高中数学第二章平面向量2.3平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算学案无答案新人教A版必修

2．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
2．3.3 平面向量的坐标运算
学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
知识点一 平面向量的正交分解
思考 如果向量a 与b 的夹角是90°，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b .互相垂直的两个向量能否作为平面内所有向量的一组基底？
答案 互相垂直的两个向量能作为平面内所有向量的一组基底． 梳理 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点二 平面向量的坐标表示
思考1 如图，向量i ，j 是两个互相垂直的单位向量，向量a 与i 的夹角是30°，且|a |＝4，以向量i ，j 为基底，如何表示向量a?
答案 a ＝23i ＋2j .
思考2 在平面直角坐标系内，给定点A 的坐标为A (1,1)，则A 点位置确定了吗？给定向量
a 的坐标为a ＝(1,1)，则向量a 的位置确定了吗？
答案 对于A 点，若给定坐标为A (1,1)，则A 点位置确定．对于向量a ，给定a 的坐标为a ＝(1,1)，此时给出了a 的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任意平移，因此a 的位置不确定．
思考3 设向量BC →＝(1,1)，O 为坐标原点，若将向量BC →平移到OA →，则OA →
的坐标是多少？A 点坐标是多少？
答案 向量OA →的坐标为OA →
＝(1,1)，A 点坐标为A (1,1)． 梳理 (1)平面向量的坐标
①在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记
作a ＝(x ，y )．
②在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0)． (2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
区别
表示形式不同
向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点A (x ，y )中间没有等号 意义 不同 点A (x ，y )的坐标(x ，y )表示点A 在平面直角坐标系中的位置，a ＝(x ，
y )的坐标(x ，y )既表示向量的大小，也表示向量的方向．另外(x ，y )既
可以表示点，也可以表示向量，叙述时应指明点(x ，y )或向量(x ，y ) 联系 当平面向量的始点在原点时，平面向量的坐标与向量终点的坐标相同
知识点三 平面向量的坐标运算
思考 设i ，j 是分别与x 轴、y 轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，根据向量的线性运算性质，向量a ＋b ，a －b ，λa (λ∈R )如何分别用基底i ，j 表示？
答案 a ＋b ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ，
a －
b ＝(x 1－x 2)i ＋(y 1－y 2)j ，λa ＝λx 1i ＋λy 1j .
梳理 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，
数学公式 文字语言表述
向量加法
a ＋
b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘 λa ＝(λx 1，λy 1)
实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
1．相等向量的坐标相等．( √ )
2．在平面直角坐标系内，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则向量AB →
＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．( × ) 提示 AB →
＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．
3．与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量分别为：i ＝(1,0)，j ＝(0,1)．( √ )
类型一 平面向量的坐标表示
例1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →
＝
a ，AB →
＝b .
四边形OABC 为平行四边形． (1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →
的坐标； (3)求点B 的坐标．
考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 (1)作AM ⊥x 轴于点M ，
则OM ＝OA ·cos45° ＝4×
2
2
＝22， AM ＝OA ·sin45°
＝4×
2
2
＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22)． ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，
∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，332，
即b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，332.
(2)BA →＝－AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－332.
(3)OB →＝OA →＋AB →
＝(22，22)＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，332
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫22－32，22＋332.
反思与感悟 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标．
跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．
考点 平向向量的正交分解及坐标表示 题点 利用平面向量的正交分解求向量的坐标 解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)， 则a 1＝|a |cos45°＝2×
2
2
＝ 2. a 2＝|a |sin45°＝2×
2
2
＝2， b 1＝|b |cos120°＝3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－32
，
b 2＝|b |sin120°＝3×
32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×
3
2
＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12
＝－2.
因此a ＝(2，2)，b ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，332，c ＝(23，－2)．
类型二 平面向量的坐标运算
例2 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：
(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －1
3b .
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－1
3
(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－76，23. 反思与感悟 向量坐标运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
跟踪训练2 已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →
等于( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4)
D ．(1,4)
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A
解析 设C (x ，y )，则AC →
＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 即x ＝－4，y ＝－2，
故C (－4，－2)，则BC →
＝(－7，－4)， 故选A.
类型三 平面向量坐标运算的应用
例3 已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若AP →＝AB →＋λAC →
(λ∈R )，试求λ为何值时： (1)点P 在第一、三象限的角平分线上； (2)点P 在第三象限内．
考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 解 设点P 的坐标为(x ，y )，
则AP →
＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， AB →
＋λAC →
＝(5,4)－(2,3)＋λ[(7,10)－(2,3)]
＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵AP →＝AB →＋λAC →，且AB →与AC →
不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝5＋5λ，
y ＝4＋7λ.
(1)若点P 在第一、三象限角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ， ∴λ＝1
2
.
(2)若点P 在第三象限内，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
5＋5λ<0，
4＋7λ<0，∴λ<－1.
反思与感悟 (1)待定系数法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用． (2)坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值．
跟踪训练3 已知平面上三点的坐标分别为A (－2,1)，B (－1,3)，C (3,4)，求点D 的坐标，使这四点构成平行四边形的四个顶点． 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 解 当平行四边形为ABCD 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，DC →
＝(3－x,4－y )， 且AB →＝DC →
，得D (2,2)．
当平行四边形为ACDB 时，设D (x ，y )， 由AB →＝(1,2)，CD →＝(x －3，y －4)，且AB →＝CD →， 得D (4,6)．
当平行四边形为ACBD 时，设D (x ，y )， 由AC →＝(5,3)，DB →＝(－1－x,3－y )，且AC →＝DB →， 得D (－6,0)，
故D 点坐标为(2,2)或(4,6)或(－6,0).
1．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则12a －3
2b 等于( )
A ．(－1,2)
B ．(1，－2)
C ．(－1，－2)
D ．(1,2)
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A
解析 12a －32b ＝12(1,1)－3
2
(1，－1)
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－32，12＋32＝(－1,2)． 2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →
＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C ．(－8,1)
D ．(8,1)
考点 平面向量的坐标运算 题点 平面向量的坐标运算 答案 A
解析 ∵AB →＝OB →－OA →
＝(－8,1)，∴12AB →＝⎝
⎛⎭⎪⎫－4，12.
3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →
，则顶点D 的坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，72
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12 C ．(3,2)
D ．(1,3)
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 A
解析 设D 点坐标为(x ，y )，则BC →
＝(4,3)， AD →
＝(x ，y －2)，
由BC →＝2AD →
，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
4＝2x ，3＝2y －2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝7
2
，∴D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，72.
4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求参数 答案 7
解析 由于p ＝m a ＋n b ，
即(9,4)＝(2m ，－3m )＋(n,2n )＝(2m ＋n ，－3m ＋2n )， 所以2m ＋n ＝9且－3m ＋2n ＝4， 解得m ＝2，n ＝5，所以m ＋n ＝7.
5．已知点A (2,1)，B (－2,3)，且AC →＝12AB →
，则点C 的坐标为________．
考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 (0,2)
解析 设C (x ，y )，则(x －2，y －1)＝1
2(－4,2)＝(－2,1)，
∴x ＝0，y ＝2.
1．向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量，是向量坐标表示的理论依据．向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化．
2．要区分向量终点的坐标与向量的坐标．由于向量的起点可以任意选取，如果一个向量的起点是坐标原点，这个向量终点的坐标就是这个向量的坐标；若向量的起点不是原点，则向量的终点坐标不是向量的坐标，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则AB →
＝(x B －x A ，y B －y A )．
3．向量和、差的坐标就是它们对应向量坐标的和、差，数乘向量的坐标等于这个实数与原来向量坐标的积.
一、选择题
1．已知M (2,3)，N (3,1)，则NM →
的坐标是( ) A ．(2，－1) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(1，－2)
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 B
解析 NM →
＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．
2．已知a －1
2b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( )
A ．(－2，－2)
B ．(2,2)
C ．(－2,2)
D ．(2，－2)
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D
3．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c 等于( ) A ．3a －b B ．3a ＋b C ．－a ＋3b
D ．a ＋3b
考点 平面向量的坐标运算的应用 题点 用坐标形式下的基底表示向量 答案 A
解析 设c ＝x a ＋y b ，
则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －y ＝4，x ＋y ＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3，
y ＝－1，
∴c ＝3a －b .
4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →
同向的单位向量是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5
，－45
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－35，45
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－45，35
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5
，－35
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 A
解析 因为与AB →
同向的单位向量为AB →|AB →|，
AB →
＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，
|AB →|＝32
＋－4
2
＝5，
所以AB →
|AB →|
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
5
，－45.
5．如果将OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →，则OB →
的坐标是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1
2，32 B.⎝
⎛⎭⎪⎫3
2
，－12
C ．(－1，3)
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
32，12 考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D
解析 因为OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12所在直线的倾斜角为30°，绕原点O 逆时针方向旋转120°得到OB →
所
在直线的倾斜角为150°，所以A ，B 两点关于y 轴对称，由此可知B 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，12，故OB →
的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32，12，故选D.
6．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN 上的点，且PN →＝－2PM →
，则P 点的坐标为( ) A ．(－14,16) B ．(22，－11) C ．(6,1)
D ．(2,4) 考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标 答案 D
7．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(－2,0)
D ．(0,2) 考点 平面向量坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标 答案 D
解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝2，
∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)．
二、填空题
8．已知平面上三点A (2，－4)，B (0,6)，C (－8,10)，则12AC →－14
BC →的坐标是________． 考点 平面向量的坐标运算
题点 平面向量的坐标运算
答案 (－3,6)
9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，则MN →的坐标为________．
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
答案 (9，－18)
解析 CM →＝3(1,8)＝(3,24)，
CN →＝2(6,3)＝(12,6)，
MN →＝CN →－CM →＝(12,6)－(3,24)＝(9，－18)．
10.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ
的值为________．
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 4
解析 以向量a 和b 的交点为原点建立平面直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb 得(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，有－λ＋6μ＝－1，λ
＋2μ＝－3，解得λ＝－2且μ＝－12，故λμ
＝4. 11．已知A (2,3)，B (1,4)，且12AB →＝(sin α，cos β)，α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. 考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
答案 π6或－π2
解析 因为12AB →
＝12(－1,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12＝(sin α，cos β)，
所以sin α＝－12且cos β＝12，
∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以α＝－π6，β＝π3或－π3，
所以α＋β＝π6或－π2.
三、解答题
12．已知点A (－1,2)，B (2,8)及AC →＝13AB →
，DA →＝－13BA →
，求点C ，D 和CD →的坐标．
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求向量的坐标
解 设点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，
由题意可得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →
＝(3,6)，
DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →
＝(－3，－6)．
∵AC →＝13AB →
，DA →＝－13BA →
，
∴(x 1＋1，y 1－2)＝13(3,6)＝(1,2)，
(－1－x 2,2－y 2)＝－13(－3，－6)＝(1,2)，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝1，
y 1－2＝2和⎩⎪⎨
⎪⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，
y 1＝4和⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，
y 2＝0.
∴C ，D 的坐标分别为(0,4)和(－2,0)，
∴CD →＝(－2，－4)．
13．已知a ＝(2,1)，b ＝(－1,3)，c ＝(1,2)，求p ＝2a ＋3b ＋c ，并用基底a ，b 表示p . 考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 用坐标形式下的基底表示向量
解 p ＝2a ＋3b ＋c
＝2(2,1)＋3(－1,3)＋(1,2)
＝(4,2)＋(－3,9)＋(1,2)＝(2,13)．
设p ＝x a ＋y b ＝x (2,1)＋y (－1,3)＝(2x －y ，x ＋3y )，
a 与
b 不共线，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝2，x ＋3y ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝197，y ＝247.
∴p ＝197a ＋247
b . 四、探究与拓展
14．已知点A (3，－4)与B (－1,2)，点P 在直线AB 上，且|AP →|＝2|PB →|，求点P 的坐标．
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求点的坐标
解 设P 点坐标为(x ，y )，|AP →|＝2|PB →|.
当P 在线段AB 上时，AP →＝2PB →.
∴(x －3，y ＋4)＝2(－1－x,2－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－2－2x ，y ＋4＝4－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13，y ＝0.
∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，0. 当P 在线段AB 延长线时，AP →＝－2PB →.
∴(x －3，y ＋4)＝－2(－1－x,2－y )，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝2＋2x ，y ＋4＝－4＋2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－5，y ＝8.
综上所述，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，0或(－5,8)． 15．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.
(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？
(2)四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求t 值；若不能，说明理由．
考点 平面向量的坐标运算的应用
题点 利用平面向量的坐标运算求参数
解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，
若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，
∴t ＝－23.
若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，
∴t ＝－13，
若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧
1＋3t <0，2＋3t >0， ∴－23<t <－13.
(2)OA →＝(1,2)，PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形，
则OA →＝PB →，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．
故四边形OABP 不能成为平行四边形．。