辽宁初三初中数学月考试卷带答案解析

辽宁初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.要使有意义，则的取值范围必须满足
A．B．C．≥3D．≤3
2.关于x的二次方程的一个根是0,则a的值为( ).
A．1B．-1C．1或-1D．
3.对于ax2+bx+c=0，有9a+3b+c=0和4a－2b+c=0成立，则的值为（）
A．7B．－7C．5D．－5
4.抛物线y=x2向上平移2个单位，得到新抛物线的函数表达式是（）
A．y=x2－2B．y=（x－2）2C．y=x2+2D．y=（x+2）2
5.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），⊙A的半径为5，则直线y=kx+6与⊙A的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
7.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高BC=5m，则坡面AB的长度是（）
A．10m B．10m C．15m D．5m
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且
AB=3CF，DG⊥AE，垂足为G，若DG=2，则AE的边长为（）
A．4B．6C．6D．4
二、填空题
1.最简二次根式与可以合并，则a的值为
2.某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．
3.如图，抛物线y＝－x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x
1，0）、B（x
2
，0），点A在点B的左侧．当x＝
x
2
－2时，y______0（填“＞”“＝”或“＜”号）．
4.已知x=2m+n+2和x=m+2n时，多项式x2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式
x2+4x+6的值等于．
5.如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到屏幕的距离为40cm，且幻灯片中的图形的高度为6cm，要想得到屏幕上图形的高度为18cm，则光源到幻灯片的距离
为 cm．
6.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长
为 .
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D在斜边AB上,且满足DC2=DA·DB；则DB＝
8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小的值是
三、计算题
计算：
四、解答题
1.2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B 两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生
命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
2.已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．
3.如图：在△ABC 中，AB=2，BC=2，AC=4，点O 是AC 的中点；回答下列问题：
（1）∠BAC= °
（2）画出将△ABC 绕点O 旋转180°得到的△A 1DC 1(A→A 1 B→D C→C 1），写出四边形ABCD 的形状。

（3）尺规作图：在图中作出△ABC 的高线AE （保留作图痕迹），并回答在四边形ABCD 的边上（点A 除外）是否存在点F ，使∠EAC=∠EFC; 若存在点F ，写出这样的点F 一共有几个？并直接写出DF 的长。

若不存在这样的点F ，请简要说明理由。

4.已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
5.如图所示，AB 是⊙O 的直径，AE 是弦，C 是劣弧AE 的中点，过C 作CD ⊥AB 于点D ，CD 交AE 于点F ，过
C 作CG ∥AE 交BA 的延长线于点G ．连接OC 交AE 于点H 。

（1）求证：GC ⊥OC ． （2）求证：AF=CF ． （3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA 的长．
6.如图，已知△OAB 的顶点A （﹣6，0），B （0，2），O 是坐标原点，将△OAB 绕点O 按顺时针旋转90°，得
到△ODC ．
（1）写出C ，D 两点的坐标；
（2）求过A ，D ，C 三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E 的坐标； （3）证明AB ⊥BE ．
7.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x 元（x 为10的整数倍）． (1)设一天订住的房间数为y ，直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围； (2)设宾馆一天的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
8.阅读材料
如图①，△ABC 与△DEF 都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连结BF 、CD 、CO ，显然点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明△BOF ≌△COD ，则BF=CD ．解决问题： （1）将图①中的Rt △DEF 绕点O 旋转得到图②，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC 与△DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC 与△DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出
的值（用含α的式子表示出来）
辽宁初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.要使有意义，则的取值范围必须满足
A ．
B ．
C ．≥3
D ．≤3
【答案】C.
【解析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．先根据二次根式有意义的条件列出x 的不等式x-3≥0，解得x≥3，故选C. 【考点】二次根式有意义的条件．
2.关于x 的二次方程的一个根是0,则a 的值为( ). A ．1
B ．-1
C ．1或-1
D ．
【答案】B.
【解析】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．因为一元二次方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0的一个根是0，将x=0代入方程得到关于a 的方程：a 2-1=0，求出方程的解得到a 的值：a=1或a=-1，将a 的值代入方程进行检验，当a=1时，方程的二次项系数为0，不合题意，舍去，当a=-1时，符合题意.故选B
【考点】1、一元二次方程的解；2、以及一元二次方程的解法.
3.对于ax 2+bx+c=0，有9a+3b+c=0和4a －2b+c=0成立，则的值为（ ）
A ．7
B ．－7
C ．5
D ．－5
【答案】B.
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，则
，
.还考查了一元二次方程的解．首先由9a+3b+c=0和4a-2b+c=0成立，可得x 1=3，x 2=-2是方程
ax 2+bx+c=0的解.再由根与系数的关系，求得两根之和与两根之积，即：，
，所求分
式
．故选B.
【考点】1、一元二次方程根与系数的关系；2、一元二次方程的解.
4.抛物线y=x 2向上平移2个单位，得到新抛物线的函数表达式是（ ）
A ．y=x 2－2
B ．y=（x －2）2
C ．y=x 2
+2
D ．y=（x+2）
2
【答案】B.
【解析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则进行解答即可．由“上加下减”的原则可知，二次函数y=x 2的图象向上平移3个单位，得到新的图象的二次函数表达式是，y=x 2+3．故选B ．
【考点】二次函数图象与几何变换．
5.下列图形中，是中心对称图形的是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B.
【解析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能
和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．本题中四个图形都是圆形，因此旋转中心应该是圆心，而选项A、C、D绕圆心旋转180度后，圆内的图案不能和原图形重合，所以不符合，只有选项B符合；故选B．
【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象．
6.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4,3），⊙A的半径为5，则直线y=kx+6与⊙A的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相交
【答案】D.
【解析】此题主要考查了勾股定理以及直线与圆的位置关系，根据已知得出直线y＝kx+6(k≠0)与y轴交点是解题
关键．设⊙A与y轴交点为B,则点B的坐标是（0,6），再由点A的坐标利用勾股定理可求⊙A的半径为5，如图，可求AB=6，即点B在圆上，所以无论K>0或K<0，直线y＝kx+6(k≠0)与⊙A要么相交、要么相切.故选D.
【考点】1、勾股定理；2、直线与圆的位置关系.
7.如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），堤高
BC=5m，则坡面AB的长度是（）
A．10m B．10m C．15m D．5m
【答案】A.
【解析】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．在
Rt△ABC中，已知BC=5米，，所以米，进而可得：
米.故选A.
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且
AB=3CF，DG⊥AE，垂足为G，若DG=2，则AE的边长为（）
A．4B．6C．6D．4
【答案】B.
【解析】由AE 为角平分线，得到∠DAE=∠BAE ，再由ABCD 为平行四边形，得到AB//CD ，∠BAE=∠DFA ；所以DA=DF ；由AB=6，AB=3CF 可知：CF=2、DF=DA=4；由DG ⊥AE ，根据三线合一得到G 为AF 中点，在直角三角形ADG 中，由AD=4、DG=2得,所以；由AB//CD ，可得△ABE ∽△FCE ，所以
，解得：
，所以
.故选B.
【考点】1、平行四边形的性质；2、等腰三角形的性质；3、勾股定理；4、相似三角形的判定与性质.
二、填空题
1.最简二次根式
与
可以合并，则a 的值为
【答案】2.
【解析】由两个二次根式可以合并得，解二元一次方程得：或，当时，原二次根式不是最简二次根式，所以. 【考点】最简二次根式的定义．
2.某小区2011年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________． 【答案】20%．
【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，在解题时要根据已知条件找出等量关系，列出方程是本题的关键．设出这个增长率是x ，再根据已知条件找出等量关系列出方程2000×（1+x ）2=2880；解得：x 1=20%，x 2=-220%（舍去）；故答案为：20%． 【考点】一元二次方程的应用．
3.如图，抛物线y ＝－x 2+2x+m （m ＜0）与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0），点A 在点B 的左侧．当x ＝
x 2－2时，y______0（填“＞”“＝”或“＜”号）．
【答案】＜．
【解析】本题考查了二次函数根与系数的关系，由根与系数的关系得到m 小于0，并能求出x=x 2-2小于0，结合图象从而求得y 值的大于0．
解：∵抛物线y=-x 2+2x+m （m ＜0）与x 轴相交于点A （x 1，0）、B （x 2，0）， ∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-m ＞0， ∴m ＜0，x 1＞0，x 2＞0， ∵x 1+x 2=2 ∴x 1=2-x 2 ∴x=-x 1＜0 ∴y ＜0
故答案为＜．
【考点】抛物线与x 轴的交点．
4.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于 ． 【答案】3．
【解析】先将x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x2+4x+6的值相等理解为x=2m+n+2和x=m+2n 时，二次函数y=x 2+4x+6的值相等，则可求抛物线的对称轴为：；又二次函数y=x 2+4x+6的
对称轴为直线x=-2，故可得出
，化简得m+n=-2，所以当x=3（m+n+1）=3×（-2+1）=-3时，
x 2+4x+6=3．
【考点】二次函数的性质．
5.如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上，若幻灯片到屏幕的距离为40cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，要想得到屏幕上图形的高度为18cm ，则光源到幻灯片的距离
为 cm．
【答案】20.
【解析】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解.建立适当的数学模型是解决此类问题的关键.根据题意画图如下：DE=6cm、EC=40cm、BC=18cm，求AE的长度.由DE∥BC可得：△AED∽△ACB，所以AE：AC =DE：BC；设AE="x" cm，则x:(x+40)="6:18" ；解得x="20"
cm．故答案为：20．
【考点】相似三角形的应用．
6.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长
为 .
【答案】.
【解析】本题考查了含30度角的直角三角形性质，勾股定理，垂径定理的应用，主要考查学生的推理和计算能力．连接OB，过O作OC⊥AB于C，根据含30度角的直角三角形性质求出OC=2，根据勾股定理求出，
根据垂径定理得出AB=2BC，所以.
【考点】1、垂径定理；2、含30度角的直角三角形；3、勾股定理．
7.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点D在斜边AB上,且满足DC2=DA·DB；则DB＝
【答案】1.8或2.5.
【解析】由勾股定理可得：AB=5；如图①，当CD⊥AB时，则有△BCD∽△CAD,所以,即CD2=AD·CD,由三角形面积公式求得CD=3×4÷5=2.4，在Rt△BCD中，由勾股定理可知；如图②，当D
是斜边AB的中点时，则有AD=BD=CD,所以CD2=AD·BD,此时，DB=2.5.所以DB的长度是1.8或2.5.
【考点】1、相似三角形的性质；2、直角三角形的性质；3、勾股定理.
8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有□ADCE中，DE最小
的值是
【答案】3.
【解析】根据平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短可知：当OD⊥BC时，DE线段取最小值．
解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OC=2.5．
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC．
∴，
∴ED=2OD=3．
【考点】1、平行四边形的性质；2、垂线段最短；3、平行线之间的距离．
三、计算题
计算：
【答案】.
【解析】本题主要考查了二次根式的混合运算．熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．本题中先根据平方差公式计算乘法以及零指数幂的意义，去掉括号后，计算加减法．
试题解析：
解：原式=
=
【考点】二次根式的混合运算．
四、解答题
1.2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B
两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生
命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）
【答案】5.5米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可．
试题解析：
解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
则AD=，CD=x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
则BD=CD=x，
由题意得，
解得：
答：生命所在点C的深度为5.5米．
【考点】解直角三角形的应用．
2.已知关于x的方程．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；
（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，
求满足条件的m 的最小值． 【答案】(1)、k≤5；(2)、k 1=3-，k 2=3+；(3)-5．
【解析】本题易用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．（2）将x=1代入方程，得到关于k 的方程，求出即可，（3）写出两根之积，两根之积等于m ，进而求出m 的最小值． 试题解析：
解：（1）由题意得△=[-2（k-3）]2-4×（k 2-4k-1）≥0 化简得-2k+10≥0，解得k≤5．
（2）将1代入方程，整理得k 2-6k+6=0，解这个方程得k 1=3-，k 2=3+．
（3）设方程x 2-2（k-3）x+k 2
-4k-1=0的两个根为x 1，x 2，
根据题意得m=x 1x 2．又由一元二次方程根与系数的关系得x 1x 2=k 2-4k-1， 即：m=k 2-4k-1=（k-2）2-5，所以，当k=2时，m 有最小值-5．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征．
3.如图：在△ABC 中，AB=2，BC=2，AC=4，点O 是AC 的中点；回答下列问题：
（1）∠BAC= °
（2）画出将△ABC 绕点O 旋转180°得到的△A 1DC 1(A→A 1 B→D C→C 1），写出四边形ABCD 的形状。

（3）尺规作图：在图中作出△ABC 的高线AE （保留作图痕迹），并回答在四边形ABCD 的边上（点A 除外）是否存在点F ，使∠EAC=∠EFC; 若存在点F ，写出这样的点F 一共有几个？并直接写出DF 的长。

若不存在这样的点F ，请简要说明理由。

【答案】（1）900；（2）平行四边形；（3）存在一个这样的点，
.
【解析】（1）已知三角形三边长度，易用勾股定理的逆定理判定该三角形为直角三角形.（2）根据旋转的性质作图后,由旋转的性质易得AB//CD 、AD//BC ，故四边形ABCD 是平行四边形；（3）可以把∠EAC 看做是弧BC 的圆周角，则点E 、A 、C 三点共圆，根据AE ⊥BC ，可知AC 是圆的直径，故以点O 为圆心，以AC 为直径作圆，圆与四边形ABCD 的边的交点即为所求点F ，此时易得∠AFC=900；因为△ADC 是△ABC 绕点O 旋转得来的，可根据三角形的面积及勾股定理求得CF 、AF 的长度，进而可得DF 的长度. 试题解析：
解：（1）∵在△ABC 中，AB=2，BC=，AC=4， ∴； ∴ ∴
（20如下图所示，△A 1DC 1即为所求△.由旋转可得：∠BCA=∠DAC ；∠BAC=∠DCA ∴AB//CD ；AD//BC
∴四边形ABCD 是平行四边形.
如上图所示，AE 即为所求高线，有一个符合条件的点，点F 即为所求点. ∵∠AEC=900，点O 是AC 的中点
∴点E 、A 、C 三点共圆，且点O 为圆心，AC 为⊙O 的直径， ∴∠EAC=∠EFC ；∠AFC=900
∵△ADC 是△ABC 绕点O 旋转得来的， ∴AD=BC ；CD=AB ∴
∴
∴
.
【考点】1、勾股定理的及逆定理；2、平行四边形的判定；3、圆周角定理.
4.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
【答案】（1）证明详见解析；（2）0或9．
【解析】此题考查了抛物线与x轴的交点或一次函数与x轴的交点，是典型的分类讨论思想的应用．（1）根据解
析式可知，当x=0时，与m值无关，故可知不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）．（2）应分两种情况讨论：①当函数为一次函数时，与x轴有一个交点；②当函数为二次函数时，利用根与
系数的关系解答．
试题解析：
解：（1）∵当x=0时，y=1．
∴不论m为何值，函数y=mx2-6x+1的图象都经过y轴上一个定点（0，1）；
（2）①当m=0时，函数y=-6x+1的图象与x轴只有一个交点；
②当m≠0时，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2-6x+1=0有两个相等的实数根，
所以△=（-6）2-4m=0，m=9．
综上，若函数y=mx2-6x+1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9．
【考点】抛物线与x轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．
5.如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过
C作CG∥AE交BA的延长线于点G．连接OC交AE于点H。

（1）求证：GC⊥OC．
（2）求证：AF=CF．
（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．
【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）.
【解析】本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定．(1)连结OC，由C是劣弧AE的中点，由垂径定理得OC⊥AE，而CG∥AE，所以
CG⊥OC，然后根据切线的判定定理即可求解；(2)连结AC、BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠B=∠1，而CD⊥AB，则∠CDB=90°，根据等角的余角相等得到∠B=∠2，所以∠1=∠2，于是得到AF=CF；
(3)在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由
AF∥CG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF；然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可求解．试题解析：
（1）证明：如图，连结OC，
∵C是劣弧AE的中点，
∴OC⊥AE，
∵CG∥AE，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）证明：连结AC、BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠BCD=90°，
而CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠B=∠2，
∵AC弧=CE弧，
∴∠1=∠B，
∴∠1=∠2，
∴AF=CF；
（3）解：在Rt△ADF中，∠DAF=30°，FA=FC=2，
∴DF=AF=1，
∴AD=DF=，
∵AF∥CG，
∴DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，
∴AG=．
【考点】1、切线的判定；2、等腰三角形的判定与性质；3、垂径定理；4、圆周角定理；4、相似三角形的判定与性质．
6.如图，已知△OAB的顶点A（﹣6，0），B（0，2），O是坐标原点，将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC．
（1）写出C，D两点的坐标；
（2）求过A，D，C三点的抛物线的解析式，并求此抛物线顶点E的坐标；
（3）证明AB⊥BE．
【答案】（1）C（2，0），D（0，6）；（2），顶点E的坐标是（-2，8）；（3）详见解析.
【解析】本题考查了旋转的性质，二次函数的解析式及顶点坐标的求法，勾股定理的逆定理，综合性较强，难度不大．运用待定系数法求二次函数的解析式是中考的常考点，需熟练掌握，解题时根据条件设出适当的解析式，能使计算简便．（1）根据旋转的性质，可得OC=OB，OD=OA，进而可得C、D两点的坐标；
（2）由于抛物线过点A（-6，0），C（2，0），所以设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），再将D （0，6）代入，求出a的值，得出抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点E的坐标；（3）已知A、B、E三点的坐标，运用两点间的距离公式计算得出AB2=40，BE2=40，AE2=80，则AB2+BE2=AE2，根据勾股定理的逆定理即可证明AB⊥BE．
试题解析：
解：（1）∵将△OAB绕点O按顺时针旋转90°，得到△ODC，
∴△ODC≌△OAB，
∴OC=OB=2，OD=OA=6，
∴C（2，0），D（0，6）；
（2）∵抛物线过点A（-6，0），C（2，0），
∴可设抛物线的解析式为y=a（x+6）（x-2）（a≠0），
∵D（0，6）在抛物线上，
∴6=-12a，
解得a=，
∴抛物线的解析式为
∴
∵
∴顶点E的坐标为（-2，8）；
（3）连接AE．
∵A（-6，0），B（0，2），E（-2，8），
∴AB2=62+22=40，BE2=（-2-0）2+（8-2）2=40，AE2=（-2+6）2+（8-0）2=80，
∴AB2+BE2=AE2，
∴AB⊥BE．
【考点】1、二次函数综合题；2、旋转的性质．
7.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价
每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每
个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．
(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1），且（0≤x≤160，且x为10的正整数倍）；（2）；（3）订住
34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．
【解析】本题是二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑x的范围，直接求顶点坐标．（1）理
解每个房间的房价每增加x元，则减少房间间，则可以得到y与x之间的关系；（2）每个房间订住后每间的利
润是房价减去20元，每间的利润与所订的房间数的积就是利润；（3）求出二次函数的对称轴，根据二次函数的
增减性以及x的范围即可求解．
试题解析：
解：（1）由题意得：，且（0≤x≤160，且x为10的正整数倍）
（2），即
（3）w=
抛物线的对称轴是：，抛物线的开口向下，当x＜170时，w随x的增大而增大，但0≤x≤160，因而
当x=160时，即房价是340元时，利润最大，
此时一天订住的房间数是：50-（160÷10）=34间，
最大利润是：34×（340-20）=10880元．
答：一天订住34个房间时，宾馆每天利润最大，最大利润为10880元．
【考点】二次函数的应用．
8.阅读材料
如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD．解决问题：
（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如
果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；
（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写
出的值（用含α的式子表示出来）
【答案】（1）BF=CD．证明详见解析；（2）不成立，；（3）.
【解析】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边
三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD，即可得到BF=CD；
（2）如答图③所示，连接OC、OD，可证明△BOF∽△COD，进而求出相似比为；（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，进而可求相似比为.
试题解析：
解：（1）猜想：BF=CD．理由如下：如答图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD．
（2）答：（1）中的结论不成立．
如答图③所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴，∠BOC=90°
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴，∠DOF=90°．
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵，∠BOF=∠COD，
∴△BOF∽△COD，
∴．
（3）如答图④所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，
∴，∠BOC=90°
∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，
∴，∠DOF=90°．
∴
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
在△BOF与△COD中，
∵，∠BOF=∠COD，∴△BOF∽△COD，
∴．
【考点】几何图形变换综合题．。