九年级下数学章节同步课时作业课时07 解直角三角形及其应用(原卷版)

课时07 解直角三角形及其应用
一、本节课的知识点
知识点1：会根据条件解直角三角形.
知识点2．熟记特殊角的三角函数值．
知识点3：会根据基本图形，解决实际问题．
1.解直角三角形的基础知识
在Rt ABC ∆中，ο90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c
（1）三边之间的关系：2
22c b a =+
（2）锐角之间的关系：A ∠+B ∠=C ∠=ο90
（3）边角之间的关系： c a A =
sin ；c b A =cos ；b
a A =tan ； c a B =cos ；c
b B =sin ；a
b B =tan （4）面积公式：ch ab S 2121==∆（h 为斜边上的高） 2.解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
解直角三角形的思路可概括为“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘勿除，取原避中”。

其含义是当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则通常用乘法，不用除法；既可用已知数据又可用中间数据求解时，则取已知数据，忌用中间数据。

3.解直角三角形应用题中的常见概念
（1）坡角：坡面与水平面的夹角，用字母α表示。

坡度（坡比）：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比，用字母i 表示，则αtan ==l
h i （2）方向角：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角。

目标方向线OA ，OB ，OC 分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
（3）方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角。

目标方向线PA ，PB ，PC 的方位角分别是40°，135°，225°．
（4）俯角与仰角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
二、对理解本节课知识点的例题及其解析
【例题1】在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝13
，则sin B ＝（ ）
A
．
10
10
B．
2
3
C．
3
4
D．
310
10
【例题2
】一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．
【例题3】如图，矩形ABCD中，AB=46,AD=10,连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC E''，当射线BE'和射线BC'都与线段AD相交时，设交点分别F,G，若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为。

【例题4】如图所示，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东40°的方向，前进20海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD等于海里．
【例题5】如图，已知锐角△ABC．
（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长．
【例题6】如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD = 24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE
=
1213
．
（1）求半径OD ；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
三、本节课的同步课时作业
1.如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F
，连
接DE ．（1）求证：ABE △DFA ≌△；
（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．
2.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =5
4，AB =15，求△ABC 的周长和tan A 的值．
3.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.
4.如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，
(1) 求证：AC=BD ；
(2)若12sin 13
C =，BC =12，求A
D 的长． D
A B
C E F
5. 104cos30sin 60(2)(20092008)-︒︒+---=______．
6.如图，在电线杆CD 上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6米的B 处安置高为1.5米的测角仪AB ，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，求拉线CE 的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．
7.小华为了测量楼房AB 的高度，他从楼底的B 处沿着斜坡向上行走20m ，到达坡顶D 处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m ）
（1）求小华此时与地面的垂直距离CD 的值；
（2）小华的身高ED 是1.6m ，他站在坡顶看楼顶A 处的仰角为45°，求楼房AB 的高度．
8.如图，一艘海轮位于灯塔P 的东北方向，距离灯塔402海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东30°方向上的B 处，则海轮行驶的路程AB 为 海里（结果保留根号）．
9 长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的
顶端沿墙面升高了 m ．
10.如图（1），一扇窗户打开后用窗钩AB可将其固定．如图（2）是如图（1）中窗子开到一定位置时的平
≈，结果精确到整数）面图，若∠AOB=45°，∠OAB=30°，OA=60cm，求点B到OA边的距离．（3 1.7
11.如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB的高度为1.5米，测得仰角 为30°，点B到电灯杆底端N的距离BN为10米，求路灯的高度MN是多少米？（取2=1.414，3=1.732，结果保留两位小数）
12.海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B到C处的距离。

13.如图，某人在D处测得山顶C的仰角为30o，向前走200米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i=1∶0.53 1.73，结果保留整数）．
14. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48︒，
︒≈，测得底部C处的俯角为58︒，求甲、乙建筑物的高度AB和DC（结果取整数）.参考数据：tan48 1.11︒≈.
tan58 1.60
15.如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。

===)
(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449
16．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上实验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2，75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）请说明DE是⊙O的切线；
（2）若∠B=30°，AB=8，求DE的长．
18. 如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB、CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．。