x+y与 xy关系模型在高中数学的运用与研究(东莞市第二高级中学莫竞)

x y
+xy
联系 222
()2x y x xy y +=++xy x+y 与xy 关系模型在高中数学的运用与研究
东莞市第二高级中学 莫竞
【摘要】 本文定义了x+y 与xy 关系模型，并运用之解决高中数学解三角形、解析几何、不等式
等方面的问题，发现此模型能提高计算能力，揭示题目内在数量间关系，构建解题方法，联系深化高中数学知识，提高数学思维能力。

【关键词】 x+y 与xy 关系模型；x+y 与xy 相等关系；x+y 与xy 不等关系；知识载体
引言
著名数学家怀特海曾说：“数学就是对于模式的研究”，各种数学公式、方程式、定理、理论体系等等，都是一些具体的数学模型；我们的数学教学实际上就是教给学生前人给我们构建的一个个数学模型、和怎样构建模型的思想方法，以使学生能运用数学模型解决数学问题和实际问题。

所以，现今我们教的是模型，学生学的也是模型；而且构建数学模型解决问题，教师比学生更应身先士卒。

在高中，数学知识范围广，层次高，注重知识的多元化和广泛性，这就要求学生的数学意识、思维能力、问题解决等数学素质大幅度地提高。

所以，如何教学、如何教学才能培养学生的数学素质，成为我们一线老师必须狠下功夫研究的问题。

由于数学模型的运用既能加强“数学意识”，也能高效提高思维效率，兼之“解决问题”，所以本人这些年在教学中一直注重知识间、解题方法间、计算技能间的区别与联系，力求从中发现规律，能构建出某种行之有效的数学模型，帮助学生高效地提高观察、分析、抽象、类比、综合、解决问题的能力。

而本文的x+y 与xy 关系模型，正是本人这些年观察和思考的成果，而且已在教学实践中初显成效，现介绍如下。

1 x+y 与xy 关系模型的定义
x+y 与xy 关系模型的定义由它的相等关系和不等关系构成。

1.1 x+y 与xy 的相等关系
x y + 代表两个数或两个字母变量和的关系； xy 代表两个数或两个字母变量积的关系；
它们也同时代表了数学中两种最基本的运算：加法运算和乘法运算；而它们的等价联系则是——完全平方公式。

即
根据这个联系式，我们可以得到以下联系x+y 与xy 的恒等关系式：
等等，
而这些看似简单的恒等变换式，往往就可以提示我们数量关系，指导我们解决许多数学问题
2222222222(1)()2(2)()2(3)()()4(4)()()
x y x y xy
x y x y xy x y x y xy x y x y x y +=+-+=-+-=+--=+-
1.2 x+y 与xy 的不等关系
x+y 与xy 的不等关系，即时高中的基本不等式：
如果0,0,2
x y
x y x y +>>≥=则
时等号成立）
； 而其中等价不等关系式有：
2(1)0,0,0,0,()2
x y x y x y x y x y xy x y >>+≥=+>>≤=则时等号成立）
(2)则（当且仅当时等号成立）
1.3 许多公式、定理和定义都是x+y 和xy 关系的知识载体
如 1、韦达定理：如果一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为12,x x ，那么
1212b x x a
c x x a ⎧
+=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
，这也称根与系数的关系。

2、基本不等式（见本文1.2）；
3、余弦定理：ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则a 2
=b 2
+c 2
-2bccosA , 即
222
cos 2b c a A bc
+-=；
4、椭圆的定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆；即12122(2,)MF MF a a F F M +=>为椭圆上任一点
； 5、双曲线的定义：平面内到两定点12F F 、的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线；即12122(2,)MF MF a a F F M -=<为双曲线上任一点； 等等。

2 x+y 与xy 关系模型在高中数学的运用
2.1 x+y 与xy 关系模型在解三角形中的运用
正如本文前面所提到的，余弦定理正是x+y 与xy 关系的知识载体，除此之外，三角形的面积公式111
sin sin sin 222
S ab C bc A ac B =
==也是这种关系的知识载体，所以在解决有关三角函数的问题时，学生可对题目中出现的一些如ab b a b a b a 、、、
+-+2
2
)()(等标志信息高度敏感，直觉判断或者运用余弦定理，或者运用三角形面积公式，或者两者相结合运用。

这样，便大大地节省了思
维空间，提高了思维效率，同时也提升了解题速度与能力。

正如下面几个例题：
例2.1.1 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A ，B ，C 所对的三边，已知bc c b a c b a =+--+))((，
222222211sin 8
222
()2()16251
cos 22162
()4975712
ABC S bc A bc bc b c a b c bc a b c A bc bc b c b c a b c Λ==⋅=∴=+-+--+--====
∴+=∴+=∴++=+=又，，周长为求A 。

分析：由bc c b a c b a =+--+))((这个条件我们可以快速反应到，它运用平方差公式等价变形后可出现bc c b 、2
)(-，而余弦定理正好是这两个信息的知识载体，所以这题应从余弦定理入手。

解：
22
222222222()()()21
cos ,0,
2223
a b c a b c a b c a b c bc bc b c a bc b c a bc A A bc bx A ππ
+--+=--=--+=∴+-=+-∴===≤≤∴=
，又
例2.1.2 在△ABC 中，已知∠A =60°，最大边长和最小边长恰好是方程01172=+-x x 的两根，
则求第三边的长。

分析：由题目判断，最大边和最小边应该为b 、c 两边。

而以这两边长为根的方程不好求解，从而想到设而不求、知道两根关系的韦达定理。

由于韦达定理和余弦定理都是x+y 与xy 关系的知识载体，所以想到运用这两个定理共同解决此题。

解：∵∠A =60°，若A 为最大角或最小角，都不满足三角形内角和为180度的定理。

4
cos 22)(cos 211
,701172
2
2
2=--+=-+=∴==+∴=+-∴A bc bc c b A bc c b a bc c b x x c b 第三边的两根，为、
解题小结：在此题的化简过程中，用到了bc c b c b 2)(2
22-+=+的关系式，这正是x+y 与xy 相等关系式之一，同时也正是此题把韦达定理和余弦定理相互联系起来的关键。

这个最常用的恒等式，往往在解决问题时总会被一些基础差的同学所忽略，但若把它纳入x+y 与xy 关系模型之中，直觉上加强对这些相关标志信息的认识和关注程度，熟练记忆、按需使用，便可大大提高计算速度。

例2.1.3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A ，B ，C 的对边，2
7
2cos 2sin 42
=-+A C B . （1）求A 的度数；（2）若△ABC 的面积为532=a ，，求△ABC 的周长。

分析：在此题的第（2）小问中，在已知一边的前提下，所求周长即是x+y 型，而已知面积则是
xy 型，而同时“沟通”这两者关系的知识载体有本章的余弦定理，于是应用余弦定理结合面积公式解决。

解：（1）略，（用降幂扩角公式）求出A =60°
（2）
解题小结：在求解过程中，由于所求为b+c ，所以就把余弦定理中的2
2
b c +再次用
bc c b c b 2)(222-+=+的等价变形向所求b+c 靠拢。

由以上的3道例题我们可以看出，在解三角形的综合题中，余弦定理、面积、周长（甚至与韦达定理）其实都是借助x+y 和xy 的相等关系式沟通起来的一个统一的整体，若我们能把这种认识形成经验，对相关的变形等价式提高重视，熟练运用，变成直觉，那么熟能生巧，便可极大地提高数学思维效率。

2.2 x+y 与xy 关系模型在解析几何中的运用
在解析几何中，更多的公式、定义都是x+y 和xy 关系的知识载体，如： （1） 中点公式，斜率公式，两点距离公式； （2） 椭圆、双曲线第一定义
（3） 圆锥曲线的弦长公式：斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线）相交于1122(,),(,)A x y B x y
，则弦长
AB ====
（其中1212x x x x +、或1212y y y y +、由联立直线l 与圆锥曲线C 的方程消去y 或x 化简后用韦达定理得到）。

所以，解析几何是最能体现x+y 和xy 关系的一个统一综合体，若注重题目中这些关系的信息，灵活使用恒等变形式，可帮助你在揭示题目数量间关系、构建解题方法、提升计算能力等方面有着非常显著的作用，下用几道例题来说明。

例2.2.1 已知P 是椭圆2
214
x y +=上的点，12F F 、是
椭圆的焦点，若123
F PF π∠=，求12PF F ∆的面积。

分析：这就是椭圆中经典的“焦点三角形”问题，与本文上述的x+y 和xy 关系模型在解三角形中的运用一样，类比“在解三角形中，把余弦定理、面积和周长综合运用”经验，我们可以得到“在椭圆的焦点三角形中，把余弦定理、面积和椭圆第一定义综合运用”的尝试，并且可以验证这种直觉和经验是行得通的。

解：由题意2,1,a b c ====
不妨设1122PF r PF r ==，，则由椭圆定义，可得1224r r a +==； 由余弦定理，得
2
2222
12121212121212
()2(2)cos 221
r r F F r r r r c F PF r r r r π+-+--∠==
例2.2.1（变式） 已知双
曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，12F F 、为左右焦点，P 为双曲线上一点，且123
F PF π∠=
，
12PF F S ∆=
分析：这其实就是把椭圆的“焦点三角形”问题，变式为双曲线的“焦点三角形”问题，同理，把余弦定理、面积和双曲线第一定义综合运用即可。

当然这还是个把题设和问题互换的“逆运用”问题，所以只需先用待定系数法设出双曲线方程，再同上题步骤即可。

例2.2.2 椭圆22
1164
x y +=的弦AB 被点M （2,1）平分，求弦AB 所在直线方程。

分析：由于本题所求直线已知过点M ，所以直线方程只需求斜率。

又因为条件中出现了中点，联想到中点公式和韦达定理都是x+y 型关系，所以可设出直线方程，联立椭圆与直线方程，消掉y 后再用韦达定理的12x x +式化为中点的
12
2
x x +式即可。

但是，注意到斜率公式、中点公式刚好可以用22
121212()()x x x x x x +-=-这个恒等式搭建起彼此数量关系桥梁，而椭圆标准方程又刚好有我们
需要的22
x y 和，于是我们打算构造平方差，于是有了如下的“点差法”：
解：设1122(,),(,)A x y B x y ,由于A 、B 在椭圆上，
22
112
2
221164
116
4x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩①②
，①-②,得12121212()()()()0()164x x x x y y y y +-+-+=*， 又12
12=22(2,1)=1
2
x x M AB y y +⎧⎪⎪∴⎨
+⎪⎪⎩为的中点，有,即1212=4=2x x y y +⎧⎨+⎩，把之代入（*）式， 可得
12121212121221
0,=424242
AB x x y y x x y y y y k x x -----+=-∴==-=--即，斜率， ∴弦AB 所在直线方程为240x y +-=
解题小结：在此题中，我们熟悉的信息——中点公式中的12x x +（或12y y +），与斜率公式中的12x x -（或12y y -），正好利用2
2
()()x y x y x y +-=-恒等式搭建了联系，其实这正是揭示了题目中的隐含的数量关系，于是就构建出了新的解题方法——点差法。

同样的，即使把题目中的圆锥曲线换为双曲线、抛物线，只要是它们的标准方程（出现我们需要的2
2
x y 和），我们就能构造平方差，运用“点差法”轻松、快速地解决此类“中点弦”问题。

121212124114,sin 3223F PF r r S r r F PF ∆∴=∴=∠=⨯=
例2.2.3 （2004北京理）过抛物线y 2=2px(p>0)上一定点
P(x 0,y 0)(y 0>0),作两条直线分别交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).
⑴求该抛物线上纵坐标为2
p
的点到其焦点F 的距离; ⑵当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求0
2
1y y y +的值,
并证明直线AB 的斜率是非零常数.
分析：在此题的第（2）问中，由于条件、问题中出现了斜率、
12y y +、抛物线标准方程2y 等标志信息，于是我们也大胆构造平方差，尝试解决这题。

解：（1）略，由抛物线定义求出距离为
58
p
. （2）设直线P A 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，∵P(x 0,y 0)，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在抛物线上， ∴有2
1y =2px 1，2
0y =2px 0 ；两式相减，得（y 1－y 0）(y 1+y 0)=2p(x 1－x 0) ∴ 10101010
2()PA y y p
k x x x x y y -=
=
≠-+，同理可得 2020
2()PB p k x x y y =
≠+
又∵由P A ，PB 倾斜角互补，∴PA PB k k =-，即
1201020
222p p
y y y y y y y =-∴+=-++，，
12
2y y y +∴
=- 再设直线AB 的斜率为AB k ，同理有2
2y =2px 2，2
1y =2px 1 相减得（y 2－y 1）(y 2+y 1)=2p(x 2－x 1)，∴ 21211200
2202AB y y p p p
k x x y y y y -=
===-≠-+-
解题小结：这题同样也是在x+y 和xy 等价关系式的引导下，揭示了题目中隐含的数量等价关系，
构建了解题方法，最后得出答案。

2.3 x+y 与xy 关系模型在不等式中的运用
高中的基本不等式：
0,0,=2
x y
x y xy x y +>>≥则（当且仅当时等号成立），正是搭建了x+y 与xy 最直接的不等关系，所以，为了方便使用，可以利用已有推论建立以下两种不等关系模型： （1）0,0,2=x y x y xy x y >>+≥则（当且仅当时等号成立）——“和化积型”； （2）2
0,0,()=2
x y x y xy x y +>>≤则（当且仅当时等号成立）——“积化和型”， 以下分别用例子来说明。

18m
例2.3.1 一段长为30m 的篱笆围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m ，问着这个矩形的
长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
解：如图，设矩形的长为x 米(018)x <≤，宽为y 米，则x+2y=30；∴菜园面积
22112130225
2()()222222
x y S xy x y +==
⋅≤=⨯=
（平方米）， 当且仅当15230,1522
x x y x y y =⎧+=⎧⎪
⎨⎨==⎩⎪⎩即时等号成立。

∴当矩形长为15米，宽为7.5米时菜园面积最大，最大面积为
225
2
平方米。

解题小结：由此题条件，我们就可知x+2y 这个和式是定值，所求面积xy 刚好就是个积式，于是顺理成章就想到了“积化和”——2
(
)2
a b ab +≤，所以在满足x 、2y 同为正实数的前提，令,2a x b y ==（整体思想）
，运用了“积化和型”公式，快速解决。

在总结了“积化和型”的关键是“和定值”后，我们来看个隐含版本的“积化和型”。

例2.3.1（变式） 已知01,(1)x y x x <<=-则的最大值为14 分析：在满足积式的两个对象是正值的前提条件下，此题的隐含定值就是+(1)=1x x -，只要找出这个隐含定值，直接用“积化和型”公式，即可。

例2.3.2 已知8
3,_________3
x x x x >=+
-则时，的最小值是 解：
当且仅当8
3,333
x x x x -=
=-=+-即舍）或 解题小结：此题也在满足和式的两个对象是正值的前提条件下，出现了个隐含定值
8
(3)83
x x -⋅
=-，这是个“积定值”
，于是用“和化积型”——a b +≥公式。

同样的，在总结了“和化积型”的关键是“积定值”后，我们再来看个更隐含版本的“和化积型”。

例2.3.2（变式） 已知11
0,0,21,a b a b a b >>+=+的最小值是
分析：此题看似“和定值”，理应选用2
()2
a b ab +≤公式，但却发现题目所求为和式，同时还求
最小值，与公式中求出是最大值矛盾。

所以，说明题目还隐含了其他的定值情况，很有可能还是运
3,30,88(3)333,33x x x x x x >∴->∴+
=-++≥=--
22223
()()()()()024
3
0,04
444
0,0,333a b a b a b a b a b x a b x x x x a b ++-+≤∴+-+≤=+>-≤∴≤≤∴<≤∴+即，令即的最大值为
用a b +≥——“和化积型”。

看着已知式和所求式是整式和分式、有某些部分互为倒数、和式定值为特殊数1这种种情况，我们决定构造“多项式乘多项式”，看看会出来什么等价式子。

解：
解题小结：在根据题目特点构造了“多项式乘多项式”后，我们发现了隐藏着的第二个定值
22a b
b a
⋅=，所以再次确定了是“和化积型”不等式问题。

最后来看个综合题：
例2.3.3 已知220,0,,a b a b ab a b a b >>++=++且求的最大值。

解：
解题小结：此题综合运用了x+y 和xy 关系模型中的相等关系式和不等关系式，旨在于把已知式子统一为所求a+b 的一个不等式，然后再用整体换元法求解关于a+b 的不等式即可。

这说明x+y 和xy 关系模型在指导运用基本不等式求最值，尤其是高考的最值应用题方面，还是有着构建解题模型，提高思维效率的效果的。

2.4 x+y 与xy 关系模型在其它知识中的运用
x+y 与xy 关系模型在其它知识中的运用，多数体现在揭示变量间数量关系，提高计算能力方面，如以下例题
例2.4.1 已知{}n a 为等比数列，354657460,,281,n a n N a a a a a a a a *>∈++=+则=___
分析：注意到条件和问题中出现了46462a a a a +和的积、和关系，立即想到完全平法公式。

解：{}n a 是等比数列，所以有22354576==a a a a a a ，，
11111121()(2)()122333a b a b a b a b a b b a
a b b a +=⋅+=+⋅+=+++=++≥=+222
3546574466464622==81
0,9
n a a a a a a a a a a a a a a a ∴++=+++>∴+=（）又22222
22
,()2()(),(
)2
()()()2
a b ab a b a b ab ab a b a b a b a b ab ab a b a b a b ab ++=++-+=++∴+-+=≤+∴+-+=≤即又
例2.4.2（2012 梅州模拟） 已知向量a=（2,-1），a·b =10，|a-b |
|b |=______
分析：注意a·b 与a-b 的关系，所以也打算用完全平方公式搭建数量关系。

解：∵a=（2,-1）,∴|a
|=
22
2222520520,∴==-+=∴==∴=，a -b a -2a b+b b b b b
例2.4.3 已知240,sin ,sin cos ______252
αα
παα-<<=-
-=则2 分析：首先注意到这里有一倍角和二倍角的关系，于是会想到sin 2sin cos
2
α
α
α=2
，所以此
题还是x+y 与xy 关系模型。

解：
由以上三题可以看出，x+y 与xy 关系模型广泛存在于高中数学的各个知识角落，所以它在提高我们数学思维效率、计算能力等方面有着强效的作用。

3 x+y 与xy 关系模型的实际意义
3.1 x+y 与xy 关系模型体现了哲学的辩证统一
x+y 与xy ，一个是加法运算，一个是乘法运算，它们分别代表了数学中最基本的两种运算；而在x+y 与xy 关系模型中，既有相等关系，也有不等关系，刚好揭示了自然界中最基本的两种数量关系；而揭示它们关系的种种恒等式和不等式，则正体现了知识间的相互区别和联系；所以x+y 与xy 关系模型体现了哲学的辩证统一思想。

3.2 重在基础，提升能力
本人的x+y 与xy 关系模型，实则是些最常见、最基础、相互间有着联系的相等或不等的关系式，它渗透在许多知识、数学方法的各个角落，只是许多学生没有对它们进行理性识别、抽象概括，没有形成直觉经验、并用之来指导自己解决问题而已。

所以本模型是从数学的学科特点出发，对数学思想方法作了提炼和挖掘，使学生能更好地理解和掌握基本的数学方法，更有效地学习数学，应用数学。

所以，本模型立足基础，同时也重在基础，希望通过抽象概括的种种相等、不等关系式，提醒学生重视题目中的基础数量信息，善于挖掘内在数量关系，并会根据关系创造性地构建解题方法，从而提高计算能力，最后达到解决问题的目的。

3.3 熟能生巧，推陈出新
我国有句教育古训“熟能生巧”，若我们熟记x+y 与xy 关系模型，深刻理解其相等关系和不等关系后，变成直觉，对适用信息敏感，便可极大地提升数学思维能力。

正如张奠宙老先生所说的，思维是需要效率。

直觉可以不加思考地随手运用，因而节省了思维空间。

在进行数学思考的时候，那些已经熟知的常识和真理，成为无须占用思维空间的直觉，就能把思考集中于人类尚未知晓的部
22224sin 2sin
cos
,2
25
2449
(sin cos )sin 2sin cos cos 1222252570,0,sin cos 0,sin cos 2225α
α
αααααααπαααααπα==-
∴-=-+=+=
-<<∴-<<∴-<∴-=-2
222又222
分，为创新让开道路。

所以，数学学习极需这种基础知识、基础技巧的直觉，正所谓“打好基础，推陈出新”，本人的x+y和xy关系模型也正是如此目的。

总之，数学模型是数学知识与数学应用的桥梁。

研究和学习数学模型，能帮助学生探索数学的应用，产生对数学学习的兴趣，培养他们的实践能力和创新意识。

构建和研究数学模型，能给教师提供一个观察问题的新视角、解决问题的新思路，有利于教师更深刻地领会数学思想、参透教材教法，同时也给教师的可持续性发展道路开辟了一片崭新天地。

【参考文献】
[1] 张思明，中学数学建模教学的实践与探索[M]．北京教育出版社，1998:10～11
[2] 张奠宙，中国数学双基教学[M].上海教育出版社，2006
[3] 钱佩玲、邵光华，数学思想方法与中学数学[M]．北京师范大学出版社，1999：5～5
[4] 况国平，高中课堂同步基础行.数学.2-1:选修. 广东教育出版社，2009.8。