人教版数学八年级下册数学期末试卷易错题(Word版含答案)

人教版数学八年级下册数学期末试卷易错题（Word 版含答案） 一、选择题 1．化简22169(35)x x x -+--的结果是（ ）
A ．66x -
B ．66x -+
C ．-4
D ．4 2．由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A ．7，24，25 B ．4，5，41 C ．3，5，4 D ．4，5，6 3．下列命题中，真命题是（ ）
A ．四个内角为60︒、120︒、60︒和120︒的四边形是一定是平行四边形
B ．一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形
C ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D ．一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形
4．若a 、b 、c 的平均数为7，则1a +、2b +、3+c 的平均数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
5．如图所示，正方形ABCD 的边长为4，点E 为线段BC 上一动点，连结AE ，将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EF ，连结BF ，取BF 的中点M ，若点E 从点B 运动至点C ，则点M 经过的路径长为（ ）
A ．2
B ．22
C ．23
D ．4
6．如图，△ABC ，AB ＝10cm ，BC ＝7 cm ，AC ＝6 cm ，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在 AB 边上的点E 处，折痕为BD ，则△AED 的周长为（ ）
A ．6cm
B ．7cm
C ．9cm
D ．10cm
7．如图，△ABC 中，∠ABC =90°，AB =BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1、l 2、l 3上，且l 1、l 2之间的距离为1，l 2、l 3之间的距离为3，则AC 的长是（ ）
A ．4
B ．5
C ．52
D ．10
8．如图，直线 y 1 与 y 2 相交于点C ， y 1 与 x 轴交于点 D ，与 y 轴交于点(0,1)， y 2 与 x 轴 交于点 B (3,0)，与 y 轴交于点 A ，下列说法正确的个数有（ ）
①y 1的 解 析 式 为12y x =+；② OA = OB ；③
22AC BC =；④12y y ⊥；⑤ ∆AOB ≅ ∆BCD . A ．2 个 B ．3个 C ．4 个 D ．5 个
二、填空题
9．二次根式5x -中字母x 的取值范围是__________．
10．一个菱形的两条对角线长分别为3cm ，4cm ，这个菱形的面积S=______．
11．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab ＝4，大正方形的面积为16，则小正方形的边长为______．
12．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 在点E 处，CE 与AD 交于点F ．若5AF =，4DF =，则AC 的长为______．
13．一次函数3y kx =+的图象过点（2，1），则k 的值为________．
14．如图，在四边形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝CD ，当AB ＝_________时，四边形ABCD 为菱形．
15．如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x 和y ＝﹣x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点（1，0）作x 轴的垂线交l l 于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点A 3，过点作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去．则点A 4的坐标为__；点6A 的坐标为_____;点A 2021的坐标为____．
16．如图，在等腰△ABC 中，AC =BC =5，AB =6，D 、E 分别为AB 、AC 边上的点，将边AD 沿DE 折叠，使点A 落在CD 上的点F 处，当点F 与点C 重合时，AD =____________．
三、解答题
17．计算：
（12340100.15 （2）)()2
01515112283π-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭18．如图，牧童在离河边3km 的A 处牧马，小屋位于他南6km 东9km 的B 处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C 所在在位置（保留作图痕迹）．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．
20．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，8AD =，将矩形折叠，折痕为EF ，使点C 与点A 重合，点D 与点G 重合，连接CF ．
（1）判断四边形AECF 的形状，并说明理由；
（2）求折痕EF 的长．
21．观察下列等式： 212121(21)(21)-=++-；323232(32)(32)-==++-434343(43)(43)
-==++-…… 回答下列问题： （12322+（2）计算：12
+23+34+99100+ 22．甲、乙两组工人同时加工某种零件，甲组在工作中有一段时间停产更新设备，更新设
备后，甲组的工作效率是原来的2倍．乙组工作2小时后，由于部分工人离开，工作效率有所降低．两组各自加工零件的数量y（件）与时间x（小时）之间的函数图象如图所示．
（1）直接写出线段DE的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）求甲乙两组何时加工的零件数相同；
（3）若甲、乙两组加工的零件合在一起装箱，每320件装成一箱，零件装箱的时间忽略不计，直接写出经过多长时间恰好装满2箱．
23．已知如图1,四边形ABCD是正方形，．
如图1,若点分别在边上,延长线段CB至G,使得,若
求EF的长；
如图2，若点分别在边延长线上时，求证：
如图3,如果四边形ABCD不是正方形，但满足
且，请你直接写出BE 的长．
24．已知：直线364
y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ，点C 在线段AO 上．将BCO ∆沿BC 折叠后，点O 恰好落在AB 边上点D 处．
（1）直接写出点A 、点B 的坐标：
（2）求AC 的长；
（3）点P 为平面内一动点，且满足以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接回答：
①符合要求的P 点有几个？
②写出一个符合要求的P 点坐标．
25．（解决问题）如图1，在ABC ∆中，10AB AC ==，CG AB ⊥于点G ．点P 是BC 边上任意一点，过点P 作PE AB ⊥，PF AC ⊥，垂足分别为点E ，点F ．
（1）若3PE =，5PF =，则ABP ∆的面积是______，CG =______．
（2）猜想线段PE ，PF ，CG 的数量关系，并说明理由．
（3）（变式探究）如图2，在ABC ∆中，若10AB AC BC ===，点P 是ABC ∆内任意一点，且PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，垂足分别为点E ，点F ，点G ，求PE PF PG ++的值．
（4）（拓展延伸）如图3，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使点D 落在点B 上，点C 落在点C '处，点P 为折痕EF 上的任意一点，过点P 作PG BE ⊥，PH BC ⊥，垂足分别为点G ，点H ．若8AD =，3CF =，直接写出PG PH +的值．
26．已知ABC ∆中，62,12AB AC BC ===.点P 从点B 出发沿线段BA 移动，同时点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动，点P 、Q 移动的速度相同，PQ 与直线BC 相交于点D . （1）如图①，当点P 为AB 的中点时，求CD 的长；
（2）如图②，过点P 作直线BC 的垂线，垂足为E ，当点P 、Q 在移动的过程中，设BE CD λ+=，λ是否为常数？若是请求出λ的值，若不是请说明理由.
（3）如图③，E 为BC 的中点，直线CH 垂直于直线AD ，垂足为点H ，交AE 的延长线于点M ；直线BF 垂直于直线AD ，垂足为F ；找出图中与BD 相等的线段，并证明.
【参考答案】
一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
根据完全平方公式因式分解，再利用二次根式的性质化简解题即可．
【详解】
解：由题意得，350x -≥
53
x ∴≥ 130x ∴-<
2
2=
31(35)x x =---
3135x x =--+
4=
故选：D ．
【点睛】
本题考查完全平方公式因式分解、二次根式的化简、二次根式由意义的条件等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
【详解】
解：A 、∵72+242=625=252，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
B 、∵42+522，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
C 、∵32+42=52，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意；
D 、∵42+52≠62，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理对每个选项进项判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解：A 、四个内角为60°、120°、60°和120°的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，错误，是假命题，不符合题意；
B 、两条对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C 、一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D 、一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定定理，难度不大． 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据a 、b 、c 的平均数为7可得
73a b c ++=，再列出计算1a +、2b +、3+c 的平均数的代数式，整理即可得出答案．
【详解】
解：∵a 、b 、c 的平均数为7， ∴
73a b c ++=， ∴1232933
a b c a b c +++++++=+=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查计算平均数．掌握平均数的计算公式是解题关键．
5．B
解析：B
【分析】
已知EF ⊥AE ，当E 点在线段BC 上运动到两端时，正好是M 点运动的两个端点，由此可以判断M 点的运动轨迹是BC 、CD 中点的连线长.
【详解】
解：取BC 、CD 的中点G 、H ，连接GH ，连接BD
∴GH 为△BCD 的中位线，即12
GH BD = ∵将AE 绕点E 顺时针旋转90°至EF ，
∴EF ⊥AE ，
当E 点在B 处时，M 点在BC 的中点G 处，当E 点在C 点处时，M 点在CD 中点处， ∴点M 经过的路径长为GH 的长，
∵正方形ABCD 的边长为4， ∴
BD
∴12
GH BD == 故选B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和中位线定理，解题的关键在于找到M点的运动轨迹.
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
由折叠的性质得到CD=DE，BC=BE，由线段和差解得AE的长，继而解题．
【详解】
解：由折叠的性质知，CD=DE，BC=BE=7cm．
∵AB=10cm，BC=7cm，
∴AE=AB﹣BE=3cm．
△AED的周长=AD+DE+AE=AC+AE=6+3=9cm．
故选：C．
【点睛】
本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
过点A作AE⊥3l，垂足为E，过点C作CF⊥3l，垂足为F，交2l于点G，证明
△ABE≌△BCF，得到BF=AE=3，CF=4，运用勾股定理计算即可．
【详解】
过点A作AE⊥3l，垂足为E，过点C作CF⊥3l，垂足为F，交2l于点G，
∵
l∥2l∥3l，
1
∴CG⊥
l，
2
∴AE=3，CG=1，FG=3，
∵∠ABC =90°，AB =BC ，
∴∠ABE +∠CBF =90°，∠ABE +∠BAE =90°，
∴∠CBF =∠BAE ，
∴△ABE ≌△BCF ，
∴BF =AE =3，CF =4，
∴BC 2234+，
∴AC 2255+2，
故选C ．
【点睛】
本题考查了平行线间的距离，三角形的全等和性质，勾股定理，熟练掌握三角全等判定，灵活运用勾股定理是解题的关键．
8．A
解析：A
【分析】
通过待定系数法，求出直线y 1的解析式，于是可对①进行判断；利用待定系数法求出y 2的解析式为y =﹣x +3，则可确定A （0，3），所以OA =OB ，于是可对②进行判断；通过两点间的距离公式求出AC 、BC 的长，从而对③进行判断；计算∠EDO 和∠ABO 的度数，再通过三角形的内角和定理得出∠DCB 的度数，即可对④进行判断；通过计算BD 和AB 的长可对⑤进行判断．
【详解】
由图可知：直线y 1过点（0，1），（1，2），∴直线y 1的解析式为11y x =+，所以①错误；
设y 2的解析式为y =kx +b ，把C （1，2），B （3，0）代入得：230
k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩
，所以y 2的解析式为y =﹣x +3，当x =0时，y =﹣x +3=3，则A （0，3），则OA =OB ，所以②正确；
∵A （0，3），C （1，2），B （3，0），∴AC 221(32)2+-BC 22(13)222-+，∴212
22AC BC ==，所以③错误； 在11y x =+中，令y 1=0，得x =－1，∴D （－1，0），∴OD =1．
∵OE =1，∴OD =OE ，∴∠EDO =45°．
∵OA =OB =3，∴∠ABO =45°，∴∠DCB =180°－45°－45°=90°，∴DC ⊥AB ，∴12y y ⊥，故④正确；
因为BD =3+1=4，而AB =32，所以△AOB 与△BCD 不全等，所以⑤错误．
故正确的有②④．
故选A ．
【点睛】
本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；也考查了全等三角形的判定．
二、填空题
9．5x ≥
【解析】
【分析】
根据二次根式成立的条件可直接进行求解．
【详解】
解：由题意得：
50x -≥，解得：5x ≥；
故答案为5x ≥．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 10．62cm
【解析】
【详解】
解：根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即
112
【解析】
【分析】
由题意可知：中间小正方形的边长为a-b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．
【详解】
解：由题意可知：中间小正方形的边长为a-b ，
∵每一个直角三角形的面积为:12ab=1
2×4=2, ∴412
⨯ab+2()a b - =16， ∴2()a b -=16-8=8，
∴
，
故答案为．
【点睛】
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型．
12．E
解析：【分析】
由矩形和折叠的性质得到∠E =∠D =90°，AE =AB =CD ，CE =BC ，证明△AEF ≌△CDF ，李永明勾股定理求出AE ，再利用勾股定理即可求出A C ．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠E =∠D =90°，
由折叠可知：AE =AB =CD ，CE =BC ，
又∵∠AFE =∠CFD ，
∴△AEF ≌△CDF （AAS ），
∴EF =DF =4，AF =CF =5，
∴AE
，
∴AB =CD =3，
∵BC =AD =AF +DF =5+4=9，
∴AC
故答案为：
【点睛】
本题考查的是翻转变换的性质，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到相等的边和角，从而证明三角形全等．
13．－1
【分析】
一次函数y=kx +3的图象经过点（2，1），将其代入即可得到k 的值．
【详解】
解：一次函数y ＝kx +3的图象经过点（2，1），
即当x ＝2时，y ＝1，可得：1＝2k +3，
解得：k ＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
本题考查一次函数图像上点的坐标特征，要注意利用一次函数的特点以及已知条件列出方程，求出未知数．
14．B
解析：BC（答案不唯一）
【分析】
首先根据AB∥CD，AB=CD可得四边形ABCD是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD或AB=BC．
【详解】
解：可添加的条件为AB=AD或BC．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB（或AB=BC），
∴四边形ABCD为菱形．
故答案是：AD或BC．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．
15．（4，﹣4）（﹣8，8）（21010，21011）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出
解析：（4，﹣4）（﹣8，8）（21010，21011）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-22n+2）（n为自然数）”，依此规律结合6=1×4+2；2021=505×4+1即可找出点A2021的坐标．
【详解】
解：观察，发现规律：
A1（1，2），
A2（-2，2），
A3（-2，-4），
A4（4，-4），
A5（4，8），…，
∴“A4n+1（22n，22n+1），A4n+2（-22n+1，22n+1），A4n+3（-22n+1，-22n+2），A4n+4（22n+2，-
22n+2）（n为自然数）”，
∵6=1×4+2，
A 6（﹣8，8）
∵2021=505×4+1，
∴A 2021的坐标为（21010，21011）．
故答案为：（4，﹣4）； （﹣8，8）；（21010，21011）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“A 4n+1（22n ，22n+1），A 4n+2（-22n+1，22n+1），A 4n+3（-22n+1，-22n+2），A 4n+4（22n+2，-22n+2）（n 为自然数）”．
16．【分析】
由题意可知，当C 和F 重合时，DE 为AC(F)的中垂线,过C 作CG 垂直于AB 交AB 于G 点,可得AG=3,CG=4,设：AD=x,则BD=6-x ，由已知可得DG=x-3,在Rt △CDG 中，由 解析：256
【分析】
由题意可知，当C 和F 重合时，DE 为AC (F )的中垂线,过C 作CG 垂直于AB 交AB 于G 点,可得AG=3,CG=4,设：AD =x,则BD =6-x ，由已知可得DG=x-3,在Rt △CDG 中，由勾股定理列出方程可求得x ，即为AD ．
【详解】
解：由题意可知，当C 和F 重合时，如下图
由于AD 沿DE 折叠至CD ，故DE 为AC (F )的中垂线过C 作CG 垂直于AB 交AB 于G 点 设AD =x ，由中垂线性质可得，CD =AD =x ，
则BD =6-x ；
∵AC =5，CG 为等腰△ABC 底边AB 上的高，且AB =6
∴132
AG BG AB ===，CG =4， ∴DG =BG -BD =x -3；
在Rt △CDG 中，由勾股定理，得：CG ²+DG ²=CD ²；
即：2224(3)x x +-=；
解得：221669x x x +-+=；
∴256
x
故答案为：
256
【点睛】 本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，垂直平分线的性质等知识，解题的关键在于画出图形和掌握作辅助线．
三、解答题
17．（1）；（2）−7+3
【分析】
（1）先把各二次根式化为最特意二次根式，再合并即可得到答案；
（2）分别根据平方差公式、负整数指数幂的运算法则，绝对值的代数意义，零指数幂的运算法则以及二次根式的性
解析：（1）；（2）− 【分析】
（1）先把各二次根式化为最特意二次根式，再合并即可得到答案；
（2）分别根据平方差公式、负整数指数幂的运算法则，绝对值的代数意义，零指数幂的运算法则以及二次根式的性质代简各项后再合并即可得到答案．
【详解】
解：（1
=
（2）)()2
0111123π-⎛⎫--+- ⎪⎝⎭
=51911---+
=7-+
【点睛】
本题主要考查了二次根式的加减以及实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．最短路程是；画图见解析．
【分析】
先作关于的对称点，连接，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，作出点关于的对称点，连接交于点，则点是马饮水的位置， 根据对称性可得，,
解析：最短路程是15km ；画图见解析．
【分析】
先作A 关于MN 的对称点，连接A B '，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】
解：如图，作出A 点关于MN 的对称点A '，连接A B '交MN 于点C ，则点C 是马饮水的位置，
根据对称性可得AC A C '=，326km AA '=⨯=,
则A B A C BC ''=+，
∴A B AC BC '=+，
由已知得6km OA =，9km OB =，6612km A O A A AO ''=+=+=，
在Rt A OB '△中，由勾股定理求得 222212915km A B A O OB ''=+=+=，
即15km AC BC +=，
答：他要完成这件事情所走的最短路程是15km ，饮水C 所在位置．
【点睛】
本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中．
19．（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；
（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理 解析：（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【解析】
【分析】
（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；
（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意；
（310的正方形．
【详解】
（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；
（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；
（3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为223110+=，
面积为：101010⨯=，符合题意．
【点睛】
此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理．
20．（1）菱形，理由见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质，可知，进而可得，根据折叠的性质可知，则，进而可得，又，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）连接，先根据折叠的性质，利用勾股定理
解析：（1）菱形，理由见解析；（2）25【分析】
（1）根据矩形的性质，可知//AD BC ，进而可得AFE AEF ∠=∠，根据折叠的性质可知CEF AEF ∠=∠，则AFE AEF ∠=∠，进而可得AF AE =，又,AF CF AE EC ==，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）连接AC ，先根据折叠的性质，利用勾股定理求得AF ，进而勾股定理求得AC ，根据菱形的面积12
AF AB AC EF ⋅=
⋅即可求得EF ． 【详解】
（1）四边形ABCD 是矩形，
∴//AD BC ，
∴AFE AEF ∠=∠，
根据折叠的性质，可知CEF AEF ∠=∠，,AF CF AE EC ==，
∴AFE AEF ∠=∠，
∴AF AE =，
∴AF CF AE EC ===，
∴四边形AECF 是菱形；
（2）连接AC ，如图，
四边形ABCD 是矩形，
90B BCD ∴∠=∠=︒，
4AB =，8AD =，
2245AC AB BC ∴+=
折叠，
90G BCD ∴∠=∠=︒4,AG CD AB GF FG ====，
设AF x =，则8GF FD AD AF x ==-=-，
在Rt AGF △中，
222AF AG FG =+，
即222(8)4x x =-+，
解得5x =，
5AF ∴=，
1
2AF AB AC EF ⋅=
⋅， 22545
AF AB EF AC ⋅∴===【点睛】
本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，菱形的性质与判定，灵活晕用勾股定理是解题的关键．
21．（1）- （2）9
【解析】
【分析】
（1）根据已知的3个等式发现规律：，把n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．
【详解】
解：（1
解析：（1（2）9
【解析】
【分析】
（1）根据已知的3
=-n=22代入即可求
解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．
【详解】
解：（1
（2+
99+
1100+-
1
=10-1
=9. 22．（1）y ＝40x+20（2≤x≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出C 点坐标，利用待定系数法求线段BC 的函数关系式，根据线段DE ，B
解析：（1）y ＝40x +20（2≤x ≤9）；（2）5.5小时；（3）8小时
【分析】
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）求出C 点坐标，利用待定系数法求线段BC 的函数关系式，根据线段DE ，BC 的函数解析式即可求解；
（3）假设经过x 小时恰好装满2箱，甲组6.5小时加工的零件为300件,此时乙组加工的零件为40×6.5+20＝280，两组生产的不够两箱，甲组一共加工了6.5小时，要想装满两箱，乙应加工320×2﹣300＝340，进而列方程40x +20＝340求解即可．
【详解】
解：（1）由图象得：D （2，100），E （9，380），
设线段DE 的解析式为：y ＝kx +b ，
∴21009380k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：4020
k b =⎧⎨=⎩， ∴y ＝40x +20（2≤x ≤9）；
（2）∵甲组的工作效率是原来的2倍，
∴C 点纵坐标是：60÷2×2×（6.5﹣2.5）+60＝300，
∴C （6.5，300），
设线段BC 的解析式为：11y k x b =+，
∴1111
2.5606.5300k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：11
6090k b =⎧⎨=-⎩， ∴y ＝60x ﹣90（2.5≤x ≤6.5），
由题意得：40x +20＝60x ﹣90，
解得：x ＝5.5，
答：甲乙两组5.5小时，加工的零件数相同；
（3）设经过x 小时恰好装满二箱，
由图象得：甲组6.5小时加工的零件为300件，
乙组6.5小时加工的零件为40×6.5+20＝280（件），
∴此时不够装满2箱．
恰好装满2箱乙应加工320×2﹣300＝340（件），
40x +20＝340，
解得：x ＝8，
答：经过8小时恰好装满2箱．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，正确获取图象信息，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解题的关键．
23．（1）；（2）见解析；（3）
【分析】
（1）先用SAS 证ABG ≌ADF ，可得AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又可证
∠EAG=∠EAF ，故可用SAS 证GAE ≌FAE ，EF=GE ，即EF 长度可求；
（
解析：（1）
；（2）见解析；（3） 【分析】
（1）先用SAS 证ABG ≌
ADF ，可得AG=AF ，∠BAG=∠DAF ，又可证∠EAG=∠EAF ，故可
用SAS 证GAE ≌FAE ，EF=GE ，即EF 长度可求；
（2）在DF 上取一点G,使得DG=BE, 连接AG ，先用SAS 证ABE ≌ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌AGF ，可得EF=GF ，且
DG=BE ，故EF=DF-DG=DF-BE ； （3）在线段DF 上取BE=DG ，连接AG ，求证∠ABE=∠ADC ，即可用SAS 证ABE ≌
ADG ，可得AE=AG ，∠BAE=∠DAG ，又可证∠EAF=∠GAF ，故可用SAS 证AEF ≌
AGF ，可得EF=GF ，设BE=x ，则CE= 7+x ，EF=18-x ，根据勾股定理：
，即可求得BE 的长
度．
【详解】
解：（1）证明：如图1所示，在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，在ABG和ADF中，
∴ABG≌ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
又∵∠DAF+∠FAB=∠FAB+∠BAG=90°，且∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠FAG-∠EAF=45°=∠EAF，
在GAE和FAE中，
∴GAE≌FAE（SAS），
∴EF=GE=GB+BE=2+3=5；
（2）如下图所示，在DF上取一点G,使得DG=BE, 连接AG，
∵四边形ABCD是正方形，故AB=AD，∠ABE=∠ADG=90°，
在ABE和ADG中，
∴ABE≌ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，
在AEF和AGF中，
∴AEF≌AGF（SAS），
∴EF=GF，且DG=BE，
∴EF=DF-DG=DF-BE；
（3）BE=5，
如下图所示，在线段DF上取BE=DG，连接AG，
∵∠BAD=∠BCD=90°，故∠ABC+∠ADC=180°，且∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ABE=∠ADC，
在ABE和ADG中，
∴ABE≌ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠BAG+∠DAG=90°，故∠BAG+∠BAE=90°，
∵∠EAF=45°，故∠GAF=45°，∠EAF=∠GAF=45°，
在AEF和AGF中，
∴AEF≌AGF（SAS），
∴EF=GF，
设BE=x，则CE=BC+BE =7+x，EF=GF=DC+CF-DG= DC+CF-BE=18-x，
在直角三角形ECF中，根据勾股定理：，
即：，解得x=5，
∴BE=x=5．
【点睛】
本题主要考察了全等三角形的证明及性质、勾股定理，解题的关键在于添加辅助线，找出全等三角形，并用对应边/对应角相等的定理，解决该题．
24．（1）A（-8，0）、B（0，6）；（2）5；（3）①3个；②（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）由翻折不变性可知，OC=CD
解析：（1）A（-8，0）、B（0，6）；（2）5；（3）①3个；②（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）由翻折不变性可知，OC=CD，OB=BD=6，∠ODB=∠BOC=90°，推出AD=AB-BD=4，设CD=OC=x，在Rt△ADC中，根据AD2+CD2=AC2，构建方程即可解决问题．
（3）①根据平行四边形的定义画出图形即可判断．
②利用平行四边形的性质求解即可解决问题．
【详解】
解：（1）对于直线
3
6
4
y x
=+，令x=0，得到y=6，
∴B（0，6），
令y=0，得到x=8
-，
∴A（8-，0）；
（2）∵A（8
-，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
∵∠AOB=90°，
∴22
8610
AB=+=，
由翻折不变性可知，OC=CD，OB=BD=6，∠ODB=∠BOC=90°，∴AD=AB-BD=4，设CD=OC=x，
在Rt△ADC中，∵∠ADC=90°，
∴AD2+CD2=AC2，
∴42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴OC=3，AC=OA-OC=8-3=5．
（3）①符合条件的点P有3个，如图所示：
②∵A （-8，0），C （-3，0），B （0，6），
当AB 为对角线时，1//BP AC ，
由平行四边形的性质，得15BP AC ==，
∴P 1（-5，6）；
当AB 为边时，//AB CP ，点P 在第三象限时，有
点B 向下平移6个单位，向左平移3个单位得到点C ，
∴点A 向下平移6个单位，向左平移3个单位得到点P 2，
∴P 2（-11，-6）；
点P 在第二象限时，有
35BP AC ==，
∴P 3（5，6）；
∴点P 的坐标为：（-5，6）或（-11，-6）或（5，6）．
【点睛】
本题属于一次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
25．（1）15，8；（2），见解析；（3）；（4）4
【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：，即可解决问题；
（2）解法同（1）；
（3）连接、、，作于，由等边三角形的性质得出，由勾股定理得出，得出的
解析：（1）15，8；（2）PE PF CG +=，见解析；（3）4）4
【分析】
解决问题（1）只需运用面积法：ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，即可解决问题；
（2）解法同（1）；
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，由等边三角形的性质得出
1
5
2BM BC =
=，由勾股定理得出AM =ABC ∆的面积1
2BC AM =
⨯=ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111
()2222
BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++= （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，易证BE BF =，过点E 作EQ BF ⊥，垂足为Q ，由解决问题（1）可得PG PH EQ +=，易证EQ DC =，BF DF =，只需求出BF 即可．
【详解】
解：（1）∵PE AB ⊥，10AB =，3PE =，
∴ABP ∆的面积111031522
AB PE =⨯=⨯⨯=， ∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴358CG PE PF =+=+=.
故答案为：15，8.
（2）∵PE AB ⊥，PF AC ⊥，CG AB ⊥，
且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+，
∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅，
∵AB AC =，
∴CG PE PF =+.
（3）连接PA 、PB 、PC ，作AM BC ⊥于M ，如图2所示：
∵10AB AC BC ===，
∴ABC ∆是等边三角形，
∵AM BC ⊥， ∴152
BM BC ==， ∴222210553AM AB BM =--=
∴ABC ∆的面积11105325322
BC AM =⨯=⨯⨯= ∵PE BC ⊥，PF AC ⊥，PG AB ⊥，
∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积
111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2
AB PE PF PG =++ 253= ∴22533PE PF PG ⨯++== （4）过点E 作EQ BC ⊥，垂足为Q ，如图3所示：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD BC =，90C ADC ∠=∠=︒，
∵8AD =，3CF =，
∴5BF BC CF AD CF =-=-=，
由折叠可得：5DF BF ==，BEF DEF ∠=∠，
∵90C ∠=︒， ∴2222534DC DF FC =--，
∵EQ BC ⊥，90C ADC ∠=∠=︒，
∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠，
∴四边形EQCD 是矩形，
∴4EQ DC ==，
∵//AD BC ，
∴DEF EFB ∠=∠，
∵BEF DEF ∠=∠，
∴BEF EFB ∠=∠，
∴BE BF =，
由解决问题（1）可得：PG PH EQ +=，
∴4PG PH +=，即PG PH +的值为4.
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识，考查了用面积法证明几何问题，考查了运用已有的经验解决问题的能力，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
26．（1）3；（2）6（3）BD=AM ，证明见解析
【分析】
（1）因为速度相等和等腰三角形的已知条件，作平行线构造全等三角形，问题得以解决. （2）这类题一般结论成立，根据（1）中的思路，加上等腰三角 解析：（1）3；（2）6（3）BD=AM ，证明见解析
【分析】
（1）因为速度相等和等腰三角形的已知条件，作平行线构造全等三角形，问题得以解决. （2）这类题一般结论成立，根据（1）中的思路，加上等腰三角形的性质，可以求出定值.
（3）根据已知条件可以判断ABC ∆是等腰直角三角形，近而求出AED ∆≌CEM ∆，得出ED=EM,即可得出结论.
【详解】
（1）
如图，过P 点作PF ∥AC 交BC 于F ，
∵点P 和点Q 同时出发，且速度相同，
∴BP=CQ ，
∵PF//AQ ，
∴∠PFB=∠ACB ，∠DPF=∠CQD ，
又∵AB=AC ，
∴∠B=∠ACB ，
∴∠B=∠PFB ，
∴BP=PF ，
∴PF=CQ ，又∠PDF=∠QDC ，
∴△PFD ≌△QCD ，
∴DF=CD=12CF ，
又因P 是AB 的中点，PF ∥AQ ，
∴F 是BC 的中点，即FC=12BC=6，
∴CD=12CF=3；
（2）6BE CD λ+==为定值.
如图②，点P 在线段AB 上，
过点P 作PF//AC 交BC 于F ，
则有（1）可知△PBF 为等腰三角形，
∵PE ⊥BF
∴BE=1
2BF
∵有（1）可知△PFD ≌△QCD
∴CD=12CF ∴()111162222
BE CD BF CF BF CF BC λ+==+=+== (3)BD=AM
证明：∵12AB AC BC ===
∴222144AB AC BC +==
∴ABC ∆是等腰直角三角形
∵E 为BC 的中点 ∴12CE BE BC ==
∴12
AE BC =,090AEC CEM ∠=∠= ∴AE CE BE ==，090∠+∠=EAD ADE
∵AH ⊥CM
∴090ECM CDH ∠+∠=
∵ADE CDH ∠=∠
∴EAD ECM ∠=∠
∴AED ∆≌CEM ∆ (ASA)
∴DE ME =
∴BE DE AE ME +=+
即：BD AM =。