广东省佛山市高明区2020届高三数学上学期第二周考试试题 文

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正视图 2 3
侧视图
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俯视图
高三文科数学第二周周六测试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|20}A x x x =-≤，{1,0,1,2}B =-，则A B I （ ） A ．[0,2] B ．{0,1,2} C ．(1,2)- D ．{1,0,1}-
2.若复数z 满足(1)3i z i -=+，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）
A ．
2 B 2 C ． 2 D ．1
3.设4log a π=，14
log b π=，4c π=，则,,a b c 的大小关系是
（ ）
A ．a c b >>
B ．b c a >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．2π B ．4π C. 6π D ．12π
5．若向量(1,2)a =--r ，，(1,1)b =-r ，
则向量42a b +r r 与向量a b -r
r 的夹角等于（ ）
A ．4π-
B ．6π C. 4π D ．34π
6.已知圆222690x y y m +-+-=与直线31y x =+有两个
交点，则正实数m 的值可以为（ ） A 2 B 3．
2
7.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n =（ ） A ． 4 B ．5 C. 2 D ．3
8. 设函数1,()0,1,f x ⎧⎪
=⎨⎪-⎩
000x x x >=<,若)1()2()(2--=x f x x g ，
()y g x =的反函数1()y g x -=，则)1()3(1-⋅g g 的值为( )
A ． 3- B. 1- C. 1 D. 3
9.
已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>的图像与x 轴交点的横坐标依次构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图像沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，
则下列叙述正确的是（ ）
A ．()g x 的图像关于点(,0)2π对称
B ．()g x 的图像关于直线4x π
=-对称
C. ()g x 在[,]42
ππ上是增函数 D ．()g x 在[0,]4π
上是减函数
10.已知F 点为抛物线2:2C y px =的焦点，过点F 且倾斜角为60o 的直线交曲线C 于
,A B 两点（B 点在第一象限，A 点在第四象限），O 为坐标原点，过A 作C 的准线
的垂线，垂足为M ，则||OB 与||OM 的比为（ ） A
B ．2 C.3 D ．4
11.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，PA ⊥平面ABC ，
AB BC ⊥，1PA AB ==，2AC =，则球O 的表面积为（ ）
A ． 6π
B ．5π C. 3π D ．2π
12.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(1)(1)f x f x +=-，当
[0,1]x ∈时，()2f x x =，若在区间[2,3]-上，方程()20ax f x a -+=恰有
两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．11(,)32
B ．12
(,)33 C. 22(,)53 D ．23(,)54
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
的最大值是
，，则满足下列不等式组，已知实数220320420
2.13y x y y x y x y x +⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥-+≤--
.
14已知曲线11x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=垂直，则a 等
于 ．
15.已知数列{}n a 是等比数列，4
72a a +=，568a a =-，则110a a += ．
16.近年来，随着信息技术的发展，网络购物已经成为人们现代生活的一部分，人们足不出户就可以买到心仪的商品，小王在某网站上确定订单后，快递员电话通知于周五早上7:30至8:30送货到家，如果小王这一天离开家的时间为早上8:00至9:00，那么在他离开家之前拿到邮件的概率为 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若1a =，
2cos 2C c b +=.
（1）求角A 的大小；（2）若1
2
b =，求sin C 的值.
18. “累积净化量()CCM ”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示，根据/188012015GB T -《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累计净化量()CCM 有如下等级划分： 累积净化量（克） (3,5] (5,8]
(8,12]
12以上
等级
1P
2P
3P
4P
为了了解一批空气净化器（共5000台）的质量，随机抽取n 台机器作为样本进行估计，已知这n 台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]、(6,8]、(8,10]、
(10,12]、(12,14]均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.
2,5.3,5.7和5.9，并绘制了频率分布直方图，如图所示： （1）求n 的值及频率分布直方图中x 的值；（2）以样本估计总体，试估计这批空气净化器（共5000台）中等
A
B D
C
P E
F
级为2P 的空气净化器有多少台？
（3）从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为2P 的概率.
19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD
，且PA PD AD ==，设,E F 分别为,PC BD 的中点.
（1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：面PAB ⊥平面PDC ； （3）求三棱锥P BDE -的体积.
20. 已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点是12,F F ，
点P 在椭圆C 上，
且12||||4PF PF +=. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设点P 关于x 轴的对称点为Q ，M 是椭圆C 上一点，直线MP 和MQ 与x
轴
分别交于点
,,E F O 为原点，证明：OE OF 为定值.
21. 已知函数
2()ln ()f x kx x k R =-∈.
（1）试讨论函数()f x 的单调性； （2）若
()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，求k 的取值范围；
（3）证明：
*2222
ln 2ln 3ln 4ln 1
(2,)2342n n n n N n e
-++++<≥∈L . 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2
sin cos 0ρθθ-=，以极点O 为原点，以极轴
为x 轴正半轴，建立直角坐标系，已知M 点的坐标为(0,1)，直线l
的参数方程为
212
x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），且与曲线C 交于,A B 两点. （1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求||||MA MB 的值. 23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1||1|f x x x =-++. （1）求()2f x x ≤+的解集； （2）若不等式|1||21|
()||
a a f x a +--≥对任意实数0a ≠恒成立，求实数x 的
取值范围.
参考答案：
一、选择题
1-5: BADCC 6-10:DADDC 11、12：BC 二、填空题 13.
229
14. -2 15. -7 16. 78
三、解答题
17.（1）因为1a =，2cos 2C c b +=，
由余弦定理得：222
1222b c c b b
+-⨯+=，即221b c bc +-=.
所以22211cos 222
b c bc A bc bc +-===
.由于0A π<<，所以3A π=. （2）由12
b =及221b
c bc +-=，得2211
()122c c +-=，即24230c c --=，
解得c =或c =（舍去）由正弦定理得：sin sin c a C A =，
得sin sin 60C ==
o 18.（1）因为在(4,6]之间的数据一共有6个，
再由频率分布直方图可知：落在(4,6]之间的频率为0.0320.06⨯=. 因此，61000.06
n ==.(0.030.120.140.15)21x ++++⨯=，∴0.06x =.
（2）由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共24台， 又因为在(5,6]之间共4台，落在(5,8]之间共28台，
故这批空气净化器等级为2P 的空气净化器共有5000281400100
⨯=台.
（3）设“恰好有1台等级为2P ”为事件B ，依题意，落在(4,6]之间共有6台，记为：
123456,,,,,A A A A A A ，属于国标2P 级有4台，我们记为：3456,,,A A A A ，
则从(4,6]中随机抽取2个，所有可能的结果有15种，它们是
1213141516(,),(,),(,),(,),(,)A A A A A A A A A A ，
23242526(,),(,),(,),(,)A A A A A A A A ，343536(,),(,),(,)A A A A A A ，4546(,),(,)A A A A ，
56(,)A A ，
而事件B 的结果有8种，它们是：13141516(,),(,),(,),(,)A A A A A A A A ，
23242526(,),(,),(,),(,)A A A A A A A A ，因此事件B 的概率为8()15
P B =.
19.（1）证明：因为ABCD 为正方形，连接AC 交BD 于点F ，
又因为在CPA ∆中，F 为AC 中点，E 为PC 中点，∴//EF PA ，且PA ⊂平面PAD ，
EF ⊄平面PAD ，∴//EF 平面PAD ；
（2）证明：因为ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥， 又面PAD
⊥面ABCD ，平面PAD I
平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，
所以CD ⊥平面PAD ，∴CD PA ⊥
，又PA PD AD ==
， 所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA PD ⊥，又因为CD PD D =I ，
且,CD PD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面PDC ，又PA ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PDC
（3）因为//AB CD ，所以点B 到平面PDE 的距离等于点A 到平面PDE 距离， 所以111
332
P BDE B PDE A PDE PDE PDC V V V S AP S AP ---∆∆===•=⨯• 111322PD DC AP =
⨯⨯⨯⨯
⨯111322a a =⨯⨯⨯3124a = 所以三棱锥P BDE -的体积是
3
124
a . 20.（1）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a
=
，将点P 的坐标代入
22
214x y b
+=，得22114b +=，
解得：b =
.所以，椭圆C 的方程是2
2142
x
y +=. （2
）证明：依题意，得1)Q -，
设00(,)M x y ，则有22
0024x y +=
，0x ≠01y ≠±，
直线MP
的方程为1y x -=
-，令0y =
，得0x =
所以00
0|||
|1x OE y -=-.直线MQ
的方程为1y x +=，
令0y
=
，得00
01
x x y +=
+
，所以00
0|||
|1
x OF y +=+.
所以22000000
2000
2||||||||||111
x x y x OE OF y y y -++==-+-22002
02(42)||41y y y --==- 所以||||OE OF 为定值.
21.（1）由题可知，2()ln f x kx x =-，定义域为(0,)+∞，所以
2'
121
()2kx f x kx x x
-=-=
， 若0k ≤，'()0f x <恒成立，()f x 在(0,)+∞单调递减.
若0k >
，'()f x =，
当x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增.
（2）不等式()0f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，则2ln kx x ≥，故2ln x k x ≥，
设2
ln ()x x x ϕ=
，由于'
312ln ()x x x ϕ-=
，令'()0x ϕ=
，得x =，
当x ∈时，'()0x ϕ>，()x ϕ单调递增，
当)x ∈+∞时，'()0x ϕ<，()x ϕ单调递减，
所以max 1()2x e ϕϕ==，因此12k e ≥，即1[,)2k e
∈+∞. （3）因为1
[
,)2k e
∈+∞，即2ln 12x x e <
，2x ≥， 从而得到2ln 1
2n n e
<，2n ≥，
对n 依次取值2,3,4，…，n ，可得
2ln 2122e <，2ln 3132e
<
，2ln 4142e <，…，2ln 12n n e <，
2n ≥， 对上述不等式两边依次相加得到：
2222ln 2ln 3ln 4ln 12342n n n e
-++++<L ，（2n ≥，*n N ∈）. 22.（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=， 由2sin cos 0ρθθ-=，得22sin cos ρθρθ=. ∴2y x =，即为曲线C 的直角坐标方程；
由1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t 可得直线l 的普通方程为1y x =-+. （2）把直线l
的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程，得：
2(1)+
=
，即220t ++=，
242100∆=-⨯=>，
设,A B 对应的参数分别为12,t t
，则12122
t t t t ⎧+=-⎪⎨=⎪⎩，
又直线l 经过点M ，故由t 的几何意义得： 点M 到,A B 两点的距离之积1212||||||||||2MA MB t t t t ===.
23.（1）由
()2f x x ≤+可得：
201112x x x x x +≥⎧⎪≤-⎨⎪---≤+⎩或2011112x x x x x +≥⎧⎪-<<⎨⎪-++≤+⎩或20
1
112x x x x x +≥⎧⎪≥⎨⎪-++≤+⎩
解得02x ≤≤，
所以()2f x x ≤+的解集为{|02}x x ≤≤； （2）|1||211|1111
|
|||1||2|||12|3||a a a a a a a
+--=+--≤++-=，
当且仅当11
(1)(2)0a a
+
-≤时，取等号， 由不等式|1||21|()||
a a f x a +--≥对任意实数0a
≠恒成立，
可得|1||1|3x x -++≥， 解得：32x ≤-或32x ≥，
故实数x 的取值范围是33
(,][,)22
-∞-+∞U .。