高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章 第四节 函数的图象 Word版含答案

第四节函数的图象
1．描点法作函数图象
通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．
“左加右减，上加下减”．左加右减只针对x 本身，与x 的系 数无关；上加下减
指的是在f (x ) 整体上加减.
2．函数图象的变换 (1)平移变换
(2)对称变换
y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称 y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称 y ＝－f (－x )的图象； y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――→关于直线y ＝x 对称
y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象．
(3)翻折变换
y ＝f (x )的图象――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方
x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象； y ＝f (x )的图象――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变
y ＝f (|x |)的图象． 图象变换的注意点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x ，y 变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
[熟记常用结论]
1．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2
对称．
2．对于函数y ＝f (x )定义域内任意一个x 的值，若f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数f (x )的图象
关于点⎝⎛⎭⎫
a ＋
b 2，0中心对称．
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)函数y ＝f (1－x )的图象，可由y ＝f (－x )的图象向左平移1个单位得到．( ) (2)函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图象关于y 轴对称．( ) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图象与y ＝|f (x )|的图象相同．( )
(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 二、选填题
1．下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2，x ＜0，x －1，x ≥0
的图象的是( )
答案：C
2．如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来．图①应该是匀速的，故下面的图象不正确；②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化率是先快后慢再快，正确；④中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．
3．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )
A ．e x ＋
1
B ．e x －
1
C ．e
－x ＋1
D ．e
－x －1
解析：选D 与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的图象对应的解析式为y ＝e －
x ，将函数y ＝e
－x
的图象向左平移1个单位长度即得y ＝f (x )的图象，∴f (x )＝e
－(x ＋1)
＝e
－x －1
，故选D.
4．已知函数f (x )的图象如图所示，则函数g (x )＝log
2f (x )的定义域是________．
解析：当f (x )>0时，函数g (x )＝log
2f (x )有意义，由函数
f (x )的图象知满足f (x )>0时，x
∈(2,8]．
答案：(2,8]
5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．
解析：由题意得a ＝|x |＋x ，令y ＝|x |＋x ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
2x ，x ≥0，0，x ＜0，其图象如图所示，
故要使a ＝|x |＋x 只有一个解，则a >0.
答案：(0，＋∞)
考点一 函数图象的识别[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 知式选图
[例1] (2018·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝e x －e －
x
x 2
的图象大致为( )
[解析] ∵y ＝e x －e －
x 是奇函数，y ＝x 2是偶函数，
∴f (x )＝e x －e －
x
x 2
是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．
当x ＝1时，f (1)＝e －1
e >0，排除D 选项．
又e>2，∴1e ＜12，∴e －1
e >1，排除C 选项．故选B.
[答案] B
[例2] (2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )
[解析] 令f (x )＝－x 4＋x 2＋2， 则f ′(x )＝－4x 3＋2x ，
令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝±2
2，
则f ′(x )>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭
⎫0，22， f (x )在⎝⎛
⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增；f ′(x )＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎭
⎫22，＋∞，f (x )在⎝⎛
⎭⎫－
22，0，⎝⎛⎭
⎫22，＋∞上单调递减，结合图象知选D. [答案] D
考法(二) 借助动点探究函数图象
[例3] 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而
被习称为“阴阳鱼太极图”．如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O ，O 1，O 2，若一动点P 从点A 出发，按路线A →O →B →C →A →D →B 运动(其中A ，O ，O 1，O 2，B 五点共线)，设P 的运动路程为x ，y ＝|O 1P |2，y 与x 的函数关系式为y ＝f (x )，则y ＝f (x )的大致图象为( )
[解析] 根据题图中信息，可将x 分为4个区间，即[0，π)，[π，2π)，[2π，4π)，[4π，6π]，当x ∈[0，π)时，函数值不变，y ＝f (x )＝1；当x ∈[π，2π)时，设O 2P ―→与O 2O 1―→的夹角为θ，∵|O 2P ―→
|＝1，|O 2O 1―→ |＝2，θ＝x －π，∴y ＝(O 2P ―→－O 2O 1―→
)2＝5－4cos θ＝5＋4cos x ，∴y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递增；当x ∈[2π，4π)时，O 1P ―→＝OP ―→－OO 1―→，设OP ―→与OO 1―→的夹角为α，|OP ―→
|＝2，|OO 1―→|＝1，α＝π－⎝⎛⎭⎫x －2π2＝2π－12x ，∴y ＝|O 1P |2＝(OP ―→－OO 1―→
)2＝5－4cos α＝5－4cos x 2，函
数y ＝f (x )的图象是曲线，且单调递减．结合选项知选A.
[答案] A
考法(三) 图象变换问题
[例4] 已知函数y ＝f (1－x )的图象如图，则y ＝|f (x ＋2)|的图象是(
)
[解析] (1)把函数y ＝f (1－x )的图象向左平移1个单位得y ＝f (－x )的图象；(2)作出f (－x )关于y 轴对称的函数图象得y ＝f (x )的图象；(3)将f (x )向左平移2个单位得y ＝f (x ＋2)的图象；(4)将y ＝f (x ＋2)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折到x 轴上方得到|f (x ＋2)|的图象．
[答案] A
[规律探求]
1．函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )
解析：选B 易判断函数为奇函数，由y ＝0得x ＝±1或x ＝0.当0＜x ＜1时，y ＜0；当x ＞1时，y ＞0.故选B.
2.如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )
解析：选B 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π
4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除A 、C.
当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝1＋5，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2 2.∵22＜1＋5，∴f ⎝⎛⎭⎫π2＜f ⎝⎛⎭⎫π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4，从而排除D ，故选B.
3．已知函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)，则函数y ＝f (|x |＋1)的图象大致为( )
解析：选A 先作出函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1)的图象，当x >0时，y ＝f (|x |＋1)＝f (x ＋1)，其图象由函数f (x )的图象向左平移1个单位得到，又函数y ＝f (|x |＋1)为偶函数，所以再将函数y ＝f (x ＋1)(x >0)的图象关于y 轴对称翻折到y 轴左边，得到x ＜0时的图象，故选A.
考点二 函数图象的应用[全析考法过关]
[考法全析]
考法(一) 研究函数的性质
[例1] 已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
[解析] 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－2x ，x ≥0，
－x 2
－2x ，x ＜0， 画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．
[答案] C
考法(二) 研究不等式的求解问题
[例2] (1)设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )
x ＜0的解集为( )
A ．(－1,0)∪(1，＋∞)
B ．(－∞，－1)∪(0,1)
C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D ．(－1,0)∪(0,1)
(2)若不等式(x －1)2＜log a x (a >0，且a ≠1)在x ∈(1,2)内恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1,2] B.
⎝⎛⎭
⎫22，1
C ．(1，2)
D ．(2，2)
[解析] (1)因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )
x ＜0可化为f (x )
x
＜0，即xf (x )＜0，f (x )的大致图象如图所示．所以xf (x )＜0的解集为
(－1,0)∪(0,1)．
(2)要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，只需函数y ＝(x －1)2在(1,2)上的图象在y ＝log a x 的图象的下方即可．
当0＜a ＜1时，显然不成立；当a >1时，如图，要使x ∈(1,2)时，y ＝(x －1)2的图象在y ＝log a x 的图象的下方，只需(2－1)2≤log a 2，即log a 2≥1，解得1＜a ≤2，故实数a 的取值范围是(1,2]．故选A.
[答案] (1)D (2)A
考法(三) 研究方程根的问题
[例3] (2019·沈阳质量监测)设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，当x ∈[－2,0]时，f (x )＝
⎝⎛⎭
⎫22x －1，则关于x 的方程f (x )－log 8
(x ＋2)＝0在区
间(－2,6)上根的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 因为对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (2－x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x ＋2)＝f (2－x )＝f (x －2)，f (x ＋4)＝f (x )，函数f (x )是周期为4的函数，则函数y ＝f (x )的图象与y ＝log 8(x ＋2)的图象交点的个数即方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0根的个数．作出y ＝f (x )与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(－2,6)上的图象有3个交点，所以方程f (x )－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根，故选
C.
[答案] C
[规律探求]
[过关训练]
1．(2019·昆明检测)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )
A ．有最小值－1，最大值1
B ．有最大值1，无最小值
C ．有最小值－1，无最大值
D ．有最大值－1，无最小值
解析：选C 如图，画出y ＝|f (x )|＝|2x －1|与y ＝g (x )＝1－x 2的图象，
它们交于A ，B 两点．由“规定”，在A ，B 两侧，|f (x )|≥g (x )，故h (x )＝|f (x )|；在A ，B 之间，|f (x )|＜g (x )，故h (x )＝－g (x )．
综上可知，y ＝h (x )的图象是图中的实线部分，因此h (x )有最小值－1，无最大值．
2．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x －1，x ≥0，
x 2－2x －1，x ＜0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0＜|x 1|＜|x 2|，下列不等
式成立的是( )
A ．f (x 1)＋f (x 2)＜0
B ．f (x 1)＋f (x 2)＞0
C ．f (x 1)－f (x 2)＞0
D ．f (x 1)－f (x 2)＜0
解析：选D 函数f (x )的图象如图所示．
f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数．又0＜|x 1|＜|x 2|，则f (x 2)＞f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)＜0.
3．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．
解析：y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－x ＋a ，x ≥0，
x 2＋x ＋a ，x ＜0，作出其图象，如图所示．此曲线与y 轴交于点(0，a )，最
小值为a －14，要使直线y ＝1与其有四个交点，只需a －1
4
＜1＜a ，
所以1＜a ＜54.
答案：⎝⎛⎭
⎫1，54。