2017年秋季学期新版新人教版九年级数学上学期21.2.2、公式法导学案14
人教版九年级数学上册第21章21.2.2《公式法》导学案
21.2.2公式法1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程.2.会用根的判别式判断方程根的情况,能熟练地运用公式法求解一元二次方程.3.重点:用公式法求解一元二次方程.知识点一一元二次方程根的判别式阅读教材本课时“探究”,回答下列问题.1.阅读教材“探究”,补全下列推导过程.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),方程两边都除以a,得x2+ x+ =0;移项,得x2+ x= -;配方,得x2+ x+()2= -+()2;即(x+ )2= . ①2.上面的式子①能用直接开平方法求解吗?为什么?不能直接开平方,因为可能是正数,可能是0,也可能是负数,只有当的值是非负数的时候,才能两边同时开平方.【归纳总结】一般地,式子b2-4ac 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用希腊字母Δ表示它,即Δ＝b2-4ac .当Δ＞0时,方程有两个不相等的实数根;当Δ＝0时,方程有两个相等的实数根;当Δ＜0时,方程没有实数根.【预习自测】一元二次方程x2+x-2=0根的情况是(A)A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定知识点二用公式法解一元二次方程你能根据上面的推理分别求出当Δ＞0和Δ＝0时,方程①的解吗?当Δ＞0时,>0,故x+=±,∴x=;当Δ＝0时,x1=x2=-.【归纳总结】1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:当b2-4ac ≥0时,它的根x= .2.用公式法解一元二次方程的一般步骤:(1)把方程化为一般形式,确定a,b,c的值(各项系数若有分数,通常化为整数);(2)求出b2-4ac 的值,根据其值的情况确定一元二次方程是否有解;(3)如果b2-4ac ≥0,可以将一般式中的a,b,c的值代入求根公式x=.。
九年级数学上册21.2.2公式法导学案新版新人教版
21.2.2解一元二次方程——公式法预习案一、预习目标及范围1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
范围：自学课本P9-P12，完成练习.二、预习要点1.掌握公式法解一元二次方程的推导过程；2.掌握公式法解一元二次方程的公式并能够使用公式法解一元二次方程。
三、预习检测1.什么是配方法?配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？2．怎样用配方法解形如一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0)的一元二次方程？探究案一、合作探究活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=活动内容2：典例解析问题1：用配方法解方程：222033x x --=解: a=2, b=5, c= -3,∴ b 2-4ac=52-4×2×(-3)=49∴522-±⨯=574-±X 1 =-3 X 2 =12问题2：用公式法解方程 222033x x --=解：方程两边同乘以3,得 2 x 2 -3x-2=0a=2，b= -3，c= -2.∴b 2-4ac=(-3) 2-4×2×(-2)=25.∴(3)22--±⨯=354±X 1 =-2 X 2 =-12问题3： 用公式法解方程：x 2a=2，，c= 3.∴b 2) 2-4×1×3=0∴ x =2b a -±X 1 = X 2例4 解方程：(2)(13)6x x --=解：去括号，化简为一般式： 23780x x -+= a=3，b= -7，c= 8.∴b 2-4ac=(-7) 2-4×3×8=-47<0.∴方程没有实数解。
活动内容3：知识归纳：24b ac -叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)根的判别式，通常用希腊字母∆表示它，即24b ac ∆=-．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）240b ac ∆=->⇔方程有两个不相等的实数根；（2）240b ac ∆=-=⇔方程有两个相等的实数根；（3）240b ac ∆=-<⇔方程没有实数根．公式法解一元二次方程一般地，对于一般形式的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)，当240b ac -≥时，它的两个根分别是12b x a -+=，22b x a-=，这里，)240x b ac =-≥叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法．公式法解一元二次方程的一般步骤把方程化成一般形式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)；确定a ，b ，c 的值；求出24b ac -的值，并判断方程根的情况：当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根；当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；当240b ac -<时，方程没有实数根．当240b ac -≥时，将a ，b ，c 和24b ac -的值代入公式2b x a -±=（注意符号）．二、随堂检测1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( )A.x2-x+1=0B.x2-2x+3=0C.x2+x-1=0D.x2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：参考答案预习检测：1.配方法：通过配方，先把方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负数，然后运用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．配方法解一元二次方程的一般步骤：（1）移常数项到方程右边；（2）化二次项系数为1；（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）化方程左边为完全平方式；（5）若方程右边为非负数，则利用直接开平方法解得方程的根．2.解：移项，得2,ax bx c +=-二次项系数化为1，得2,bcx x a a +=- 配方，得222()(),22bbcbx x a a a a ++=-+ 即：222424b b acx a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为0,a ≠所以当240b ac ->时，；2b x a -±= 当240;2bb ac a -==-12时，x =x 当240;2bb ac a -==-12时，x =x随堂检测：。
人教版九年级数学上册《21公式法》导学案
九年级数学上册《21.2.2 公式法》导学案1、理解并学会判断一个一元二次方程根的情况2、理解一元二次方程求根公式的推导过程3、学会用公式法解一元二次方程重点：先把方程化为一般式，再用根的判别式对方程的根的情况进行分析，最后用求根公式进行解答难点：理解一元二次方程求根公式的推导过程，并学会运用求根公式去解方程1、根的判别式2=4b ac ∆-① 当 时，方程有两个实数根，其中， 当 时，方程有两个不相等的实数根； 当 时，方程有两个相等的实数根； ②当 时，方程无实数根。
2、求根公式把 （b 2﹣4ac ≥0）叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式．3、用公式法解一元二次方程的一般步骤：①把方程化成一般形式，进而确定 ， ， 的值（注意符号）； ②求出 的值（若 ，方程无实数根）； ③在 的前提下，把a 、b 、c 的值代入求根公式进行计算，求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a ≠0；②b 2﹣4ac ≥0．1、（2022·营口）关于x 的一元二次方程240x x m +-=有两个实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A.4m <B.4m >-C.4m ≤D.4m ≥-2、（2021·溧阳市期末）若一元二次方程2420x x k -++=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_______________3、（2020·浙江自主招生）若1x =是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根，则判别式24b ac ∆=-和完全平方式()22M a b =+的关系是：∆_____M4、一元二次方程210x x +-=的解是___________5、（2021·滕州市校级月考）已知关于x 的一元二次方程()223290a x x a --+-=的常数项是0，则a =________，方程的根是____________。
人教版九年级数学上册 21.2.2公式法 导学案
人教版九年级数学上册导学案 第二十一章一元二次方程 21.2.2公式法【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，2.掌握公式法解一元二次方程；3.掌握利用根的判别式△判定一元二次方程根的情况； 【课前预习】1．下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．x 2，2x =0B ．x 2，2x ，1=0C ．x 2，2x +1 =0D ．x 2，2x +2=02．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ， A ．k>，14B ．k>，14且0k ≠ C ．k<，14D ．k ≥，14且0k ≠ 3．已知a，b，c 是ABC 的三边长，且方程()()22a 1x 2bx c 1x 0++--=的两根相等，则ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．任意三角形4．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠5．一元二次方程(1)(1)23x x x +-=+的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．只有一个实数根D ．没有实数根6．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．97．已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法正确的是（ ）A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定 8．方程2(2)9x -=的解是（ ，A ．1251x x ==-，B ．1251x x =-=，C ．12117x x ==-， D ．12117x x =-=， 9．关于x 的方程x 2+2kx+k ﹣1=0的根的情况描述正确的是（ ） A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数拫C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种10．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1【学习探究】 自主学习阅读课本，完成下列问题 1.用配方法解下列方程（1）6x 2-7x+1=0 （2）4x 2-3x=522.用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3.把______ 叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++= ≠ 的根的判别式，常用符号_ ___来表示。
人教版九年级数学上册 21.2.2 公式法 导学案(含答案)
人教版九年级数学上册第二十一章21.2.2公式法导学案第1课时一元二次方程的根的判别式1、教学目标掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式进行相关的计算或推理．2、预习反馈一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.当Δ>0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．3、例题讲解类型1 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况例1不解方程，判别下列方程的根的情况．(1)2x2＋3x－4＝0；(2)16y2＋9＝24y；(3)5(x2＋1)－7x＝0.【解答】(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－4)＝9＋32＝41＞0，∴原方程有两个不等的实数根．(2)原方程化为一般形式为16y2－24y＋9＝0.∵a＝16，b＝－24，c＝9，Δ＝b2－4ac＝(－24)2－4×16×9＝0，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为5x2－7x＋5＝0.∵a＝5，b＝－7，c＝5，Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝49－100<0，∴原方程无实数根．【方法归纳】判别一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况的思维过程：化成一般形式→求Δ→判断Δ>0，Δ＝0，Δ＜0或Δ≥0，Δ<0→根的情况．【跟踪训练1】完成下列表格．类型2 根据根的情况确定一元二次方程中字母的值或取值范围例2已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何非负整数时．(1)方程只有一个实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根？【思路点拨】(1)方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；(2)方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，从而求得m的值；(3)方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，从而得到m的值．【解答】(1)∵方程只有一个实数根，∴m－2＝0.解得m＝2.(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＝0.解得m＝3.(3)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＞0.解得m ＜3.∵m 为非负整数，且m ≠2，∴m ＝0或1.【方法归纳】 此类问题应考虑两个方面：(1)根据判别式建立不等式或方程；(2)一元二次方程的二次项系数不等于0.【跟踪训练2】 若关于x 的方程kx 2－3x －94＝0有实数根，则实数k 的取值范围是(C ) A ．k ＝0 B ．k ≥－1且k ≠0C ．k ≥－1D ．k ＞－1【易错提示】 该方程是一次方程，即k ＝0时，方程也有实数根．4、巩固训练1．一元二次方程x 2－2x ＝0根的判别式的值为(A ) A ．4 B ．2 C ．0 D ．－42．一元二次方程2x 2－3x ＋1＝0的根的情况是(A)A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根3．关于x 的一元二次方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，则m 的取值范围是m>14． 4．若关于x 的方程x 2－6x ＋m ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值是8．5．已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．解：(1)∵1为原方程的一个根，∴1＋a ＋a －2＝0.∴a ＝12.代入方程，得x 2＋12x －32＝0. 解得x 1＝1，x 2＝－32. ∴a 的值为12，方程的另一个根为－32. (2)证明：∵在x 2＋ax ＋a －2＝0中， Δ＝a 2－4a ＋8＝(a －2)2＋4>0，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．5、课堂小结1．本节课主要学习了哪些知识？2．本节课还有哪些疑惑？说一说！第2课时 用公式法解一元二次方程1、教学目标1．理解一元二次方程求根公式的推导过程．2．会利用一元二次方程的求根公式解一元二次方程．2、预习反馈1．解一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．移项，得ax 2＋bx ＝－c ．二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－c a． 配方，得x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b 2a )2，即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac 4a 2. 因为a ≠0，所以4a 2＞0.当b 2－4ac>0时，b 2－4ac 4a 2>0，所以x ＋b 2a ＝±2a 所以x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a； 当b 2－4ac ＝0时，b 2－4ac 4a 2＝0， 所以x ＋b 2a ＝0，所以x 1＝x 2＝－b 2a； 当b 2－4ac ＜0时，b 2－4ac 4a 2＜0，此时(x ＋b 2a )2＜0，而x 取任何实数都不能使(x ＋b 2a )2＜0，因此方程无实数根．2．当Δ≥0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的实数根可写为x ＝2a 这个式子叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．03 例题讲解例 用公式法解下列方程：(1)x 2－4x －7＝0；(2)2x 2－22x ＋1＝0；(3)5x 2－3x ＝x ＋1；(4)x 2＋17＝8x .【思路点拨】 用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．【解答】 (1)a ＝1，b ＝－4，c ＝－7. Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－7)＝44>0.方程有两个不等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－（－4）±442×1＝2±11， 即x 1＝2＋11，x 2＝2－11.(2)a ＝2，b ＝－22，c ＝1. Δ＝b 2－4ac ＝(－22)2－4×2×1＝0.方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b 2a ＝－－222×2＝22. (3)方程化为5x 2－4x －1＝0. a ＝5，b ＝－4，c ＝－1.Δ＝b 2－4ac ＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.方程有两个不等的实数根x ＝－b ±b 2－4ac 2a ＝－（－4）±362×5＝4±610， 即x 1＝1，x 2＝－15. (4)方程化为x 2－8x ＋17＝0. a ＝1，b ＝－8，c ＝17.Δ＝b 2－4ac ＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.方程无实数根．【方法归纳】 用公式法解一元二次方程的步骤：(1)把方程化为一般形式，确定a ，b ，c 的值；(2)求出b 2－4ac 的值；(3)若b 2－4ac ≥0，将a ，b ，c 的值代入求根公式计算，得出方程的解．用公式法解一元二次方程注意点有：①注意化方程为一般形式；②注意方程有实数根的前提条件“Δ≥0”；③注意方程有根应该是两个；④求解出的根注意适当化简．4、巩固训练用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0； (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11； (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0； (6)x 2＋25x ＋10＝0.解：(1)x 1＝3，x 2＝－4. (2)x 1＝2＋32，x 2＝2－32.(3)x 1＝1，x 2＝－3.(4)x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6.(5)x 1＝0，x 2＝－2.(6)无解．5、课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．应用公式法解一元二次方程．。
九年级数学上册人教版：21.2.2 公式法解一元二次方程 导学案
21.2.2 公式法解一元二次方程导学案【自主探究】1. 试推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式：2. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况：（1）当Δ＞b2-4ac时：（2）当Δ= b2-4ac时：（3）当b2-4ac＜0时：3.运用公式法的一般过程有哪些？【尝试应用】1．用公式法解下列方程．（1）2x2-4x-1=0 （2）4x2-3x+1=0（3）4x2-6=0 （4）x（x-4）=2-8x2、不解方程，利用判别式判定下列方程的根的情况：3=0 （2）4x2-12x+9=0 （3）3x2+4=2x2+x （1）x2-3x-2【补偿提高】1、已知关于x的一元二次方程2210+-=有两个不相等的实数根，求实kx x数k的取值范围。
2.若关于x的方程x2－2x+k－1=0 。
（1）方程有实数根，则k的取值范围（2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值.3、当K为何值时，关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x=-k2+2k+3 (1)有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）无实数根；4、已知关于x的方程x2+2x+a-2=0(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一个根；学后小结：21.2.3 公式法解一元二次方程补偿作业姓名1、不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，其中，有实数根的方程是2、方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、有一个实数根D、没有实数根3、已知关于x的一元二次方程2210kx x+-=有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是4、用公式法解下列方程；1（1）2t2+3=7t （2）x2-3x =4。
新人教版九年级数学上册21.2.2公式法(2)导学案
新人教版九年级数学上册21.2.2公式法（2）导学案学习目标：1.熟练运用公式法解方程，理解根的判别式与一元二次方程根的关系.2.会利用判别式判断方程根的情况，并会根据它们的关系求字母系数的取值范围 学习重点、难点：利用根的情况求相关字母的取值范围.一、预习导学： 1.一元二次方程02=++c bx ax （a ≠0）的求根公式是： .2.解下列方程（1）2323x x += （2）22340x x -+= （3）221x x +=二、新知探究：思考：一元二次方程的根的情况有哪几种？取决于 .归纳：当判别式 时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当判别式 时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当判别式 时，一元二次方程无实数根．例题：1. 不解方程，判断下列方程根的情况．（1）012222=+-x x （2）1352+=-x x x （3）x x 8172=+2.不解方程，判断关于x 的一元二次方程x 2-kx-2=0的根的情况．㈡利用根的判别式可以判断方程根的情况．反之，已知根的情况也可以求 相关字母的取值范围.已知关于x 的一元二次方程22x m x -= 有两个不相等的实数根，求m 的取 值范围．简记简记三、当堂达标：1. 不解方程，利用根的判别式判断下列方程根的情况（1）x x 352= （2） 02222=+-x x2.关于x 的方程kx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．3．不解方程，判断关于x 的一元二次方程x 2-kx+k-2=0的根的情况．四、课堂小结：1.一元二次方程的求根公式是： .2.根的判别式的用途是：1. .2. .五、学后反思:。
九年级数学上册 第二十一1.2.2 公式法解一元二次方程导学案新人教版
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学 习 资 料 专 题21.2.2 公式法解一元二次方程一、学习目标：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念；2、会熟练应用公式法解一元二次方程；3、理解化归思想. 二、学习重难点：重点：用公式法解一元二次方程 难点：理解化归思想.探究案三、合作探究 活动内容1：小组合作问题1：用配方法解方程24630x x --=问题2：用配方法解方程20ax bx c ++=分析归纳:活动内容2：典例解析例2（1）2x 2+5x-3=0； （2）;（3）; （4）(2)(13)6x x --=解:活动内容3：知识归纳：___________________叫做一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母__________表示它，即__________________．一元二次方程根的情况与判别式的关系 （1） （2） （3）概括写出用公式法解一元二次方程的基本步骤：随堂检测1.一元二次方程x 2+2x+4=0的根的情况是 （ ）A.有一个实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.没有实数根 2.方程x 2-3x+1=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C. 没有实数根D.只有一个实数根 3.下列一元一次方程中，有实数根的是 ( ) A.x 2-x+1=0 B.x 2-2x+3=0 C.x 2+x-1=0 D.x 2+4=04.关于x的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有实数根，则下列结论正确的是( )A.当k=1/2时，方程两根互为相反数B.当k=0时，方程的根是x=-1C.当k=±1时，方程两根互为倒数D.当k≤1/4时，方程有实数根5.若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是 ( )A.m＜1B. m＜1且m≠0C.m≤1D. m≤1且m≠06.用公式法解下列方程：(1) x2 + x – 6 = 0 ; (2) ；(3) 3x2– 6x – 2 = 0 ; (4) 4x2 - 6x = 0 ;(5) x2 + 4x + 8 = 4x + 11 ; (6) x(2x – 4) =5 - 8x .课堂小结通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________参考答案随堂检测1.D2.A3.C4.D5.D6.(1)(2)(3)(4)(5)(6)。
人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》
人教版数学九年级上册教学设计21.2.2《公式法》一. 教材分析人教版数学九年级上册第21.2.2节《公式法》是二次函数求解部分的重要内容。
本节主要介绍公式法求解二次方程的步骤和应用。
教材通过例题和练习题，使学生掌握公式法的基本原理，能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本概念和图像，对二次函数有一定的认识。
但学生在求解二次方程时，可能还不太熟悉公式法，需要通过本节课的学习，进一步巩固和提高。
三. 教学目标1.了解公式法求解二次方程的基本原理。
2.掌握公式法求解二次方程的步骤。
3.能够熟练运用公式法求解二次方程，并解决实际问题。
4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：公式法求解二次方程的基本原理和步骤。
2.难点：如何灵活运用公式法求解实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解公式法的基本原理和步骤。
2.案例分析法：分析例题，引导学生运用公式法解决问题。
3.练习法：通过练习题，巩固所学知识。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题。
六. 教学准备1.教材和人教版数学九年级上册相关资料。
2.投影仪和电脑。
3.练习题和答案。
4.教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示二次方程的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。
然后提出问题：“如何求解二次方程？”引发学生的思考。
2.呈现（10分钟）介绍公式法求解二次方程的基本原理和步骤。
通过讲解和示例，让学生明白公式法的运用过程。
3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（5分钟）分组讨论：如何运用公式法解决实际问题？让学生通过讨论，提高解决问题的能力。
5.拓展（5分钟）出示一些实际问题，让学生运用公式法解决。
教师点评学生的解题过程，指出不足之处。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调公式法在解决二次方程中的应用。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关公式法的练习题，让学生巩固所学知识。
人教版数学九年级上册同步导学案-21.2.2解一元二次方程公式法导学案
《 21.2.2解二元一次方程——公式法 》导学案 课题 解二元一次方程—公式法 数学 年级 九年级上册教学目标 1.理解一元二次方程求根公式的推导过程2.了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程3.会利用根的判别式判断一元二次方程根的情况4.通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，并让学生在学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的自信心重点难点 重点： 求根公式的推导和公式法的应用 难点： 一元二次方程求根公式法的推教学过程知识链接1、 解方程 x 2 = 25，依据是什么？请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 =- 2…这些方程有什么共同的特征？2、试一试解方程 x 2 + 2x -4 = 0 它具有的结构特征是？3、想一想用配方法解系数不为1的一元二次方程的步骤？是不是所有的一元二次方程都适合用配方法呢？今天我们一起来学习一种万能的解法——公式法！合作探究知识1、求根公式 【探究一】:研读课本 p10页的探究内容，理解求根公式的推导过程 尝试用配方法解方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)。
解：方程两边都除以a ，得 。
移项，得： 。
配方，得： 。
即：（x ＋b 2a ）2＝b 2－4ac 4a 2∵a ≠0，所以4a 2>0当b 2－4ac ≥0时，得x ＋b 2a＝ 。
∴x ＝ 。
即对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，它的根是x ＝－b ±b 2－4ac 2a。
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做当△=0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有 _______________ 实数根；当△<0时，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）_______________实数根．反之，方程有实数根，也可以用“△”求解字母的范围，或者值。
新人教版初中数学九年级上册21.2.2 公式法导学案
2122 公式法学习目标1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力；2、会用公式法解简单系数的一元二次方程；3进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
重点：用公式法解简单系数的一元二次方程；难点：推导求根公式的过程。
导学流程复习提问：1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程32-6-8=0;[学#科#网]3、你能用配方法解下列方程吗？请你和同桌讨论一下a2＋b＋c＝0(a≠0)推导公式用配方法解一元二次方程a2＋b＋c＝0(a≠0)因为a≠0，方程两边都除以a，得_____________________＝0移项，得2＋＝________，配方，得2＋＋______＝______－[学|科|网|X|X|K]即 (____________) 2＝___________因为a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得_____________________________所以＝_______________________即＝_________________________＝ ( b2－4 ac≥0)由以上研究的结果，得到了一元二次方程a2＋b＋c＝0的求根公式：精讲点拨利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法合作交流b2－4 ac为什么一定要强调它不小于0呢？如果它小于0会出现什么情况呢？展示反馈学生在合作交流后展示小组学习成果。
①当b2－4ac＞0时，方程有＿＿个＿＿＿＿＿＿＿＿的实数根；（填相等或不相等）[]②当b2－4ac＝0时，方程有＿＿＿个＿＿＿＿的实数根1＝2＝＿＿＿＿＿＿＿＿③当b2－4ac＜0时，方程＿＿＿＿＿＿实数根深入探究：自学P36页例2，完成下列特别各题：应用公式法解下列方程(1) 2 2＋－6＝0； (2) 2＋4＝2；[网](3) 52－4－12＝0； (4) 42＋4＋10＝1－8巩固提高：完成P37页练习课堂小结1、一元二次方程的求根公式是什么？2、用公式法解一元二次方程的步骤是什么？达标测评（A）1、应用公式法解方程：(1) 2－6＋1＝0； (2)22－＝6；(3)42－3－1＝－2； (4)3(－3) ＝2(－1) (＋1)（5）（-2）（+5）＝8；（6）（＋1）2＝2（＋1）[网]。
人教版-数学-九年级上册-21.2.2公式法导学案
21.2.2 公式法1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．2．会熟练应用公式法解一元二次方程．阅读教材第9至12页的部分，完成以下问题．1．用配方法解下列方程：(1)6x 2－7x ＋1＝0； (2)4x 2－3x ＝52.2．如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题 已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a 、b 、c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．知识探究一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac 2a就得到方程的根，当b 2－4ac ＜0，方程没有实数根； (2)x ＝－b±b 2－4ac 2a叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式； (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程可能有两个不等的实数根，也可能有两个相等的实数根或没有实数根；(5)一般地，式子b 2－4ac 叫做方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用希腊字“Δ”表示，即Δ＝b 2－4ac.自学反馈用公式法解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0； (2)5x ＋2＝3x 2；(3)(x －2)(3x －5)＝0; (4)4x 2－3x ＋1＝0.活动1 小组讨论例1 在什么情况下，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？解：Δ＝b 2－4ac ，Δ>0时，有两个不相等的实数根； Δ＝0时，有两个相等实数根；Δ<0时，没有实数根．例2 写出一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，b 2－4ac ≥0)的求根公式：x ＝－b±b 2－4ac 2a． 例3 方程x 2－4x ＋4＝0的根的情况是(B )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．有一个实数根D ．没有实数根活动2 跟踪训练1．利用判别式判定下列方程的根的情况：(1)2x 2－3x －32＝0； (2)16x 2－24x ＋9＝0； (3)x 2－42x ＋9＝0; (4)3x 2＋10x ＝2x 2＋8x.2．用公式法解下列方程：(1)x 2＋x －12＝0； (2)x 2－2x －14＝0； (3)x 2＋4x ＋8＝2x ＋11; (4)x(x －4)＝2－8x ；(5)x 2＋2x ＝0; (6)x 2＋25x ＋10＝0.用公式法解一元二次方程时，一定要先写对a ，b ，c 的值，再判断Δ的正负．活动3 课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．应用公式法解一元二次方程．4．一元二次方程根的情况．【预习导学】自学反馈(1)x 1＝1＋62，x 2＝1－62.(2)x 1＝2，x 2＝－13.(3)x 1＝2，x 2＝53.(4)无解．【合作探究】活动2跟踪训练1．(1)有两个不相等的实数根．(2)有两个相等的实数根．(3)无实数根．(4)有两个不相等的实数根． 2.(1)x1＝3，x2＝－4.(2)x1＝2＋32，x2＝2－32.(3)x1＝1，x2＝－3.(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－ 6.(5)x1＝0，x2＝－2.(6)无解．。
人教版九年级数学上21.2.2《公式法》导学案
人教版九年级数学上21.2.2《公式法》导学案21.2.2《公式法》学案学习目标：1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。
2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。
学习过程：一、自主学习：（一）复习提问1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x 2－7x －18=03、你能用配方法解方程20(0)ax bx c a ++=≠吗？请尝试解（二）归纳总结：1、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由方程的_________确定。
当__________时，它的根是_____________，这个式子叫做一元二次方程的_____________，利用它解一元二次方程的方法叫做______________。
2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠：当24b ac -____时，方程有实数根______________________________； 当___________时，方程有实数根______________________________； 当___________时，方程没有实数根。
（三）注意点：1、公式法是解一元二次方程的一般方法.C. 1152x += 2152x -= D. 没有实数根 2、下列方程中，没有实数根的是（ ）A.2210x x +-=B.22220x x ++= C. 2210x x ++= D. 220x x -++=3、用公式法解下列方程：(1) 22980x x -+= (2) 2340x -= (3) 29610x x ++= (4)2112x x =+ (5) 23520x x --+= (6) (1)(1)22x x x +-=。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案：21.2.2公式法
人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案21.2.2 公式法（第一课时）【学习目标】1.经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式；2.能用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.【知识梳理】1.用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).因为a ≠0，方程两边都除以a ，得_____________________＝0.移项，得x 2＋ab x ＝________， 配方，得 x 2＋ab x ＋______＝______－ac , 即 (____________) 2＝___________因为 a ≠0，所以4 a 2＞0，当b 2－4 ac ≥0时，直接开平方，得_____________________________.所以 x ＝___________________即 x ＝_________________________2.对于一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，当ac b 42-≥0时，它的根是x= ， 这个式子称为一元二次方程的求根公式，用 解一元二次方程的方法称为公式法.3.利用求根公式求一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的步骤：①化方程为 ，②确定方程中的 的值，③算出 的值，④当 时，代入求根公式 求方程的根.【典型例题】知识点 用公式法解一元二次方程1.写出下列解方程中a 、b 、c 的值.（1） x 2-2x+5=0 （2）x 2-7=0 （3）5x 2+3x=0 （4）2x 2+5=3x2.用公式法解下列方程。
（1）2x 2-9x+8=0 （2）16x 2+8x=3【巩固训练】1.关于x 的一元二次方程()002≠=--b a cx bx 的解是 （ ）C.b abccx24 2-±-= D.b abbcx242+±=2.方程x2+3x =4的解是 .3.方程：（2x+1）（x﹣1）=8（9﹣x）﹣1的根为 .4.用公式法解下列方程（1）x2+8x-20=0 （2）x2-3x-10=0 （3）x2=4x-1 （4）3x2+4x-7=0（5）()xxx=-12（6）()()4211+=-+xxx人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案21.2.2 公式法（第二课时）【学习目标】1.掌握一元二次方程的求根公式；会用公式法解一元二次方程；2.了解一元二次方程可能有两个相等的实数根的情况.【知识梳理】1. 利用求根公式求一元二次方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的步骤：①化方程为 ，②确定方程中的 的值，③算出 的值，④当 时，代入求根公式 求方程的根.2.用公式法解下列一元二次方程(1) x 2+x-6=0; (2)x x 692=+【典型例题】知识点 用公式法解一元二次方程1.一元二次方程06222=-+x x 的根是 （ ）A. 221==x xB.22,021-==x xC.23,221-==x xD.23,221=-=x x2.用公式法解下列一元二次方程(1)3x 2-6x-2=0; (2)()332-=-t t(3) 2x 2+3x ﹣1＝0 （4）2x 2﹣x ﹣1＝0．【巩固训练】 1.若关于x 的一元二次方程2x 2﹣3x ﹣k ＝0的一个根为1，则另一个根为（ ）A ．2B ．﹣1C ．D ．2.等腰三角形边长分别为a ，b ，2，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +n ﹣1＝0的两根，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．9或10D ．8或104.如果x 2﹣x ﹣1＝（x+1）0，那么x 的值为（ ）A ．2或﹣1B ．0或1C ．2D ．﹣15.方程x 2－x 52＋5 = 0根的情况是 .6.用公式法解方程 (1)4x 2－3x －1＝x －2； （2）（3-x ）2+x 2=5（3）x 2－3=x （4）-3 x 2－2x+1=07.已知关于x 的方程x 2＋ax ＋a －2＝0.(1)当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．人教版九年级数学上册《一元二次方程》导学案21.2.2 公式法（第三课时）【学习目标】1. 掌握一元二次方程的求根公式；会用公式法解一元二次方程；2.理解根的判别式，会根据b 2-4ac 的值判定方程根的情况。
人教版九年级数学上册第21章一元二次方程导学案设计：21.2.2 公式法
求根公式的推导和公式法的应用．
教学难点
一元二次方程求根公式法的推导．
学法导航
自主学习，小组交流，教师点拨
学习内容及学习流程
方法指导
一、课前预习
要点①一元二次方程根的判别式及其应用
1.一般地,式子__________叫做一元二次方程a +bxc=0根的判别式,通常用希腊字母“△”表示,即△=__________,当△= -4ac___0时,方程有两个不等的实数根;当△= -4aC___0时,方程有两个相等的实数根;当△= -4ac___0时,方程没有实数根
2.利用根的判别式判断,下列方程中没有实数根的是( )
A. +x-1=0B. +x+2=0 C. +8x+1=0D. -2 x+2=0
要点②一元二次方程的求3;c=0的求根公式为_________________,只要符合条件____________,所有的一元二次方程都可以用公式法求解.
提示：可以先安排小组内小展示（交流预展），再安排全班大展示（展示提升）。两组合作完成一个知识点：其中一组负责板书、讲解、总结方法，另一组负责补充、纠错、释疑。展示重点在于归纳解题方法。
(3)x(2x-5)=4x-10(4) +5x+7=3x+11
6.已知关于x的方程 +mx+m−3=0.
(1)若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；
(2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
提示：让学生通过阅读教材后，独立完成所有知识点的内容，并要求做完了的小组长督促组员迅速完成。
学习内容
21.2.2用公式法解一元二次方程
主 备
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二.小组反馈
3.用公式法解方程：
x +x-6=0 3x -6x-2=0 4x -6x=0
15.选择适当的方法解下列关于x的方程：
①（2x- ）2=8；②12x2+7x+1=0；③x2-2 x-1=0；④4（2x+1）2-4（2x+1）+1=0；
教学反思
一元二次方程的解法-公式法
课题
一元二次方程的解法-公式法
课型
展示课
执笔人
审核人
级部审核
学习时间
第周第导学稿
教师寄语
学习目标
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程。(重点)
2.正确确定系数和准确运用求根公式。（难点）
学生自主活动材料
一.前置性自学
1.自学课本第35-39页，推导一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式.
解:这里a= ,b= ,c= ∴b2-4ac=( -
∴
∴
请你分析以上解答有无错误,如有错误,指出错误的地方,并写出正确的结果.
六.当堂反馈
12.方程x（x-1）=2的两根为．
13.用公式法解方程4x2+12x+3，得到.
14.关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是什么？
三.合作探究
四.展示交流
4.不解方程，判别下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0（2）16y2+9=24y（3）5（x2+1）-7x=0（4）4m（m-1）+1=0
5.用公式法解方程：
①4x2－3x－1＝x－2②3x(x－3)＝2(x－1) (x＋1)③3x(2x+1)=4x+2
④(x-4) =(5-2x) ⑤3x -12x=-12⑥x -18x+77=0
归纳:（1）如何不解方程判断方程解的情况；
（2）解方程的一般步骤；
（3）解答过程中注意的问题.
五.拓展提升
6.方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是．
7.关于x的方程ax2+bx+c=0，已知a>0，b>0，c<0，则下列结论正确的是（）
A．有两个正实数根B．两根异号且正根绝对值大于负根绝对值
C．有8.关于x的一元二次方程k（x2-2x+1）-2x2+x=0有两个实数根，则k的取值范围是
9.方程（x+1）2+ x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
10.已知关于x的方程2x2+7x+c=0有两个相等的实数根，求c和x的值．
11.解方程 ,有一位同学解答如下: