第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛高二初赛试题(A)卷 新课标 人教版

第五届“学用杯”全国数学知识应用竞赛高二初赛试题(Ａ)卷
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．2005年6月《奥运会志愿者行动计划》正式对外发布．奥组委将通过公开招募和定向招募两种方式选拔志愿者，面向社会通过互联网等方式直接接受志愿者报名申请进行公开招募的计划，将于2006年8月启动．预计8月底报名的人数将为20000人，如果每过2个月报名的人数将增加20%，那么截止到2008年4月底结束，总共将有人报名．
2．X 远家的庭院中有一个边长为1米的正三角形花坛．一天，她在花坛中洒下了花籽和草籽，为了保持养分，她决定把花坛用塑料薄膜盖上．可她家现在仅有两个直径为0.99米的圆形塑料膜，在不破坏塑料膜的情况下，X 远盖住花坛．（填能或不能）
3．某旅游景点有一个圆柱形塔，高40米，塔中有一电梯，塔的外表面有一螺旋上升的楼梯，楼梯的伸展方向与竖直方向夹角为60，塔的直径是12米．甲游客乘电梯去塔顶的燎望台，乙游客从塔外的楼梯爬上去．甲对乙说：“你走的距离是我的四倍”，乙说：“我走的距离是你的两倍”．那么说得对．
4．“蹦极”是一项勇敢者的运动，如图1所示，某人用弹性橡皮绳拴
住身体自高空P 处自由下落，在空中感受惊险和刺激．若此人体重为50kg ，橡皮绳长20m ，人可看成质点，g 取210m/s ，若橡皮绳可相当
一根弹性系数为100N/m 的轻弹簧，则此人下落到距P 点m 时具有最
大速度．
5．一次实验中，甲、乙两同学用已经校准过的两只不同型号的电压表
分别测量一电路上某一元件两端的电压，甲测得的结果是12.8V ，乙测得的结果是11.7V ，那么（填“甲”或“乙”）得到的结果更接近电压表未接入前此元件两端的电压值，原因是．
6．某火车站的钟楼上装有一时钟，在钟面的边界上，每一分钟的刻度处都装有一只小彩灯．晚上九点三十五分二十秒时，时针与分针所夹的角α内亮有只小彩灯．
7．重量为G 牛顿的重物挂在杠杆上到支点O （O 点为杆的一端点）的距离为a 处，杠杆质量分布均匀，单位长度上的重量为q 牛顿，那么杠杆长为时，可使加在杠杆的另一端点上用来平衡且与杠杆垂直的力F 最小．
8．一次台风使屋外气压急剧降到49.110Pa ⨯，当时门窗紧闭，可以认为室内气压是51.010Pa ⨯，若室内屋顶面积为2100m ，屋顶的质量为
1t ，屋顶与房屋结构的相互牵制力约为4
910N ⨯，那么这次台风中，屋顶被掀飞（填“会”或“不会”）．
二、选择题（每小题5分，共30分）
9．同一单位的甲、乙、丙三人到A 城出差，在安排住宿时，他们有三种住宿方案可供选择：
（1）三人同住一套间；（2）两人住标准间
（双人间）、一人住单间；（3）三人各住一个单间． 若宾馆方面对每个套间、每个标准间及单间的标准价分别为300元、160元、60元，同时对
图1
客户实行打折优惠，但这三类房间的折率各不相同，分别为5065%，%和80%，这三种住宿方案中最经济的为（ ）
Ａ．第一套方案 Ｂ．第二套方案
Ｃ．第三套方案 Ｄ．这三套方案都一样
10．四个飞镖投向镖板（如图2所示），四个得分相加得总分，没中
靶的算0分，则不可能得到的总分中最低的是（ ）
Ａ．19 Ｂ．40 Ｃ．41 Ｄ．81
11．“Rises the domain of fox ，(tan )cos 2and f x x = ” in true when the real number ()x ππ∈-22，，
the maximum of (cos 2)f x is （ ）
Ａ．0
Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．不存在
12．如果一个生态系统有四种生物，并构成一条食物链．该
生态系统受到DDT 的污染，一段时间后分别测得这四种生物
（甲、乙、丙、丁）体内所含DDT 的量如图3所示．在一段
时间内，如果乙的种群数量增加，那么会引起（ ）
Ａ．甲、丁生物数量增加，丙生物数量下降
Ｂ．甲、丙、丁生物数量均增加 Ｃ．甲、丁生物数量下降，丙生物数量增加 Ｄ．甲种生物数量下降，丙、丁生物数量增加
13．海豹即使在睡觉的时候也要浮出水面进行呼吸，生物学家经过对海豹长期的观察发现，开始时，海豹潜入海底开始睡觉，8分钟后，慢慢浮出水面开始呼吸，呼吸持续2分钟后，又慢慢下潜，3分钟后，又潜到海底睡觉，整个过程从开始到结束都非常有规律，若其上游到水面与下潜到海底所用时间一样，那么一小时后，海豹可能（ ）
Ａ．在海底 Ｂ．在上游的过程中 Ｃ．在海面 Ｄ．在下沉的过程中
14．在元旦到春节期间，华联商厦准备利用大屏幕反复播放一个广告节目，这个广告节目每次播放的时间是20秒钟，若开始只有一段20秒的录像母带，现用两盘录像带在一台录像机上转录，那么为录制一盘可以播放2个小时的广告节目，最少要录制（ ）
Ａ．12次 Ｂ．13次 Ｃ．14次 Ｄ．15次
三、解答题（每小题20分，共60分）
15．在高速公路上驾驶汽车，按规定，司机要准确识别前方100米处的交通标志，高速公路的最高限速是120千米／时，司机的最低“静视力”要求为“0.7”，在高速驾驶时的“动视力”约为“静视力”的70%．一般地，司机从“看见”到“确认”所需时间为1秒．请指出：交通标牌上的每一个方块汉字的大小为多少厘米才合适？（不考虑具体汉字的复杂程度，只给出作为正方形的方块汉字的边长即可）．
可参考的信息：5米距离测试用的《标准视力表》单字符的尺寸
图2 物种 图3
16．X 华编制了一个关于函数的程序，当输入x 后，经过运算，便输出19010
x +，此时程序立即对输出值作出一个判断：若输出值超过99.9，则停止工作；若输出值不超过99.9时，它会自动将输出值作为新的输入值输入，经过程序的作用，再作同样法则运算后输出，最终，打印机会依次打印出这些输出值．
（1）若输入值为10，则打印机打印出何种结果？
（2）若输入a 后，打印机只打印出了a ，问a 为多少？
（3）若输入b 后，打印机打印出了2个值，求b 的取值X 围？
17．在一段笔直的斜坡AC 上竖立两根高16m 的电杆AB CD ，，假定过B D ，架设的10万伏高压电缆呈抛物线形（如图4所示）．根据国家有关规定，高压电缆周围10m 内为不安全区域，现在观测发现视线AD 恰与电缆相切于点D （若抛物线方程为2
y ax bx c =++，则过其上的点()m n ，的切线斜率2k ma b =+）．问当有一个身高1.8m 的人在这段斜坡上走动时，这根高压电缆是否会对这个人的安全构成威胁？
四、开放题（本题20分）
18．已知教室长10m ，宽8m ，高3m ，课桌的高度为0.8m ，日光灯管长1m ，日光灯在课桌上方1.7m 时光线强度最合适．日光灯管有效照射X 围的横截面如图5所示（日光灯所在的直线与课桌AB 的方向垂直）．
教室的日光灯按如图6所示方式安装（图中数字表示物体间距，单位为米）．
已知，日光灯照射X 围俯视图为椭图（如图7所示），（椭圆的面积公式为S ab =π）． 问题：请对这种安装方式的合理性进行解释．（tan 50 1.19≈）
[参考答案]
100 B
D C 地面 图
5 图6
b 图7
B
D C A 图4
一、填空题（每小题5分，共40分）
1．163146 2．不能 3．乙说的对 4．25
5．甲：接入后，电压表与元件并联，电阻减小，电路上电流增大．元件两端电压减小，
故甲、乙实际测量值均小于实际元件两端电压值，而甲值＞乙值，所以甲较准确
6．12 78．会 二、选择题（每小题5分，共30分）
9．Ｃ 10．Ｃ 11．Ｃ 12．Ｄ 13．Ｃ 14．Ｃ
三、解答题（每小题20分，共60分）
15．设标志上的方块字的边长为x ．
考虑极端情况：司机以120千米／时行驶，即1秒行走33米．因此，驾驶员在距离标志133米时就要看标志． ················ （5分）
依题意，静视力为0.7的驾驶员的动视力是0.7700.5⨯≈%． ·· （8分）
据参考信息表：在5米的距离上，0.5的视力可以看清边长为14.5mm 的字符．于是有514.5133x =∶∶，
··················· （15分） 解得385.7mm x =，故交通标牌上汉字的边长应该不小于386mm ．
16．（1）第一次输入10x =后，经过程序的作用，便输出
1909110x +=，因为9199.9<，所以91又作新输入值被输入；
第二次输入91x =后，经过程序的作用，便输出19099.110
x +=，因为99.199.9<，所以99.1又作新输入值被输入；
第三次输入99.1x =后，经过程序的作用，便输出19099.9110
x +=，因为99.9199.9>，所以停止运算．
此时，打印机打印出了三个输出值：91，99.1，99.91 ······ (８分)
（2）输入值a 后，应输出19010a +，因打印机只打印出了a ，所以19010
a a +=， 所以100a =； ······················ （12分）
（3）第一次输入值b 后，输出19099.910
b +≤．① 第二次输入19010b +后，输出111(90)90991010100
b b ++=+． 因为打印机打印出了2个值，所以19999.9100
b +>．② 由①，②解得9099b <≤． ················ （20分） 所以，b 的取值X 围是(]9099，．
17．以B 为原点，AB 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则电缆所呈
现的抛物线方程可设为2
y ax bx =+．
word 记点D 的坐标为()m n ，，则抛物线在点D 处
的切线的斜率为2k am b =+，又AD 的斜率为16n m +，由题设知162n am b m
++=，即2216am bm n +=+．①
又点D 在抛物线上，故2
n am bm =+． ② 由①，②解得216a m =，16n b m
-=， 故抛物线方程为221616n y x x m m
-=+． ············ （8分） 又坡面AC 所在直线方程为16n y x m
=-，作直线EF y ∥轴且分别与抛物线及AC 相交于点E F ，， 则222216161616()(16)16n n EF x x x x x m m m m m
-=+--=-+ 2216()12122
m x m =-+≥， 当2m x =时取等号． ···················· （16分） 这说明电缆与坡面的铅直距离的最小值为12m ，这个距离比11.8m 大，则这根高压线是不会对这个人的安全构成威胁的． ············ （20分）
四、开放题（本小题20分）
18． 1.7tan 502 4.05(m)AB == ·············· （5分） 由于日光灯管长1m ，所以21m 4.05m 5.05m a =+=，2 4.05m b =．
······ （10分） 灯光照射面积为23.14 2.525 2.02516m S ab =π≈⨯⨯≈，80516
=． ······ （15分） 对照日光灯排列图与照明俯视图进行估计，现在的安装除了四个角落外都能提供
较为均匀的照明． ···················· （20分）
（说理清楚，计算正确可酌情给分）
x。