初中数学北师大版八年级下册《13线段的垂直平分线(2)》教学设计

北师大版数学八年级下 1.3 线段的垂直平分线（2）教学设计
下面，让我们一起完成下面的问题：
例1：求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并
且这一点到三个顶点的距离相等.
已知：如图,在△ABC中，边AB的垂直平分线与边BC的
垂直平分线与边BC相交于点P.
求证：边AC的垂直平分线经过点P，且P A＝PB＝PC.
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P A = PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等）.
同理，PB＝PC.
∴P A =PB＝PC.
∴点P在线段AC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上），
即：边AC的垂直平分线经过点P.
归纳：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
追问：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个交点一定在三角形内部吗？
答案：如图所示
(1)锐角三角形三边垂直平分线交于三角形内部；
(2)直角三角形三边垂直平分线交于三角形斜边中点；
(3)钝角三角形三边垂直平分线交于三角形外部．
指出：这是一个证明三条直线交于一点的证明依据.
练习1：如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC 的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝
________．
答案：38°
议一议：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能
画出满足条件的三角形吗？如果能，能画出几个？所画出的三角形都全等吗？
答：如图所示，能画出来，能画无数个，它们不一定全等
议一议：(2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？
答：能，能作1个.
例1：已知一个等腰三角形的底边及底边上的高,求作这个等腰三角形.
已知：如图，线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.
作法：（1）作线段BC=a,
（2）作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D，
（3）在l上作线段DA，使DA=h，
（4）连接AB、AC.
△ABC为所求的等腰三角形.
思考：已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂线，使它经过点P.
小明的作图过程如下，
你能明白他的作法吗？
答案：先在直线l上作线段AB，使点P是线段AB的中点；
再作线段AB的垂直平分线.即可以过点P出直线l垂线.议一议：如果点C是直线AB外一点，那么怎样用尺规作直线AB的垂线，使它经过点C呢？
作法：(1)任意取一点K，使点K与点C在直线AB的两旁；
(2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
(3)分别以点D和点E为圆心，以大于1
2
DE的长为半径
作弧,两弧相交于点F；
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
练习2：已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC 上取一点P，使得P A＋PC＝BC，则下列选项正确的是()
答案：D
1．如图，地面上有三个洞口A，B，C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及三个洞口(到A，B，C三个点的距离相等)，尽快抓到老鼠，应该蹲守在()
A．△ABC三边垂直平分线的交点处
B．△ABC三条角平分线的交点处
C．△ABC三条高所在直线的交点处
D．△ABC三条中线的交点处
答案：A
2．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作线段AB的垂直平分线．
小芸的作法如下：
如图，①分别以点A和点B为圆心，大于1
2
AB的长为半
径作弧，两弧相交于C，D两点；
②作直线CD．
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是什么？
答案：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线
3.如图，河流AB的一旁有一村庄P，现要在河流上修建供水站向村庄P供水，要使供水路径最短，求作供水站M 的位置．
作法：（1）以P为圆心，以适当的长度为半径画弧，交直线AB于C，D两点．
（2）作线段CD的垂直平分线MN，交CD于M.
M点就是所求作的点．
如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹．
步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；
步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，
交弧①于点D；
步骤3：连接AD，交BC的延长线于点H.
下列叙述正确的是()
A．BH垂直平分线段AD B．AC平分∠BAD C．S△AB C＝BC·AH D．AB＝AD
答案：A
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·河北）尺规作图要求：
Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；
Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；
Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
正确的配对是（）
A.①-Ⅳ,②-Ⅱ,③-Ⅰ,④-Ⅲ
B.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅱ,④-Ⅰ
C.①-Ⅱ,②-Ⅳ,③-Ⅲ,④-Ⅰ
D.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅱ,④-Ⅲ
答案：D
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知。