河北省滦县二中2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题(普通班)Word版含答案

滦县二中2013-2014学年度第一学期期中考试高二数学试卷
一选择（每题5分）
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A .棱
台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对
2.
10y ++=的倾斜角是（ ）
A. 6π
B. 3π
C. 56π
D. 23
π
3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8
同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对 4、右图的正方体ABCD-A ’B ’C ’D ’
中,异面直线AA ’与BC 所成的角是（ ） A. 300 B.450 C. 600 D. 900
5、若ac 〉0，且bc 〈0, 直线0ax by c ++=不通过（ ）
A ．第三象限 B. 第一象限 C. 第四象限 D. 第二象限 6、如果直线a ∥平面α,那么直线a 与平面α内的( )
A.一条直线不相交
B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交
D.任意一条直线不相交 7、若异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝l ，则直线l ( )
A ．与直线a ，b 都相交
B ．至少与a ，b 中的一条相交
C ．至多与a ，b 中的一条相交
D ．与a ，b 中的一条相交，另一条平行
8、一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB ⊥EF ；②EF 与MN 是异面直线；③MN ∥CD ，其中正确的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．③
D ．①②
9．若曲线
2
2
2610x y y
x +
+-+=上相异两点P,Q 关于直线240kx y +-=对称，则k 的值
为（ ）
A.1
B.-1
C.
1
2
D. 2 10、设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ）
C ’
图
A B A ’
C
（A ）若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ （B ）若//,//l ααβ，则l β⊂ （C ）若,//l ααβ⊥，则l β⊥ （D ）若//,l ααβ⊥，则l β⊥ 11、如图，AB 是圆O 的直径，C 是异于A 、B 两点的圆周上的任意一点，PA 垂直于圆O 所在的平面，则PAB ∆，PBC ABC PAC ∆∆∆,,中，直角三角形的个数为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 12、由直线1y x =-上的一点向圆2
2
680x y
x +
-+=引切线，则切线长的
最小值为
A ．
D.2 二、填空（每题5分）
13．.经过点（-3,-4）且在x 轴，y 轴的截距相等的直线l 的方程是_________．
14、点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.
15、一个长方体的长、宽、高之比是3:2:1，全面积为288cm ，则它的体积是 。

16、设a ，b ，c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；
②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面． 其中真命题的个数是________个．
三、解答题
17、（10分） 某座楼由相同的若干房间组成，该楼的三视图如图，问：
（1）该楼有几层；
（2）最高的一层有几个房间； （3）一共有几个房间？
18（本题12分）
三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A （5,1），B （7，-3），C
（2，-8），
（1） 求BC 边上的高所在直线的方程。

（2） 求三角形ABC 的外接圆的方程。

A
B
C
D
P
E
F
19、（12分）如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，ABCD PC ABC 面⊥=∠,60
，E,F 是PA 和AB
的中点。

（1）求证： EF||平面PBC ;
（2）求E 到平面PBC 的距离。

20．（本题12分）已知圆C ：
()()2
2
4(0)2a x a y +=>--及直线l ：30x y -+=。

当
直线l 被圆C
截得的弦长为时， （1）求a 的值
（2）求过点（3,5）并与圆C 相切的切线方程。

21、（12分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，
.
2
1,1,90====⊥=∠AD BC AB SA ABCD SA ABC ，面
(1)求四棱锥S-ABCD 的体积; (2)求证：;SBC SAB 面面⊥
(3)（理科做）求SC 与底面ABCD 所成角的正切值。

S
C
A
D
B
A
B
C
D
图2
B
A
C
D
图1
22、（本小题満分12分）
如图1,在直角梯形ABCD 中,90ADC ∠=︒,//CD AB ,4,2AB AD CD ===.将ADC ∆沿
AC 折起,使平面ADC ⊥平面ABC ,得到几何体D ABC -,如图2所示. (Ⅰ) 求证:BC ⊥平面ACD ；（Ⅱ）求几何体A BCD -的体积.
答案
A D BD C DBD DC D A 13. 034=-y x 或70x y ++= 14
15、48cm 3 16、1个 17.（1）3层 （2）3个 （3）8或9 18．（本题12分）解：（1）BC 边的斜率：()
83127
BC k ---=
=- …………2分
BC 边上的高所在直线斜率：k=-1
…………4分
BC 边上的高所在直线的方程为：()115y x -=-⨯-即60x y +-=…………6分 （2）方法1：BC 中点（
92，112-），BC 边的垂直平分线为119122y x ⎛⎫+=-⨯- ⎪⎝
⎭ 即10x y ++=…………7分
AB 中点（6，-1），AB 边的斜率为
()
13257
--=--
AB 边的垂直平分线为()1
162
y x +=
⨯-即280x y --=…………7分 由10280x y x y ++=⎧⎨
--=⎩ 得2
3
x y =⎧⎨=-⎩ 圆心（2，-3）…………10分
5=…………11分
外接圆方程为
()()2
2
2523x y +=-+…………12分
方法2：设方程，列方程组…………9分 求a=2,b=-3,r=5…………11分 得出方程…………12分 19、（1）证明：
PB
EF BF AF PE AE ||,
,∴== (1)
又 ,,PBC PB PBC EF 平面平面⊂⊄故 PBC EF 平面||...............4 （2）解：在面ABCD 内作过F 作H BC FH 于⊥ (5)
PBC PC ABCD PC 面面⊂⊥,
ABCD PBC 面面⊥∴……………………………………………8 又 BC ABCD PBC =面面 ，BC FH ⊥，ABCD FH 面⊂ ABCD FH 面⊥∴
又PBC EF 平面||，故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH 。

(10)
在直角三角形FBH 中，2
,60a
FB FBC =
=∠
， a a a FBC FB FH 4
323260sin 2sin 0=⨯=⨯=
∠= 故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离，等于a 4
3。

…………12 20．（本题12分） 解：（1）依题意可得圆心C （a,2）,半径r=2 则圆心到直线l ：30x y -+=的距离
2分
由勾股定理可知2
2
2
d r
+=⎛⎫
⎪⎝⎭
，代入化简得12a +=…………4分
解得1a =或3a =-，又a 〉0,所以1a =…………6分 （2）由（1）知圆C ：
()()2
2
412x y +=--，又（3,5）在圆外
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为()53y k x -=-…………8分
即530kx y k -+-=
由圆心到切线的距离2d 可解得5
12
k =
…………9分 ∴切线方程为512450x y -+=…………10分
②当过（3,5）斜率不存在直线方程为3x =与圆相切
由①②可知切线方程为512450x y -+=或3x =…………
21、（1）解：
4111)121(61)(21
3131=⨯⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯==
SA AB BC AD Sh v （2）证明：BC
SA ABCD BC ABCD SA ⊥∴⊂⊥,面，面 又,A AB SA BC AB
=⊥ ，
SAB BC 面⊥∴
SAB BC 面⊂
SBC SAB 面面⊥∴
（3）解：连结AC,则SCA ∠就是SC 与底面ABCD 所成的角。

在三角形SCA 中，SA=1,AC=2112
2
=+,
222
1tan ===
∠AC SA SCA
22、(Ⅰ)在图1中,可得AC BC ==,从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥
取AC 中点O 连结DO ,则DO AC ⊥,又面ADC ⊥面ABC ,
面ADC 面ABC AC =,DO ⊂面ACD ,从而OD ⊥平面ABC ,
∵BC ⊂面ABC ,∴OD BC ⊥ 又AC BC ⊥,AC OD O =,
∴BC ⊥平面ACD
(10)
(12)
另解:在图1中,可得AC BC ==,从而222AC BC AB +=,故AC BC ⊥
∵面ADC ⊥面ABC ,面ADC 面ABC AC =,BC ⊂面ABC ,从而BC ⊥平面ACD
(Ⅱ) 由（Ⅰ）可知BC 为三棱锥B ACD -的高. BC =2ACD
S =
所以11233A BCD B ACD V V Sh --===⨯⨯=
∴几何体A BCD -。