考前三个月·浙江专用高考数学文二轮配套教案：高考题型冲刺练 压轴大题突破练函数与导数一

压轴大题突破练——函数与导数（一）
１．（２0１３·北京）设l为曲线C：y＝错误!在点（１,0）处的切线．
（１）求l的方程；
（２）证明：除切点（１,0）之外，曲线C在直线l的下方．
（１）解由y＝错误!，得y′＝错误!，x>0．
∴k＝y′|x＝１＝错误!＝１．
∴直线l的方程为y＝x—１，即x—y—１＝0．
（２）证明要证明，除切点（１,0）外，曲线C在直线l下方．
只要证明，对∀x>0且x≠１时，x—１>错误!.
设f（x）＝x（x—１）—ln x，x>0，则
f′（x）＝２x—１—错误!＝错误!.
因此f（x）在（0,１）上单调递减，在（１，＋∞）上单调递增．
∴f（x）>f（１）＝0，即x（x—１）>ln x.
故当x>0且x≠１时，x—１>错误!成立．
因此原命题成立．
２．已知f（x）＝x３＋ax２—a２x＋２．
（１）若a＝１，求曲线y＝f（x）在点（１，f（１））处的切线方程；
（２）若a≠0，求函数f（x）的单调区间；
（３）若不等式２x ln x≤f′（x）＋a２＋１恒成立，求实数a的取值范围．
解（１）∵a＝１，∴f（x）＝x３＋x２—x＋２，∴f′（x）＝３x２＋２x—１，∴k＝f′（１）＝４，又f（１）＝３，∴切点坐标为（１,３），
∴所求切线方程为y—３＝４（x—１），即４x—y—１＝0．
（２）f′（x）＝３x２＋２ax—a２＝（x＋a）（３x—a），
由f′（x）＝0得x＝—a或x＝错误!.
１当a>0时，由f′（x）<0，得—a<x<错误!.
由f′（x）>0，得x<—a或x>错误!，
此时f（x）的单调递减区间为（—a，错误!），单调递增区间为（—∞，—a）和（错误!，＋∞）．
２当a<0时，由f′（x）<0，得错误!<x<—a.
由f′（x）>0，得x<错误!或x>—a，
此时f（x）的单调递减区间为（错误!，—a），
单调递增区间为（—∞，错误!）和（—a，＋∞）．
综上：
当a>0时，f（x）的单调递减区间为（—a，错误!），
单调递增区间为（—∞，—a）和（错误!，＋∞）．
当a<0时，f（x）的单调递减区间为（错误!，—a），
单调递增区间为（—∞，错误!）和（—a，＋∞）．
（３）依题意x∈（0，＋∞），不等式２x ln x≤f′（x）＋a２＋１恒成立，等价于２x ln x≤３x２＋２ax ＋１在（0，＋∞）上恒成立，
可得a≥ln x—错误!x—错误!在（0，＋∞）上恒成立，
设h（x）＝ln x—错误!—错误!，则h′（x）＝错误!—错误!＋错误!
＝—错误!.
令h′（x）＝0，得x＝１，x＝—错误!（舍），
当0<x<１时，h′（x）>0；当x>１时，h′（x）<0．
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：
∴当x＝１时，h（x max
∴a≥—２，
∴a的取值范围是[—２，＋∞）．
３．如图所示，四边形ABCD表示一正方形空地，边长为３0 m，电源在点P处，点P到边AD，AB的距离分别为9 m，３m.某广告公司在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN∶NE＝１6∶9，线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN＝x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m２）．
（１）用x的代数式表示AM；
（２）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（３）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？
解（１）因为点P到边AD，AB的距离分别为9 m,３m，
所以由平面几何知识，得错误!＝错误!，
解得AM＝错误!（１0≤x≤３0）．
（２）由勾股定理，得MN２＝AN２＋AM２＝x２＋错误!.
因为MN∶NE＝１6∶9，所以NE＝错误!MN.
所以S＝MN·NE＝错误!MN２＝错误!错误!，
定义域为[１0,３0]．
（３）S′＝错误!错误!
＝错误!·错误!，
令S′＝0，得x１＝0（舍），x２＝9＋３错误!.
当１0≤x≤9＋３错误!时，S′<0，S为减函数；
当9＋３错误!<x≤３0时，S′>0，S为增函数．
所以当x＝9＋３错误!时，S取得最小值．
４．已知函数f（x）＝x２—a ln x（a∈R）．
（１）若a＝２，求证：f（x）在（１，＋∞）上是增函数；
（２）求f（x）在[１，e]上的最小值．
（１）证明当a＝２时，f（x）＝x２—２ln x，当x∈（１，＋∞）时，f′（x）＝错误!>0，所以f （x）在（１，＋∞）上是增函数．
（２）解f′（x）＝错误!（x>0），
当x∈[１，e]时，２x２—a∈[２—a,２e２—a]．
若a≤２，则当x∈[１，e]时，f′（x）≥0，
所以f（x）在[１，e]上是增函数，
又f（１）＝１，故函数f（x）在[１，e]上的最小值为１．
若a≥２e２，则当x∈[１，e]时，f′（x）≤0，
所以f（x）在[１，e]上是减函数，且最小值为e２—a.
若２<a<２e２，则当１≤x< 错误!时，f′（x）<0，此时f（x）是减函数；当错误!<x≤e时，f′（x）>0，此时f（x）是增函数．
又f错误!＝错误!—错误!ln 错误!，
所以f（x）在[１，e]上的最小值为错误!—错误!ln 错误!；
综上可知，当a≤２时，f（x）在[１，e]上的最小值为１；当a≥２e２时，f（x）在[１，e]上的最小值为e２—a；当２<a<２e２时，f（x）在[１，e]上的最小值为错误!—错误!ln 错误!.。