二分法

ε ：即若 a − b < ε ，则得到零点
）；否则重复 否则重复2 b）；否则重复2～4.
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程 尝试 借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精确度 ）. 的近似解（ 的近似解 精确度0.1）
先确定零点的范围； 先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
例 根据下表计算函数f ( x ) = lnx + 2x − 6 在区 内精确到0.01的零点近似值？ 0.01的零点近似值 间（2，3）内精确到0.01的零点近似值？
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2 2 2 2 2
2.5
+
3
+
2
3
3
2.5
+
2.75
f(2.546875) >0 f(2.5390625) >0
f(2.53125) 2.5390625 <0, f(2.546875) >0 (2.53125, f(2.53125) 2.53515625 2.5390625) <0, f(2.5390625) >0
f(2.53515625) >0
取区间(2,3)的中点 的中点2.5,用计算器算得 取区间 的中点 用计算器算得 f(2.5)≈-0.084,因为 因为f(2.5)×f(3)<0,所以零点 因为 × 所以零点 在区间(2.5,3)内；再取区间 在区间 内 再取区间(2.5,3)的中点 的中点 2.75,算得 算得f(2.75)≈0.512,因为 算得 因为 f(2.5)×f(2.75)<0,所以零点在 所以零点在(2.5,2.75) × 所以零点在 内;… 在有限次重复相同的步骤后,在一定的精度 在有限次重复相同的步骤后 在一定的精度 下,可以将所得到的零点所在区间上任意的 可以将所得到的零点所在区间上任意的 一点(如 端点 作为零点的近似值。 端点)作为零点的近似值 一点 如:端点 作为零点的近似值。
用二分法求函数f ＝ 例1 用二分法求函数 (x)＝x3－3的一个 的一个 正实数零点(精确到 正实数零点 精确到0.1). 精确到
端点或中点 的横坐标
a0=1，b0=2 ， x0=1.5 x1=1.25 x2=1.375 x3=1.4375 x4=1.46875
计算端点或中点 的函数值
f(1)= –2，f(2)=5 ， f(x0)=0.375＞0 ＞ f(x1)= –1.0469＜0 ＜ f(x2)= –0.4004＜0 ＜ f(x3)= –0.0295＜0 ＜ f(x4)=0.1684＞0 ＞
列表
x
f (x) = 2x +3x −7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
解:由图像和函数值表可知,f (1) < 0, f ( 2 ) > 0, 则f (1) ⋅ f ( 2 ) < 0, 所以f ( x ) 在 (1, 2 )内有一个零点x0 .
f (1) ⋅ f (1.5 ) < 0所以 x0 ∈ (1,1.5 ) .
•游戏： “看商品猜价格”， 请同学们猜一下下面这部科 学计算器(200～300元间)的 价格。要求:误差小于1元 •探究：你猜这件商品的价格， 是如何想的？在误差范围内 如何做才能以最快的速度猜 （对半猜） 中？
探究
利用我们猜价格的方法，你能否求解方 利用我们猜价格的方法， 程lnx＋2x－6＝0?如果能求解的话，怎么去 ＋ － ＝ 如果能求解的话， 如果能求解的话 解？
中点函数 值的符号
f(2.5)<0 f(2.75)>0 f(2.625)>0 f(2.5625)>0
2.5625
(2.5, 2.5625)
2.53125 f(2.53125)<0
(2.53125, 2.5625) (2.53125, 2.546875)
f(2.53125)<0, 2.546875 f(2.5625)>0
2.53125 2.546875
+
+
2.5625
+
2.53125
2.5625
+ +
2.546875
2.53125 2.546875 2.5390625
2.5625
+
2.5312 2.546875
-
2.53125
2.5625
2.5390625 2.53515625 因为| 因为 2.53515625- 2.53125 |<0.01`
ε
(a, c )）. （3）若 f (c ) • f (b ) < 0 ，则令 a = c 此时零点 x0 ∈ (c, b )）. （
（2）若 f (a ) • f (c ) < 0 ，则令 b = c（此时零点 x0 ∈ 4.判断是否达到精确度 4.判断是否达到精确度 近似值 a（或
就是函数的零点； （1）若 f (c ) = 0 ，则 c 就是函数的零点；
y
二分法概念
a 0 b x
数
y = f (x ) ,通过不断地把函数 f (x )的零点所在的区 通过不断地把函数
对于在区间[a, b] 上连续不断且 f (a ) • f (b ) < 0 的函
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到 间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 使区间的两个端点逐步逼近零点 零点近似值的方法叫做二分法. 零点近似值的方法叫做二分法
练习
通过本节课的学习,你学会了 通过本节课的学习 你学会了 哪些知识? 哪些知识 基本知识:1. 二分法的定义 的定义; 基本知识 二分法的定义 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤 求解方程的近似解的步骤. 用 二分法求解方程的近似解的步骤 二分法求方程近似解的口诀: 二分法求方程近似解的口诀: 定区间，找中点， 中值计算两边看; 定区间，找中点， 中值计算两边看; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 同号去，异号算， 零点落在异号间; 周而复始怎么办? 周而复始怎么办? 精确度上来判断. 精确度上来判断.
二分法求函数的近似解
一般地，我们把 一般地，我们把x= （a,b）的中点 ）的中点。
a +b
2
称为区间
游戏规则： 游戏规则： 给出一件商品，请你猜 给出一件商品， 出它的准确价格， 出它的准确价格，我们给的 提示只有“高了” 提示只有“高了”和“低 给出的商品价格在200 了”。给出的商品价格在200 300之间的整数 之间的整数， ~ 300之间的整数，如果你能 在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。 价格，这件商品就是你的了。
给定精确度 ,用二分法求函数 f ( x )零点近似 用二分法求函数 值的步骤如下: 值的步骤如下 1.确定区间 1.确定区间 [a, b] 验证 f (a) • f (b) < 0 ,给定精确度 ε ; ,
2.求区间 2.求区间 (a, b )的中点 c ； 3.计算 f (c ) ； 3.计算
区 间 (2, 3)
(2.5, 3) (2.5, 2.75) (2.5, 2.625)
端点的符号
f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0 f(2.5)<0, f(2.625)>0 f(2.5)<0, f( 2.5625)>0
中点 的值
2.5 2.75 2.625
定区间
（1, 2） ） （1, 1.5） ） 1.5） （1.25, 1.5） （1.375, 1.5） ） （1.4375, 1.5） ） （1.4375, 1.46875） ） （1.4375, 1.453125） ） （1.4375, 1.4453125） ）
x5=1.453125 f(x5)＞0 ＞ x6=1.4453125 f(x6)＞0 ＞
取 (1, 2 ) 区间的中点 x1 = 1.5, f (1.5 ) = 0.33,因为
取（1，1.5）的中点 2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， ， ）的中点x ， 因为f(1.25)·f(1.5)<0，所以 0∈（1.25，1.5） 因为 ，所以x ， ） ），x 同理可得， 同理可得， x0∈（1.375，1.5）， 0∈(1.375， ， ）， ， 1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 ），由于 ）， 所以，原方程的近似解可取为 所以，原方程的近似解可取为1.4375
+
3
+
2.5
3
-
2.5 2.625 2.75
+
+ +
3
+ 2.5
2.75
2.5 2.625 2.75 2.5625
-
+
+
3
思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？ 思考：如何进一步有效缩小根所在的区间？
2.5 2.5 2 2 2.5
2.53125
+
2.5625
+
2.5
2.5625
2.5625
+ ++