北外网校期末线性代数考试汇总

1、 设矩阵
，则行列式
2、 已知解向量组
是齐次线性方程组的基础解系，以下解向量组中，也是
的基础解系的是
3、 设方程组有无穷多组解，则必有_＝1
4、
阶实对称矩阵和相似的充分必要条件是与的个特征值都相等
5、 行列式
k
h g f e d c
b a 中元素f 的代数余子式是
h g b
a -6、 设A 为三阶方阵且已知|A| = 3，则行列式 |3A|的值为 81
7.设A=，7
92513802-则代数余子式
=12A 31
8.设齐次线性方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=++=+02020z y kx z ky x z kx 有非零解，则k = 2
9.已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为-5，3，-7，4，则D= -5 10.已知四阶行列式D 的值为2，将D 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值 2 1.行列式
123234345
的值为（ 0 ）
2.设n 阶方阵A ，B ，C 满足ABC = E ，则必有（ BCA = E ）
3.线性方程组122331
21x x a
x x a x x -=⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩有解的充分必要条件是a = （ 13- ）
4.设n 阶方阵A 中有n 2
- n 个以上的元素为零，则 |A| 的值为（等于零） 5.设行列式
22
211211a a a a =m ，
21
231113a a a a =n ，则行列式
23
2221131211a a a a a a ++等于（m-n ）
6.若A ，B 是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（若秩,)
(n A = 秩,)(n B = 则秩n AB =)( ）
7.矩阵⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-000
1
0001000011001231的秩是（ 3 ） 8.设A,B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（ 0||=A 或0||=B ）
9.设矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛
---412101
213，A*是A 的伴随矩阵，则A*中位于第一行第二列的元素是（ 6 ）
10. s 维向量组
)3(,...,,21s n n ≤≤ααα线性无关的充分必要条件是（ n ααα,...,,21中任意一
j
i j
i
j i j i b a b B a A 2)(,)(4444-===⨯⨯且，=||B ||2
4
A -4321,,,αααα0=Ax 0=Ax 1
4433221αααααααα－，＋，＋，+⎪⎩⎪
⎨⎧=++=--=++2
2251
33
21321321x x x b x x x x x x b n A B A B n
个向量都不能由其余向量线性表出
1. 如果线性方程组1232323304040
x kx x x x x kx --=⎧⎪
-=⎨⎪+=⎩
有非零解，则k = （ -1 ）
2.设A 为n 阶可逆方阵，下式中正确的是（ （2A ）T =2A T ）
3.设β可由向量α1=（1，0，0），α2=（0，0，1）线性表示，则下列向量中β只能是（（ -3，0，2）） 4、设A 为3阶方阵,且方程组A x =0的基础解系含有两个解向量,则A 的秩为（1 ） 5. 设齐次线性方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=+-=++=+02020
z y kx z ky x z kx 有非零解，则k =（ 2 ）
6、已知四阶行列式D 中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为-5，3，-7，4，则D=（ -5 ）
7.已知四阶行列式D 的值为2，将D 的第三行元素乘以―1加到第四行的对应元素上去，则现行列式的值（ 2 ）
8.设A,B 为n 阶方阵，满足等式0=AB
，则必有（ 0||=A 或0||=B ）
9.设矩阵A=⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---412101
213，A*是A 的伴随矩阵，则A*中位于第一行第二列的元素是（ 6 ） 10、s 维向量组)3(,...,,21s n n ≤≤ααα线性无关的充分必要条件是（ n ααα,...,,21中任意
一个向量都不能由其余向量线性表出 ）
计算行列式
（12分）
解：
＝
=[5×（-1）＋2×4]×[2×3×9＋1×7×5＋(-2)×6×5－5×3×（-2）－6×1×9－2×7×5 =3×（-65） = -195
四、设线性方程组为，问,各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解。

（12分） 、解：
：
当4时，方程组有唯一解
当4，2时，方程组无解
当4，2时，＝3 < 4，方程组有无穷多组解,
依据
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛--00000010001011010201其通解为，为任意常数
五、设4阶方阵满足方程 ，试求矩阵，其中
：
9
72005
3100562000001400025--
-⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=-+-=+++=+++=+++b
x x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131723153203a b ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛------→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=22000
01400
11110
03
1
1
1
131117231531203
1
1
1b a b a A ≠a =a ≠b =a =b )(A r =)(A r T
T k )0,1,1,2()0,0,1,1(-+-=αk C B A ，，1
1)2(--=-C A B C E T A 1
2321
20101230
120,0012001200010
001B C --⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
-
⎪
⎪== ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1)2()2(--==-B C A E A B C T T ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---=12100121001
20001
A
六、行列式
2921702163332
314----=
D ，不计算
ij A 而证明44434241
2A A A A =++
02
11170216
3332
314=----=
D
由于第二行与第四行成比例，结论显然。

7、计算行列式
x a b c d a x b c d
a b x c d a
b c x d
++++
： 3
)(0
000
0000
01)
(1111
)
(x d c b a x x
x x
d c b
d c b a x d x c b d
c x b
d c
b
x d c b
d c b a x d x c b d
c b a x
d
c x b
d c b a x
d c
b x d
c b a x
d c
b
d
c b a x d
x
c b a
d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=++++
三、计算行列式3111
131111311113的值 （12分）
一． 解：48
2*2*2*1*62
0000200002011116
3
1111311113111116
3
11113111
1311
113====
四、 设A=423110123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，且矩阵X 满足AX=A + 2X ，求X （12分）
解：因为AX -2X=A 所以 （A -2E ）X= A X=（A -2E ）-1A
（A -2E ）-1=143153164--⎡
⎤⎢
⎥
--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1434233861531102961641232129X ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
五、求线性方程组1234123412340
300x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩的通解，并用其基础解系表示 （12分）
二．
111111111111110111130024001200121111000000000000A --------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--→-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
可知x 2，x 4为自由未知量，令（x 2，x 4）分别取（1，0）（0，1）
得到通解为12123411100201x x k k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
k 1，k 2为任意常数。

六、求行列式
ef
cf bf
de cd bd ae ac ab
---的值 （12分）
abcdef
abcdef abcdef ef cf bf
de cd bd ae ac ab
42
000201
111
11111111=--=---=---
七、设
⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=111111111A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求B A A AB T 及23-
A
AB 23-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1504213211111111113⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---1111111112 ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=0926508503⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---1111111112⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛----=22942017222132 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321111111111B A T
⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=092650850
三、计算行列式
1200012000122001
的值（12分）
1200012000122001
= 1×（－1）1+1 × ＋ 2×（－1）4+1 ×
=1－2×8=－15
本题解答过程不唯一，答案正确，过程没问题，即可给分。

四、设A=423110123⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，且矩阵X 满足AX=A + 2X ，求X （12分）
三． 解：因为AX -2X=A
所以 （A -2E ）X= A X=（A -2E ）-1A
（A -2E ）-1=143153164--⎡
⎤⎢
⎥
--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
1434233861531102961641232129X ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦
五、已知方程组有无穷多解，求a 以及方程组的通解。

（12分）
由于该方程组有无穷多解，得
1111
11111(|)1121022002
201101111
00
(1)(4)12a a a
A b a a a a a a a a a a ⎛
⎫ ⎪
---⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪=--→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪-++- ⎪⎝⎭⎝⎭+-- ⎪⎝⎭
1123211232
1
23x x ax x x x x ax x a ⎧
++=-⎪⎪
-+=-⎨⎪
⎪-++=⎩。

因此，即。

当时，该方程组的增广矩阵
于是
，方程组有无穷多解。

分别求出其导出组的一个基础解系
，原方程组的一个特解
，故时，方程组有无穷多解，其通解为。

六、设B A ,为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明AB B T
也是对称矩阵. （12分）
六．证明: 已知A A
T
=，则AB B B A B AB B T T T T
T ==)
(，从而AB B
T
也是对称矩阵。

七、求矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---145243
121的逆矩阵。

（12分） 七．解
2=A , 故1-A 存在。

0，2，4312111==-=A A A
1，6，13322212-==-=A A A ，2，14，32332313-==-=A A A 。

故
*-=A A A 11
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----=1716213213
012
()(|)3R A R A b =<21
(1)(4)10
2a a a +-=-=1a =-1-=a
1111(|)11211111A b --⎛⎫ ⎪ ⎪=--→ ⎪ ⎪--⎝⎭11012
3
010200
00⎛
⎫
- ⎪ ⎪
⎪-
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪⎝
⎭()(|)23R A R A b ==<1
3122T
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
()
1
00T
-1-=a ()
131
0012
2T
T
k -⎛⎫-+ ⎪⎝⎭。