江苏省南京高淳区四校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷

江苏省南京高淳区四校联考2019-2020学年中考数学模拟试卷
一、选择题
1．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的函数是（ ） A ．y ＝﹣x
B ．y ＝
1x
C ．y ＝－
1x
D ．y ＝﹣x 2
2．“六一”儿童节快到了，小芳的妈妈计划用1000元在唯品会购买价格分别为80元和120元的两种儿童玩具赠送给某幼儿园，则可供小芳妈妈选择的购买方案有 A.4种 B.5种
C.6种
D.7种
3．已知△ABC ，D 是AC 上一点，尺规在AB 上确定一点E ，使△ADE ∽△ABC ，则符合要求的作图痕迹是
（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线的交点是O ，直线EF 过O 点，且平行于AD ，直线GH 过O 点且平行于AB ，则图中平行四边形共有( )
A ．15个
B ．16个
C ．17个
D ．18个
5．下面是某同学在一次作业中的计算摘录：①325a b ab +=；②33345m n mn m n -=-；③
()325426x x x ⋅-=-；④()
32422a b a b a ÷-=-；⑤()235a a =；⑥32()()a a a -÷-=-其中正确的个数
有（ ） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．若点A （a ，b ），B （
1a
，c ）都在反比例函数y ＝1
x 的图象上，且﹣1＜c ＜0，则一次函数y ＝（b ﹣
c ）x+ac 的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知|a|＝3，b 2
＝16，且|a+b|≠a+b，则代数式a ﹣b 的值为（ ） A ．1或7
B ．1或﹣7
C ．﹣1或﹣7
D ．±1或±7
8．如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长度为（ ）
A B ．2
C ．
D ．(1+
9．若一次函数y ax b =+（,a b 为常数且0a ≠）满足如表，则方程0ax b +=的解是（ ）
10．如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D ．连接BD ，BE ，CE ，若∠CBD ＝33°，则∠BEC ＝（ ）
A ．66°
B ．114°
C ．123°
D ．132°
11．如图，正方形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，反个比例函数y= k
x
（k≠0）在第一象限的图象经过点A （m ，2)和CD 边上的点E （n ， 2
3
），过点E 作直线l ∥BD 交y 轴于点F ，则点F 的坐标是( ）
A ．（0,-
73
) B ．（0，- 83
) C ．（0,-3)
D ．(0,-
103
） 12．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．将20190000用科学记数法表示为_____．
14．如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ＝60°，点O 为对角线AC 的中点，⊙O 半径为1，点P 为CD 边上一动点，PE 与⊙O 相切于点E ，则PE 的最小值是____．
15．81的算术平方根是_____．
16．如图，在ABC 中，AB AC ==BAC 120∠=，点D 、E 都在边BC 上，DAE 60.∠=若
BD 2CE =，则DE 的长为______．
17．若
27
3a b b a +=-，则a b
=_____． 18．小华用家里的旧纸盒做了一个底面半径为3cm ，高为4cm 的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是___cm 2． 三、解答题
19．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，以线段AB 为边向外作等边△ABD ，点E 是线段AB 的中点，连接CE 并延长交线段AD 于点F ． （1）求证：四边形BCFD 为平行四边形； （2）连接BF ，求证：四边形BCAF 是矩形．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝x向右平移2个单位后与双曲线y＝a
x
（x＞0）有唯一
公共点A，交另一双曲线y＝k
x
（x＞0）于B．
（1）求直线AB的解析式和a的值；
（2）若x轴平分△AOB的面积，求k的值．
21．如图，正方形ABCD的边长为2，点A的坐标为（0，4），直线1：y＝mx+m（m≠0）
（1）直线L经过一个定点，求此定点坐标；
（2）当直线L与正方形ABCD有公共点时，求m的取值范围；
（3）直线L能否将正方形分成1：3的两部分，如果能，请直接写出m的值，如果不能，请说明理由．
22．某学校开展名著阅读活动，现老师推荐2部不同的名著A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部阅读．
(1) 甲选择名著A的概率为；
(2) 求甲、乙、丙3人选择同一部名著的概率．（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）23．某数学兴趣小组为测量如图（①所示的一段古城墙的高度，设计用平面镜测量的示意图如图②所示，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。

（1）已知AB⊥BD、CD⊥BD，且测得AB=1.2m，BP=1.8m.PD=12m，求该城墙的高度（平面镜的原度忽略不计）：
（2）请你设计一个测量这段古城墙高度的方案。

要求：①面出示意图（不要求写画法）；②写出方案，给出简要的计算过程：③给出的方案不能用到图②的方法。

24．如图，在平行四边形ABCD中，DB＝DA，∠ADB的角平分线与AB相交于点F，与CB的延长线相交于
点E连接AE．
（1）求证：四边形AEBD是菱形．
（2）若四边形ABCD是菱形，DC＝10，则菱形AEBD的面积是．（直接填空，不必证明）
25．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E在AB上，连接DE并延长交CA的延长线于点F，且∠AEF＝2∠C．
（1）判断直线FD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AE＝2，EF＝4，求⊙O的半径．
【参考答案】***
一、选择题
13．019×107．
14
15．9
163．
17．
1 10
18．15π．
三、解答题
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的判定和性质，可证四边形BCFD为平行四边形；（2）先证四边形BCAF是平行四边形，由∠ACB＝90°，可证四边形BCAF是矩形．
【详解】
（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴BC＝1
2
AB，∠ABC＝60°，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD ＝∠BAD ＝60°，AB ＝AD ， ∴∠ABC ＝∠BAD ， ∴BC ∥DA ，
∵点E 是线段AB 的中点， ∴CE ＝
1
2
AB ＝BE ＝AE ， ∵∠ABC ＝60°， ∴△BCE 是等边三角形， ∴∠BEC ＝60°＝∠ABD ， ∴BD ∥CF ，
∴四边形BCFD 为平行四边形； （2）证明：如图所示： ∵BD ∥CF ，BE ＝AE ， ∴AF ＝DF ＝
1
2
AD ， ∴BC ＝AF ， 又∵BC ∥DA ，
∴四边形BCAF 是平行四边形， ∵∠ACB ＝90°， ∴四边形BCAF 是矩形．
【点睛】
考核知识点：矩形的判定.掌握平行四边形的判定和性质是关键. 20．（1）y ＝x ﹣2，a ＝﹣1；（2）k ＝3． 【解析】 【分析】
（1）根据平移的性质求出一次函数的解析式，根据无交点求出a 的值，
（2）解方程组12
y x y x ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩可求出A 的坐标是（1，﹣1），由x 轴平分△AOB 的面积，可知B 的纵坐标是
1，代入一次函数解析式可求出B 的坐标是（3，1），即可求出答案． 【详解】
（1）直线y ＝x 向右平移2个单位后的解析式是y ＝x ﹣2， 即直线AB 的解析式为y ＝x ﹣2， 得：x ﹣2＝
a
x
，则x 2﹣2x ﹣a ＝0， △＝4+4a ＝0， 解得：a ＝﹣1，
（2）由（1）可得方程组12
y x y x ⎧=
⎪⎨⎪=-⎩，
解得：1
1
x y =⎧⎨
=-⎩，
A 的坐标是（1，﹣1）， ∵x 轴平分△AO
B 的面积， ∴B 的纵坐标是1，
在y ＝x ﹣2中，令y ＝1，解得：x ＝3， 则B 的坐标是（3，1）， 代入y ＝
k
x
可得：k ＝3． 【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根的判别式，平移的性质，三角形的面积的应用，及待定系数法求反比例函数解析式，题目是一道比较好的题目，难度适中． 21．（1）（﹣1，0）（2）23≤m≤4（3）1
【解析】 【分析】
（1）由y ＝mx+m ＝m （x+1）知x ＝﹣1时y ＝0，从而得出答案；
（2）把点A ，C 的坐标分别代入直线y ＝mx+m ，分别求得m 的值即可求出m 的取值范围；
（3）把B 的坐标代入直线L ，由直线L 能将正方形分成1：3的两部分，即可求出m 值；再由直线L 交DC 与BC 且满足直线L 能将正方形分成1：3的两部分也可求出m 的值，本题可求解． 【详解】
（1）∵y ＝mx+m ＝m （x+1）， ∴不论m 为何值时，x ＝﹣1时y ＝0， 故这个定点的坐标为（﹣1，0）
（2）∵正方形ABCD 的边长为2，点A 的坐标为（0，4）， ∴B （0，2），C （2，2），D （2，4）， 把A （0，4）代入y ＝mx+m 得，m ＝4， 把C （2，2）代入得，2＝3m ，解得m ＝
2
3
， 直线L 与正方形ABCD 有公共点，m 的取值范围是
2
3
≤m≤4； 故直线L 与正方形ABCD 有公共点时，m 的取值范围是2
3
≤m≤4； （3）能
理由：∵正方形ABCD 的边长为2， ∴正方形的面积为4， 分情况讨论：
（Ⅰ）：当直线L 过点B 时，把点B 代入y ＝mx+m ，得m ＝1，
∴直线L与AD的交点E的坐标为（1，4），
S△ABE＝1
2
AB•AE＝
1
2
×2×1＝1，
∴S△ABE＝1
4
S正方形ABCD
∴当m＝1时，直线L能否将正方形分成1：3的两部分；（Ⅱ）：设直线L过DC上点F，BC上的点G时，
把x＝2代入直线L，y＝2m+m＝3m，得F（2，3m），FC＝3m﹣2
把y＝2代入直线L，2＝mx+m，x＝
2
1
m+
，得G（
2
1
m+
，2），CG＝2﹣
2
1
m+
∴S△GCF＝1
2
×FC•CG＝
1
2
×（3m﹣2）（2﹣
2
1
m+
）
(32)
1
m m
m
-
=
+
由S△GCF＝1
4
S正方形ABCD得，
∴
(32)
1
m m
m
-
=
+
＝
1
4
×4，解，得m＝
3
6
±
（负值不合题意，舍去），
∴当m＝
6
L能否将正方形分成1：3的两部分；
综上所述，存在这样的m值，使直线L能否将正方形分成1：3的两部分，
故m的值为1或
6
．
【点睛】
本题考查了坐标平面内点的坐标特征，一次函数及其性质，待定系数法求函数解析式的方法，考查学生解决问题的能力，略难一点．
22．(1)1
2
；(2)
1
4
【解析】
【分析】
（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有8种等可能的结果数，找出甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】
解：（1）甲选择名著A的概率=1
2
；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部名著的结果数为2，
所以甲、乙、丙3人选择同1部名著的概率=2
8
=
1
4
．
【点睛】
本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（1）8m；（2）答案不唯一
【解析】
【分析】
（1）根据入射角等于反射角可得∠APB=∠CPD ，由 AB⊥BD、CD⊥BD 可得到∠ABP=∠CDP=90°，从而可证得三角形相似，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出CD的长.
（2）设计成视角问题求古城墙的高度.
【详解】
（1）解：由题意，得∠APB=∠CPD，∠ABP=∠CDP=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴AB CD BP BP
=，
∴CD=1.212
1.8
⨯
=8.
答：该古城墙的高度为8m
（2）解：答案不唯一，如：如图，
在距这段古城墙底部am的E处，用高h（m）的测角仪DE测得这段古城墙顶端A的仰角为α.即可测量这段古城墙AB的高度，
过点D作DC⊥AB于点C.在Rt△ACD中，∠ACD=90°，tanα=AC CD
，
∴AC=α tanα，
∴AB=AC+BC=αtanα+h
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
24．（1）证明见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）由角平分线的性质和平行线的性质可得∠BED=∠BDE ，可得BE=BD ，即可证四边形AEBD 是平行四边形，且DB=DA ，可得结论；
（2）由菱形的性质可得AD=AB=10=DB ，AB ⊥DE ，由等边三角形的性质和直角三角形性质可得AF=5，
DF=AEBD 的面积． 【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠ADE ＝∠DEB ， ∵DE 平分∠ADB ， ∴∠ADE ＝∠BDE ， ∴∠BED ＝∠BDE ， ∴BE ＝BD ，且BD ＝DA ， ∴AD ＝BE ，且AD ∥BE ，
∴四边形ADBE 是平行四边形，且AD ＝BD ∴四边形AEBD 是菱形； （2）∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ＝CD ＝10，且AD ＝BD ， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠BAD ＝60°， ∵四边形AEBD 是菱形， ∴AF ＝BF ，AB ⊥DE ，EF ＝DF ， ∴∠ADF ＝30°，
∴AF ＝5，DF ＝
∴DE ＝
∴菱形AEBD 的面积＝1
2
故答案为：【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
25．（1）直线FD 与⊙O 相切，理由详见解析；（2）⊙O 的半径为 【解析】 【分析】
（1）连接OD ，根据已知条件得到∠AEF ＝∠AOD ，等量代换得到∠AOD ＋∠AED ＝180°，求得∠ODF ＝90°，于是得到结论；
（2）解直角三角形得到∠F ＝30°，AF OF ＝2OD ，于是得到OD ＝FA ，即可得到结论． 【详解】
解：（1）直线FD 与⊙O 相切； 理由：连接OD ，
∵∠AEF＝2∠C，∠AOD＝2∠C，
∴∠AEF＝∠AOD，
∵∠AEF+∠AED＝180°，
∴∠AOD+∠AED＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴直线FD与⊙O相切；
（2）∵∠BAC＝90°，AE＝2，EF＝4，
∴∠F＝30°，AF ，
∵∠ODF＝90°，
∴OF＝2OD，
∴OD＝FA，
∴⊙O的半径为
【点睛】
本题利用了切线的判定和性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．。