2022新高考一轮复习人教版 9.6 双曲线 学案

第六节 双曲线
【知识重温】
一、必记3个知识点 1．双曲线的定义
(1)平面内与两个定点F 1、F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离①________________为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.
(2)集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (ⅰ)当④________________时，M 点的轨迹是双曲线； (ⅱ)当⑤________________时，M 点的轨迹是两条射线； (ⅲ)当⑥________________时，M 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质
(a ＞0，b ＞0)
⑧________ x ∈R
(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．
(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±b
a
，
当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±a
b
.
(3)渐近线与离心率． x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为b a
＝e 2－1. (4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a . 二、必明4个易误点
1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端
点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．
2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．
若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0<a <b ，则双曲线的离心率e > 2.
3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.
4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x 轴上，渐近线斜率为±b
a
，
当焦点在y 轴上，渐近线斜率为±a
b
.
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
(2)方程x 2m －y 2
n
＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( )
(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±y
n
＝0.( )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )
(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1
e 21
＋
1
e 22
＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( ) 二、教材改编
2．若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的
离心率为( )
A.5 B ．5 C. 2 D ．2
3．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________． 三、易错易混
4．P 是双曲线x 216－y 2
81
＝1上任意一点，F 1，F 2分别是它的左、右焦点，且|PF 1|＝9，则
|PF 2|＝________.
5．坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为π
3
，则双
曲线的离心率为________．
四、走进高考
6．[2020·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
5
＝1(a >0)的一条渐近线方程
为y ＝5
2
x ，则该双曲线的离心率是________．
考点一 双曲线的定义及其标准方程 [互动讲练型]
考向一：双曲线的定义及应用
[例1] (1)[2021·河南非凡联盟联考]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
9
＝1(a ＞0)的左、右焦点分别
为F 1，F 2，一条渐近线与直线4x ＋3y ＝0垂直，点M 在C 上，且|MF 2|＝6，则|MF 1|＝( )
A ．2或14
B ．2
C ．14
D ．2或10
(2)[2020·全国卷Ⅲ]设双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离
心率为 5.P 是C 上一点，且F 1P ⊥F 2P .若△PF 1F 2的面积为4，则a ＝( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
悟·技法
双曲线定义的应用
(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程； (2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立|PF 1|与|PF 2|的关系．
[注意] 在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.
考向二：双曲线的方程
[例2] [2020·天津卷]设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦
点和点(0，b )的直线为l .若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 24＝1 B ．x 2
－y 2
4＝1 C.x
24－y 2＝1 D ．x 2－y 2＝1
悟·技法
求双曲线标准方程的一般方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程并
求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2
b
2＝
λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.
2．[2021·太原市高三年级模拟试题]已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方
程为y ＝3x ，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线的方程为________________________________________________________________________．
考点二 双曲线的几何性质[分层深化型] 考向一：双曲线的离心率
[例3] [2020·全国卷Ⅰ]已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点，A 为C 的
右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．
考向二：双曲线的渐近线
[例4] [2021·合肥市高三教学质量检测]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦
点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上的一个动点，若△BPF 周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为__________________．
悟·技法
1.求双曲线离心率或其范围的方法 (1)求a ，b ，c 的值，由c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2
a
2直接求e .
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．
2．求双曲线的渐近线方程的方法
求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±y
b
＝
0.
[同类练]——(着眼于触类旁通)
3．[2021·河南南阳质检]若双曲线y 2a 2－x 29＝1(a >0)的一条渐近线与直线y ＝1
3
x 垂直，则此
双曲线的实轴长为( )
A ．2
B ．4
C ．18
D ．36
4．[2021·广州市高三年级调研检测]已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦
点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，垂足为D ，且满足|FD |＝1
2
|OF |(O 为坐标原点)，则双曲
线的离心率为( )
A.233 B ．2 C ．3 D.103
[变式练]——(着眼于举一反三)
5．[2021·洛阳市尖子生联考]已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，
F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，若sin ∠F 1PF 2＝15
4
，则该双曲线的离心率等于( )
A. 6 B ．2 C.6或2 D.3＋1或6
6．[2021·惠州市高三调研考试]双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则该双曲
线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2
＝3的公共点的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．0
[拓展练]——(着眼于迁移应用)
7．[2021·合肥市高三教学质量检测]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦
点分别为F 1，F 2，圆F 2与双曲线C 的渐近线相切，M 是圆F 2与双曲线C 的一个交点．若F 1M →·F 2M →
＝0，则双曲线C 的离心率等于( )
A. 5 B ．2 C. 3 D.2
8．[2021·湖南省长沙市高三调研试题]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点
为F ，过原点的直线l 与双曲线左、右两支分别交于点P ，Q ，且满足|QF |－|PF |＝8，虚轴的上端点B 在圆x 2＋(y －3)2＝1内，则该双曲线离心率的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋12，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12，2
C.⎝⎛⎭⎫5
2，2 D ．(2，3)
考点三 直线与双曲线的位置关系 [互动讲练型]
[例5] [2021·长沙四校联考]设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右顶点，
双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y ＝3
3
x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点
D ，使OM →＋ON →＝tOD →
，求t 的值及点D 的坐标．
悟·技法
1.解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程．利用根与系数的关系，整体代入． 2．有时根据直线的斜率k 与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷.
[变式练]——(着眼于举一反三)
9．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右
焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．
第六节 双曲线
【知识重温】
①之差的绝对值 ②焦点 ③焦距 ④2a <|F 1F 2| ⑤2a ＝|F 1F 2|
⑥2a >|F 1F 2| ⑦x ≥a 或x ≤－a
⑧y ≥a 或y ≤－a ⑨x 轴，y 轴 ⑩坐标原点 ⑪x 轴，y 轴 ⑫坐标原点 ⑬(－a,0)
⑭(a,0) ⑮(0，－a ) ⑯(0，a ) ⑰y ＝±b
a
x
⑱y ＝±a b x ⑲c
a
⑳ a 2＋b 2 ○
212a ○222b ○23a 2＋b 2 【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
2．解析：由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为x a ±y
b
＝0，
即bx ±ay ＝0，∴2a ＝bc a 2＋b
2＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c
2
a 2＝5，∴e ＝ 5.
答案：A
3．解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
a
2＝±1(a >0)，把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所
求方程为x 215－y 2
15＝1.
答案：x 215－y 2
15
＝1
4．解析：由题意知a ＝4，b ＝9， c ＝a 2＋b 2＝97，
由于|PF 1|＝9<a ＋c ＝4＋97，故点P 只能在左支上，∴|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，∴|PF 2|＝|PF 1|＋8＝17.
答案：17
5．解析：若双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1，则渐近线的方程为
y ＝±b a x ，由题意可得b a ＝tan π3＝3，b ＝3a ，可得c ＝2a ，则e ＝c
a
＝2；若双曲线的焦点在y
轴上，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1，则渐近线的方程为y ＝±a b x ，由题意可得a b ＝tan π
3
＝3，
a ＝3
b ，可得
c ＝233a ，则e ＝233.综上可得e ＝2或e ＝23
3.
答案：2或23
3
6．解析：由双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x 得b a ＝52，则该双曲线的离心率e ＝c
a
＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32.
答案：32
课堂考点突破
考点一
例1 解析：(1)由题意知3a ＝3
4
，故a ＝4，则c ＝5.
由|MF 2|＝6＜a ＋c ＝9，知点M 在C 的右支上， 由双曲线的定义知|MF 1|－|MF 2|＝2a ＝8， 所以|MF 1|＝14.
(2)设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则|r 1－r 2|＝2a ，∴r 21＋r 22－2r 1r 2＝4a 2
.
由于F 1P ⊥F 2P ，则r 21＋r 22＝4c 2，∴4c 2－2r 1r 2＝4a 2，∴r 1r 2
＝2b 2. ∵S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝12×2b 2＝b 2＝4，∴e ＝ 1＋b 2
a 2＝1＋4
a
2＝5，解得a 2＝1，即
a ＝1.故选A.
答案：(1)C (2)A
例2 解析：解法一 由题知y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，则过焦点和点(0，b )的直线方
程为x ＋y b ＝1，而x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为x a ＋y b ＝0和x a －y
b
＝0，由l 与一条渐近线平行，
与一条渐近线垂直，得a ＝1，b ＝1，故选D.
解法二 由题知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则a ＝b ，即渐近线方程为x ±y ＝0，
排除B ，C.又知y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，l 过点(1,0)，(0，b )，所以b －0
0－1
＝－1，b ＝1，故
选D.
答案：D 变式练
1．解析：由双曲线的定义有 |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝22， 所以|PF 1|＝2|PF 2|＝42，
则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|2
2|PF 1|·|PF 2|
＝(42)2＋(22)2－422×42×22
＝34.
答案：34
2．解析：由一条渐近线的方程为y ＝3x ，得b
a
＝3，由右顶点(a,0)到渐近线y ＝3x
的距离为3，得3a 2 ＝3，由⎩
⎨⎧
b
a ＝332
a ＝3，得⎩⎨⎧
a ＝2
b ＝23
，所以双曲线的方程为x 24－y 2
12＝
1.
答案：x 24－y 2
12
＝1
考点二
例3 解析：点B 为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，点A 坐标
为(a,0)，∵AB 的斜率为3，
∴b 2a c －a ＝3，即c 2－a 2a (c －a )
＝c ＋a a ＝e ＋1＝3，∴e ＝2.故离心率e ＝2.
答案：2
例4 解析：
由题意可得F (c,0)，如图，不妨设B (0，b )，F ′(－c,0)．连接PF ′，BF ′.由双曲线的定义可得|PF |－|PF ′|＝2a ，则|PF |＝|PF ′|＋2a ，
|BF |＝|BF ′|＝b 2＋c 2，
则△BPF 的周长为|PB |＋|PF |＋|BF |＝|PB |＋|PF ′|＋2a ＋|BF ′|≥2|BF ′|＋2a ，
当且仅当B ，P ，F ′共线，且P 在B ，F ′中间时，△BPF 的周长取得最小值，且为2a ＋2b 2＋c 2，
由题意可得8a ＝2a ＋2b 2＋c 2，即9a 2＝b 2＋c 2＝2c 2－a 2，
即5a 2＝c 2＝a 2＋b 2,4a 2＝b 2，b
a
＝2，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x .
答案：y ＝±2x 同类练
3．解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±a 3x ，由题意可得－a 3×1
3
＝－1，得a ＝9，∴2a ＝
18.故选C.
答案：C
4．解析：根据双曲线的几何性质可知，焦点到渐近线的距离|FD |＝b ，而|OF |＝c ，依题
意得b ＝12c ，代入c 2＝a 2＋b 2得c 2＝a 2＋14c 2，即34c 2＝a 2，所以c 2a 2＝43，c a ＝233.故选A. 答案：A 5．解析：
因为P 为双曲线C 上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，所以点P 在双曲线C 右支上，如图，则|PF 1|
－|PF 2|＝2a .又因为|PF 1|＝2|PF 2|，所以|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .因为sin ∠F 1PF 2＝15
4
，所以
cos ∠F 1PF 2＝±14.在△F 1PF 2中，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|＝16a 2＋4a 2－4c 22·4a ·2a ＝±1
4
，
解得e 2＝4或e 2＝6.又e ＞1，所以e ＝2或e ＝ 6.故选C.
答案：C
6．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线的方程为y ＝b a x .由离心率e ＝
c a ＝2得c 2
a
2＝4，
即a 2＋b 2a 2＝4，得b
a ＝3，所以一条渐近线的方程为y ＝3x .联立得⎩⎨⎧
y ＝3x (x －2)2＋y 2＝3
，消去y
整理得4x 2－4x ＋1＝0，因为Δ＝16－4×4＝0，所以渐近线y ＝3x 与圆(x －2)2＋y 2＝3只有一个公共点．由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝3的公共点的个数为2，选B.
答案：B 拓展练
7．解析：双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 2(c,0)，圆F 2与双曲线C 的渐近
线y ＝±b
a
x 相切，故圆F 2的半径r 等于点F 2到直线bx ±ay ＝0的距离，∴r ＝b ，又M 是圆
F 2与双曲线C 的一个交点，∴|F 2M |＝b ，|F 1M |＝2a ＋b ，又F 1M →·F 2M →＝0，∴F 1M →⊥F 2M →
，又
|F 1F 2|＝2c ，∴(2a ＋b )2＋b 2＝4c 2
，∴b ＝2a ，e ＝1＋b 2
a
2＝5，故选A.
答案：A
8．解析：设双曲线C 的右焦点为F ′，连接PF ′，QF ′，如图所示．由对称性可知，P ，Q 关于原点对称，则|OP |＝|OQ |.又|OF ′|＝|OF |，所以四边形PFQF ′为平行四边形，所以|PF |＝|QF ′|，则|QF |－|PF |＝|QF |－|QF ′|＝2a ＝8，所以a ＝4.因为虚轴的上端点B (0，b )在圆x 2＋(y －3)2＝1内，所以02＋(b －3)2＜1，解得2＜b ＜4，则2＜c 2－a 2＜4，即2＜c 2－16
＜4，得25＜c ＜42，所以e ＝c a ∈⎝⎛⎭
⎫5
2，2，故选C.
答案：C
考点三
例5 解析：(1)由题意知a ＝23，
∴一条渐近线为y ＝b
23 x .
即bx －23y ＝0，∴|bc |
b 2＋12
＝3，
∴b 2
＝3，∴双曲线的方程为x 212－y 2
3
＝1.
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)， 若OM →＋ON →＝tOD →，
则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0. 将直线方程代入双曲线方程得 x 2－163x ＋84＝0，
则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12. ∴⎩⎨⎧
x 0y 0＝433，x 20
12－y
20
3＝1，
∴⎩⎨⎧
x 0＝43，y 0＝3，
∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)． 变式练
9．解析：(1)依题意，b ＝3，c
a
＝2⇒a ＝1，c ＝2，
∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)知F 2(2,0)．
易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，
由⎩
⎪⎨⎪
⎧
y ＝k (x －2)，x 2－y 23＝1，
消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，
k ≠±3时，x 1＋x 2＝4k 2
k 2－3
，
x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3
，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，
△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|
＝2|k |·16k 4－4(k 2－3)(4k 2＋3)
|k 2－3|
＝12|k |·k 2＋1
|k 2－3|
＝6 2.
得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1.
所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.。