招生国统一考试数学试题理山东卷,含解析试题

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2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕
理科数学
一、选择题：本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符号题目要求的.
〔1〕设函数的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B,那么
A B =
〔A 〕〔1,2〕 〔B 〕⎤⎦(1,2 〔C 〕〔-2,1〕 〔D 〕[-2,1) 【答案】D
【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故
A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.
〔2〕a R ∈,i 是虚数单位，假设,4z a z z =+⋅=，那么a=
〔A 〕1或者-1 〔B 〔C 〕 〔D 【答案】A
【解析】由,4z a z z =+⋅=得234a +=，所以1a =±，应选A.
〔3〕命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：假设a ＞b ，那么a b 22＞，以下命题为真命题的是
〔A 〕 p q ∧ 〔B 〕
p q ⌝
∧ 〔C 〕
p q ⌝
∧ 〔D 〕p q
⌝⌝∧
【答案】B
〔4〕x,y 满足x y 3x y ⎧-+≤⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
30+5030x ，那么z=x+2y 的最大值是
〔A 〕0 〔B 〕 2 〔C 〕 5 〔D 〕6 【答案】C
【解析】由x y 3x y ⎧-+≤⎪
+≤⎨⎪+≥⎩
30+5030x 画出可行域及直线20x y +=如下图，平移20x y +=发现，
当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为
3245z =-+⨯=，选C.
〔5〕为了研究某班学生的脚长x 〔单位：厘米〕和身高y 〔单位：厘米〕的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回
归直线方程为ˆˆˆy
bx a =+．101
225i i x ==∑，10
1
1600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为
〔A 〕160 〔B 〕163 〔C 〕166 〔D 〕
170
【答案】C
【解析】22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 〔6〕执行两次右图所示的程序框图，假设第一次输入的x 的值是7，第二次输入的x 的值是9，那么第一次、第二次输出的a 的值分别为
〔A 〕0，0 〔B 〕1，1 〔C 〕0，1 〔D 〕1，0
【答案】D
【解析】第一次2
2
7,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次2
2
9,29,3,39,0x b a =<===，选D.
〔7〕假设0a b >>，且1ab =，那么以下不等式成立的是
〔A 〕()21log 2a b a a b b +<<+ 〔B 〕()21
log 2a b a b a b
<+<+ 〔C 〕()21log 2
a b
a a
b b +<+< 〔D 〕()21log 2a b a b a b +<+<
【答案】B
【解析】221,01,1,log ()log 21,2
a b
a b a b ab ><<∴
<+>=
1211
2log ()a b
a a
b a a b b b
+>+
>+⇒+>+ ，所以选B. 〔8〕从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．那么抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是 〔A 〕
518 〔B 〕49 〔C 〕59
〔D 〕79
【答案】C
【解析】125425
989
C C =⨯ ,选C.
〔9〕在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．假设C ∆AB 为锐角三角形，且满足
()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A ，那么以下等式成立的是
〔A 〕2a b = 〔B 〕2b a = 〔C 〕2A =B 〔D 〕2B =A 【答案】A
【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
〔10〕当[]0,1x ∈时，函数()2
1y mx =-的图象与y m =
+的图象有且只有一个交点，
那么正实数m 的取值范围是 〔A 〕(]
)
0,123,⎡+∞⎣
〔B 〕(][)0,13,+∞
〔C 〕(
)
23,⎡+∞⎣
〔D 〕(
[)3,+∞
【答案】B
二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分
〔11〕()13n
x +的展开式中含有2x 项的系数是54，那么n = . 【答案】4
【解析】()1C 3C 3r
r r r r r n n x x +T ==⋅⋅，令2r =得：22
C 354n
⋅=，解得4n =． 〔12〕12,e e 是互相垂直的单位向量，假设123-e e 与12λ+e e 的夹角为60，那么实数λ的值是 .
【答案】
3
3
【解析】
(
)()
22
12121121223333e e e e e e e e e e λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-，
(
)
2
22
1212
1122333232e e e e e e e e -=-=-⋅+=，
(
)
2
2
2
221212
112221e e e e e e e e λλλλλ+=
+=+⋅+=+，
∴22
321cos 601λλλ-=⨯+⨯=+，解得：33
λ=
． (13)由一个长方体和两个1
4
圆柱体构成的几何体的三视图如右图，那么该几何体的体积为 .
【答案】22
π
+
【解析】该几何体的体积为21V 112211242
π
π=
⨯⨯⨯+⨯⨯=+． 〔14〕在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右支与焦点为F 的抛物
线()220x px p =>交于,A B 两点，假设4AF BF OF +=，那么该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】2
2
y x =±
〔15〕假设函数()x e f x 〔 2.71828
e =是自然对数的底数〕在()
f x 的定义域上单调递增，
那么称函数()f x 具有M M 性质的函数的序号为 .
①()2x f x -=
②()3x f x -=
③()3f x x =
④()22f x x =+
【答案】①④
【解析】①()2
2x
x
x
x
e e
f x e -⎛⎫
=⋅= ⎪⎝⎭
在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()33x
x x x e e f x e -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
在R 上单调递减，故()3x
f x -=不具有M 性质；
③()3
x
x
e f x e x =⋅，令()3
x
g x e x =⋅，那么()()3
2
232x
x
x
g x e x e x x e
x '=⋅+⋅=+，∴当
2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =⋅在(),2-∞-上单调
递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3
f x x =不具有M 性质；
④
()()
22x x e f x e x =+，令
()()
22x g x e x =+，那么
()()()2
222110x x x g x e x e x e x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦
，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递
增，故()2
2f x x =+具有M 性质．
三、解答题：本大题一一共6小题，一共75分。

()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.()06
f π
=.
〔Ⅰ〕求ω；
〔Ⅱ〕将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将得到的图象向左平移
4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,
]44ππ
-
上的最小值.
【答案】〔Ⅰ〕2ω=.〔Ⅱ〕得最小值3
2
-
.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得()3)3
f x x π
=-
所以()3)3)4312
g x x x π
ππ
=+-=-. 因为3[,
]44x ππ
∈-
，
所以2[,]12
33
x π
ππ
-∈-
，
当12
3
x π
π
-
=-
，
即4
x π
=-
时，()g x 获得最小值32
-
. 17.如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形ABCD 〔及其内部〕以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点.
〔Ⅰ〕设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； 〔Ⅱ〕当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小.
【答案】〔Ⅰ〕30CBP ∠=︒.〔Ⅱ〕60︒. 【解析】解：〔Ⅰ〕因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，
AB ，AP ⊂平面ABP ，AB
AP A =，
所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ⊂平面ABP ，
所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒， 因此30CBP ∠=︒ 〔Ⅱ〕解法一：
取EC 的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=︒， 所以四边形BEHC 为菱形，
解法二：
以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如下图的空间直角坐标系.
由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E ，3,3)G ，(3,0)C -，故(2,0,3)AE =-，
(1,AG =，(2,0,3)CG =，
设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量. 由00
m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩
可得1111230,
0,
x z x -=⎧⎪⎨
=⎪⎩
取12z =，可得平面AEG
的一个法向量(3,2)m . 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.
由00
n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得22220,
230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
取22z =-，可得平面ACG
的一个法向量(3,2)n =-. 所以1
cos ,||||2
m n m n m n ⋅<>=
=⋅.
因此所求的角为60︒.
〔18〕〔本小题满分是12分〕在心理学研究中，常采用比照试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，详细方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组承受甲种心理暗示，另一组承受乙中心理暗示，通过比照这两组志愿者承受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名B 1，B 2，
B 3，B 4，从中随机抽取5人承受甲种心理暗示，另5人承受乙种心理暗示。

〔I 〕求承受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 3的频率。

〔II 〕用X 表示承受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX 。

【答案】〔I 〕
5
.
18
(II)X 的分布列为
X 的数学期望是2EX =.
【解析】解：〔I 〕记承受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，那么
485105().18
C P M C ==
565101
(0),
42
C P X C ===
41
645105
(1),
21
C C P X C ===
326451010
(2),
21C C P X C ===
23645105
(3),
21C C P X C ===
14645101
(4),
42
C C P X C ===
因此X 的分布列为
X 的数学期望是
0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==
151******** 2.4221212142
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 〔19〕〔本小题满分是12分〕
{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2 〔Ⅰ〕求数列{x n }的通项公式；
〔Ⅱ〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)
得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，x =x i 〔x {x n }〕所围成的区域的面积n T .
【答案】(I)1
2.n n x -=〔II 〕(21)21
.2
n n n T -⨯+=
【解析】解：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由q>0. 由题意得112
1132
x x q x q x q +=⎧⎨
-=⎩，所以2
3520q q --=， 因为q>0,所以12,1q x ==， 因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=
①-②得
121
1
32(22 (2)
)(21)2
n n n T n ----=⨯++++-+⨯=1132(12)
(21)2.212
n n n ---+
-+⨯-
所以(21)21
.2
n n n T -⨯+=
〔20〕〔本小题满分是13分〕
函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的
底数.
〔Ⅰ〕求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程；
〔Ⅱ〕令()()()()h x g x af x a R =-∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.
【答案】〔Ⅰ〕222y x ππ=--.
〔Ⅱ〕综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，
在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()021h a =--；
极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
【解析】解：〔Ⅰ〕由题意()22f ππ=-
又()22sin f x x x '=-，
所以()2f ππ'=，
因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为
()()222y x πππ--=-，
即 222y x ππ=--.
〔Ⅱ〕由题意得 ()()()
22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+，
因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--
()()2sin 2sin x e x x a x x =---
()()2sin x e a x x =--，
令()sin m x x x =-
那么()1cos 0m x x '=-≥
所以()m x 在R 上单调递增.
所以 当0x >时，()m x 单调递减，
当0x >时，()0m x <
(2)当0a >时，()()()ln 2sin x a
h x e e x x '=--
由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x
①当01a <<时，ln 0a <，
当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增；
当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减；
当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增.
所以 当ln x a =时()h x 获得极大值.
极大值为()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦，
当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--；
②当1a =时，ln 0a =，
所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
综上所述：
当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，
函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；
当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦
极小值是()021h a =--；
当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值；
当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增，
在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，
极大值是()021h a =--；
极小值是()()()2
ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦.
〔21〕〔本小题满分是13分〕
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.
〔Ⅰ〕求椭圆E 的方程；
〔Ⅱ〕如图，动直线l ：13
2
y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122
4
k k =
，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求获得最大值
时直线l 的斜率.
【答案】〔I 〕2
212x y +=.
〔Ⅱ〕SOT ∠的最大值为
3
π
，获得最大值时直线l 的斜率为12
2
k =. 【解析】解：〔I 〕由题意知 2
2
c e a =
=
，22c =， 所以 2,1a b ==，
因此 椭圆E 的方程为2
212x y +=.
〔Ⅱ〕设()()1122,,,A x y B x y ，
联立方程2
211,2
x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
得(
)
22114210k x x +--=，
由题意知0∆>，
且()
12122
11
221x x x x k +=
=-+， 所以
2AB x =-=.
由题意知12k k =
，
所以2k =
由此直线OC
的方程为y .
联立方程22
1,2
,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪⎪⎩
得22
212
2
1181
,1414k x y k k ==++， 因此
OC ==.
由题意可知 1
sin
21SOT r
OC r OC
r
∠==++
，
而
1OC r
=
=
令2112t k =+， 那么()1
1,0,1t t
>∈，
因此
1OC r
=
==≥，
当且仅当11
2
t =，即2t =
时等号成立，此时1k =，
所以 1
sin
22
SOT ∠≤， 因此
26
SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为
3
π
.
综上所述：SOT ∠的最大值为
3
π
，获得最大值时直线l 的斜率为1k =.。