2007年高考数学试题浙江卷(文科)

2007年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷
数 学（文史类）试题全解全析
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)设全集U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6}，B ＝{5，6，8}，则(C U A)∩B ＝
(A)｛6｝ (B){5，8} (c){6，8} (D){3，5，6，8}
【答案】：B
【分析】：由于U ＝{1，3，5，6，8}，A ＝{1，6} ∴C U A={3,5,8}∴(C U A)∩B={5，
【高考考点】集合的交集及补集运算
【易错点】：混淆集中运算的含义或运算不仔细出错
【备考提示】：集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分。

(2)已知cos 2πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝
(A)3- (B) 3 (C) (D) 【答案】：C
【分析】：由cos 2πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得sin ϕ=2πϕ<，∴1cos 2ϕ=
∴tan ϕ【高考考点】三角函数的诱导公式、同角三角函数基本关系式及三角函数符号。

【易错点】：本题最容易出错的是符号，另外在用诱导公式时，函数要变名，这也是一个易措点。

【备考提示】：三角函数问题在高考中一般难度不大，常常是几个小知识点的综合，但需要我们对所涉及的内容均要熟练掌握。

(3)“x ＞1”是“x 2＞x ”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
【答案】：A
【分析】：由2x x >可得01<>x x 或,∴1x >可得到2x x >,但2x x >得不到1x >.故选
答案A.
【高考考点】一元二次不等式的解法及充要条件
【易错点】：将“充分而不必要条件”及“必要而不充分条件” 混淆而出错。

【备考提示】：充要条件在数学中有着广泛应用，它可以与数学中的多个知识点结合起来考查，是一个要重点关注的内容之一。

(4)直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是
(A)x ＋2y －1＝0 (B)2 x ＋y －1＝0
（C ）2 x ＋y －3＝0 (D) x ＋2y －3＝0
【答案】：D
【分析】：解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于1x =对称点为(2-x,y)在直线210x y -+=上,0122=+--∴y x 化简得230x y +-=故选答案D.
解法二根据直线210x y -+=关于直线1x =对称的直线斜率是互为相反数得答案A 或D,再根据两直线交点在直线1x =选答案D.
【高考考点】转移法求轨迹问题及轴对称的相关知识
【易错点】：运算不准确导致出错。

【备考提示】：高考中每年均有相当一部分基础题，要想得到高分，这些习题均不能大意，要争取多得分，最好得满分。

(5)要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草
坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6
米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是
(A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3
【答案】C
【分析】：因为龙头的喷洒面积为36π113≈，正方形面积为256,
故至少三个龙头。

由于216R <，故三个龙头肯定不能保证整个
草坪能喷洒到水。

当用四个龙头时，可将正方形
均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心，由于212R =>
【高考考点】正方形及圆的面积等相关知识
【易错点】：简单计算一下面积，直接相除得答案D
【备考提示】：遇到一些数学应用问题，不仅要从理论上加以研
究，还要注意问题的实际意义，不能理想化。

(6)
91x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是 (A) －36 (B)36 (C) －84 (D) 84
【答案】：C
【分析】：设常数项为第1r +
项，则()9993922111r r r r r r r T C C x x --+⎛⎫=⋅
⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 令93022
r -=，则3r =，故常数项是第四项且484T =-； 【高考考点】二项式定理及相关知识
【易错点】：记错二项式定理的通项，特别是其中的项数。

【备考提示】：准确掌握一些重要的公式和定理是我们解题的关键，也是我们解题的依据。

(7)若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则
(A)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行
(B)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直
(C)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交
(D)过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面
【答案】：B
【分析】：设过点P 的直线为n ，若n 与l 、m 都平行，则l 、m 平行，与已知矛盾，故选项A 错误。

由于l 、m 只有惟一的公垂线，而过点P 与公垂线平行的直线只有一条，故B 正确。

对于选项C 、D 可参考右图的正方体，设AD 为直线l ，''
A B 为直线m ;
若点P 在P 1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C 错误。

若P 在P 2点，则由图中可知直线''2CC D P 及均与l 、m 异面，故选项D
错误。

【高考考点】异面直线及线线平行、垂直的相关知识。

【易错点】：空间想象能力差，找不到相应的反例
【备考提示】：正方体是大家非常熟悉的一个几何体，但很多同学不会灵活应用，从本题可以看出，有关位置关系及射影等相关问题我们都可以借助正方体来判断。

（8）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0．6，则本次比赛甲获胜的概率是
(A1 0．216 (B)0．36 (C)0．432 (D)0．648
【答案】D
【分析】：甲获胜有两种情况，一是甲以2：0获胜，此时210.60.36p ==
二是甲以2：1获胜，此时1220.60.40.60.288p C =⋅⨯⨯=，故甲获胜的概率120.648p p p =+=
【高考考点】独立重复事件恰好发生n 次的概率
【易错点】：利用公式2230.60.40.432p C =⋅⨯=求得答案C,忽视了问题的实际意义。

【备考提示】：计算概率问题要仔细分析该事件中所包含的基本事件，分类计算。

（9） 若非零向量，a b 满足-=a b b ，则（ ） Ａ．22>-b a b
Ｂ．22<-b a b Ｃ．2>-2a a b
Ｄ．2<-2a a b
【答案】：A
【分析】：若两向量共线，则由于，a b 是非零向量，且-=a b b ，则必有a =2b ；代入可知只有A 、C 满足；若两向量不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形，使其满足OB=AB=BC ；令OA = a , OB = b ,则BA = a -b , ∴CA = a -2b 且
-=a b b ；又BA+BC>AC ∴-+a b b 2>-a b ∴22>-b a b
2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab = ，则双曲线的离心率是（ ） Ｃ．2 Ｄ．3
【答案】：B
【分析】：设准线与x 轴交于A 点. 在21F PF Rt ∆中, =⋅21PF PF PA F F ⋅21,
c ab c ab PA 224==∴ 又A F A F PA 212⋅= ))((c
a c c a c c
b a 222224+-=∴, 化简得223a
c = ,3=∴e 故选答案B
【高考考点】双曲线的离心率的求法解三角形的相关知识。

【易错点】：不能联系三角形的有关知识，找不到解题方法而乱选。

【备考提示】：双曲线的离心率的求法是解析几何的一个重点，且方法较多，要善于总结各种方法，灵活应用。

二．填空题：本大题共7小题．每小题4分．共28分．
(11)函数()2
21
x y x R x =∈+的值域是______________． 【答案】： [)0,1
【分析】：注意到20x ≥，故可以先解出2
x ，再利用函数的有界性求出函数值域。

由221x y x =+，得21y x y
=-，∴01y y ≥-，解之得01y ≤<； 【高考考点】函数值域的求法。

【易错点】忽视函数的有界性而仿照()1
x y x R x =∈+来解答。

【备考提示】：数学中有很多问题看起来很相似，但解法有很大不同，要仔细区别，防止出错。

(12)若1sin cos 5θθ+=
，则sin 2θ的值是________． 【答案】：2425
-
【分析】：本题只需将已知式两边平方即可。

∵1sin cos 5
θθ+= ∴两边平方得： 221sin 2sin cos cos 25θθθθ++=，即11sin 225θ+=，∴24sin 225
θ=- 【高考考点】同角三角函数基本关系式及二倍角公式。

【易错点】：计算出错
【备考提示】：计算能力是高考考查的能力之一，这需要在平时有针对性地加强。

(13)某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为___________．
【答案】 50
【分析】：分层抽样即是按比例抽样，易知抽样比例为10：1,故500名高三学生应抽取的人数为50人。

【高考考点】分层抽样的相关知识。

【易错点】：不理解分层抽样的含义或与其它混淆。

【备考提示】：抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分点，不容错过。

(14)2z x y =+中的x 、y 满足约束条件250300x y x x y -+≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩
则z 的最小值是_________． 【答案】：53
- 【分析】：将2z x y =+化为2y x z =-+，故z 的几何意义即为直线2y x z =-+在y 轴上的截距，划出点（x ,y ）满足的可行域，通过平移直线可知，直线2y x z =-+过点
55,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭
时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也就有最小值53-. 【高考考点】线性规划的相关知识
【易错点】：绘图不够准确或画错相应的可行域。

【备考提示】：数形结合是数学中的重要思想方法，要特别予以重视，但作图必须准确，到位。

(15)曲线32
242y x x x =--+在点(1，一3)处的切线方程是___________
【答案】： 520x y +-=
【分析】：易判断点(1，-3)在曲线32242y x x x =--+上，故切线的斜率()'211|344|5x x k y x x ====--=-，∴切线方程为()351y x +=--，即520x y +-=
【高考考点】导数知识在求切线中的应用
【易错点】：没有判断点与曲线的位置关系，导致运算较繁或找不到方法。

【备考提示】：
(16)某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种．小张用10元钱买杂志(每种至多买一本，10元钱刚好用完)，则不同买法的种数是__________(用数字作答)．
【答案】：266
【分析】：根据题意，可有以下两种情况：①用10元钱买2元1本共有5658
=C ②用10元钱买2元1本的杂志4本和1元1本的杂志2本共有2103702348=⨯=∙C C 故
210+56=266
【高考考点】排列组合的相关知识及分析问题的能力
【易错点】：考虑问题不全面，漏掉一些情况
【备考提示】：排列组合问题最需要注意的是不重不漏，这就要求我们在解题时要认真分析，全面考虑。

(17)已知点O 在二面角α－AB －β的棱上，点P 在α内，且∠POB ＝45°．若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°，则二面角α－AB －β的取值范围是_________．
【答案】： 0090,180⎡⎤⎣⎦
【分析】：若二面角α－AB －β的大小为锐角，则过点P 向平面
β作垂线,设垂足为H.
过H 作AB 的垂线交于C,连PC 、CH 、OH ，则PCH ∠就是所求
二面角的平面角. 根据题意得045≥∠POH ，由于对于β内异于
O 的任意一点Q ，都有
∠POQ ≥45°，∴045≥∠POH ，设PO=x 2
，则PH ≥
又∵∠POB ＝45°，∴
，而在Rt PCH ∆中应有
PC>PH ,∴显然矛盾，故二面角α－AB －β的大小不可能为锐角。

即二面角AB αβ--的范围是0090,180⎡⎤⎣⎦。

若二面角α－AB －β的大小为直角或钝角，则由于∠POB ＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O 的任意一点Q ，都有∠POQ ≥45°。

即二面角AB αβ--的范围是0090,180⎡⎤⎣⎦。

【高考考点】二面角的求法及简单的推理判断能力
【易错点】：画不出相应的图形，从而乱判断。

【备考提示】：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法，它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决。

三．解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
(18)(本题14分)已知△ABC
1，且sinA ＋sin B
(I)求边AB 的长；(Ⅱ)若△ABC 的面积为16
sin C ，求角C 的度数． 【答案】(I)由题意及正弦定理，得 AB+BC+AC
1． BC+AC
，
两式相减，得： AB ＝1．
(Ⅱ)由△ABC 的面积＝
12BC ·ACsinC ＝16sin C ，得 BC ·AC ＝13
，∴()222242233AC BC AC BC AC BC +=+-⋅=-=，由余弦定理，得2221cos 22
AC BC AB C AC BC +-==⋅，所以C ＝600． 【高考考点】正弦定理、三角形的面积计算等相关知识
【易错点】：不能利用正弦定理进行边角转化，解题混乱。

【备考提示】：此类问题要求大家对正弦定理、余弦定理、面积公式要熟练掌握，并能运用它们灵活地进行边与角的转化，解三角形问题也是每年高考的一个重点，但难度一般不大，是高考的一个重要的得分点。

(19)(本题14分)已知数列{n a }中的相邻两项21k a -、2k a 是关于x 的方程
()
232320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且21k a -≤2k a (k ＝1，2，3，…)． (I)求1357,,,a a a a 及2n a (n ≥4)(不必证明)；
(Ⅱ)求数列{n a }的前2n 项和S 2n ．
【答案】(I)解：易求得方程()
232320k k x k x k -++⋅=的两个根为123,2k x k x ==． 当k ＝1时123,2x x ==，所以12a =；
当k ＝2时，126,4x x ==，所以34a =；
当k ＝3时，129,8x x ==，所以58a =；
当k ＝4时，1212,16x x ==，所以712a =；
因为n ≥4时，23n
n >，所以22 (4)n n a n =≥ （Ⅱ）()()
22122363222n n n S a a a n =+++=+++++++ =2133222
n n n +++- 【高考考点】二次方程及等差、等比数列的有关知识；
【易错点】：不能准确理解题意而解题错误
【备考提示】：本题主要考查等差、等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．对于此类问题要认真审题、冷静分析，加上扎实的基本功就可以解决问题。

(20)(本题14分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平
面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点．(I)求证：
CM ⊥EM ： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值．
【答案】(I)证明：因为AC=BC ，M 是AB 的中点，所以CM ⊥AB ．
又EA ⊥平面ABC ， ∴ EA ⊥CM ，且AB AE A =
∴ CM DBAE ⊥平面，所以CM ⊥EM ．
(Ⅱ) 连接MD,设AE=a,则BD=BC=AC=2a,在直角梯形EABD 中，
AB=，M 是AB 中点，所以
DE=3a,EM =，
,因此DM EM ⊥.因为CM ⊥平面EMD ，所以CM ⊥DM ，因此DM ⊥平面EMC
故DEM ∠是直线DE 与平面EMC 所成角。

在Rt EMD ∆中，
，EM =，
∴tan MD DEM EM
∠==【高考考点】空间线面关系、直线与平面所成角的求法
【易错点】：找不出或找错直线与平面所成角。

【备考提示】：本题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角的求
法等基础知识，同时考查空间想象能力和推理能力． 对于线面垂直问题，最常用的方法是通过线面垂直去证明，而求直线与平面所成角，首先要作出所求的角，再求之。

同时，利用空间向量也是解决此类问题的一个重要的方法，大家可以尝试一下。

（21）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；
（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
【答案】（Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，由2
214
x b +=
，解得12x =±， 所以1212
S b x x =-
2b =2211b b +-=．
当且仅当2
b =时，S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， 2241k b ∆=-+
，①
（第21题）
11||||AB x x =-
2
24k ==+． ② 设O 到AB 的距离为d ，则21||
S d AB ==，
又因为d =，所以2
21b k =+，代入②式并整理，得 42104k k -+
=，解得212k =，232
b =，代入①式检验，0∆>， 故直线AB 的方程是
22y x =+
或22y x =-
或22y x =-+
，或22
y x =--． 【高考考点】椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等知识
【易错点】：不能准确计算或轻易舍掉一些答案。

【备考提示】：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．故此类问题一方面要求考生能熟练掌握相关知识，并且能够有较高的分析问题和解决问题的能力，同时还要有较强的运算能力和不懈的毅力。

(22)(本题15分)已知()221f x x x kx =-++．
(I)若k ＝2，求方程()0f x =的解；
(II)若关于x 的方程()0f x =在(0，2)上有两个解x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明
12
114x x +< 【答案】（Ⅰ）解：（1）当k ＝2时，()221f x x x kx =-++ ① 当210x -≥时，即x ≥1或x ≤－1时，方程化为22210x x +-=
解得x =
01<<
，故舍去，所以x = ②当210x -<时，－1＜x ＜1时，方程化为210x +=，解得12x =-
由①②得当k ＝2时，方程()0f x =
的解所以x =12x =-． (II)解：不妨设0＜x 1＜x 2＜2，
因为()22 1 x 11 x 1x kx f x kx ⎧+->⎪=⎨+≤⎪⎩
所以()f x 在（0,1］是单调函数，故()0f x =在（0,1］上至多一个解，
若1＜x 1＜x 2＜2，则x 1x 2＝12-
＜0，故不符题意，因此0＜x 1≤1＜x 2＜2． 由()10f x =得1
1k x =-，所以1k ≤-； 由()20f x =得2212k x x =
-， 所以712k -<<-； 故当712
k -<<-时，方程()0f x =在(0，2)上有两个解． 当0＜x 1≤1＜x 2＜2时，1
1k x =-，222210x kx +-= 消去k 得2121220x x x x --= 即212112x x x +=，因为x 2＜2，所以12
114x x +<． 【高考考点】函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识
【易错点】：分析问题的能力较差，分类讨论的问题考虑不全面
【备考提示】：本题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础知识，以及综合运用所学知识、分类讨论等思想方法分析和解决问题的能力．需要考生有较扎实的理论知识及较强的分析问题的能力，同时要具备良好的运算能力。