二项分布、多项分布
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式二项分布是概率论和统计学中的一种离散概率分布，描述了在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率分布情况。
二项分布的分布列公式可以用来计算每个可能取值的概率。
在二项分布中，每次试验的结果只有两种可能，成功和失败。
成功事件的概率记为p，失败事件的概率记为q，其中q=1-p。
在n次独立的伯努利试验中，成功事件发生k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式如下：P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，P(X=k)表示成功事件发生k次的概率，C(n,k)表示从n次试验中取k次成功事件的组合数，p^k表示成功事件发生k次的概率，q^(n-k)表示失败事件发生n-k次的概率。
通过二项分布的分布列公式，我们可以计算出在特定的n次试验中，成功事件发生k次的概率。
这对于很多实际问题的分析和预测都是非常有用的。
例如，假设有一个硬币，正面出现的概率为p，反面出现的概率为q。
现在我们进行了n次独立的抛硬币试验，每次试验的结果只有两种可能，正面或反面。
那么在n次试验中，正面出现k次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
又如，在某个工厂的生产线上，有一种产品的合格率为p，不合格率为q。
现在我们进行了n次独立的产品检验，每次检验的结果只有两种可能，合格或不合格。
那么在n次检验中，合格产品出现k 次的概率可以通过二项分布的分布列公式计算得到。
二项分布的分布列公式的应用非常广泛。
在实际问题中，我们经常需要计算某个事件发生的概率，而二项分布的分布列公式可以帮助我们进行计算。
通过对二项分布的分布列公式的使用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
二项分布的分布列公式是概率论和统计学中的重要工具，可以用来计算在n次独立的伯努利试验中成功事件发生k次的概率。
通过对二项分布的分布列公式的应用，我们可以更好地理解和分析实际问题，并做出合理的决策。
三大分布--二项分布
三、常见的题型：
1.
明考 暗考
单变量 2. 双变量 a b
多变量 a b
练习1.背定义、熟公式：
(1)若 X ~ B(n , 3) ,且 P(X 1) 96 ,则 n =_____
5
625
析:由题意得
PX
1
C1n
( 3 )(1 5
为ξ的数学期望或均值，简称为期望.
② 则称 D (x1 E )2 p1 (x2 E )2 p2 ... (xn E )2 pn
为ξ的方差 ，称 ＝ D 为ξ的标准差
随机变量期望与方差的作用(目的)
(1)期望：将随机事件“虚拟”成一确定事件 体现了总体的平均水平(聚中性)
(2)方差：体现了总体的稳定性(波动性)
注1.三大步骤
S1.将样本空间Ω划分成n个基本事件
S2.计算出所求事件A中基本事件的个数
S3.套用公式
P(
A)
A中基本事件的个数 Ω中基本事件的个数
注2.使用的两前提
①有限性
②等可能性
古典概型个数比 几何概型测度比 有限无限分水岭 卅六整点二骰子 旋转问题用角度 模拟试验四大步
几何定义法(几何概型)求概率
③和积互补公式 P(A1 A2 An ) 1 P(A1 • A2 • • An ) 注：若A，B对立，则有 P( A) P(B) 1，反之则不然 ④对偶律 P(A• B •C) P(A B C) P(A• B •C) P(A B C)
古典定义法(等可能概型)求概率
一分二算三相除 有限等分是前提
2.表示：三大语言……
3.分类：
①
离散型 连续型
②
有限型 无限型
13种常见的统计分布
为常数，故首选威布尔分布
理解
是指数分布的一种推广形式
在药学和生存率研究中，常出现一些变量不符合正态、对
数正态及其它常用模型分布
例如能力的高低，学生成绩的好坏等都属于正态分布
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置
理解
对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远 不与横轴相交 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧 逐渐均匀下降 正态分布有两个参数，即均数μ 和标准差σ，可记作N（μ ，σ）
7
属性
Chi-square Distribution
连续型分布 检验资料的实际频数与理论频数是否相等
若n个相互独立的随机变量ξ ₁、ξ ₂、……、ξ n ，均服从标准
理解
正态分布则这 n 个服从标准正态分布的随机变量的平方和构 成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布 卡方分布是由正态分布构造而成的一个新的分布，当自由度 n很大时， 分布近似为正态分布
9
属性
F分布 F Distribution
连续型分布 用于方差的齐性检验和方差分析
理解
10
属性
Γ分布 Γ Distrቤተ መጻሕፍቲ ባይዱbution or Gamma Distribution
连续型分布 正偏态分布，常用于正偏态分布的拟合
11
属性
圆形分布 Circular Distribution
连续型分布 用于描述以方向、位置、周期性（环形）时间、角度等为测度
单位的数字特征
应用
医学领域内一些现象是以方向或时间度量，具有周期性特点， 如某疾病在一年内各月份的发生数、胎儿在一昼夜间各时点 分娩的频度 有些数据本身就是以角度来表示：如脑电阴图的上升角，气 象环境的风向玫瑰图 这些数据不能用通常的均数、标准差描述
二项分布的现实例子
二项分布的现实例子二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
在现实生活中，我们可以找到许多与二项分布相关的实际例子。
本文将介绍几个常见的二项分布现实例子，并解释其应用。
一、硬币投掷硬币投掷是最常见的二项分布实例之一。
当我们投掷一枚硬币时，每次投掷都是一个伯努利试验，成功可以定义为正面朝上，失败可以定义为反面朝上。
假设我们投掷硬币10次，成功次数可以是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9或10。
通过计算每个成功次数的概率，我们可以得到一个二项分布。
二、产品质量检验在制造业中，产品质量检验是一个重要的环节。
假设某公司生产了1000个产品，每个产品都有一定的概率存在缺陷。
我们可以将每个产品是否存在缺陷定义为一个伯努利试验，成功表示存在缺陷，失败表示不存在缺陷。
通过对这1000个产品进行质量检验，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断产品质量的合格率。
三、选举投票选举投票是另一个与二项分布相关的实际例子。
假设某个选区有10000名选民，每个选民都有一定的概率投票给候选人A。
我们可以将每个选民是否投票给候选人A定义为一个伯努利试验，成功表示投票给候选人A，失败表示投票给其他候选人。
通过对这10000名选民进行投票，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断候选人A的选举胜率。
四、赌博游戏赌博游戏中的赌注结果也可以用二项分布来描述。
例如，在掷骰子游戏中，每次掷骰子都是一个伯努利试验，成功可以定义为掷出指定的点数，失败可以定义为掷出其他点数。
通过多次掷骰子，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而判断赌注的胜率。
五、市场营销市场营销中的广告点击率也可以用二项分布来描述。
假设某公司在互联网上投放了1000次广告，每次广告的点击率为0.1。
我们可以将每次广告是否被点击定义为一个伯努利试验，成功表示被点击，失败表示未被点击。
通过对这1000次广告的点击情况进行统计，我们可以得到每个成功次数的概率分布，从而评估广告的效果。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binｏｍｉal distribution定义:描述随机现象得一种常用概率分布形式,因与二项式展开式相同而得名。
所属学科:大气科学(一级学科);气候学(二级学科)本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布二项分布二项分布即重复ｎ次得伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能得结果,而且就就是互相对立得，就就是独立得,与其它各次试验结果无关,结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念医学定义二项分布得应用条件二项分布得性质与两点分布区别编辑本段概念二项分布（Biｎoｍial Distｒibｕtion),即重复n次得伯努力试验(Ｂｅrnouｌli Experiment),用ξ表示随机试验得结果、如果事件发生得概率就就是P,则不发生得概率ｑ=1-p,N次独立重二项分布公式复试验中发生Ｋ次得概率就就是P(ξ=K）=Cｎ（k）P(ｋ）q(n-k)注意!:第二个等号后面得括号里得就就是上标，表示得就就是方幂。
那么就说这个属于二项分布、、其中Ｐ称为成功概率。
记作ξ～B(n，ｐ)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1、在每次试验中只有两种可能得结果，而且就就是互相对立得;2、每次实验就就是独立得，与其它各次试验结果无关;３、结果事件发生得概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验、在这试验中,事件发生得次数为一随机事件，它服从二次分布、二项分布可二项分布以用于可靠性试验、可靠性试验常常就就是投入n个相同得式样进行试验T 小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验得概率、若某事件概率为p,现重复试验n次,该事件发生k次得概率为:P=C(k,n)×p^k×(1－p)^(n-ｋ)、C(ｋ,ｎ)表示组合数，即从n个事物中拿出k个得方法数、编辑本段医学定义在医学领域中，有一些随机事件就就是只具有两种互斥结果得离散型随机事件,称为二项分类变量(diｃｈotｏmｏｕs vaｒiable）,如对病人治疗结果得有效与无效,某种化验结果得阳性与阴性,接触某传染源得感染与未感染等。
二项分布
二项分布一、二项分布的概念及应用条件1. 二项分布的概念:如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则生存概率为=1-P=0.2，故对一只小白鼠进行实验的结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果为：甲乙均死（概率为P2）、甲死乙生[概率为P(1-P)]、乙死甲生[概率为(1-P）P]或甲乙均生[概率为(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]2依此类推，对n只小白鼠进行实验，所有可能结果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n 其中n为样本含量,即事件发生总数，x为某事件出现次数,cnxPx(1-P)n-x为二项式通式，cnx=n!/x!(n-x)!, P为总体率。
因此，二项分布是说明结果只有两种情况的n次实验中发生某种结果为x次的概率分布。
其概率密度为：P(x)=cnxPx(1-P)n-x, x=0,1,...n。
2. 二项分布的应用条件:医学领域有许多二分类记数资料都符合二项分布(传染病和遗传病除外)，但应用时仍应注意考察是否满足以下应用条件：(1) 每次实验只有两类对立的结果；(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。
3. 二项分布的累计概率二项分布下最多发生k例阳性的概率为发生0例阳性、1例阳性、...、直至k例阳性的概率之和。
至少发生k例阳性的概率为发生k例阳性、k+1例阳性、...、直至n例阳性的概率之和。
4. 二项分布的图形二项分布的图形有如下特征：(1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小；(2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布；(3) 当P<>0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。
5. 二项分布的均数和标准差二项分布的均数µ=np，当用率表示时µ=p二项分布的标准差为np(1-p)的算术平方根，当用率表示时为p(1-p)的算术平方根。
第06章二项分布及其应用
二项分布概念：二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k)，其中C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.，p为事件发生的概率，k是发生的次数，其中k=1,2,3...n，Ek=np，方差:Dk=np(1-p)例6-1某种药物治疗某种非传染性疾病的有效率为0.70，无效率为0.30。
今用该药治疗该疾病患者10人，试分别计算这10人中有6人、7人、8人有效的概率(《医学统计学》，第三版，孙振球)。
#源代码例6-1：dbinom(6,10,0.7)#二项分布函数dbinom(7,10,0.7)dbinom(8,10,0.7)#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率>#源代码例6-1：>dbinom(6,10,0.7)[1]0.2001209>dbinom(7,10,0.7)[1]0.2668279>dbinom(8,10,0.7)[1]0.2334744>#其中dbinom(k,n,p)中，k是发生的次数，10是共次数，p是概率例6-2在对13名输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部-壶腹部吻合术后，观察其受孕情况，发现有6人受孕，试据此资料估计该吻合术受孕率的95%可信区间。
#源代码例6-2：binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)>#源代码例6-2：>binom.test(6,13,p=6/13,conf.level=0.95)Exact binomial testdata:6and13number of successes=6, number of trials=13, p-value=1alternative hypothesis:true probability of success is not equal to0.461538595percent confidence interval:0.19223240.7486545sample estimates:probability of success0.4615385例6-3在观测一种药物对某种非传染性疾病的治疗效果时，用该药治疗了此种非传染性疾病患者100人，发现55人有效，试据此估计该药物治疗有效率的95%可信区间。
二项分布的原理及应用
二项分布的原理及应用1. 什么是二项分布？二项分布是概率论中的一种离散概率分布，描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
在每次试验中，只有两个可能结果，成功（记为S）和失败（记为F），且这两个结果的概率是固定不变的。
二项分布将这些独立的试验作为一系列重复的伯努利试验，并计算在给定试验次数和成功概率下，成功次数的概率分布。
2. 二项分布的概率计算公式设每次伯努利试验中成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
进行n次独立的伯努利试验，成功的次数X服从二项分布。
其概率计算公式为：P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)其中，C(n, k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
3. 二项分布的特征与性质•期望：二项分布的期望为n*p，即试验次数乘以成功的概率。
•方差：二项分布的方差为n p q，其中q=1-p。
•归一性：二项分布的概率和为1，即所有可能的事件的概率之和等于1。
•对称性：若p=0.5，则二项分布是对称的，即成功和失败的概率相等。
4. 二项分布的应用二项分布在实际中有广泛的应用，并且具有很高的实用性。
以下列举了几个常见的应用场景：4.1 质量控制在质量控制领域，二项分布被广泛用于评估和控制产品的质量。
例如，一家医药公司生产的药丸中，有5%的概率出现无效的药丸（成功），95%的概率是有效的药丸（失败）。
为了控制产品质量，公司每次从生产线上随机抽取50个药丸进行检验。
利用二项分布，可以计算出在这50个样本中出现指定个数的成功（无效药丸）的概率。
如果成功的个数超过了一定的阈值，就需要进一步调查和控制生产过程。
4.2 市场调研二项分布还可以用于市场调研中，用来确定产品推广的成功率。
例如，一个公司推出了一个新产品，通过市场调研得知每个潜在客户购买该产品的概率为0.2。
为了确定在推广活动中需要投入的资源和费用，可以利用二项分布来计算在不同投入条件下，达到指定销量目标的概率。
这样可以帮助公司制定合适的推广策略，并为销售预期做出合理的评估。
二项分布
二项分布科技名词定义中文名称：二项分布英文名称：binomial distribution定义：描述随机现象的一种常用概率分布形式，因与二项式展开式相同而得名。
所属学科：（一级学科）；（二级学科）本内容由审定公布百科名片二项分布二项分布即重复n次的伯努里试验。
在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的，是独立的,与其它各次试验结果无关，结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验。
目录概念二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努力试验（Bernoulli Experiment）,用ξ表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重二项分布公式复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k)注意!:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。
那么就说这个属于二项分布..其中P称为成功概率。
记作ξ~B(n,p)期望:Eξ=np方差:Dξ=npq如果1.在每次试验中只有两种可能的结果,而且是互相对立的;2.每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3.结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变,则这一系列试验称为伯努力试验.在这试验中,事件发生的次数为一随机事件,它服从二次分布.二项分布可二项分布以用于可靠性试验.可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时,而只允许k个式样失败,应用二项分布可以得到通过试验的概率.若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为:P=C(k,n)×p^k×(1-p)^(n-k).C(k,n)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数.医学定义在医学领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable），如对病人治疗结果的有效与无效，某种化验结果的阳性与阴性，接触某传染源的感染与未感染等。
概率二项分布公式
概率二项分布公式好嘞，以下是为您生成的关于“概率二项分布公式”的文章：咱今儿就来好好唠唠这个概率二项分布公式。
要说这二项分布公式，那在概率的世界里可是相当重要的存在。
打个比方，咱就说扔硬币这事儿。
假如你扔 10 次硬币，想知道恰好出现6 次正面的概率是多少，这时候二项分布公式就派上用场啦。
二项分布公式长这样：P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k) 。
这里面的 n 就是试验的总次数，k 呢就是咱们关心的那个成功的次数，p 就是每次试验成功的概率。
比如说，在上面扔硬币的例子里，n 就是 10，k 是 6，因为扔硬币出现正面的概率是 0.5，所以 p 就是 0.5 。
我记得有一次，在给学生们讲这个二项分布公式的时候，有个学生一脸懵地问我：“老师，这公式咋来的呀，感觉好复杂。
”我当时就笑了，跟他说：“别着急，咱们一步步来。
” 我先给他讲了什么是独立重复试验，就是那种每次结果互不影响，概率都一样的试验。
就像扔硬币，每一次扔，正面或者反面的概率都不变。
然后再引入二项分布的概念，告诉他为啥会有这样一个公式来计算特定次数成功的概率。
那孩子听着听着，眼睛逐渐亮了起来，最后一拍大腿说：“哎呀，老师，我懂啦！” 看着他那恍然大悟的样子，我心里别提多有成就感了。
在实际生活中，二项分布的应用那可多了去了。
比如说产品质量检测，一批产品里，次品出现的概率是一定的，抽检一定数量的产品，想知道有几个次品的概率，就能用二项分布公式算出来。
再比如，投篮命中率固定，投一定次数，想知道投中特定次数的概率，也能靠它。
其实啊，数学里的这些公式看起来复杂，都是为了帮咱们解决生活中的实际问题。
只要咱们理解了它背后的道理，用起来就得心应手啦。
所以，别被二项分布公式的外表吓到，多琢磨琢磨，多联系实际，你就会发现它其实挺好玩的，就像一个解谜的工具，能帮咱们解开很多概率的小秘密。
总之，好好掌握这个二项分布公式，能让咱们在概率的世界里畅游无阻，解决更多有趣的问题！。
多项分布的概率推导
多项分布的概率推导在本文中，我们将对多项分布进行详细的推导和分析。
我们将首先介绍多项分布的基本概念和定义，然后将推导其概率质量函数和期望值、方差等性质。
最后，我们将讨论多项分布在实际应用中的一些例子和应用。
1. 多项分布的定义多项分布是一个重要的多变量概率分布，它描述了在一次试验中多个离散随机变量的可能结果。
在多项分布中，每个随机变量都可以取多个不同的值，而每个值都有一定的概率来发生。
多项分布可以看作是二项分布的拓展，其中每个试验可以有多个可能的结果。
假设我们有一个实验，进行了$n$次独立的伯努利试验，每次试验都有$m$个可能的结果。
那么我们可以定义一个$m$维随机向量$\mathbf{X}=(X_1, X_2, \ldots, X_m)$，其中$X_i$表示第$i$个结果发生的次数。
根据多项分布的定义，我们可以得到随机向量$\mathbf{X}$的概率质量函数为：\[P(\mathbf{x}; \mathbf{p}) = \frac{n!}{x_1!x_2!\cdots x_m!}p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdotsp_m^{x_m}\]其中$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_m)$表示每个结果出现的次数，$\mathbf{p}=(p_1, p_2, \ldots, p_m)$表示每个结果的概率，且$\sum_{i=1}^{m}p_i=1$。
这个概率质量函数描述了在进行$n$次试验时，每种结果出现次数为$\mathbf{x}$的概率。
2. 多项分布的性质和推导在多项分布的推导中，我们通常会关注一些重要的性质，比如期望值、方差等。
接下来我们将推导多项分布的期望值和方差。
2.1 多项分布的期望值多项分布的期望值是随机变量的加权平均值，它可以表示为每种结果出现的平均次数。
我们可以使用期望值的性质来计算多项分布的期望值。
首先，我们可以计算每个随机变量$X_i$的期望值$E(X_i)$。
二项分布的概率计算公式
二项分布的概率计算公式好的，以下是为您生成的关于“二项分布的概率计算公式”的文章：在咱们学习数学的这个奇妙旅程中，有一个特别有趣的概念叫做二项分布。
这玩意儿听起来好像挺高深莫测的，其实啊，它就藏在咱们的日常生活里。
先来说说啥是二项分布。
比如说，咱们抛硬币，抛一次，正面朝上或者反面朝上，这就是两种可能的结果，而且每次抛硬币正面朝上的概率都是固定的。
如果咱们连着抛好多次，然后算算正面朝上出现特定次数的概率，这就是二项分布啦。
那二项分布的概率计算公式是啥呢？它是这样的：P(X=k) = C(n,k)* p^k * (1-p)^(n-k) 。
这里面的字母都有它的意思哦，n 表示试验的次数，k 表示成功的次数，p 是每次试验成功的概率。
我给您举个例子哈。
比如说，一个班级进行数学小测验，一共 20道选择题，每道题有四个选项，只有一个是正确的，学生纯靠蒙。
那蒙对一道题的概率就是 1/4 。
现在咱们想知道这个学生蒙对 5 道题的概率是多少。
这时候就用上二项分布的概率计算公式啦。
n 就是 20，k 是 5，p 是1/4 。
先算 C(20,5)，这就是从 20 个里面选 5 个的组合数，算出来是15504 。
然后 (1/4)^5 算出来是 1/1024 ，(1 - 1/4)^(20 - 5) 算出来是243/1024 。
最后把这些数乘起来，P(X=5) = 15504 * 1/1024 * 243/1024 ，算出来大概是 0.0369 。
这就是这个学生蒙对 5 道题的概率。
再比如说，投篮比赛，一个选手投 30 次，每次投中的概率是 0.6 ，那他投中 18 次的概率是多少？同样的道理，用公式算一下，就能得出答案啦。
二项分布的概率计算公式在实际生活中的应用可多了去了。
像质量检测的时候，一批产品，知道不合格的概率，然后算抽检中出现几个不合格产品的概率；或者调查某种疾病的发病率，预测在一定数量的人群中会有多少人患病等等。
二项分布 通俗解释
二项分布通俗解释一个事件必然出现，就说它100%要出现。
100%=1，所以100%出现的含义就是出现的概率P=1。
即必然事件的出现概率为1。
如果掷一枚硬币，正面向上的结局的概率为0.5 。
反面向上的结局的概率也是0.5 。
那么出现正面向上事件或者反面向上事件的概率就是0.5+0.5=1 ，即二者必居其一。
如果掷两次硬币，根据独立事件的概率乘法定理那么两次都是正面（反面）向上的概率是0.5×0.5=0.25。
另外第一个是正第二个是反的出现概率也是 0.5×0.5=0.25。
同理第一个反第二个正的出现概率也是0.5×0.5=0.25。
于是一正一反的概率是前面两个情况的和，即 0.25+0.25=2×0.25=0.5 。
它们的合计值仍然是1。
列成表就是：注意到代数学中 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2, 而在a=0.5，b=0.5时，有 1^2=(0.5+0.5)^2=0.25+2×0.5×0.5+0.25=1。
这说明掷两次硬币的各个结局的出现概率可以通过对二项式的平方展开而得到。
顺此，对于掷n次硬币的各种结局的出现概率也可以通过对二项式的n次方的展开而得到。
例如n=3时,有（注意0.5×0.5×0.5=0.125）1^3=(0.5+0.5)^3=0.125+3×0.125+3×0.125+0.125 =0.125+0.375+0.375+0.125 = 1。
二项式展开的牛顿公式表示为：(a+b)^n=a^n + … + [n!/m!(n-m)!][a^(n-m)b^m]+ … + b^n (其中m=1,2,……n-1)。
即这种类型的问题（如掷多次硬币）的概率分布恰好可以用二项式展开的牛顿公式表示。
而这也就是为什么把这种概率分布类型称为二项分布的原因。
如果a，b并不等于0.5，那么只要把A事件出现的概率以p代入，把B事件的出现概率以(1-p)代入，以上公式仍然正确，（a+b仍然=1）。
概率分布中的二项分布与多项分布
概率分布是统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量在可能取值上的概率分布。
二项分布和多项分布是概率分布中的两种重要形式，它们在实际生活和科学研究中都有广泛的应用。
首先，我们来看一下二项分布。
二项分布描述了在进行重复的独立实验中，成功的次数的概率分布。
其中每次实验只有两个可能的结果，即成功和失败。
这样的实验称为伯努利试验。
二项分布的概率质量函数可以表示为f(x) = C(n, x) * p^x * (1-p)^(n-x)，其中n是试验的次数，x是成功的次数，p是每次试验成功的概率。
其中C(n, x)是组合数，表示从n次试验中选择x次成功的组合数。
二项分布的应用非常广泛。
例如，在投掷硬币的实验中，假设每次投掷为伯努利试验，成功的定义为出现正面。
那么投掷n次硬币，出现x次正面的概率就可以用二项分布来描述。
又如，在药物治疗的实验中，每个病人是否痊愈可以看作是一个伯努利试验。
那么在治疗n个病人中，有x个病人痊愈的概率也可以用二项分布来描述。
接下来，我们来看一下多项分布。
多项分布描述了在进行重复的独立实验中，多个离散型结果的概率分布。
每次实验有多个可能的结果，且每个结果出现的概率是固定的。
多项分布的概率质量函数可以表示为f(x1, x2, ..., xn) =(n! / (x1! * x2! * ... * xn!)) * p1^x1 * p2^x2 * ... * pn^xn，其中n是试验的次数，xi是第i个结果出现的次数，pi是第i个结果出现的概率。
多项分布也有广泛的应用。
例如，在骰子的实验中，每次掷骰子都有六个可能的结果，分别是1、2、3、4、5、6。
如果我们连续掷n次骰子，求出现每个结果的次数的概率分布，就可以用多项分布来描述。
又如，在调查问卷中，每个问题的答案有多个可能的选项，我们希望了解每个选项出现的次数的概率分布，也可以用多项分布来描述。
二项分布和多项分布都属于离散型的概率分布，而且它们是两种特殊形式的多项分布。
通俗理解LDA主题模型
通俗理解LDA主题模型0 前言印象中，最开始听说“LDA”这个名词，是缘于rickjin在2013年3月写的一个LDA科普系列，叫LDA数学八卦，我当时一直想看来着，记得还打印过一次，但不知是因为这篇文档的前序铺垫太长（现在才意识到这些“铺垫”都是深刻理解LDA 的基础，但如果没有人帮助初学者提纲挈领、把握主次、理清思路，则很容易陷入LDA的细枝末节之中），还是因为其中的数学推导细节太多，导致一直没有完整看完过。
2013年12月，在我组织的Machine Learning读书会第8期上，@夏粉_百度讲机器学习中排序学习的理论和算法研究，@沈醉2011 则讲主题模型的理解。
又一次碰到了主题模型，当时貌似只记得沈博讲了一个汪峰写歌词的例子，依然没有理解LDA到底是怎样一个东西（但理解了LDA之后，再看沈博主题模型的PPT会很赞）。
直到昨日下午，机器学习班第12次课上，邹讲完LDA之后，才真正明白LDA原来是那么一个东东！上完课后，趁热打铁，再次看LDA数学八卦，发现以前看不下去的文档再看时竟然一路都比较顺畅，一口气看完大部。
看完大部后，思路清晰了，知道理解LDA，可以分为下述5个步骤：1. 一个函数：gamma函数2. 四个分布：二项分布、多项分布、beta分布、Dirichlet分布3. 一个概念和一个理念：共轭先验和贝叶斯框架4. 两个模型：pLSA、LDA（在本文第4 部分阐述）5. 一个采样：Gibbs采样本文便按照上述5个步骤来阐述，希望读者看完本文后，能对LDA有个尽量清晰完整可以定义为一篇学习笔记或课程笔记，当然，后续不断加入了很多自己的理解。
若有任何问题，欢迎随时于本文评论下指出，thanks。
1 gamma函数1.0 整体把握LDA关于LDA有两种含义，一种是线性判别分析（Linear Discriminant Analysis），一种是概率主题模型：隐含狄利克雷分布（Latent Dirichlet Allocation，简称LDA），本文讲后者。
高中二项分布归纳总结
高中二项分布归纳总结
哎呀，二项分布这东西，一开始我真是觉得头都大啦！就好像在黑暗中找路，完全摸不着头脑。
你想想啊，咱们抛硬币，正面朝上或者反面朝上，这是不是很简单？但二项分布就把这种简单的事儿变得复杂起来。
比如说，咱们抛10 次硬币，想知道出现5 次正面朝上的概率是多少。
这时候二项分布就派上用场啦！它能帮咱们算出来。
二项分布里有个n ，还有个p 。
n 就好比咱们抛硬币的次数，p 呢，就是每次抛硬币正面朝上的概率。
那怎么算呢？就好像搭积木一样，一块一块地来。
先确定n 和p ，然后根据公式去算。
老师在讲台上讲得唾沫横飞，我在下面听得云里雾里。
我就想：“这到底是啥呀？怎么这么难理解！”
我旁边的同学也直挠头，小声跟我说：“这也太难了，感觉比登天还难！”
后来，老师举了好多例子，比如抽奖，有多少个奖，每次抽奖中奖的概率是多少，要算抽多少次能中几个奖的概率。
慢慢地，我好像有点开窍了。
原来二项分布就是在算这种类似的事情呀！
再后来，做练习题的时候，一开始我还是错得一塌糊涂。
我就着急呀，“怎么还是不会呢？” 但是我没放弃，不停地问老师，问同学。
终于，我能做出一些题目啦！这感觉，就像在黑暗中走了好久，突然看到了一丝光亮。
你说，学习新知识不就像爬山嘛，一开始觉得山好高好难爬，但是只要坚持，一步一步往上走，总会爬到山顶，看到美丽的风景！
所以啊，我觉得二项分布虽然一开始很难，但只要我们用心学，多练习，就一定能掌握它！。
二项分布的例子
二项分布的例子
二项分布(Binomial Distribution)是离散概率分布的一种，描述了
在一系列进行相同试验的过程中，发生某一事件的次数的概率分布。
它适
用于二元结果，例如是或否、成功或失败、喜欢或不喜欢等。
下面将介绍
几个二项分布的例子：
1.投硬币。
假设我们投掷一枚硬币，问会得到正面的概率是多少？根据概率理论，正反面概率均为0.5、现在假设我们投掷该硬币10次，问投出5次正面
的概率是多少？这就是一个二项分布问题。
这里的n=10，p=0.5，某=5、
根据二项分布公式，我们可以计算得出概率为0.246，即投出5次正面的
概率为24.6%。
2.制造批次。
假设一家工厂生产了100个零件，其中10个有缺陷，问从这100个
零件中随机抽取10个，恰好有2个有缺陷的概率是多少？这也是一个二
项分布问题。
这里的n=10，p=0.1，某=2、根据二项分布公式，我们可以
计算得出概率为0.193，即恰好有2个有缺陷的概率为19.3%。
3.广告点击率。
假设一家公司发布了100次广告，其中有10次被点击了，问随机选
择了20次广告，恰好有5次被点击的概率是多少？这也是一个二项分布
问题。
这里的n=20，p=0.1，某=5、根据二项分布公式，我们可以计算得
出概率为0.031，即恰好有5次被点击的概率为3.1%。
以上3个例子展示了二项分布在不同领域的应用，它能够用来预测、优化和评估各种不同类型的事件。
二项分布的特点是它对随机事件的次数进行建模，同时也包括了成功或失败的概率，因此它非常适合用来分析实验或试验结果。
二项分布的概率
二项分布的概率一、引言二项分布是概率论中的一个重要分布，它描述了在n次独立重复试验中，成功的次数的概率分布。
它在实际应用中具有广泛的应用，如投票、质量控制、医学诊断等领域。
二、定义二项分布是指在n次独立重复实验中，成功的次数X服从参数为n和p（0<p<1）的二项分布。
其中，每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。
三、公式二项分布的概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)其中，C(n,k)表示从n个不同元素中取出k个元素组成一个集合的方案数。
其计算公式为：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)其中，!表示阶乘运算。
四、特点1. 二项分布是离散型随机变量。
2. 二项分布的期望值和方差均为np和np(1-p)，即E(X)=np，Var(X)=np(1-p)。
3. 当p=0.5时，二项分布达到最大值。
4. 当n很大时且p很小或者很大时，可以用正态分布来近似计算二项分布。
五、应用1. 投票：在一次选举中，假设有n个选民，每个选民投票的结果是成功或失败（即选了某个候选人或未选），则每个候选人获得的票数服从二项分布。
2. 质量控制：在生产过程中，如果某种产品合格的概率为p，则在n次生产中，合格品的数量X服从二项分布。
可以利用这种分布来控制产品质量。
3. 医学诊断：在医学诊断中，假设有n个病人需要接受某种检查，成功率为p，则接受检查后被确诊为患病的病人数量X服从二项分布。
六、例题1. 在一次投票中，共有1000名选民参加投票，其中600名投了甲方，400名投了乙方。
现在随机抽取10名选民进行调查，问其中有7名支持甲方的概率是多少？解：将问题转化为二项分布问题。
其中n=10,p=0.6,k=7。
代入公式可得：P(X=7)=C(10,7)0.6^7(1-0.6)^3≈0.2142. 某厂家生产某种产品，在生产过程中会出现不合格品。
已知每100个产品中，平均有5个不合格品。
二项分布模型特点
二项分布模型特点二项分布是概率论中的一种离散概率分布，它描述了在进行一系列独立重复的伯努利试验中成功的次数。
在二项分布中，每次试验只有两个可能的结果，通常用“成功”和“失败”来表示。
成功的概率记为p，失败的概率记为q=1-p。
如果进行n次试验，那么二项分布模型描述了成功的次数为k的概率。
二项分布的特点可以总结如下：1. 独立性：二项分布的每一次试验都是独立的，即一次试验的结果不会影响其他试验的结果。
例如，抛硬币的结果不会影响下一次抛硬币的结果。
2. 试验结果只有两个可能的结果：二项分布模型中，每次试验的结果只有两个可能的结果，成功或失败。
例如，抛硬币的结果只有正面或反面两种可能。
3. 成功概率恒定：在二项分布中，每次试验成功的概率是恒定的，即每次试验成功的概率都是p。
例如，抛硬币时，正面朝上的概率是固定的。
4. 成功次数可变：在二项分布中，试验成功的次数k可以取不同的值，从0到n。
例如，抛硬币10次，可能有0次正面朝上，也可能有10次正面朝上。
根据题目要求，我们可以进一步扩展二项分布模型的应用。
二项分布模型可以用于描述很多实际问题，例如：1. 投资决策：假设一个投资者在一个月内进行了10次投资，每次投资的成功概率为0.6。
我们可以使用二项分布模型来计算投资者在这个月内成功投资的次数的概率分布，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。
2. 生产质量控制：假设一家工厂每天生产1000个产品，每个产品的质量合格的概率为0.95。
我们可以使用二项分布模型来计算每天合格产品的数量的概率分布，从而帮助工厂控制生产质量。
3. 网络广告点击率分析：假设一个网站在一天内展示了1000次广告，每次广告被点击的概率为0.02。
我们可以使用二项分布模型来计算一天内广告被点击的次数的概率分布，从而帮助广告主评估广告的效果。
4. 疾病诊断：假设某种疾病的发病率为0.1%，一次检测的准确率为95%。
我们可以使用二项分布模型来计算在一次检测中发现的患者数量的概率分布，从而帮助医生进行疾病的诊断。
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二项分布
两点分布: 又称伯努利分布或0-1分布，是离散型的随机变量，变量只能取两个值，非0即1.
两点分布如下：
二项分布是重复n次的伯努利试验，当n等于1时，为伯努利分布。
在每次试验中只有两种可能的结果（0或者1），而且两种结果发生与否互相对立，相互独立。
抛硬币例子：现在抛硬币n次，确定k次正面朝上的概率，已知正面朝上的概率为p.
在n次实验中，选择k次正面朝上，有种可能，每一种可能的发生概率为p k(1-p)n-k。
即：k次正面朝上（n-k负面朝下）的概率为：
由此，二项分布的分布列（律）为：
多项分布
多项分布是二项分布的推广，同样是重复n次实验，不同的是每次实验的取值不只2种，而有k种。
抛骰子例子：现在抛骰子n次，该骰子有6个面，已知每一个面的概率分别为p1,p2,p3,p4,p5,p6. 现在想知道各个面出现次数分别为k1,k2,k3,k4,k5,k6的概率是多少？
在n次实验中，分别让各个面出现次数为k1,k2,k3,k4,k5,k6次，有
种可能，每一种可能的发生概率为。
即：该概率为：
由此，对于n次实验，每次实验的取值有k种，k种情况分别发生了x1…xk次，概率分别为p1…pk.
即：多项分布的分布列（律）为：。