2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：2章末复习提升
2018-2019学年高中数学人教B版必修一课件：2.章末总结 .pdf
章末总结网络建构名师导学本章要解决的主要问题是:理解函数的概念,表示方法和函数的单调性、奇偶性、零点.通过一次函数、二次函数图象、性质的研究,掌握研究函数的思想方法.解决上述问题的关键是:掌握几种重要的数学方法:待定系数法、换元法、配凑法和二分法.突出数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论及化归转化思想的作用,进一步的会应用这些思想方法研究函数.题型探究·素养提升类型一 函数的定义域答案:(1)[-1,2)∪(2,+∞)(2)若关于x的函数f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x<5},则关于x的函数f(2x-3)的定义域是 .解析:(2)因为f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x<5},所以-5≤2x+3<13所以f(2x-3)中2x-3∈[-5,13),所以x∈[-1,8) 所以f(2x-3)的定义域是[-1,8).答案:(2)[-1,8)(3)函数f(x2)的定义域为[-1,2],则函数f(2x-1)的定义域为 .方法技巧 求函数的定义域,对于已知函数解析式求定义域问题,就是使解析式有意义的自变量x的范围;复合函数求定义域要明确中间变量是什么,定义域仍然是解析式中自变量的取值范围.类型二 求函数的解析式【例2】(2018·河北石家庄辛集中学上期中)已知二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=f(x)+ax,求函数g(x)在区间[-1,1]上的最小值.方法技巧 (1)已知函数解析式的特征,求函数解析式一般利用待定系数法,本题中由于函数为二次函数,因此可设为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),利用待定系数法求a,b,c.(2)本题中的(2)是含参数二次函数在定区间上的最值,因此可根据对称轴与区间的相对位置关系(对称轴在区间内,对称轴在区间两侧)分类讨论.类型三 分段函数(2)求函数f(x)的零点.②当a=1时,方程(*)无解;处理分段函数的问题,要依据自变量所在的范围选择相应的解析式.类型四 函数的图象解:(1)已知函数f(x)=min{(x-1)2,3-x,x+1},如图所示.【例4】 (2018·河南濮阳一中高一上期中)用min{a,b,c}表示a,b,c中较小的一个,已知函数f(x)=min{(x-1)2,3-x,x+1}.(1)画出函数f(x)的图象;(2)写出函数f(x)的单调区间.解:(2)由(1)知f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(1,2),单调递减区间是(0,1),(2,+∞).方法技巧 (1)函数图象是研究函数性质的重要方法,因此涉及非一次函数、二次函数的性质问题,常作出函数图象利用数形结合思想求解.(2)本题中函数的单调递增区间不能写为(-∞,0)∪(1,2),也不能写为(-∞,0)或(1,2).类型五 函数的单调性与奇偶性(3)若f(x)≤m2-2am+1对所有的a∈[-1,1]恒成立,求实数m的取值范围.解:(3)因为f(1)=1,f(x)在[-1,1]上单调递增,所以在[-1,1]上,f(x)≤1,问题转化为m2-2am+1≥1,即m2-2am≥0,对a∈[-1,1]恒成立.下面来求m的取值范围.设g(a)=-2m·a+m2≥0.①若m=0,则g(a)=0≥0,显然对a∈[-1,1]恒成立.②若m≠0,则g(a)为a的一次函数,若g(a)≥0对a∈[-1,1]恒成立,必须有g(-1)≥0,且g(1)≥0,所以m≤-2或m≥2,所以m的取值范围是(-∞,-2]∪ [2,+∞)∪{0}.。
人教B版高中数学必修一学案：2章末复习提升
1.函数的概念与映射函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.2.函数表示法函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.3.函数性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.4.函数最大(小)值求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)，最小值为f (a )与f (c )中的较小者. 5.函数的零点与方程根的关系及运用函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标.所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点. 推而广之，方程f (x )＝a 的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 交点的横坐标.方程f (x )＝g (x )的实数根⇔函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的横坐标.题型一.函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.例1.已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值； 解.(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0.又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2.因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. ∵－2≤x 1＜x 2≤－1时，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). ∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.跟踪演练1.(1)函数y ＝21－1－x的定义域为(..)A.(－∞，1)B.(－∞，0)∪(0,1]C.(－∞，0)∪(0,1)D.[1，＋∞)(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 答案.(1)B.(2)－x (x ＋1)2解析.(1)要使函数有意义，则⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，即x ≤1且x ≠0.(2)由于当0≤x ≤1时解析式已知， 且已知f (x ＋1)＝2f (x )，可设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，整体代入求解. 所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1). 又因为f (x ＋1)＝2f (x )， 所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.题型二.函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点. 例2.对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值. 解.(1)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数. 图象关于y 轴对称.(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1(x ≥0)，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1(x ＜0). 画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是(－1,0]，[1，＋∞)； 减区间是(－∞，－1]，(0,1).跟踪演练2.对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是__________. 答案.2解析.首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个.如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C(5,8).从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3 (x ≤0)，－x ＋3 (0＜x ≤1)，32x ＋12 (1＜x ≤5)，x 2－4x ＋3 (x ＞5).f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2. 题型三.二次函数的有关问题二次函数是函数中的基础内容，它虽简单却具有丰富的内含和外延，可以以此来研究函数的单调性、奇偶性、最值等问题，是重要的函数模型.例3.已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值是1，且g (x )＋f (x )是奇函数，求f (x )的表达式. 解.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则g (x )＋f (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3为奇函数， 故有(a －1)x 2＋bx ＋c －3＝－[(a －1)x 2－bx ＋c －3]，∴(a －1)x 2＋bx ＋c －3＝－(a －1)x 2＋bx －(c －3).∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，c －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3. ∴f (x )＝x 2＋bx ＋3＝(x ＋b 2)2＋3－14b 2，∵f (x )在区间[－1,2]上的最小值为1， ∴需分下列3种情况讨论：①当－1≤－b2≤2，即－4≤b ≤2时，3－b 24＝1，b 2＝8，b ＝±22，∵b ＝22＞2，∴b ＝－22， ∴f (x )＝x 2－22x ＋3.②当－b2＞2，即b ＜－4时，f (x )的最小值是f (2).∴f (2)＝7＋2b ＝1，b ＝－3，舍去.③当－b2＜－1，即b ＞2时，f (x )的最小值是f (－1).∴f (－1)＝4－b ＝1，b ＝3. ∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3，或f (x )＝x 2＋3x ＋3. 跟踪演练3.已知函数f (x )＝12x 2－x ＋32.(1)写出函数f (x )图象的顶点坐标及单调递增、递减区间；(2)是否存在实数a ，当a ＞1时，f (x )的定义域和值域都是[1，a ]，若存在，求出a ，若不存在，说明理由. 解.(1)∵f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1， ∴f (x )的顶点坐标为(1,1)， 单调递减区间是(－∞，1]， 单调递增区间是[1，＋∞). (2)假设存在实数a 满足条件. ∵x ＝1是f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴，故[1，a ]是函数f (x )的递增区间且⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝1，f (a )＝a .∵f (a )＝12a 2－a ＋32，∴12a 2－a ＋32＝a ，∴a ＝1或a ＝3.又a ＞1，∴a ＝3.∴存在实数a ＝3，使f (x )的定义域和值域均为[1，a ]. 题型四.函数与方程的思想函数与方程思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质达到相互转化，多角度解决问题的目的.在本章中函数的零点问题，函数性质的应用，求参数的范围都应用了函数与方程思想.例4.已知函数f (x )＝x 2－x ＋a 至少有一个零点为非负实数，求实数a 的取值范围.解.函数f (x )＝x 2－x ＋a 至少有一个零点为非负实数等价于方程x 2－x ＋a ＝0至少有一个非负实根，可以考虑问题的反面，方程无非负实数根，即方程有两个负实根或无实数根的情况. 函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为x ＝12，∴方程x 2－x ＋a ＝0不可能有两个负实根， ∴当方程x 2－x ＋a ＝0无实根时，Δ＝1－4a ＜0， ∴a ＞14.设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＞14，a ∈R ，则∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤14，a ∈R ，即满足题意的实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14. 跟踪演练4.设a ∈R ，当a 取何值时，不等式x 2＋2x －a ＞1在区间[2,5]上恒成立？ 解.x 2＋2x －a ＞1⇔a ＋1＜x 2＋2x . 令f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[2,5]， 则f (x )min ＝f (2)＝4＋4＝8. ∴a ＋1＜8.∴a ＜7.∴当a ＜7时，x 2＋2x －a ＞1在[2,5]上恒成立.1.函数单调性的判定方法 (1)定义法.(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f (x )，g (x )的单调性判断－f (x )，1f (x )，f (x )＋g (x )的单调性等.(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性.2.二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a＞0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：(1)若h∈[m，n]，则y min＝f(h)＝k，y max＝max{f(m)，f(n)}；(2)若h∉[m，n]，则y min＝min{f(m)，f(n)}，y max＝max{f(m)，f(n)}(a＜0时可仿此讨论).3.函数奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数).4.对于零点性质要注意函数与方程的结合，借助零点的性质可研究函数的图象、确定方程的根；对于连续函数，利用根的存在性，可用来求参数的取值范围.。
2018版高中数学人教B版必修一课件：1章末复习提升 精
题型一 集合间的关系
集合与集合之间的关系有包含和相等的关系，判断两集合之
间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.
例1 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.
(1)若B⊆A，求实数m的取值范围； 解 ∵A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， ∵B⊆A，①B≠∅
求将相关集合转化为最简形式.
(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直
观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.
进行集合的运算时应当注意：
①勿忘对空集情形的讨论； ②勿忘集合中元素的互异性； ③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集； ④对于含参数 (或待定系数 )的集合问题，勿忘对所求数值进行 合理取舍.
(2) 已 知 集 合 A ＝ {x∈R||x|≤2} ， B ＝ {x∈R|x≤1} ， 则
A∩B等于( D )
A.{x∈R|x≤2}
C.{x∈R|－2≤x≤2} 解析
B.{x∈R|1≤x≤2}
D.{x∈R|－2≤x≤1}
A＝{x∈R||x|≤2}＝{x∈R|－2≤x≤2}.
∴A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1} ＝{x∈R|－2≤x≤1}.
跟踪演练 1
下列正确表示集合 M ＝ { － 1,0,1} 和 N ＝ {x|x2 ＋ x ＝ 0}
关系的Venn图是( B )
解析 由N＝{－1,0}，知N M，故选B.
题型二
集合的运算
集合的运算是指集合间的交、 并、 补这三种常见的运算，
在运算过程中往往会因考虑不全面而出现错误，不等式
解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的
高中数学 第二章 等式与不等式学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案
章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a <b a －b ＝0⇔a ＝ba －b >0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法 判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值 已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型 特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}． 方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0， 得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型 含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型 均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0， 所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4， 当且仅当x 2＝4， 即x ＝2时，等号成立， 此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。
2018版高中数学人教B版必修一学案：2.1.1 第2课时 映射与函数
第2课时 映射与函数[学习目标] 1.了解映射、一一映射的概念及表示方法.2.了解象与原象的概念.3.了解映射与函数的区别与联系.[知识链接]函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A . [预习导引]1.映射和一一映射的有关概念映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射. 解决学生疑难点要点一 映射的判断例1 下列对应是不是从A 到B 的映射，能否构成函数？ (1)A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1； (2)A ＝{a |a ＝n ，n ∈N ＋}；B ＝{b |b ＝1n ，n ∈N ＋}，f ：a →b ＝1a ；(3)A ＝[0，＋∞)，B ＝R ，f ：x →y 2＝x ； (4)A ＝{x |x 是平面M 内的矩形}，B ＝{x |x 是平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆. 解 (1)当x ＝－1时，y 的值不存在， ∴不是映射，更不是函数.(2)是映射，也是函数，因A 中所有的元素的倒数都是B 中的元素.(3)∵当A 中的元素不为零时，B 中有两个元素与之对应，所以不是映射，更不是函数. (4)是映射，但不是函数，因为A ，B 不是非空数集.规律方法 按照映射定义可知，映射应满足存在性——集合A 中的每一个元素在集合B 中都有对应元素；唯一性——集合A 中的每一个元素在集合B 中只有唯一的对应元素. 跟踪演练1 在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，试判断由A 到B 是不是映射？是不是函数关系？解 在图(1)中，集合A 中任一个数，通过“开平方”在B 中有两个数与之对应，不符合映射的定义，不是映射，当然也不是函数关系.图(2)中，元素6在B 中没有象，则由A 到B 的对应关系不是映射，也不是函数关系. 图(3)中，集合A 中任一个数，通过“2倍”的运算，在B 中有且只有一个数与之对应，所以A 到B 的对应法则是数集到数集的映射，并且是一一映射，这两个数集之间的对应关系是函数关系.图(4)中，对A 中的每一个数，通过平方运算在B 中都有唯一的一个数与之对应，是映射，数集A 到B 之间的对应关系是函数关系. 要点二 映射个数问题例2 已知A ＝{a ，b ，c }，B ＝{－2,0,2}，映射f ：A →B 满足f (a )＋f (b )＝f (c )，求满足条件的映射的个数.解 (1)当A 中三个元素都对应0时，则f (a )＋f (b )＝0＋0＝0＝f (c )有1个映射；(2)当A 中三个元素对应B 中两个时，满足f (a )＋f (b )＝f (c )的映射有4个，分别为2＋0＝2,0＋2＝2，(－2)＋0＝－2,0＋(－2)＝－2.(3)当A 中的三个元素对应B 中三个元素时，有2个映射，分别为(－2)＋2＝0,2＋(－2)＝0. 因此满足条件的映射共有7个.规律方法 对含有附加条件的映射问题，须按映射的定义一一列举或进行分类讨论.跟踪演练2 集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3,4}，从A 到B 的映射f 满足f (3)＝3，则这样的映射共有( )A.3个B.4个C.5个D.6个 答案 B解析 由于要求f (3)＝3，因此只需考虑剩下两个元素的象的问题，总共有如图所示的4种可能.要点三 映射的象与原象例3 已知映射f ：A →B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(x ＋2y ＋2,4x ＋y ). (1)求A 中元素(5,5)的象； (2)求B 中元素(5,5)的原象.解 (1)当x ＝5，y ＝5时，x ＋2y ＋2＝17,4x ＋y ＝25. 故A 中元素(5,5)的象是(17,25). (2)令B 中元素(5,5)的原象为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＋2＝5，4x ＋y ＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.故B 中元素(5,5)的原象是(1,1).规律方法 1.解答此类问题：关键是：(1)分清原象和象；(2)搞清楚由原象到象的对应法则. 2.一般已知原象求象时，常采用代入法，已知象求原象时，通常由方程组求解，求解过程中要注意象与原象的区别和联系.跟踪演练3 已知映射f ：A →B 中，A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，f ：(x ，y )→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1).(1)求A 中元素(1,2)的象； (2)求B 中元素(1,2)的原象；解 (1)当x ＝1，y ＝2时，3x －2y ＋1＝0,4x ＋3y －1＝9. 故A 中元素(1,2)的象为(0,9).(2)令⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋1＝1，4x ＋3y －1＝2，得⎩⎨⎧x ＝617，y ＝917，故B 中元素(1,2)的原象是⎝⎛⎭⎫617，917.1.在从集合A 到集合B 的映射中，下列说法正确的是( ) A.集合B 中的某一个元素b 的原象可能不止一个 B.集合A 中的某一个元素a 的象可能不止一个 C.集合A 中的两个不同元素所对应的象必不相同 D.集合B 中的两个不同元素的原象可能相同 答案 A解析 根据映射的概念可知：A 中元素必有唯一确定的象，但在象的集合中一个象可以有不同的原象，故A 正确.2.下列对应法则f 为A 到B 的函数的是( ) A.A ＝R ，B ＝{x |x ＞0}，f ：x →y ＝|x | B.A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 C.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x D.A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 答案 D解析 在选项A 、B 、C 中，集合A 中的有些元素在对应法则作用下，在集合B 中找不到象.选项D 表示无论x 取何值y 都等于0.所以选D. 3.下列集合A 到集合B 的对应中，构成映射的是( )答案 D解析 按映射的定义判断知，D 项符合.4.设集合A 、B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f ：A →B 使集合A 中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在f 下，象(2,1)的原象是( ) A.(3,1) B.⎝⎛⎭⎫32，12 C.⎝⎛⎭⎫32，－12 D.(1,3)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝1，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝12，故选B.5.已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{c ，d }，则从A 到B 的不同映射有________个. 答案 4解析 a →c ，b →c ；a →d ，b →d ；a →c ，b →d ；a →d ，b →c ，共4个.1.映射的特征(1)任意性：A 中任意元素x 在B 中都有元素y 与之对应，即A 中元素不能有剩余. (2)唯一性：从集合A 到集合B 的映射，允许多个元素对应一个元素，而不允许一个元素对应多个元素，即一对多不是映射.(3)方向性：f ：A →B 与f ：B →A ，一般是不同的映射. 2.映射与函数的关系函数是特殊的映射，即当两个集合A ，B 均为非空数集时，则从A 到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广.。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：3.1.2 第2课时 指数函数及其性质
![[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：3.1.2 第2课时 指数函数及其性质](https://img.taocdn.com/s3/m/4f429462852458fb770b56c7.png)
第2课时指数函数及其性质的应用[学习目标] 1.理解指数函数的单调性与底数的关系.2.能运用指数函数的单调性解决一些问题.[知识链接]1.函数y＝a x(a＞0且a≠1)恒过点(0,1)，当a＞1时，单调递增，当0＜a＜1时，单调递减.2.复合函数y＝f(g(x))的单调性：当y＝f(x)与u＝g(x)有相同的单调性时，函数y＝f(g(x))单调递增，当y＝f(x)与u＝g(x)的单调性相反时，y＝f(g(x))单调递减，简称为同增异减.[预习导引]1.函数y＝a x与y＝a－x(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称.2.形如y＝a f(x)(a＞0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有相同的定义域.(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有相同的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反.3.形如y＝ka x(k∈R，且k≠0，a＞0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型.4.设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N).要点一利用指数函数的单调性比较大小例1比较下列各组数的大小：0.70.70.3；(1)1.9－π与1.9－3；(2)2(3)0.60.4与0.40.6.解(1)由于指数函数y＝1.9x在R上单调递增，而－π＜－3，所以1.9－π＜1.9－3.0.70.70.3.(2)因为函数y＝0.7x在R上单调递减，而2－3≈0.267 9＜0.3，所以2(3)因为y＝0.6x在R上单调递减，所以0.60.4＞0.60.6；又在y轴右侧，函数y＝0.6x的图象在y＝0.4x的图象的上方，所以0.60.6＞0.40.6，所以0.60.4＞0.40.6.规律方法 1.对于底数相同但指数不同的两个幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断.2.比较幂值，若底数不相同，则首先考虑能否化为同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0或1等)分别与之比较，借助中间值比较. 跟踪演练1 已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞b ＞c B.b ＞a ＞c C.c ＞b ＞a D.c ＞a ＞b答案 D解析 因为函数y ＝0.8x 在R 上单调递减，而0.7＜0.9，所以1＞0.80.7＞0.80.9，又因为1.2＞1,0.8＞0，所以1.20.8＞1，故1.20.8＞0.80.7＞0.80.9，即c ＞a ＞b . 要点二 指数型函数的单调性 例2 判断f (x )＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x的单调性，并求其值域.解 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u 在(－∞，＋∞)上递减，∴y ＝2213-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u，u ∈[－1，＋∞)，∴0＜⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.关于指数型函数y ＝a f (x )(a ＞0，且a ≠1)的单调性由两点决定，一是底数a 的大小；二是f (x )的单调性，它由两个函数y ＝a u ，u ＝f (x )复合而成.2.求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y ＝f (u )，u ＝φ(x )，通过考查f (u )和φ(x )的单调性，求出y ＝f [φ(x )]的单调性. 跟踪演练2 求函数y ＝222-+x x的单调区间.解 函数y ＝222-+xx的定义域是R.令u ＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则y ＝2u .当x ∈(－∞，1]时，函数u ＝－x 2＋2x 为增函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+x x在(－∞，1]上是增函数.当x ∈[1，＋∞)时，函数u ＝－x 2＋2x 为减函数，函数y ＝2u 是增函数，所以函数y ＝222-+xx在[1，＋∞)上是减函数. 综上，函数y ＝222-+xx的单调增区间是(－∞，1]，单调减区间是[1，＋∞).要点三 指数函数的综合应用 例3 已知函数f (x )＝3x －13x ＋1.(1)证明f (x )为奇函数.(2)判断f (x )的单调性，并用定义加以证明. (3)求f (x )的值域.(1)证明 由题知f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x －13－x ＋1＝(3－x －1)·3x(3－x ＋1)·3x＝1－3x1＋3x ＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数.(2)解 f (x )在定义域上是增函数.证明如下： 任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2， f (x 2)－f (x 1)＝32x－132x ＋1－31x－131x ＋1＝(1－232x ＋1)－(1－231x ＋1)＝2·(32x －31x)(31x ＋1)(32x＋1). ∵x 1＜x 2，∴32x －31x ＞0,31x＋1＞0，32x ＋1＞0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)＞f (x 1)， ∴f (x )为R 上的增函数.(3)解 f (x )＝3x －13x ＋1＝1－23x ＋1，∵3x ＞0⇒3x ＋1＞1⇒0＜23x ＋1＜2⇒－2＜－23x ＋1＜0，∴－1＜1－23x ＋1＜1，即f (x )的值域为(－1,1).规律方法 指数函数是一种具体的初等函数，常与函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起进行考查，按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可. 跟踪演练3 设a ＞0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数.(1)求a 的值；(2)求证f (x )在(0，＋∞)上是增函数.(1)解 依题意，对一切x ∈R ，有f (x )＝f (－x )， 即e x a ＋a e x ＝1a ex ＋a e x ， ∴⎝⎛⎭⎫a －1a ⎝⎛⎭⎫e x －1e x ＝0对一切x ∈R 成立.由此得到a －1a ＝0， 即a 2＝1.又a ＞0，∴a ＝1. (2)证明 设0＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝e x 1－e 2x ＋1e 1x －1e 2x ＝(e 2x －e 1x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12x +x －1＝(e 2x －e 1x )1－e 12x +xe12x +x .∵0＜x 1＜x 2，∴e 2x ＞e 1x，∴e2x －e 1x＞0.又1－e12x +x ＜0，e 12x +x ＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0.即f (x )在(0，＋∞)上是增函数.1.函数y ＝⎝⎛⎭⎫121－x的单调递增区间为( ) A.(－∞，＋∞) B.(0，＋∞) C.(1，＋∞) D.(0,1)答案 A解析 定义域为R. 设u ＝1－x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12u . ∵u ＝1－x 在R 上为减函数.又∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在(－∞，＋∞)为减函数， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫121－x 在(－∞，＋∞)是增函数， ∴选A.2.若⎝⎛⎭⎫122a ＋1＜⎝⎛⎭⎫123－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C.(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 B解析 原式等价于2a ＋1＞3－2a ，解得a ＞12.3.设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5，则( ) A.y 3＞y 1＞y 2 B.y 2＞y 1＞y 3 C.y 1＞y 2＞y 3 D.y 1＞y 3＞y 2答案 D解析 40.9＝21.8,80.48＝21.44，(12)－1.5＝21.5，根据y ＝2x 在R 上是增函数， 所以21.8＞21.5＞21.44， 即y 1＞y 3＞y 2，故选D.4.某种细菌在培养过程中，每20 min 分裂一次，即由1个细菌分裂成2个细菌，经过3 h ，这种细菌由1个可繁殖成________个. 答案 512解析 3 h ＝9×20 min ，即经过9次分裂，可分裂为29＝512个. 5.已知函数f (x )＝a －12x＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝________. 答案 12解析 ∵函数f (x )为奇函数，定义域为R ∴f (0)＝a －12＝0.∴a ＝12.1.比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如a m与a n的大小，可运用指数函数y＝a x的单调性.(2)比较形如a m与b n的大小，一般找一个“中间值c”，若a m＜c且c＜b n，则a m＜b n；若a m ＞c且c＞b n，则a m＞b n.2.指数函数单调性的应用(1)形如y＝a f(x)的函数的单调性：令u＝f(x)，在f(x)的单调区间[m，n]上，如果两个函数y ＝a u与u＝f(x)的单调性相同，则函数y＝a f(x)在[m，n]上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数y＝a f(x)在[m，n]上是减函数.(2)形如a x＞a y的不等式，当a＞1时，a x＞a y⇔x＞y；当0＜a＜1时，a x＞a y⇔x＜y.。
2018-2019数学新学案同步必修一人教B版全国通用版讲义：第2章 函数章末复习 Word版含答案
章末复习学习目标 1.构建知识网络，理解其内在联系.2.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力．1．知识网络2．重要技能(1)运算技能主要表现在求函数表达式、定义域、值域、最值、单调性和奇偶性的证明和应用中大量的方程、不等式运算，以及式子的变形等．(2)图形处理技能包括识图能力和作图能力．识图主要体现在给出函数图象，要能从中读出相关信息，能根据函数解析式或性质，画出相应图象．(3)推理技能主要体现在给出函数、定义域、值域、最值、单调性、奇偶性的定义，依据这些定义去证明或判断具体的函数问题．课本还先给出大量具体例子让同学们归纳出一般概念和结论，这叫归纳推理；还有一些类比推理：如由增函数到减函数，由奇函数到偶函数，由具体函数到抽象函数等．(4)数据处理表现在使用表格、图象、Venn图来收集整理数据，这样可以更直观，更便于发现数据的内在规律．(5)数学交流体现在使用了大量的文字、符号、图形语言，用以刻画集合的关系运算及函数表示和性质，往往还需要在三种语言间灵活转换，有意识地培养灵活选择语言，清晰直观而又严谨地表达自己的想法，听懂别人的想法，从而进行交流与合作．3．数学四大思想：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合思想，本章用到以下思想方法：(1)函数与方程思想体现在函数解析式部分，将实际问题中的条件转化为数学模型，再通过研究函数性质解决诸如最大、最优等问题．(2)转化与化归主要体现在集合部分符号语言、文字语言、图形语言的转化，函数中求定义域大多转化成解不等式，求值域大多可以化归为求二次函数等基本函数的值域．(3)分类讨论在函数中，主要是欲去绝对值而正负不定，含参数的函数式的各种性质的探讨．(4)数形结合主要体现在借助函数图象研究函数性质．1．函数的定义域、值域都是集合．( √ )2．直线y ＝b 与R 上的增函数至多有一个交点．( √ )3．若f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点，则f (a )·f (b )<0.( × )4．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )至多有一个交点．( √ )类型一 函数概念及性质命题角度1 函数三要素例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．(1)若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；(2)在(1)的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？并求出每天最多运营人数．解 (1)设每天来回y 次，每次拖挂x 节车厢，由题意设y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝4时，y ＝16，当x ＝7时，y ＝10，得到16＝4k ＋b,10＝7k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝24，∴y ＝－2x ＋24.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x ∈N ＋，y ＝－2x ＋24≥0.。
【同步学案】人教B版2018版高中数学必修一学案全集汇编150页(含答案)
人教B版2018版高中数学必修一学案全集汇编目录1.1.1集合的概念含答案1.1.2集合的表示方法含答案1.2.1集合之间的关系含答案1.2.2第1课时并集、交集含答案1.2.2第2课时补集及集合运算的综合应用含答案1章末复习提升含答案2.1.1 第1课时变量与函数的概念含答案2.1.1 第2课时映射与函数含答案2.1.2函数的表示方法含答案2.1.3函数的单调性含答案2.1.4函数的奇偶性含答案2.2.1一次函数的性质与图象含答案2.2.2二次函数的性质与图象含答案2.2.3待定系数法含答案2.3函数的应用（Ⅰ）含答案2.4.1函数的零点含答案2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法——二分法含答案2章末复习提升含答案3.1.1实数指数幂及其运算含答案3.1.2第1课时指数函数的图象及性质含答案3.1.2第2课时指数函数及其性质的应用含答案3.2.1第1课时对数函数的图象及性质含答案3.2.1第2课时积、商、幂的对数和换底公式与自然对数含答案3.2.2第1课时对数概念及常用对数含答案3.2.2第2课时对数函数及其性质的应用含答案3.2.3指数函数与对数函数的关系含答案3.3幂函数含答案3.4函数的应用（Ⅱ）含答案3章末复习提升含答案1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念[学习目标] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的关系.2.掌握集合中元素的两个特性.3.记住常用数集的表示符号并会应用.[知识链接]1.在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合.2.在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以看成点的集合.3.解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数合在一起称为这个不等式的解集.4.一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.[预习导引]1.元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集).(2)元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素.(3)集合元素的特性：确定性、互异性.2.元素与集合的关系3.(1)空集：不含任何元素的集合，记作∅.(2)非空集合：①有限集：含有有限个元素的集合.②无限集：含有无限个元素的集合.4.常用数集的表示符号要点一 集合的基本概念例1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体.解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合.规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的.如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合.跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________. (1)所有正三角形；(2)必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生. 答案 (1)(4) 解析例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N *；④|－3|∉N *.A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 －12是实数，2是无理数，∴①②正确.N *表示正整数集，∴③和④不正确.规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立.2.符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系.3.“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合.跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M答案 B解析 本题是判断0和2与集合M 间的关系，因此只需判断0和2是否是不等式3－2x ＜0的解即可，当x ＝0时，3－2x ＝3＞0，所以0∉M ；当x ＝2时，3－2x ＝－1＜0，所以2∈M . 要点三 集合中元素的特性及应用例3 已知集合B 含有两个元素a －3和2a －1，若－3∈B ，试求实数a 的值. 解 ∵－3∈B ，∴－3＝a －3或－3＝2a －1. 若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合B 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合B 含有两个元素－4，－3，符合题意. 综上所述，满足题意的实数a 的值为0或－1.规律方法 1.由于集合B 含有两个元素，－3∈B ，本题以－3是否等于a －3为标准，进行分类，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验.2.解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准. 跟踪演练3 已知集合A ＝{a ＋1，a 2－1}，若0∈A ，则实数a 的值为________. 答案 1解析 ∵0∈A ，∴0＝a ＋1或0＝a 2－1.当0＝a ＋1时，a ＝－1，此时a 2－1＝0，A 中元素重复，不符合题意. 当a 2－1＝0时，a ＝±1. a ＝－1(舍)，∴a ＝1. 此时，A ＝{2,0}，符合题意.1.下列能构成集合的是( ) A.中央电视台著名节目主持人B.我市跑得快的汽车C.上海市所有的中学生D.香港的高楼 答案 C解析 A 、B 、D 中研究的对象不确定，因此不能构成集合. 2.集合A 中只含有元素a ，则下列各式一定正确的是( ) A.0∈A B.a ∉A C.a ∈A D.a ＝A答案 C解析 由题意知A 中只有一个元素a ，∴a ∈A ，元素a 与集合A 的关系不能用“＝”，a 是否等于0不确定，因为0是否属于A 不确定，故选C.3.设A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A ；广州________A (填∈或∉). 答案 ∉ ∈解析 深圳不是省会城市，而广州是广东省的省会.4.已知①5∈R ；②13∈Q ；③0∈N ；④π∈Q ；⑤－3∉Z .正确的个数为________.答案 3解析 ①②③是正确的；④⑤是错误的. 5.已知1∈{a 2，a }，则a ＝________. 答案 －1解析 当a 2＝1时，a ＝±1，但a ＝1时，a 2＝a ，由元素的互异性知a ＝－1.1.判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看研究对象是否确定.若研究对象不确定，则不能构成集合.2.集合中的元素是确定的，某一元素a 要么满足a ∈A ，要么满足a ∉A ，两者必居其一.这也是判断一组对象能否构成集合的依据.3.集合中元素的两种特性：确定性、互异性.求集合中字母的取值时，一定要检验是否满足集合中元素的互异性.1.1.2集合的表示方法[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.[知识链接]1.质数又称素数，指在大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他正整数整除的数.2.函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点.[预习导引]1.列举法把有限集合中的所有元素都列举出来，写在花括号“{__}”内表示这个集合的方法.2.描述法(1)集合的特征性质如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质.(2)特征性质描述法集合A可以用它的特征性质p(x)描述为{x∈I|p(x)}，它表示集合A是由集合I中具有性质p(x)的所有元素构成的.这种表示集合的方法，叫做特征性质描述法，简称描述法.要点一用列举法表示集合例1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.(2)设方程x2＝x的所有实数根组成的集合为B，那么B＝{0,1}.(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C＝{2,3,5,7,11,13,17,19}.规律方法对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.跟踪演练1用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；(2)绝对值小于3的整数的集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合.解 (1){北京，上海，天津，重庆}； (2){－2，－1,0,1,2}； (3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝－23x ＋43的解是⎩⎨⎧x ＝75，y ＝25，所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫75，25.要点二 用描述法表示集合 例2 用描述法表示下列集合： (1)正偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.解 (1)偶数可用式子x ＝2n ，n ∈Z 表示，但此题要求为正偶数，故限定n ∈N *，所以正偶数集可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}.(2)设被3除余2的数为x ，则x ＝3n ＋2，n ∈Z ，但元素为正整数，故x ＝3n ＋2，n ∈N ，所以被3除余2的正整数集合可表示为{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }.(3)坐标轴上的点(x ，y )的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy ＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x ，y )|xy ＝0}.规律方法 用描述法表示集合时应注意：①“竖线”前面的x ∈R 可简记为x ；②“竖线”不可省略；③p (x )可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一.跟踪演练2 用描述法表示下列集合： (1)所有被5整除的数；(2)方程6x 2－5x ＋1＝0的实数解集； (3)集合{－2，－1,0,1,2}. 解 (1){x |x ＝5n ，n ∈Z }； (2){x |6x 2－5x ＋1＝0}； (3){x ∈Z ||x |≤2}.要点三 列举法与描述法的综合运用例3 集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}，若集合A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A . 解 (1)当k ＝0时，原方程为16－8x ＝0. ∴x ＝2，此时A ＝{2}.(2)当k ≠0时，由集合A 中只有一个元素， ∴方程kx 2－8x ＋16＝0有两个相等实根. 则Δ＝64－64k ＝0，即k ＝1. 从而x 1＝x 2＝4，∴集合A ＝{4}. 综上所述，实数k 的值为0或1. 当k ＝0时，A ＝{2}； 当k ＝1时，A ＝{4}.规律方法 1.(1)本题在求解过程中，常因忽略讨论k 是否为0而漏解.(2)kx 2－8x ＋16＝0的二次项系数k 不确定，需分k ＝0和k ≠0展开讨论，从而做到不重不漏.2.解答与描述法有关的问题时，明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点. 跟踪演练3 把本例中条件“有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k 取值范围的集合. 解 由题意可知方程kx 2－8x ＋16＝0有两个不等实根.∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝64－64k ＞0，解得k ＜1，且k ≠0.所以k 取值范围的集合为{k |k ＜1，且k ≠0}.1.集合{x ∈N *|x －3＜2}用列举法可表示为( ) A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}答案 B解析 {x ∈N *|x －3＜2}＝{x ∈N *|x ＜5}＝{1,2,3,4}. 2.已知集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3}，则有( ) A.－1∈A B.0∈A C.3∈A D.2∈A答案 B解析 ∵0∈N 且－3≤0≤3，∴0∈A .3.用描述法表示方程x ＜－x －3的解集为________. 答案 {x |x ＜－32}解析 ∵x ＜－x －3，∴x ＜－32.∴解集为{x |x ＜－32}.4.已知x ∈N ，则方程x 2＋x －2＝0的解集用列举法可表示为________. 答案 {1}解析 由x 2＋x －2＝0， 得x ＝－2或x ＝1. 又x ∈N ，∴x ＝1.5.用适当的方法表示下列集合. (1)方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解集；(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合； (3)不等式x －2＞6的解的集合；(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合. 解 (1)∵方程x (x 2＋2x ＋1)＝0的解为0和－1， ∴解集为{0，－1}；(2){x |x ＝2n ＋1，且x ＜1 000，n ∈N }； (3){x |x ＞8}； (4){1,2,3,4,5,6}.1.表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则. (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合.2.在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式？ (2)元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系[学习目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义，能写出给定集合的子集.2.能使用Venn图表示集合间的关系.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系，并能简单应用.[知识链接]1.已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b.2.若实数x满足x＞1，如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？3.方程ax2－(a＋1)x＋1＝0的根一定有两个吗？[预习导引]1.集合相等、子集、真子集的概念(1)集合相等：①定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么就说集合A等于集合B.②符号表示：A＝B.③图形表示：(2)子集①定义：如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集.②符号表示：A⊆B或B⊇A.③图形表示：或(3)真子集①定义：如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集.②符号表示：A B或B A.③图形表示：2.集合关系与其特征性质之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则有3.∅与其它集合之间的关系(1)∅是任意一个集合的子集；(2)∅是任意一个非空集合的真子集.要点一有限集合的子集确定问题例1写出集合A＝{1,2,3}的所有子集和真子集.解由0个元素构成的子集：∅；由1个元素构成的子集：{1}，{2}，{3}；由2个元素构成的子集：{1,2}，{1,3}，{2,3}；由3个元素构成的子集：{1,2,3}.由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}.在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2,3}，剩下的都是A的真子集.规律方法 1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.跟踪演练1已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其个数.解当M中含有两个元素时，M为{2,3}；当M中含有三个元素时，M为{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}；当M中含有四个元素时，M为{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为{2,3,1,4,5}；所以满足条件的集合M为{2,3}，{2,3,1}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,3,1,4}，{2,3,1,5}，{2,3,4,5}，{2,3,1,4,5}，集合M的个数为8.要点二集合间关系的判定例2指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.解(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B .(3)集合B ＝{x |x ＜5}，用数轴表示集合A ，B 如图所示，由图可知AB .(4)由列举法知M ＝{1,3,5,7，…}，N ＝{3,5,7,9，…}，故NM .规律方法 对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示；若端点值不是集合的元素，则用空心点表示. 跟踪演练2 集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |2x ＋7＞0}，试判断集合A 和B 的关系. 解 A ＝{－3,2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞－72.∵－3＞－72，2＞－72，∴－3∈B,2∈B ∴A ⊆B 又0∈B ，但0∉A ，∴AB .要点三 由集合间的关系求参数范围问题例3 已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1＜x ＜m ＋1}，且B ⊆A . 求实数m 的取值范围. 解 ∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. (2)当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1＜m ＋1，解得－1≤m ＜2，综上得{m |m ≥－1}.规律方法 1.(1)分析集合间的关系时，首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误.2.涉及字母参数的集合关系时，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 跟踪演练3 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}. (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围. 解 (1)若AB ，由图可知a ＞2.(2)若B ⊆A ，由图可知1≤a ≤2.1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为()A.4B.7C.8D.16答案 B解析可知A＝{0,1,2}，其真子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}.共有23－1＝7(个).2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是()A.{0}⊆MB.{0}∈MC.∅∈MD.0⊆M答案 A解析选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系，符号错误.3.已知M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N之间关系的V enn图是()答案 C解析M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴N M.4.已知集合A＝{2,9}，集合B＝{1－m,9}，且A＝B，则实数m＝________.答案－1解析∵A＝B，∴1－m＝2，∴m＝－1.5.已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________.答案{a|a≤1 4}解析∵∅{x|x2－x＋a＝0}. ∴{x|x2－x＋a＝0}≠∅.即x2－x＋a＝0有实根.∴Δ＝(－1)2－4a≥0，得a≤1 4.1.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2.集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集.集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.1.2.2集合的运算第1课时并集、交集[学习目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表示集合的关系及运算，体会直观图对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题.[知识链接]下列说法中，不正确的有________：①集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,3,4,5}；②集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的所有元素组成的新集合为{1,2,3,4,5}；③集合A＝{1,2,3}，集合B＝{3,4,5}，由集合A和集合B的公共元素组成的集合为{3}.答案①[预习导引]1.并集与交集的概念2.(1)A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅；(2)A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A；(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.解决学生疑难点要点一集合并集的简单运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A.{3,4,5,6,7,8}B.{5,8}C.{3,5,7,8}D.{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A.{x|－1≤x＜3}B.{x|－1≤x≤4}C.{x|x≤4}D.{x|x≥－1}答案(1)A(2)C解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}.(2)在数轴上表示两个集合，如图.规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点值不在集合中时，应用“空心点”表示.跟踪演练1(1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N＝________.答案(1)C(2){x|x＜－5，或x＞－3}解析(1)A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}.(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来.∴M∪N＝{x|x＜－5，或x＞－3}.要点二集合交集的简单运算例2(1)已知集合A＝{0,2,4,6}，B＝{2,4,8,16}，则A∩B等于()A.{2}B.{4}C.{0,2,4,6,8,16}D.{2,4}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A.{x|0≤x≤2}B.{x|1≤x≤2}C.{x|0≤x≤4}D.{x|1≤x≤4}答案(1)D(2)A解析(1)观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以A∩B＝{2,4}.(2)在数轴上表示出集合A与B，如下图.则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}.规律方法 1.求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似. 2.当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合. 跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，求A ∩B ，A ∪B .解 ∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图.∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0，或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0，或x ≥52}＝R .要点三 已知集合交集、并集求参数例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围. 解 由A ∩B ＝∅，(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2，或a ＞3}.规律方法 1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解.若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结.2.建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到.最好是把端点值代入题目验证.跟踪演练3 设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求实数a 的取值范围. 解 如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3.1.若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{1,2}D.{0}答案 A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素.故选A.2.设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()A.{2}B.{3}C.{－3,2}D.{－2,3}答案 A解析注意到集合A中的元素均为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}.3.集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于()A.{1,2}B.{0,1,2}C.{x|0≤x≤3}D.{x|0≤x＜3}答案 B解析由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}.4.已知集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()A.A∩B＝∅B.A∪B＝RC.B⊆AD.A⊆B答案 B解析∵A＝{x|x＞2，或x＜0}，B＝{x|－5＜x＜5}，∴A∩B＝{x|－5＜x＜0，或2＜x＜5}，A∪B＝R.故选B.5.设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.答案k≤6解析因为N＝{x|2x＋k≤0}＝{x|x≤－k2}，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.1.对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的.“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B 是由两个集合A，B的所有元素组成的集合.(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B 没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.2.集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性.(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.第2课时补集及集合运算的综合应用[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.[知识链接]上课前，老师让班长统计班内的出勤情况，班长看看教室里的同学，就知道哪些同学未到，这么短的时间，他是如何做到的呢？[预习导引]全集与补集的概念(1)全集如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示.(2)补集要点一简单的补集运算例1(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.答案(1)B(2){x|x＜1}解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}.(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}.规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪∁U A＝U.跟踪演练1已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.答案{x|x＝－3，或x＞4}解析 借助数轴得∁U A ＝{x |x ＝－3，或x ＞4}. 要点二 交、并、补的综合运算例2 (1)已知集合A 、B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩∁U B 等于( ) A.{3} B.{4} C.{3,4} D.∅(2)设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则∁R S ∪T 等于( ) A.{x |－2＜x ≤1} B.{x |x ≤－4} C.{x |x ≤1} D.{x |x ≥1}答案 (1)A (2)C解析 (1)利用所给条件计算出A 和∁U B ，进而求交集. ∵U ＝{1,2,3,4}，∁U (A ∪B )＝{4}， ∴A ∪B ＝{1,2,3}.又∵B ＝{1,2}，∴{3}⊆A ⊆{1,2,3}. 又∁U B ＝{3,4}，∴A ∩∁U B ＝{3}.(2)先求出集合S 的补集，再求它们的并集. 因为S ＝{x |x ＞－2}，所以∁R S ＝{x |x ≤－2}.而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以∁R S ∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}.规律方法 当集合是用列举法表示时，如数集，可以找出所求的集合的所有元素；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.跟踪演练2 设全集为R ，A ＝{x |3≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，求∁R (A ∪B )及∁R A ∩B . 解 把全集R 和集合A 、B 在数轴上表示如下：由图知，A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∴∁R (A ∪B )＝{x |x ≤2，或x ≥10}. ∵∁R A ＝{x |x ＜3，或x ≥7}，∴∁R A ∩B ＝{x |2＜x ＜3，或7≤x ＜10}. 要点三 补集的综合应用例3 已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围. 解 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}.(1)若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A . (2)若B ≠∅，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a ＜a ＋3， 即－12≤a ＜3.综上可得a ≥－12.故a 的取值范围是{a |a ≥－12}.规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形；2.∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.跟踪演练3已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围.解∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，∴∁R B＝{x|－1≤x≤0}，因而要使A∩(∁R B)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.故a的取值范围是{a|a≤－1}.1.若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁M N等于()A.∅B.{1,3,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}答案 B解析∁M N＝{1,3,5}，所以选B.2.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A等于()A.{2}B.{3,4}C.{1,4,5}D.{2,3,4,5}答案 B解析先求∁U A，再找公共元素.∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}，∴B∩(∁U A)＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}.3.已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案 B解析∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个.4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1,2}B.{－1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案 A解析图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B＝{－1,2}. 5.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝________.答案{x|0＜x＜1}解析∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁U A＝{x|0＜x＜1}.1.若集合中的元素含参数，要由条件先求出参数再作集合的运算.2.集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行.3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.如(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算.1.集合中元素的特性集合中元素有两大特性——确定性、互异性，确定性是指构成集合的元素要有明确的标准；而互异性是指一个集合中的元素不能有重复，求含有参数的集合元素时利用互异性来进行讨论，从而达到确定集合的目的.2.空集的特殊性和特殊作用空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往被忽视而导致漏解.3.集合的运算集合的运算有交、并、补三种.在集合运算过程中应力求做到“三化”：(1)意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集，还是某类图形？(2)具体化：具体求出相关集合中函数的x的取值集合、y的取值集合或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式.(3)直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题.进行集合的运算时应当注意： ①勿忘对空集情形的讨论； ②勿忘集合中元素的互异性；③对于集合A 的补集运算，勿忘A 必须是全集的子集；④对于含参数(或待定系数)的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍.题型一 集合间的关系集合与集合之间的关系有包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.例1 已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}. (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈Z ，求A 的非空真子集个数.解 ∵A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}， (1)∵B ⊆A ，①B ≠∅ 如图所示∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，2m －1≥m ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－3，m ≤3，m ≥2.∴2≤m ≤3.②B ＝∅由m ＋1＞2m －1得m ＜2. 综上m ≤3.(2)∵x ∈Z ，∴A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}. 则A 的非空真子集个数为28－2＝254.跟踪演练1 下列正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的Venn 图是( )答案 B解析 由N ＝{－1,0}，知N M ，故选B.题型二 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往会因考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏.例2 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}. (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围. (2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？ 解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x ＜0，或x ＞2}. ∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0.(2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时， －1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾.即这样的a 不存在.跟踪演练2 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________. (2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A.{x ∈R |x ≤2} B.{x ∈R |1≤x ≤2} C.{x ∈R |－2≤x ≤2} D.{x ∈R |－2≤x ≤1}答案 (1){6,8} (2)D解析 (1)∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{6,8}. ∴(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}. (2)A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}.。
[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数
![[推荐学习]2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：3.2.1 第2课时 积、商、幂的对数](https://img.taocdn.com/s3/m/e74f2f73312b3169a451a4c0.png)
第2课时 积、商、幂的对数和换底公式与自然对数[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数.[知识链接]在指数的运算性质中：a m ·a n ＝a m ＋n ；a ma n ＝a m －n ；(a m )n ＝a mn . [预习导引]1.对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0.那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N ＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R).2.换底公式 log a b ＝log c b log c a(a ＞0，且a ≠1；c ＞0，且c ≠1). 3.自然对数以无理数e ＝2.718 28…为底的对数，叫做自然对数，log e N 通常记作ln N .温馨提示 常用结论(1)log an b n ＝log a b ；(2)log am b n ＝n mlog a b ； (3)log a b ·log b a ＝1；(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .要点一 对数运算性质的应用 例1 计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一 原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 232＋lg(49×5)21＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10 ＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 75＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数.(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式.要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪演练1 计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12 lg 34lg 3－3lg 3＝⎝⎛⎭⎫1＋45＋910－12lg 3(4－3)lg 3＝115. 要点二 换底公式的应用例2 已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645.解 方法一 由18b ＝5，得log 185＝b ，又log 189＝a ，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 1818×2×99＝log 189＋log 185log 18182－log 189＝a ＋b 2－a. 方法二 设log 3645＝x ，则36x ＝45，即62x ＝5×9，从而有182x ＝5×9x ＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x ＝log 185＋(x ＋1)log 189，又18b ＝5，所以b ＝log 185.所以2x ＝b ＋(x ＋1)a ，解得x ＝a ＋b 2－a ，即log 3645＝a ＋b 2－a. 规律方法 1.利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.2.题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化、统一成一种形式. 跟踪演练2 (1)(log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12C.2D.4(2)log 2125·log 318·log 519＝________. 答案 (1)D (2)－12解析 (1)(log 29)·log 34＝(log 232)·(log 322)＝2log 23·(2log 32)＝4log 23·log 32＝4.(2)原式＝lg 125lg 2·lg 18lg 3·lg 19lg 5＝(－2lg 5)·(－3lg 2)·(－2lg 3)lg 2lg 3lg 5＝－12. 要点三 对数的实际应用例3 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解 设最初的质量是1，经过x 年，剩余量是y ，则：经过1年，剩余量是y ＝0.75；经过2年，剩余量是y ＝0.752；……经过x 年，剩余量是y ＝0.75x ；由题意得0.75x ＝13， ∴x ＝log 0.7513＝lg 13lg 34＝－lg 3lg 3－lg 4≈4. ∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13. 规律方法 解决对数应用题的一般步骤跟踪演练3 里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍.答案 6 10 000解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝6，所以此次地震的级数为6级.设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lgA 2－lg A 0)＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.1.下列式子中成立的是(假定各式均有意义)( )A.log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )B.(log a x )n ＝n log a xC.log a x n＝log a n x D.log a x log a y＝log a x －log a y 答案 C解析 根据对数的运算性质知，C 正确.2.lg 8＋3lg 5的值为( )A.－3B.－1C.1D.3答案 D解析 lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 8＋lg 125＝lg (8×125)＝lg 1 000＝3. 3.lg 5＋lg 20的值是________.答案 1解析 lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1.4.log 29log 23＝________. 答案 2解析 log 29log 23＝log 39＝log 332＝2. 5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n＝________. 答案 1解析 因为m ＝log 210，n ＝log 510，所以1m ＋1n＝log 102＋log 105 ＝lg10＝1.1.换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简.2.运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质.(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用.(3)在运算过程中要注意以下三组中的区别：①log a N n≠(log a N)n，②log a(MN)≠log a M·log a N，③log a M±log a N≠log a(M±N).。
2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：1.2.2 第2课时 补集及集合运算的综合应用
第2课时补集及集合运算的综合应用[学习目标] 1.了解全集的意义和它的记法.理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.2.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题.[知识链接]上课前，老师让班长统计班内的出勤情况，班长看看教室里的同学，就知道哪些同学未到，这么短的时间，他是如何做到的呢？[预习导引]全集与补集的概念(1)全集如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U 表示.(2)补集要点一简单的补集运算例1(1)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则∁U A等于()A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}，则∁U A＝________.答案(1)B(2){x|x＜1}解析(1)∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}.(2)由补集的定义，结合数轴可得∁U A＝{x|x＜1}.规律方法 1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解.2.解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪∁U A＝U.跟踪演练1已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.答案{x|x＝－3，或x＞4}解析借助数轴得∁U A＝{x|x＝－3，或x＞4}.要点二交、并、补的综合运算例2(1)已知集合A、B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A ∩∁U B等于()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则∁R S∪T等于()A.{x|－2＜x≤1}B.{x|x≤－4}C.{x|x≤1}D.{x|x≥1}答案(1)A(2)C解析(1)利用所给条件计算出A和∁U B，进而求交集.∵U＝{1,2,3,4}，∁U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}.又∵B＝{1,2}，∴{3}⊆A⊆{1,2,3}.又∁U B＝{3,4}，∴A∩∁U B＝{3}.(2)先求出集合S的补集，再求它们的并集.因为S＝{x|x＞－2}，所以∁R S＝{x|x≤－2}.而T＝{x|－4≤x≤1}，所以∁R S∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}.规律方法当集合是用列举法表示时，如数集，可以找出所求的集合的所有元素；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.跟踪演练2设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及∁R A∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}.∵∁R A＝{x|x＜3，或x≥7}，∴∁R A∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}.要点三补集的综合应用例3已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围.解由题意得∁R A＝{x|x≥－1}.(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁R A.(2)若B≠∅，则由B⊆∁R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－1 2.故a的取值范围是{a|a≥－12}.规律方法 1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形；2.∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系.跟踪演练3已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围.解∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，∴∁R B＝{x|－1≤x≤0}，因而要使A∩(∁R B)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.故a的取值范围是{a|a≤－1}.1.若全集M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,4}，则∁M N等于()A.∅B.{1,3,5}C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}答案 B解析∁M N＝{1,3,5}，所以选B.2.已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则B∩∁U A等于()A.{2}B.{3,4}C.{1,4,5}D.{2,3,4,5}答案 B解析先求∁U A，再找公共元素.∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴∁U A＝{3,4,5}，∴B∩(∁U A)＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}.3.已知M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()A.2个B.4个C.6个D.8个答案 B解析∵P＝{1,3}，∴子集有22＝4个.4.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为()A.{－1,2}B.{－1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案 A解析图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B ＝{－1,2}.5.若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则∁U A＝________.答案{x|0＜x＜1}解析∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴∁U A＝{x|0＜x＜1}.1.若集合中的元素含参数，要由条件先求出参数再作集合的运算.2.集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行.3.有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行.如(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算.。
第二章平面解析几何章末总结提升课件高二上学期数学人教B版选择性
设点 A(1,5)到准线 l:y=-1 的距离为 d,P 到准线 l:y=-1 的距离为 d1,则
2 + (-1)2 + (-1)2 + (-5)2 =|PF|+|PA|=d1+|PA|≥d=5+1=6,D 正确.
故选 ABD.
角度2.离心率问题
= -11,
整理得 8 + 6 + = -100,解得 = 3,
= -30,
3- = -36,
故圆C的一般方程为x2+y2-11x+3y-30=0.
角度2.求轨迹的方程
求轨迹的方程时多数先通过数形结合的方法判断所求曲线是否满足圆锥
曲线的定义,如果满足可用定义法求解,如果无法判断可用直接法求解,注
因为点N在直线x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①
又因为PQ垂直于直线x+y=2,
-1
所以 =1,即
- 1
x-y+y1-x1=0.②
联立①②解得
3
2
1
2
1 =
1 =
+
+
1
-1,
2
3
-1.④
2
③
又点 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,所以12 − 12 =1.⑤
将③④代入⑤,得动点P的轨迹方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.
专题二
圆锥曲线的性质
角度1.圆锥曲线中的最值与范围问题
【例3】 已知M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
高中数学人教B版必修一全书学案
第一章集合1．1集合与集合的表示方法：1．1．1．集合的概念：一、教学目标：了解集合的有关概念，掌握集合与元素的关系、集合的特征，知道常用集合的表示符号。
二、教学过程：1．引入：（1）一般地，一个家庭里有几口人？都有谁？（2）今年中考过后，你读过几本书？2．自主学习：本节课主要概念有：集合：把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的_________(或_____)．元素：构成集合的每一个对象叫做______(或_____)． 通常用______________表示集合,用_______________表示元素空集：_______________________有限集：______________________- 无限集：_______________________ 常用集合的表示符号：自然数集____ , 正整数集__________整数集______,有理数集,______,实数集_____.3．师生探讨:(1) 集合与元素的关系: 若a 是集合A 的元素,就说____________，记作__________；若a 不是集合A 的元素，就说____________，记作________．(2) 集合的特征:________,_________,_________ (3)空集中元素的个数:____4．巩固练习：4P 练习A 、练习B, 9P 35．小结： 6．作业：（1）下列各项中，可以组成集合的是（ ）（A ）个子高的人 （B ）鲜艳的颜色 （C ）视力差的人 （D ）德州二中高一新生 （2）下列各项中，不能组成集合的是（ ）（A ）所有正三角形 （B ）《必修一》中的所有习题 （C ）所有数学难题 （D ）所有无理数（3）已知,,22A a a A a ∈-∈若集合A 含2个元素，则下列说法中正确的是 （ ） （A ）a 取全体实数 （B ）a 取除去0以外的所有实数（C ）a 取除去3以外的所有实数（D ）a 取除去0和3以外的所有实数 （4）方程0122=+-x x 的解的集合（简称解集）中，有____个元素 （5）不等式2x-3＜0的解集的元素中，自然数是______ （6）用符号∉∈或填空：π___Q , 3.14____Q , 012=+x 的根____R ,π1____R .2___N(7)(选做)有实数x x x ,,-组成的集合元素的个数最多有____个? 最少有_____个? (8)(选做)已知由1，2,x x 三个实数构成一个集合，求x 应满足的条件：1.2集合之间的关系与运算1,2,1集合之间的关系一、教学目标：理解子集，集合相等的概念，理解集合关系与其特征性质之间的关系，掌握包含与相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系，会用Venn 图表示集合及其关系。
2018版高中数学人教B版选修1-1学案：3章末复习提升 精品
1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx →0的方式，导数是函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比ΔyΔx的极限，即lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率． 2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P 的切线方程时应注意： (1)判断P 点是否在曲线上；(2)如果曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))处的切线平行于y 轴(此时导数不存在)，可得方程为x ＝x 0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的切线斜率为f ′(x 0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f(x0)是函数的最值.题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1已知函数f(x)＝x－a ln x(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－ax .(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x (x >0),∴f (1)＝1，f ′(1)＝－1,∴y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1), 即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax ，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a;∵x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0∴f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．跟踪演练1 点P (2,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，且两条曲线在点P 处有相同的切线，求a ，b ，c 的值．解 因为点P (2,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，所以23＋2a ＝0① 4b ＋c ＝0②由①得a ＝－4.所以f (x )＝x 3－4x . 又因为两条曲线在点P 处有相同的切线， 所以f ′(2)＝g ′(2)，而由f ′(x )＝3x 2－4得到f ′(2)＝8， 由g ′(x )＝2bx 得到g ′(2)＝4b ， 所以8＝4b ，即b ＝2，代入②得到c ＝－8. 综上所述，a ＝－4，b ＝2，c ＝－8. 题型二 应用导数求函数的单调区间在区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递增；在区间(a ，b )内，如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内单调递减．例2 已知函数f (x )＝x －2x ＋a (2－ln x )，a ＞0.讨论f (x )的单调性．解 由题知，f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x 2.设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的增函数． ②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当在⎝ ⎛⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝(x －3)e x ，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数的单调增区间(2，＋∞)， 函数的单调减区间(0,2)，(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ， 由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0， 得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a3，(a ，＋∞)， 单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a 3，a . ②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a 3. ③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a3，a . a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫a ，a3. a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)． 题型三 利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x＝(x ＋2)(x －2)x ，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，则a ＝4.(2)解 因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，x ∈(0，＋∞)，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x ＋a )(x －a )x ，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )． (3)证明 设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x ＞1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.跟踪演练3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a ＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2. (2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2得，f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2， f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个． 又f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.综上可知，在区间[0，t ](0<t <3)上f (x )max ＝2， f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 3－3t 2＋2，0<t ≤2，－2，2<t <3.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ， g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0. g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根， 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (3)≥0，解得－2<c ≤0.即c 的取值范围为(－2,0]． 题型四 导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2 ＝－(x －a )(x －3a )．令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当∴f (x )在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数． 当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1； 当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，可知f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，23上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根， 即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤0，f (2)>0，f (3)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.证明 令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0， 即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x 3－4x ≤163成立．1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．。
配套K122018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：2.1.1 第1课时 变量与函数的概念
2.1 函 数 2.1.1 函 数第1课时 变量与函数的概念[学习目标] 1.理解函数的概念，了解构成函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集.3.会求一些简单函数的定义域、函数值.[知识链接]1.在初中，学习过正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，它们的表达形式分别为y ＝kx (k ≠0)，y ＝kx (k ≠0)，y ＝ax ＋b (a ≠0)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).2.反比例函数y ＝kx (k ≠0)在x ＝0时无意义. [预习导引] 1.函数(1)函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数.记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域.(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域. 2.区间设a ，b ∈R ，且a ＜b .3.要点一函数概念的应用例1设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()A.0个B.1个C.2个D.3个答案 B解析规律方法 1.判断一个对应关系是不是函数关系的方法：(1)A，B必须都是非空数集；(2)A 中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应.注意：A中元素无剩余，B中元素允许有剩余.2.函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”.跟踪演练1下列对应或关系式中是A到B的函数的是()A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 答案 B解析 对于A 项，x 2＋y 2＝1可化为y ＝±1－x 2，显然对任意x ∈A ，y 值不唯一，故不符合.对于B 项，符合函数的定义.对于C 项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合.对于D 项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合. 要点二 求函数的定义域 例2 求下列函数的定义域： (1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ；(2)y ＝x ＋1|x |－x.解 (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，即⎩⎨⎧x ≠－1，x ≤1.所以函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}. (2)要使函数有意义， 必须满足|x |－x ≠0，即|x |≠x ， ∴x ＜0.∴函数的定义域为{x |x ＜0}.规律方法 1.当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，必须考虑下列各种情形：(1)负数不能开偶次方，所以偶次根号下的式子大于或等于零；(2)分式中分母不能为0；(3)零次幂的底数不为0；(4)如果f (x )由几部分构成，那么函数的定义域是使各部分都有意义的实数的集合；(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况.2.求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.跟踪演练2 函数f (x )＝x －2＋1x －3的定义域是( )A.[2,3)B.(3，＋∞)C.[2,3)∪(3，＋∞)D.(2,3)∪(3，＋∞)答案 C解析 要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，x －3≠0，即x ≥2且x ≠3.要点三 求函数值或值域 例3 已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R). (1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (3)]的值. 解 (1)∵f (x )＝11＋x ，∴f (2)＝11＋2＝13.又∵g (x )＝x 2＋2， ∴g (2)＝22＋2＝6. (2)∵g (3)＝32＋2＝11， ∴f [g (3)]＝f (11)＝11＋11＝112. 规律方法 求函数值时，首先要确定出函数的对应法则f 的具体含义，然后将变量代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别.跟踪演练3 求下列函数的值域. (1)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x ＋1；(3)y ＝x x ＋1. 解 (1)(直接法)将x ＝1,2,3,4,5分别代入y ＝2x ＋1计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}. (2)(观察法)∵函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0， ∴x ＋1≥1.∴函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞). (3)(分离常数法)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1， 且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1.∴函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}.1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )答案 B解析 根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B 不正确. 2.函数f (x )＝x －1x －2的定义域为( ) A.[1,2)∪(2，＋∞) B.(1，＋∞) C.[1,2) D.[1，＋∞)答案 A解析 由题意可知，要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －2≠0，即x ≥1且x ≠2. 3.已知f (x )＝x 2＋x ＋1，则f [f (1)]的值是( ) A.11B.12C.13D.10答案 C解析f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.4.下列各组函数中，表示同一个函数的是()A.y＝x－1和y＝x2－1 x＋1B.y＝x0和y＝1C.f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2D.f(x)＝(x)2x和g(x)＝x(x)2答案 D解析A中的函数定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同，故选D.5.集合{x|－1≤x＜0，或1＜x≤2}用区间表示为________.答案[－1,0)∪(1,2]解析结合区间的定义知，用区间表示为[－1,0)∪(1,2].1.对函数相等的概念的理解：(1)函数有三个要素：定义域、值域、对应关系.函数的定义域和对应关系共同确定函数的值域，因此当且仅当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.(2)定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是同一函数，因为函数对应关系不一定相同.如y＝x与y＝3x的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，所以是两个不同的函数.2.区间实质上是数轴上某一线段或射线上的所有点所对应的实数的取值集合，即用端点所对应的数、“＋∞”(正无穷大)、“－∞”(负无穷大)、方括号(包含端点)、小圆括号(不包含端点)等来表示的部分实数组成的集合.如{x|a＜x≤b}＝(a，b]，{x|x≤b}＝(－∞，b]是数集描述法的变式.。
教育最新K122018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：3.2.2 第2课时 对数函数及其性质的应用
第2课时 对数函数及其性质的应用[学习目标] 1.进一步加深理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质及其应用.[知识链接]对数函数的图象和性质要点一 对数值的大小比较例1 比较下列各组中两个值的大小： (1)ln 0.3，ln 2；(2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)； (3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3.解 (1)因为函数y ＝ln x 是增函数，且0.3＜2， 所以ln 0.3＜ln 2.(2)当a ＞1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又3.1＜5.2，所以log a 3.1＜log a 5.2； 当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，又3.1＜5.2，所以log a 3.1＞log a 5.2. (3)方法一 因为0＞log 0.23＞log 0.24，所以1log 0.23＜1log 0.24，即log 30.2＜log 40.2.方法二 如图所示 由图可知log 40.2＞log 30.2.(4)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π＞3，所以log 3π＞log 33＝1. 同理，1＝log ππ＞log π3，所以log 3π＞log π3.规律方法 比较对数的大小，主要依据对数函数的单调性. 1.若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较.2.若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.3.若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以先画出函数的图象，再进行比较.4.若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较. 跟踪演练1 (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A.a ＞c ＞b B.b ＞c ＞a C.c ＞b ＞aD.c ＞a ＞b(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A.a ＞b ＞c B.a ＞c ＞b C.b ＞a ＞c D.c ＞a ＞b答案 (1)D (2)B解析 (1)利用对数函数的性质求解. a ＝log 32＜log 33＝1；c ＝log 23＞log 22＝1，由对数函数的性质可知log 52＜log 32，∴b ＜a ＜c ，故选D.(2)a ＝log 23.6＝log 43.62，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上为增函数，3.62＞3.6＞3.2，所以a ＞c ＞b ，故选B.要点二 对数函数单调性的应用例2 求函数y ＝log 21(1－x 2)的单调增区间，并求函数的最小值.解 要使y ＝log 21(1－x 2)有意义，则1－x 2＞0，∴x 2＜1，即－1＜x ＜1， 因此函数的定义域为(－1,1).令t ＝1－x 2，x ∈(－1,1).当x ∈(－1,0]时，若x 增大，则t 增大，y ＝log 21t 减小，∴x ∈(－1,0]时，y ＝log 21(1－x 2)是减函数；同理当x ∈[0,1)时，y ＝log 21(1－x 2)是增函数.故函数y ＝log 21(1－x 2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值y min ＝log 21(1－02)＝0.规律方法 1.求形如y ＝log a f (x )的函数的单调区间，一定树立定义域优先意识，即由f (x )＞0，先求定义域.2.求此类型函数单调区间的两种思路：(1)利用定义求证；(2)借助函数的性质，研究函数t ＝f (x )和y ＝log a t 在定义域上的单调性，从而判定y ＝log a f (x )的单调性. 跟踪演练2 (1)函数f (x )＝|log 21x |的单调递增区间是( )A.⎝⎛⎦⎤0，12B.(0,1]C.(0，＋∞)D.[1，＋∞)(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A.[－1,2]B.[0,2]C.[1，＋∞)D.[0，＋∞)答案 (1)D (2)D解析 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 21x ，x ≥1，log 21x ，0＜x ＜1.当x ≥1时，t ＝log 21x 是减函数，f (x )＝－log 21x 是增函数.∴f (x )的单调增区间为[1，＋∞).(2)f (x )≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，21－x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1或x ＞1，故选D. 要点三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1(a ＞0且a ≠1)，(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性. 解 (1)要使此函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，x －1＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，x －1＜0.解得x ＞1或x ＜－1，此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞). (2)f (－x )＝log a －x ＋1－x －1＝log a x －1x ＋1＝－log a x ＋1x －1＝－f (x ).又由(1)知f (x )的定义域关于原点对称， ∴f (x )为奇函数.f (x )＝log a x ＋1x －1＝log a (1＋2x －1)，函数u ＝1＋2x －1 在区间(－∞，－1)和区间(1，＋∞)上单调递减.所以当a ＞1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递减；当0＜a ＜1时，f (x )＝log a x ＋1x －1在(－∞，－1)，(1，＋∞)上递增.规律方法 1.判断函数的奇偶性，首先应求出定义域，看是否关于原点对称.2.求函数的单调区间有两种思路：(1)易得到单调区间的，可用定义法来求证；(2)利用复合函数的单调性求得单调区间.跟踪演练3 已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，其中(a ＞0且a ≠1)，设h (x )＝f (x )－g (x ).(1)求函数h (x )的定义域，判断h (x )的奇偶性，并说明理由； (2)若f (3)＝2，求使h (x )＜0成立的x 的集合.解 (1)∵f (x )＝log a (1＋x )的定义域为{x |x ＞－1}， g (x )＝log a (1－x )的定义域为{x |x ＜1}， ∴h (x )＝f (x )－g (x )的定义域为{x |x >－1}∩ {x |x ＜1}＝{x |－1＜x ＜1}. 函数h (x )为奇函数，理由如下：∵h (x )＝f (x )－g (x )＝log a (1＋x )－log a (1－x )， ∴h (－x )＝log a (1－x )－log a (1＋x ) ＝－[log a (1＋x )－log a (1－x )]＝－h (x )， ∴h (x )为奇函数.(2)∵f (3)＝log a (1＋3)＝log a 4＝2，∴a ＝2. ∴h (x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )， ∴h (x )＜0等价于log 2(1＋x )＜log 2(1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x ，1＋x ＞0，1－x ＞0，解之得－1＜x ＜0.∴使得h (x )＜0成立的x 的集合为{x |－1＜x ＜0}.1.函数y ＝ln x 的单调递增区间是( ) A.[e ，＋∞) B.(0，＋∞) C.(－∞，＋∞) D.[1，＋∞)答案 B解析 函数y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，在(0，＋∞)上是增函数，故该函数的单调递增区间为(0，＋∞).2.设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A.a ＜c ＜b B.b ＜c ＜a C.a ＜b ＜c D.b ＜a ＜c 答案 D解析 ∵1＝log 55＞log 54＞log 53＞log 51＝0，∴1＞a ＝log 54＞log 53＞(log 53)2＝b . 又∵c ＝log 45＞log 44＝1.∴c ＞a ＞b . 3.函数f (x )＝log 21(x －1)的定义域是( )A.(1，＋∞)B.(2，＋∞)C.(－∞，2)D.(1,2]答案 D解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，log 21(x －1)≥0，解得1＜x ≤2.4.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 21x ，x ≥1，2x ，x ＜1的值域为________.答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，log 21x ≤log 211＝0，∴当x ≥1时，f (x )≤0.当x ＜1时，0＜2x ＜21，即0＜f (x )＜2.因此函数f (x )的值域为(－∞，2).5.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析 要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义， 则2x ＋1＞0，即x ＞－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数， 当x ＞－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性.若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a ＞1和0＜a ＜1两类进行讨论.2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用.。
【配套K12】2018-2019学年高中数学人教B版必修一学案：2.2.1 一次函数的性质与图象
2.2 一次函数和二次函数 2.2.1 一次函数的性质与图象[学习目标] 1.理解一次函数的概念，掌握一次函数的性质.2.会用一次函数的图象和性质分析问题、解决问题.[知识链接]函数y ＝2x ＋1的自变量为x ，它的次数为1；函数y ＝1x 称为反比例函数，函数y ＝2x 为正比例函数. [预习导引]一次函数的性质与图象要点一 一次函数的概念及性质例1 已知函数y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，m 为何值时， (1)这个函数为正比例函数； (2)这个函数为一次函数； (3)函数值y 随x 的增大而减小；(4)这个函数图象与直线y ＝x ＋1的交点在x 轴上.解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧1－3m ＝0，2m －1≠0，∴⎩⎨⎧m ＝13，m ≠12，∴m ＝13.(2)函数为一次函数，只需且必须2m －1≠0， 即m ≠12且m ∈R.(3)据题意，2m －1＜0，∴m ＜12.(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝(2m －1)x ＋1－3m ，y ＝x ＋1，得(2m －2)y ＝5m －2(*) ∵2m －2≠0(否则*式不成立)， ∴y ＝5m －22m －2，令5m －22m －2＝0，得m ＝25.规律方法 解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解.跟踪演练1 函数①y ＝－2x ，②y ＝15－6x ，③c ＝7t －35，④y ＝1x ＋2，⑤y ＝13x ，⑥y ＝x 2x 中，正比例函数是________，一次函数是________. 答案 ①⑤ ①②③⑤解析 正比例函数是y ＝－2x ，y ＝13x ；一次函数是y ＝－2x ，y ＝15－6x ，c ＝7t －35，y ＝13x .需要特别说明的是，尽管函数y ＝x 2x ＝x (x ≠0)，但是它既不是正比例函数，也不是一次函数.要点二 一次函数的图象与应用例2 画出函数y ＝2x ＋1的图象，利用图象求： (1)方程2x ＋1＝0的根； (2)不等式2x ＋1≥0的解集； (3)当y ≤3时，求x 的取值范围.解 因函数y ＝2x ＋1的图象与y 轴相交于点A (0,1)，与x 轴交于点B (－12，0)，过A ，B 作直线，直线AB 就是函数y ＝2x ＋1的图象.如图所示.(1)直线AB 与x 轴的交点为B (－12，0)，所以方程2x ＋1＝0的根为x ＝－12.(2)从图象上可以看到，射线BA 上的点的纵坐标都不小于零，即y ＝2x ＋1≥0.因为射线BA 上的点的横坐标满足x ≥－12，所以不等式2x ＋1≥0的解集是{x |x ≥－12}.(3)过点(0,3)作平行于x 轴的直线CC ′，交直线AB 于C (1，3)，直线CC ′上点的纵坐标y 均等于3，直线AB 上位于直线CC ′下方的点的纵坐标y 均小于3，射线CB 上点的横坐标满足x ≤1.规律方法 直线y ＝kx ＋b 上y ＝y 0(y 0是已知数)点的横坐标就是一元一次方程y 0＝kx ＋b 的根，直线y ＝kx ＋b 上满足y 1≤y ≤y 2(y 1，y 2是已知数)的那条线段所对应的x 的取值范围就是一元一次不等式y 1≤kx ＋b ≤y 2的解集.跟踪演练2 已知y ＋5与3x ＋4成正比例，且当x ＝1时，y ＝2，若y 的取值范围为0≤y ≤5，求x 的取值范围.解 由已知可设y ＋5＝k (3x ＋4)(k ≠0)， 将x ＝1，y ＝2代入得，7＝k (3＋4)，∴k ＝1，即y ＝3x －1， ∵0≤y ≤5，∴0≤3x －1≤5.∴13≤x ≤2.1.下列函数中一次函数的个数为( ) ①y ＝－x 7；②y ＝7x ；③y ＝3；④y ＝1＋8x .A.1B.2C.3D.4答案 B解析 ①④是一次函数，②是反比例函数，③是常数函数. 2.一次函数y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＜0)的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 A解析 直线y ＝kx ＋b (k ＜0，b ＜0)经过点(0，b )，在y 轴的负半轴上，且y 是x 的减函数.3.已知直线y ＝kx ＋b 过点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，若k ＜0且x 1＜x 2，则y 1与y 2的大小关系是( ) A.y 1＞y 2 B.y 1＜y 2 C.y 1＝y 2 D.不能确定答案 A解析 ∵k ＜0，∴函数在R 上单调递减， ∵x 1＜x 2，则y 1＞y 2.4.下述函数中，在(－∞，0]内为增函数的是( ) A.y ＝x 2－2 B.y ＝3xC.y ＝1＋2xD.y ＝－(x ＋2)2答案 C解析 ∵C 中y ＝1＋2x 为一次函数且一次项系数大于零，∴y ＝1＋2x 在R 上为增函数，故选C.5.当m ＝________时，函数y ＝(m ＋1)x 2m －1＋4x －5是一次函数.答案 1解析 由2m －1＝1知，m ＝1时，函数为y ＝2x ＋4x －5＝6x －5为一次函数.1.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与y 轴的交点为(0，b )，当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点为原点.2.一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)具有单调性，当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数为减函数.。
人教B版高中数学必修一学案：3章末复习提升
1.指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化.2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点.3.应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论.4.幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为自变量，指数函数的指数为自变量.因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决.5.理解幂函数的概念、图象和性质.在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况.6.比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较.7.求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集.其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间.8.函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.9.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：题型一.有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.例1.(1)化简a 43－8a 31b4b 32＋23ab ＋a32÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－2535log . 解.(1)原式＝a 31(a －8b )(2b 31)2＋2a 31b 31＋(a 31)2×a31a 31－2b 31×a 31b 31＝a 31(a －8b )a －8b×a 31×a 31b 31＝a 3b . (2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－5352log＝log 3(4×932×8)－5352log ＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪演练1.(1)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25＋525log ＋1643的值.(2)已知x ＞1，且x ＋x －1＝6，求x 21－x21-解.(1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25＋525log ＋1643＝3lg 2＋3lg 5－lg 2－lg 52log 52·log 25＋2＋(24)43＝3－12＋2＋8＝11.(2)⎝⎛⎭⎫x 21－x 21-2＝x ＋x －1－2＝6－2＝4，又x ＞1，∴x 21－x21-＞0，∴x 21－x21-＝2.题型二.指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质.教材对幂函数、指数函数、对函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用.例2.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x .(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域.解.(1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象.(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1].跟踪演练2.(1)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为(..) A.0 B.1 C.2 D.3(2)函数y ＝x 33x －1的图象大致是(..)答案.(1)C.(2)C解析.(1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解.g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2个交点. (2)由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝(－1)313－1＝32＞0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型三.比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决. 例3.设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则(..) A.a ＜b ＜c B.c ＜b ＜a C.c ＜a ＜b D.b ＜a ＜c答案.A解析.a ＝log 213＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.2＜1，c ＝231＞1，故有a ＜b ＜c .跟踪演练3.(1)下列不等式成立的是(..) A.log 32＜log 23＜log 25 B.log 32＜log 25＜log 23 C.log 23＜log 32＜log 25D.log 23＜log 25＜log 32(2)已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则(..)A.x ＞y ＞zB.z ＞y ＞xC.y ＞x ＞zD.z ＞x ＞y答案.(1)A.(2)C解析.(1)由于log 31＜log 32＜log 33，log 22＜log 23＜log 25，即0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 25，所以log 32＜log 23＜log 25.故选A.(2)依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .故选C. 题型四.分类讨论思想本章常见分类讨论思想的应用如下表：例4.已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集.解.∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝⎛⎭⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎫a a ，＋∞. 跟踪演练4.已知函数y ＝ax 2－3x ＋3在x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值.解.令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34， 当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎡⎦⎤34，3. ①若a ＞1时，则y min ＝a 43＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾.②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意.综合①，②知，a ＝12.1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.函数的概念与映射
函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应.对于函数与映射都应满足：①集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；②集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；③不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象.
2.函数表示法
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征.
分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组.
3.函数性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势.
4.函数最大(小)值
求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调性，如果函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值
f (b )，最小值为f (a )与f (c )中的较小者.
5.函数的零点与方程根的关系及运用
函数y ＝f (x )的零点就是方程f (x )＝0的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标.所以方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点. 推而广之，方程f (x )＝a 的实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 交点的横坐标.方程f (x )＝g (x )的实数根⇔函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的横坐标.
题型一 函数的概念与性质
研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合.
例1 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n
是奇函数，且f (2)＝53. (1)求实数m 和n 的值；
(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值；
解 (1)∵f (x )是奇函数，
∴f (－x )＝－f (x )，
∴mx 2＋2
－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n
. 比较得n ＝－n ，n ＝0.
又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53
，解得m ＝2. 因此，实数m 和n 的值分别是2和0.
(2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x
. 任取x 1，x 2∈[－2，－1]，且x 1＜x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝23
(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2 ＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2
. ∵－2≤x 1＜x 2≤－1时，
∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，x 1x 2－1＞0，
∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).
∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数，
因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53
. 跟踪演练1 (1)函数y ＝
21－1－x 的定义域为( ) A.(－∞，1)
B.(－∞，0)∪(0,1]
C.(－∞，0)∪(0,1)
D.[1，＋∞)
(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x ).若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.
答案 (1)B (2)－x (x ＋1)2
解析 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ≥0，
1－1－x ≠0，
即x ≤1且x ≠0.
(2)由于当0≤x ≤1时解析式已知，
且已知f (x ＋1)＝2f (x )，
可设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，整体代入求解.
所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1).
又因为f (x ＋1)＝2f (x )，
所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2
. 题型二 函数图象及其应用
函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等.反之，掌握函数的性质，有助于图象正确的画出.函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点.
例2 对于函数f (x )＝x 2－2|x |.
(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.
解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，。