2019学年七年级数学上册 勾股定理及其逆定理讲义 (新版)鲁教版

勾股定理及其逆定理（讲义）课前预习
1.请你回顾直角三角形的性质：
边：直角三角形斜边长任意一条直角边长；角：直角三角
形两锐角；
2.请同学们计算并背诵下列数的平方：
112= ，122= ，132= ，142= ，
152= ，162= ，172= ，182= ，
192= ．
3.想一想：如图是由边长为 1 的正方形组成的网格，直角三角形的顶点在网格的
格点上．分别以直角三角形的三边为边，向外作正方形，请你分别求出这三个正方形的面积S A，S B，S C，并思考S A，S B，S C 之间的数量关系．
知识点睛
1. 勾股定理：
如果用 a ，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边， 那么 a 2+b 2=c 2．
2. 勾股定理的验证：
3. 勾股定理逆定理：
如果 ，那么这个三角
形是
．
如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直
角三角形．
4. 勾股数：满足 a 2+b 2=c 2 的三个正整数，称为勾股数．常见勾股数有
； ；
； ；
；
．
精讲精练
1
. 一个直角三角形两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是
（ ） A ．斜边长为 25 B ．三角形的周长为 25
C ．斜边长为 5
D ．三角形的面积为 20
背 记 11—19 的 平 方 ： 112=121，122=144，132=169， 142=196，152=225，162=256， 172=289，182=324，192=361．
勾股定理： 角（Rt △）→边（a 2+b 2=c 2） 勾股定理逆定理：
边（a 2+b 2=c 2）→角（Rt △）
c
c
B
C 2
. 如图，在 Rt △ABC 和Rt △ACF 中，BC 长为 3cm ，AB 长为
4cm ，AF 长为 12cm ，则正方形 CDEF 的面积为
．
F
E
A
D
第 2 题图
第 3 题图
3. 如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，分别以 BC ，AB ，AC 为边向外作正方形，面积分别记为 S 1，S 2，S 3．若 S 2=4，S 3=6， 则 S 1= ． 4
. 如图，已知 Rt △ABC 的两直角边长分别为 6 和 8，分别以其三边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．
5
. 等面积法是几何中一种常见的证明方法，可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”．例如，著名的赵爽弦图（如图 1，其中四个直角三角形较长的直角边长都为 a ，较短的直角边长都为 b ，斜边长都为 c ），大正方形的面积可以表示为 c 2，
也可以表示为4 1 ab (a b )2
．由此推导出重要的勾股定
2
理：如果直角三角形两条直角边长为 a ，b ，斜边长为 c ，那 么 a 2+b 2=c 2．图 2 为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证 图1
法”，请你利用图 2 推导勾股定理．
C
D a
b A
a
E b
B
图2
A
6
. 如图，直线 l 上有三个正方形 a ，b ，c ，若 a ，c 的面积分别为 5 和 11
，则 b 的面积为 ．
E
D
l
C
B
第 6 题图 第 7 题图
7
. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以斜边 AB 为边向外作正方形 ABDE ，已知正方形 ABDE 的面积为 100，BC 的长为8，则点 E 到直线 BC 的距离为 ．
8
. 如 图 ， 在 △ABC 中 ，AD ⊥BC 于 点 D ， 若 AB=13cm ，BD=5cm ， CD=9cm ，求线段 AD ，
AC 的长．
A
B
D C
9
. 小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结， 然后将绳子
拉到离旗杆底端 5 米处，发现此时绳子底端距离打结处 1 米．请设法算出旗杆的高度．
c
a
b
A
24
25 1
0. 下列各组数中不能作为直角三角形三边长的是（
）
A ．0.3，0.4，0.5
B ．7，12，15
C ．11，60，61
D ．9，40，41 1
. 如图，在单位正方形组成的网格图中有 AB ，CD ，EF ，GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A ．CD ，EF ，GH
B ．AB ，EF ，GH
C ．AB ，C
D ，GH D ．AB ，CD ，EF
C E B
H
F
D
G
12. 若三角形的三边长分别是2n 1，2n 2
2n ，2n
2
2n 1（n 为正 整数），则三角形的最大内角等于
度．
13. 三边长分别是 15，36，39 的三角形是
三角形．
1
4. 五根小木棒，其长度分别为 7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
下列图形中正确的是（ ）
7
25 24 20 20
25 24
20
24 7
20 7
15 15 7 15 25 A ．
B ．
C ．
D ．
1
5. 一个零件的形状如图 1 所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师
傅量得这个零件各边长如图 2 所示，这个零件符合要求吗？请说明理由．
D
D
A A 图1
图2
15
【参考答案】
课前预习
1. 大于，互余
2. 121，144，169，196，225，256，289，324，361
3. S A=16，S B=9，S C=25 S A+S B=S C
知识点睛
1.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
2.略
3.三角形两边的平方和等于第三边的平方，直角三角形．
4. 3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41；
11，60，61．
精讲精练
1. C
2. 169 cm2
3. 2
4. 24
5. 略
6. 16
7. 14
8. AD=12 cm，AC=15 cm 9. 12 米
10. B
11. B 12. 90
13.直角
14. C
15.符合要求，理由略
16.。