九年级数学上册 第22章 第11课时 二次函数的应用导学

二次函数的应用（1）
一、学习目标
能建立二次函数的模型，解决有关图形面积的最大值和最小值问题； 能利用二次函数解决动点问题中的最值问题； 初步体会建模的思想．
二、知识回顾 1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）221y x x =-++；
()2
12y x =--+，
当x =1时取得最大值为2； （2）24y x x =+．
()2
24y x =+-，
当x =-2时取得最小值为-4． 2．抛物线y =ax 2
+bx +c 的极值问题：
（1）若a >0，则当x =2b a -时，y 最小值=2
44ac b a -；
（2）若a <0，则当x =2b a -时，y 最大值=2
44ac b a
-．
三、新知讲解 1．利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义． 2．利用二次函数的求实际问题的最值的一般步骤
（1）求出函数解析式和自变量的取值范围； （2）配方变形，或利用公式求它的最值；
（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 3．由实际问题建立二次函数模型的方法
（1）根据题中的数量间的相等关系建立二次函数模型来解决问题；
（2）在题中给出的图形里建立恰当的直角坐标系，应用二次函数模型来解决问题．
四、典例探究 扫一扫，有惊喜哦！
1．实际问题与二次函数——图形问题
【例1】（2015•东西湖区校级模拟）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米．
（1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
（3）若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积．
总结：
1．对于面积最值问题，首先应设图形一边长为自变量，以所求面积为函数建立二次函数的模型，然后将二次函数的解析式化为顶点式.
2．一般情况下，在顶点处取到最值，但实际问题中，自变量x并不能取到全体实数，所以要在自变量的取值范围内考虑最值，可能在顶点处取到最值，也可能在端点处取到最值．
练1．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为多少米？
2．实际问题与二次函数——图形运动问题
【例2】如图，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以
2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个
动点到达终点，则另一个动点也停止运动，求三角形APQ的最大面积.
总结：二次函数动点问题解题技巧：
1．以静制动，即把动态问题转化为静态问题来解，研究点运动到某秒时的图形，然后根据题意建立函数模型，利用函数的性质来解.
2．注意点运动的路线对所求图形面积产生的影响，必要的时候需要分类讨论.
练2．（2010•成都）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12mm，BC=24mm，动点P从点A开始沿边AB
向B以2mm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动（不
与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过秒，四边形APQC的面积最小．
五、课后小测一、选择题
1．（2015•六盘水）如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）
A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2
2．（2011•兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，
设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是（）
A． B． C． D．
3．（2010秋•无锡校级期末）如图，正方形ABCD的边长为10，以正方形的顶点A、B、C、D为圆心画四个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是（）
A． B． C． D．
4．如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x m，长方形的面积为y m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）
A．24
4
m B．6m C．15m D．
5
2
m
二、填空题
5．（2012•郑州模拟）如图，线段AB=6，点C是AB上一点，点D是AC的中点，分别以AD，DC，CB 为边作正方形，则AC= 时，三个正方形的面积之和最小．
三、解答题
6．（2015春•石家庄校级期中）如图，矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将长和宽都增加xcm，那么面积增加ycm2．
（1）求y与x的函数表达式；
（2）求当边长增加多少时，面积增加8cm2．
7．（2014秋•南岗区期末）某中学门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE=MN，准备在形如R t△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如R t△MEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如表：
品种红色花草黄色花草紫色花草
价格（元/米2）60 80 120
设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：（1）S与x之间的函数关系式为S= ；
（2）求W与x之间的函数关系式，并求出买花草所需的最低费用．
8．(2012山东日照，22，9分)如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．
9．（2013•岱山县模拟）欣欣商铺计划用地面砖铺设营业用房的矩形地面ABCD，已知该矩形地面的长10米，宽8米．铺设图案设计如图所示：矩形的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都为小正方形的边长，阴影部分铺绿色地面砖，其余部分铺白色地面砖．
（1）要使铺白色地面砖的面积为52平方米，那么矩形地面四角的小正方形的边长应为多少米？（2）如果铺白色地面砖的费用为每平方米30元，铺绿色地面砖的费用为每平方米20元．当地面四角小正方形的边长为多少米时，铺设地面的总费用最少？最少费用是多少？
典例探究答案：
【例1】
分析：（1）根据AB为xm，BC就为（24﹣4x）m，利用长方形的面积公式，可求出关系式．（2）由（1）可知y和x为二次函数关系，根据二次函数的性质即可求围成的长方形花圃的最大面积及对应的AB的长；
（3）根据BC的长度大于0且小于等于8列出不等式组求解即可．
解答：解：（1）∵AB=x，
∴BC=24﹣4x，
∴S=AB•BC=x（24﹣4x）=﹣4x2+24x（0＜x＜6）；
（2）S=﹣4x2+24x=﹣4（x﹣3）2+36，
∵0＜x＜6，
∴当x=3时，S有最大值为36.
（3）∵
2448 2440
x
x
-≤
⎧
⎨
-
⎩＞
，
∴4≤x＜6，
∴当x=4时，花圃的最大面积为32．
点评：本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键．要注意题中自变量的取值范围．
练1．
分析：由于光线最多就是面积最大，可设长为x米，则宽为（12﹣3x）÷2=6﹣3
2
x，表示
出面积，运用函数性质求解．
解答：解：设长为x米，面积为s平方米，根据题意并结合图形得S=x（6﹣3
2
x）=﹣
3
2
x2+6x，
∵﹣3
2
＜0，∴S有最大值，
当x=﹣
6
=2
3
2
2
⨯（-）
时，S最大，此时6﹣
3
2
x=3，
即窗子的长为2米，高为3米时，透进的光线最多．
点评：此题的关键是理解光线最多就是窗子面积最大时，据此求面积表达式，运用函数性质求解．
【例2】
分析：设经过ts运动停止，列出面积与t之间的函数关系式．
解答：解：根据题意
沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，
∴AP=2t，AQ=t，
S△APQ=t2，
∵0＜t≤4，
∴△APQ的最大面积是16．
点评：本题主要考查二次函数的应用，借助二次函数解决实际问题．
练2．
分析：根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积﹣三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
解答：解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为S mm2，
则有：
S=S△ABC﹣S△PBQ=11
12244(122) 22
t t ⨯⨯-⨯⨯-
=4t2﹣24t+144
=4（t﹣3）2+108．
∵4＞0
∴当t=3s时，S取得最小值．
点评：本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法．
课后小测答案：
一、选择题
1．解：设BC=xm，则AB=（16﹣x）m，矩形ABCD面积为ym2，
根据题意得：y=（16﹣x）x=﹣x2+16x=﹣（x﹣8）2+64，
当x=8m时，y max=64m2，
则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．
故选C．
2．解：∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH，∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
设AE 为x ，则AH=1﹣x ，根据勾股定理，得 EH 2
=AE 2
+AH 2
=x 2
+（1﹣x ）2
即y =x 2
+（1﹣x ）2
．
y =2x 2﹣2x +1，
∴所求函数是一个开口向上， 对称轴是直线x =
12
． ∴自变量的取值范围是大于0小于1． 故选：B ．
3．解：由题意得y =πx 2
，属于二次函数，
根据自变量的取值为0＜x ≤5，有实际意义的函数在第一象限， 故选D ．
4．解：根据题意得：y =30﹣12（5﹣x ）y x ﹣12x （12﹣y x
）， 整理得y =﹣
125
x 2
+12x ， =﹣125[x 2﹣5x +（52）2﹣254]，
=﹣125（x ﹣52）2
+15，
∵12
05
-＜
∴长方形面积有最大值，此时边长x 应为5
2
m ． 故选D ． 二、填空题
5．解：设AC 为x ，三个正方形的面积和为y ．则BC=6﹣x ，AD=CD=2
x ， ∴y =2×（2x ）2+（6﹣x ）2=32
x 2
﹣12x +36， ∴x =2b
a
-
=4时，三个正方形的面积之和最小． 故答案为4． 三、解答题
6．解：（1）由题意可得：（4+x ）（3+x ）﹣3×4=y ， 化简得：y =x 2
+7x ；
（2）把y =8代入解析式y =x 2+7x 中得：x 2
+7x ﹣8=0， 解之得：x 1=1，x 2=﹣8（舍去）． ∴当边长增加1cm 时，面积增加8cm 2
7．解：（1）由题意，得 S=4×4﹣4×
(4)
2
x x -， ∴S=2x 2
﹣8x +16． 故答案为：2x 2
﹣8x +16； （2）由题意，得 红色本部分的面积为：4×
(4)2
x x -=8x ﹣2x 2
， 黄色部分的面积为：2x 2
﹣8x +16﹣x 2
=x 2
﹣8x +16， 紫色部分的面积为：x 2
，
∴W=120x +60（8x ﹣2x 2
）+80（x 2
﹣8x +16）， W=80x 2
﹣160x +1280， ∴W=80（x ﹣1）2
+1200． ∵a =80＞0，
∴当x =1时，W 最小=1200．
答：W 与x 之间的函数关系式为W=80x 2
﹣160x +1280，买花草所需的最低费用为1200元． 8.分析：先运用三角形的面积公式求出y 关于x 的函数关系式，然后运用公式法或配方法把函数化成顶点式，再根据x 的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题. 解：（1）∵S △PBQ =
2
1
PB ·BQ , PB=AB －AP =18－2x ，BQ=x ， ∴y =
2
1（18－2x ）x ，即y =－x 2
+9x （0<x ≤4）; （2）由（1）知：y =－x 2
+9x ，∴y =－(x －29）2+4
81,
∵当0<x ≤2
9
时，y 随x 的增大而增大， 而0<x ≤4，
∴当x =4时，y 最大值=20，即△PBQ 的最大面积是20cm 2
.
点评：本题考查了列函数关系式表示几何关系的能力以及二次函数的最值的求法，解题的关键是用x 表示相关线段的长，然后关键三角形的面积公式求出y 关于x 的函数关系式，难点是求函数的最大值.
9．解：（1）设小正方形的边长为x 米，
则4x2+（10﹣2x）（8﹣2x）=52，
整理得：2x2﹣9x+7=0，即（x﹣1）（2x﹣7）=0，
解得：x1=1，x2=3.5，
经检验均符合题意，
答：小正方形的边长为1米或3.5米；
（2）设铺设地面的总费用为W元，
则W=30×[4x2+（10﹣2x）（8﹣2x）]+20×[10×8﹣4x2﹣（10﹣2x）（8﹣2x）]
=80x2﹣360x+2400=80（x﹣9
4
）2+1995，
∵80＞0，∴W有最小值，
当x=9
4
米时，W最小值=1995元．
答：当小正方形的边长为9
4
米时，铺设地面的总费用最少，最少费用为1995元．。