20212022高中数学人教版选修21作业222椭圆的简单几何性质系列一.docx

2. 2. 2椭圆的简单几何性质
基础巩固
—、选择题
1.已知椭圆总+右=1的长轴在y轴上，若焦距为4,则属于（）
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
［答案］D
［详细分析］由题意知，c = 2, * =Z?2=10-m,
.*.m - 2 - 10 + m = 4, Am = 8.
2.椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率。

为（）
A. ；
B. ¥
c 1 D也
J 4 2
［答案］A
、c 1
［详细分析］由题意，得a = 2c, ." =/亍
3.与椭圆9/+令2 = 36有相同焦点，且短轴长为4,的椭圆方程是（）
A _i_ 二-— 1 R 二-— 1
、25 + 20_ 120 + 25- 1
x2_ x2 y2
J 20*45-1 u' 80 + 85- 1
［答案］B
［详细分析］椭圆9/ + 4y2 = 36的焦点为（0, %）, （0, -^5）,
'：b = 2y［5,.展2 = 25,故选 B.
4.如图，经过点Pi,尸2,尸3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为ei, e2, e3,则）
A. C3<et<e2
B. ei<e2<e3
C. e3<e2<ei
D. e2<ei<es ［答案］A
［详细分析］椭圆越扁，离心率越大，比较过点R, P2的椭圆的离心率，得ei<e2,比 较过点Pl, P3的椭圆的离心率，得e3<ei,故e 3<ei<e 2.
5. 椭圆％2
+砰2= 1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则秫的值为（）
A. §
B. |
C. 2
D. 4 ［答案］A
［详细分析］由题意¥ + /=1,且出=2, m r 2 \13
6. 已知焦点在y 轴上的椭圆奇+寸=1,其离心率为药■，则实数m 的值是（）
［答案］B
［详细分析］由题意，得«2
= 1, b 2 = m, c 2 = 6^ -b 2= 1 -m, 离心率€奇=寸-秫=平， . 1 ..m = ^.
二、填空题
7. 已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆 标准方程为.
［答菊 W +书=1或备+打=1
［详细分析］L .椭圆长轴长为18, :.a = 9.
又两个焦点将长轴三等分，
/.a - c = 2c, c = 3, b 2 = 6^ - c 2 = 72.
・.,焦点位置不确定，
方程为嘉+技=1或表+打=L 8. 椭圆孚+ %= 1的离心率为则所=. 1-4 或
4 4 1 - 4 1 - 2
［答案］3或孕
A/4 - m 1
【详细分析］当焦点在X轴上时，e= — = 2>
m = 3.
\lm-4 1 16
当焦点在y轴上时，=万,
9.已知曷、冼为椭圆短轴的两个端点，Fix斑是椭圆的两个焦点，若四边形B.F屁F2 为正方形，则椭圆的离心率为.
［答案］当
［详细分析］如图，由已知得b = c =亨a,
三、解答题
10.如图所示，从椭圆R + £=l(a>8>0)上一点P作x轴的垂线，恰好通过椭圆的一个
焦点八，此时椭圆与x轴交于点A,与y轴交于点3,所确定的直线AB与OP平行，求离心率e 的值.
［详细分析］设P点的坐标为(x, y)(y>0), 由题意可得x=-c,代入椭圆的方程可得点的坐标为(-C, ；.kop=-云.
b 又・.是(。

,0), 8(0, b), :.k AB=
'JOP//AB, :.k AB = kop,
即一厂一ac，3*，
a = \lb2 + c2 = yjc2, + c2 = \［2c,
.c也
..e = ~= c . a 2
能力提升一、选择题
（2015-广东执信中学期中）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为土长轴长为12,则椭圆方程为（）
计-^2
A- T44+ 128 = 1 ^T28+T44=1 B' ?+4 = 1
C'兼+ g=l 或 & + £=l D- 4 + 6 = 1^f+4 = 1
［答案］c c 1
［详细分析］由条件知 a = 6, e = - = 3，3 = 2, :.b2 = a2 - c2 = 32,故选 C.
2.已知椭圆c：芹+¥=1E>O）的左、右焦点为Fl、Fl,离心率为辛，过形的直线/交。

于A, B两点，若AAFiB的周长为4«,则。

的方程为（）
A.=+ 言=1
B. y + _y2 = 1
C忒+ 史-1 D — + ^-1
12+ 8 - 1 u- 12+ 4 - 1
［答案］C
［详细分析］根据条件可知；平，且4« = 4^3,
；.a=吏,c=l, b~ = 2,椭圆的方程为于+言=1.
3.若直线y = x + ^6与椭圆*+冬=1（所>0且源1）只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为（）
A. 1
C. 2
［答案］D B.书D. 2y［5
y = x + y ［6
［详细分析］由，y 2 ，得
［ m
(1 + m 2)%2 + 2y ［6x + 6 - m 2 = 0,
由已知 J = 24 -4(1 + m 2)(6- zn 2) = 0,解得 m 2 = 5,
.l 椭圆的长轴长为2吊^.
7
4. (2015•抚顺二中期中)在△A3C 中，AB = BC, cosB= -谊若以A, 3为焦点的椭圆经 过点G 则该椭圆的离心率e =()
3 - 3 A- 4
B. 7 〃 3
c 3 C ' 8
D ' 18
［答案］c
［详细分析］设\AB\ = x>0,贝\\\BC\=x, AC 2 = AB- + BC 2 一 lABBCcosB
=*+ * - 2/.(-鬲=夸r 2, |AC| =|x,
由条件知，\CA\ + \CB\ = 2a, AB = 2c,
二、填空题
5. 若椭圆的一个焦点将其长轴分成« 皿两段，则椭圆的离心率为.
［答菊5-2^6
［详细分析］椭圆的一个焦点将其长轴分成a + c 与a - c 两段，
,a + c 也
:•口 =而
(V3 - S )a = (, + ”)c,
.'.e = ~ = 5 - 2\［6,
6. 如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一端点与两焦点的连线组成一个正三角形，焦 点在x 轴上，且a-c = y ［3,则椭圆的方程是 _________ .
.5 ,,3X + x = 2a, x = 2c, • c 2c x 3 '，e = a = 2a = T =8'
3X
X2 V2
［答菊正+亏=1
［详细分析］如图所示,
COSZOF2A = cos60°
_\OF2\
=I时2I，
即S =；•又a-c = W，
a = 2*^3, c — ,x/3,
.9.b2 = (2y［3)2-(yf3)2 = 9.
椭圆的方程是书+3=i.
三、解答题? 2
7.已知Fi、形为椭圆/ +左=l(a>b>0)的两个焦点，过斑作椭圆的弦A3,若ZVlFiB
的周长为16,椭圆的离心率e典,求椭圆的方程.
4。

= 16
［详细分析］由题意，得\_也,
a= 2
「・。

=4, c = 2^3.
b2 = a2-c2 = 4,所求椭圆方程为七+宇=1.
8.如图所示，Fis斑分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点必的横坐标等于右焦点的横
2
坐标，其纵坐标等于短半轴长的示，求椭圆的离心率.
［详细分析］解法一：设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a、b. c,则焦点为Fi(-c,O), F2(C,O),必点的坐标为(c,争)，则左MFiFz为直角三角形.
在RtAMFiF2中，|F I F2|2 + |MF2|2 = |MFi|2,
即4普+，= |"|2.
而|MFi| + \MF2\ = \ 4普 + * + |人=2a,
整理得3c2 = 3。

2 一2ab.
b2 4
又c z = a z-b2,所以3b = 2a.所以=
.2 X _ 屏5 . 炬
"e =~^= a2 =1~a^=9, ，，e= 3 -
7 2
解法二：设椭圆方程为/+春=1（。

对＞°），
则M（c,争）.
决4Z?2 《2 5
代入椭圆方程，得F+殄=1,所以孝=§，所以方=辛,即9 =乎.。