∥ｙ轴,
∴∠DFE=∠OCB=45°，
∴△DEF为等腰直角三角形,
∴△DEF周长的最大值为1+.
(3)存在.
如图,
当△DEF周长最大时,D(1,2),F(1,1).延长DF交x轴于H,作PM⊥DF于M,
则DB=,DH=2,OH=1,
当∠DFP=∠DBC时,△DFP∽△DBF,
∴=,
∴DP=,
∴===,
∴PM=,DM=,
∴Ｐ点的横坐标为OH+PM=1+=,
P点的纵坐标为DH-DM=2-=,
∴P.
13.解析(1)对于y=x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=-4,∴C(0,2),A(-4,0),
由抛物线的对称性可知:点A与点B关于x=-对称,∴点B的坐标为(1,0).
∵抛物线y=ax2+bx+c过A(-4,0),
B(1,0),
∴可设抛物线解析式为y=a(x+4)(x-1),
又∵抛物线过点C(0,2),
∴2=-4a,
∴a=-,
∴y=-x2-x+2.
(2)设P.
过点P作PQ⊥ｘ轴交AC于点Q,
∴Ｑ,
∴PQ=-m2-m+2-
=-m2-2m,
∵=×PQ×(x C-x A)=×PQ×４
=2PQ=-m2-4m=-(m+2)2+4,
∴当m=-2时,△PAC的面积有最大值4,
易知S△ACB=×OC×AB
=×2×５
=5.
则四边形PABC面积的最大值是9,
此时P(-2,3).
(3)存在.
在Rt△AOC中,tan∠CAO=,
在Rt△BOC中,tan∠BCO=,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下图:
①当M点与C点重合,即M(0,2)时,△MAN∽△BAC;
②根据抛物线的对称性,当M(-3,2)时,△MAN∽△ABC;
③当点M在第四象限时,设M n,-n2-n+2,则N(n,0),
∴MN=n2+n-2,AN=n+4,
当=时,MN=AN,即n2+n-2=(n+4),
整理得n2+2n-8=0,
解得n1=-4(舍),n2=2,
∴M(2,-3);
当=时,MN=2AN,即n2+n-2=2(n+4),
整理得n2-n-20=0,
解得n1=-4(舍),n2=5,
∴M(5,-18).
综上所述,存在M1(0,2),M2(-3,2),M3(2,-3),M4(5,-18),使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC 相似.。