排队论-四川大学课程中心

四川大学2015-2016学年第二学期
课程考试试卷答案(A卷)
课程名称：运筹学考试时间：120分钟年级：xxx级
专业：xxx
题目部分，（卷面共有85题，0分，各大题标有题量和总分）
一、判断（20小题，共0分）
1、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间少于允许队长无限的系统。

( )
答案：对
2、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1、
3、5、7、…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布。

( )
答案：错
3、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态；（）
答案：错
4、若两两顾客依次到达的间隔时间服从负指数分布，又将顾客按到达先后排序，则第1,3，5，7，…名顾客到达的间隔时间也服从负指数分布；（）
答案：错
5、在顾客到达及机构服务时间的分布相同的情况下，对容量有限的排队系统，顾客的平均等待时间将少于允许队长无限的系统；（）
答案：对
6、假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从泊松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为泊松分布。

( )
答案：对
7、在顾客到达的分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间将越长；（）
答案：对
8、在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。

( )
答案：错
9、假如到达排队系统的顾客来自两个方面，分别服从普阿松分布，则这两部分顾客合起来的顾客流仍为普阿松分布；（）
答案：对
10、在顾客到达分布相同的情况下，顾客的平均等待时间同服务时间分布的方差大小有关，当服务时间分布的方差越大时，顾客的平均等待时间就越长。

( )
答案：对
11、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理；（ ） 答案：错
12、若到达排队系统的顾客为普阿松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布；（ ） 答案：对
13、在机器发生故障的概率及工人修复一台机器的时间分布不变的条件下，由1名工人看管5台机器，或由3名工人联合看管15台机器时，机器因故障等待工人维修的平均时间不变。

（ ） 答案：错 14、对//1M M 或//M M C 的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为泊松流。

( ) 答案：对
15、对M/M/ 1或M/M/C 的排队系统，服务完毕离开系统的顾客流也为普阿松流；（ ） 答案：对
16、在排队系统中，一般假定对顾客服务时间的分布为负指数分布，这是因为通过对大量实际系统的统计研究，这样的假定比较合理。

( ) 答案：错
17、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响；（ ） 答案：错
18、一个排队系统中，不管顾客到达和服务时间的情况如何，只要运行足够长的时间后，系统将进入稳定状态。

( ) 答案：错
19、若到达排队系统的顾客为泊松流，则依次到达的两名顾客之间的间隔时间服从负指数分布。

( ) 答案：对
20、排队系统中，顾客等待时间的分布不受排队服务规则的影响。

( ) 答案：错
二、填空（1小题，共0分）
1、 M/M ／c （其中2c ≥)等待制排队系统的服务台的平均繁忙数c 为________，系统的实际利用率为______；而等待空间有限的M/M/c/k 系统的平均繁忙台数为______，系统的实际利用率为_______． 答案：解,,(1),(1)c k c k p p c λλρρρρμμ
=
=--． 三、计算解答（50小题，共0分）
1、某医院手术室根据病人来诊和完成手术时间的记录，经统计分析算出每小时病人平均
到达率为2.1人/h ，为泊松分布。

每次手术平均时间0.4h/人，即平均服务率是2.5人/h ，服从负指数分布。

求：
(1)病房中病人的平均数(L)。

(2)排队等待手术病人的平均数(q L )。

(3)病人在病房中平均逗留时间(W)。

(4)病人排队等待时间(期望值队q W )。

答案： 2.1λ=人/h ， 2.5μ=人/h 2.10.842.5
λρμ=== 该手术室为//1/M M ∞系统 (1)病房中病人的平均数： 2.12.5 2.1L λ
μλ⎛⎫=
= ⎪--⎝⎭
人=5.25人 (2)排队等待手术病人的平均数： 5.250.84 4.14q L L ρ==⨯=人人 (3)病人在病房中平均逗留的时间：11 2.52.5 2.1W h h μλ⎛⎫
=
== ⎪--⎝⎭
(4)病人排队等待时间： 2.50.84 2.1q W W h h ρ==⨯=
2、某公司打字室平均每天接到22份要求打字文件，一个打字员完成一个文件打字平均需时20 min ，以上分别服从普阿松分布和负指数分布。

为减轻打字员负担，有两个方案：一是增加一名打字员，每天费用为40元，其工作效率同原打字员；二为购一台自动打字机，以提高打字效率，已知有三种类型打字机，其费用及提高打字的效率如表所示。

据公司估测，每个文件若晚发出1将平均损失0.80元。

设打字员每天工作8 ,试确定该公司应采用的方案。

答案：该系统总费用(0.8)(8)s TC C L =+⋅，式中C 为每天固定费用。

对4个方案的计算
故结论为购买一台2型的自动打字机。

3、一个有2名服务员的排队系统各自独立为顾客服务，服务时间均为平均值15 min 的负指数分布。

设顾客甲到达时两名服务员均空闲,5min 后顾客已到达，这时甲未服务完，再过10 min 第三名顾客丙到达，这时甲和乙均正被服务中。

试回答出现下列情况的概率：(a)甲在乙之前结束服务；(b)丙在甲之前结束服务；（c ）丙在乙之前结束服务。

答案：（a ）1/2；（b ）1/4；（c ）1/4
4、一个有一套洗车设备的洗车店，要求洗车的车辆平均每4 min 到达一辆，洗每辆车平均需3 min,以上均服从负指数分布。

该店现有2个车位，当店内无车时，到达车辆全部进入；当有一辆车时，有80%进入；2个车位均有车时，到达车辆全部离去。

要求：(a)画出此排队系统的生死过程发生率图；
(b)求洗车设备平均利用率及一辆进入该店车辆的平均停留时间;s W （c ）为减少顾客损失，该店拟租用第3个车位，这样当店内已有2辆车时，新到车辆有60%进入，有3辆车时，新到车辆全部离去。

若该车店每天营业12h ,新车位租金为100元/d ,洗一辆车的净盈利为5元，则第3个车位是否值得租用？ 答案：（a ）生死过程发生率图见图
（b ）由图列出状态平衡方程并求解得到0120.4545,0.3409,0.2046,p p p ===洗车设备平
均
利用
率为
2
02
0.7
5
(1)0
.
5(1
)
1
n
s
n s eff
np
L p W h p λλ=-==
=
=
==
-∑
(c)当租用第3个车位时，可用与上述相同步骤求得
01230.416,0.312,0.187,0.085p p p p ====。

有2个车位时每天损失顾客为
12150.204636.8⨯⨯=辆，增加到3个车位时损顾客12150.08515.3⨯⨯=辆，即每天少损失21.5辆，可增加收入21.55107.5⨯=（元），大于租金100元，故值得租用。

5、某市消费者协会一年365天接受顾客对产品质量的申诉。

设申诉以4λ=件/d 的普阿松流到达，该协会处理申诉的定额为5件／d ，当天处理不完的将移交专门小组处理，不
影响每天业务。

试求：（a ）一年内有多少天无一件申诉；(b)一年内多少天处理不完当天的申诉。

答案：(a)7d （b ）79d
6、某场篮球比赛前来到体育馆某售票口买票的观众按普阿松分布到达，平均1人／min ，设该口售票速度服从负指数分布，平均售每张票时间为20s ，试回答：
(a)如有一个球迷于比赛前2 min 到达售票口，并设买到票后需1.5 min 才能找到座位坐下，求该球迷在比赛开始前找到座位坐下的概率；
(b)如该球迷希望有99%的把握在比赛开始前找到座位坐下，则他最迟应提前多少min 到达售票口。

答案：（a ）(1)0.51{0.5}110.632s P W e e μρ--⨯-≤=-=-= （b ）设提前时间为 1.5,t t t '=+为买票时间
(1)2{}0.010.01, 2.3
t s t
P W t e e
t μρ--->====得
3.8t '=分，即球迷至少提前3.8min 到达。

7、某服务系统有两名服务员，顾客到达服从泊松分布，平均每小时到达两名。

服务时间服从负指数分布，平均服务时间为30min 。

又知系统内最多只能有3名顾客等待服务，当顾客到达时，若系统已满，则自动离开，不再进入系统。

求：
(1)系统空闲时间。

(2)顾客损失率。

(3)服务系统内等待服务的平均顾客数。

(4)在服务系统内的平均顾客数。

(5)顾客在系统内的平均逗留时间。

(6)顾客在系统内的平均等待时间。

(7)被占用的服务员的平均数。

答案：将此系统看成一个//2/5M M 排队系统，其中
2,0.5,/4,
n k λμρλμ====== (1)系统空闲时间：1
252104(1(4/2))140.0082(14/2)P --+⎛⎫-=++= ⎪-⎝⎭。

(2)顾客损失率：5552
40.008
0.5122!2P -⨯=
=⨯。

(3)服务系统内等待服务的平均顾客数：
52152
220.0084(4/2)44411(521)2!(14/2)222q L -+-⎡⎤⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----+⎢⎥ ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(4)在服务系统内的平均顾客数：
5(1) 2.184(10.512) 4.13q L L p ρ=+-=+⨯-=人。

(5)顾客在系统内的平均逗留时间：
5 4.13
4.23min (1)2(10.512)
L W p λ=
==-⨯-。

(6)顾客在系统内的平均等待时间：
1/ 4.232 2.23min q W W μ=-=-=。

(7)被占用的服务员的平均数。

4.13 2.18 1.95q n L L =-=-=个
8、考虑一个顾客到达服从普阿松分布的排队系统。

服务员必须对每名顾客依次完成两项不同的服务工作，即对每名顾客的总的服务时间是上述两项服务时间的总和（彼此统计独立）。

(a)假定第一项服务时间为1/1min μ=的负指数分布，第二项服务时间为爱尔朗分布，平均为3 min ，3k =，问应该用哪一种排队理论模型代表上述系统；
（b ）如(a)中第一项服务时间变为3k =的爱尔朗分布，平均服务时间仍为1 min ，又应该用哪一种排队理论模型来代表这个系统？ 答案：（a ）用//1k M E 模型，k E 参数为1
,44
k μ=
=； （b ）用//1M G 模型，G 分布的期望值为4；
2221110
13(1)33()3
σ=
+=
9、图书馆出借室每小时平均有50个读者到达借书，为泊松流，管理员查出和办理好出借手续平均需要2min 。

问欲使读者平均等待时间不超过5 min ，需要几名管理人员？ 答案：//M M S
5050/,30/, 1.66730
h h λλμσμ===
==人人 当2s =时，500.833230
s λρμ=
==⨯
1
1
002!!(1)1
1.6671 1.6672(10.833)1
1 1.6678.320.091
k s
s k P k s σσρ--=⎡⎤=+⎢⎥
-⎣⎦
=
++
-=
++=∑
2022
1.6670.8330.091 3.777
!(1)2!(10.833)3.777
0.0755 4.53min 5min 5
s q q
q L P s L W h h σρρλ
⨯==⨯=--=
=
==<
所以，需要2名管理员。

10、到达某铁路售票处顾客分两类：一类买南方线路票，到达率为1/h λ，另一类买北方线路票，到达率为2/h λ,以上均服从普阿松分布。

该售票处设两个窗口，各窗口服务一名顾客时间均服从参数10μ=的负指数分布。

试比较下列情况时顾客分别等待时间排:()q W a 两个窗口分别售南方票和北方票；(b)每个窗口两种票均出售。

（分别比较122,4,6,8λλ==时的情形）
答案：两种情况下的q W 值见表
11、某消防大队由3个消防中队组成，每一消防中队在某一时刻只能执行一处消防任务。

据火警统计资料可知，火警为泊松流，平均每天报警2次；消防时间为指数分布，平均一天完成消防任务1次。

试求：
(1)报警而无中队可派前往的概率。

(2)每天执行消防任务的中队平均数。

(3)若要求(1)中概率小于3%，则应配备多少中队？ 答案：//3M M 系统
122/0.5,0.6723
s λλλμδρμμ======次天,=1次/天,=
(1) 1
1023
01
1
0.111!!(1)1224
22122!3!(12/3)
k s s k p k s δδρ--=⎡⎤
=+=
=
=⎢⎥-+++⎣⎦+++
-∑
102
0.1110.2221!1
P P δ
=
=⨯= 2
22020.1110.2222!2!P P δ==⨯=
3
3
3020.1110.1483!6
P P δ==⨯=
{}{}01233131()0.297P n P n P P P P >=-≤=-+++=
所以报警而无中队可派前往的概率为0.297。

(2)设每天执行消防任务的中队为x 则
0123
012120()01230123(1)
0.22220.2223(10.1110.2220.222)2
n
n E x P P P P P P P P P P ∞
==+++=+++---=+⨯+---=∑
即每天执行消防任务的中队平均数为2。

(3)若要求(1)中的概率小于3%，则应配备多少中队？ 若24,2/2,0.541
s s λλλμδρμμ======⨯次天,=1次/天,=
4
1
10201
1
0.131!!(1)122 1.33 1.33
22
122!4!(10.5)
k s s k p k s δδρ--=⎡⎤=+
=
=
=⎢⎥-++++⎣⎦+++
-∑
102
0.1310.2621!1
P P δ
=
=⨯=
2
2
2020.1310.2622!2!P P δ==⨯=
3
3
3020.1310.1753!6P P δ==⨯=
4
4
4020.1310.0874!24P P δ==⨯=
(4)1(4)p n P n >=-≤
1(0.1310.2620.2620.1750.087)=-++++
0.08373%
= 若2
5,2/2,0.451
s s λλλμδρμμ======⨯次天,=1次/天,=
1
102401
22!!(1)122!4!(10.5)1
0.131122 1.33 1.33
k s s k P k s δδρ--=⎡⎤=+=⎢⎥-⎣⎦+++
-==++++∑
1022
2033
3044
402
0.1310.2621!120.1310.262
2!2!
20.1310.175
3!620.1310.087
4!24P P P P P P P P δ
δδδ=
=⨯===⨯===⨯===⨯=
(4)1(4)
1(0.1310.2620.2620.1750.087)0.08373%
P n P n >=-≤=-++++= 若25,2/2,0.451
s s λλλμδρμμ======⨯次天,=1次/天,=
1
102345
010.1342222!!(1)122!3!4!5!(10.4)
k s s k P k s δδρ--=⎡⎤=+==⎢⎥-⎣⎦+++++
-∑ 1022
2033
30444055
402
0.1340.2681!120.1340.268
2!2!20.1340.179
3!620.1340.089
4!2420.13450.036
5!120
(5)1(2)
1(0.1340.2680.2680.1790.0890.036)0.026%3%
P p P p P p P p P p P n P n δ
δδδδ=
=⨯===⨯===⨯===⨯===⨯=>=-≤=-+++++=< 所以应配备5个中队
12、按照Kendall 分类法，为下列系统分类或叙述其含义： (1)泊松输入、定长服务、3个并联服务台、系统容量为r 。

(2)一般独立输入、指数服务、单服务台。

(3)3//1/1G E 。

(4)//3/15/15M G 。

答案：(1)泊松输入，定长服务，3个并联服务台，系统容量为r ：//3M D r (2)一般独立输入，指数服务，单服务台：//1G M
(3) 3//1/1G E ：一般独立输入，3阶段爱尔朗分布，单服务台，系统容量为1
(4) //3/15/15M G :泊松输入，一般独立服务，3个并联服务台，系统容量为15，顾客源限额为15。

13、设轮船以0λ>的普阿松(Possion)流到达港口码头，码头的装卸时间服从0μ>的负指数分布．若轮船在港口每停留一小时要损失1C 万元，码头的服务费用正比于其服务率为每小时2C 万元，为使整个航运系统的支出费用达到最低．试求： （1）该系统的最优服务率和最低费用；
（2）若50λ=艘／h ，110C =万元，220C =万元，试求*μ． 答案：解（1）此排队系统为M/M/ 1等待制排队系统，其队长s L λμλ
=
-，单位时间内每
艘船的损失费为11C l λ
μλ
=-，单位时间内系统的服务费为22l C μ=。

故系统单位时间由所需总费用为
1122()C T l l C λ
μμμλ
=+=
+- 令
122
()0()C dT C d λμμμλ=-+=-，解
得μλ=．依题意
取
*μλ=
**122*
()C T C C λ
μμλμλ
=
+=+-（2
）*
(50μ=艘／h =55艘／h . 14、工件按泊松流到达某加工设备，20/h λ=个。

据测算，该设备每多加工一个小时工件将增加收入10元，而工件每多等待或滞留一个小时将增加支出1元，试确定该设备最优的加工效率μ。

答案：21.414个/h 。

15、某货场计划安装起重设备，专门用于为前来运货的汽车装货。

有三种起重设备可供选择，如下表所示。

设前来运货的汽车按泊松分布到达，平均每天到达150辆，每辆车载重5t 。

由于货物包装、品种上的差别，每辆汽车实际装载时间服从负指数分布。

已知该货场每天工作10h ，每辆汽车每停留一小时的经济损失为10元。

试决定该货场应安装哪一种起
答案：安装乙起重设备最合算(比甲节约120元/天，比丙节约124.28元/天)。

16、某医院门前有一出租汽车停车场，因场地限制，只能同时停放5辆出租汽车，当停满5辆后，后来的车就自动离去。

从医院出来的病人在有车时就租车乘坐，停车场无车时，就向附近出租汽车站要车。

设出租汽车到达医院门口按8λ=辆／h 的普阿松分布，从医院依次出来的病人的间隔时间为负指数分布，平均间隔时间6 min 。

又设每辆车每次只载一名病人，并且汽车按到达先后次序排列接客，试求：（a ）出租汽车开到医院门口时，停车场有空闲停车场地的概率；(b)汽车进入停车场到离开医院的平均停留时间；（c ）从医院出来的病人在医院门口要到出租车的概率。

答案：这个问题中如把汽车当成服务机构，对顾客病人来说就构成一个待消失的服务系统。

但在这个系统中服务站的个数是未知数，不好求解，因此，只能先求解另一个服务系统。

把停车场停放位置与到达的汽车当成一个有限排队的系统。

在这个系统中：
010(1)P μ=-
1101
1(/)1(/)0.8(1)0.8/[1]0.8[]1(/)(/)
M M M P λλμλμρμλμλμλμ+++--=-=-=-- 将M=5代入
276()()0.8[1()]λλλμμμ
-=-
因01ρ<<，求得()0.973λμ
= 由此
06
8
8.2220.973
10.9730.17810.973
P μ=
=-==-
2.423M
n n L nP ===∑
（a ）出租汽车到达时，停车场有空闲概率为
012345110.1560.844P P P P P P ++++=-=-=
因为8λ=，而其中有84.4%进入停车场，所以有效输入率
80.844 6.752eff λ=⨯=
（b ）汽车在停车场的平均停留时间
2.423
0.359()21.5()6.752
eff
L
W h min λ=
=
== （c ）从医院出来病人在门口要到出租汽车的概率为010.822P -=
即每小时出来的十个病人中只有8.22人在门口要到车，另有1.78人将向附近出租汽车站要车。

17、有一台电话的公用电话亭打电话顾客服从6λ=个/h 的普阿松分布，平均每人打电话时间为3 min,服从负指数分布。

试求：（a ）到达者在开始打电话前需等待10min 以上的概率；(b)顾客从到达时算起到打完电话离开超过10 min 的概率；（c ）管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3 min 时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时需安装第二台。

答案：（a ）0.0291 (b)0.0970; (c) 10/h λ≥
18、某工厂有大量同一型号的车床，当该种车床损坏后或送机修车间或由机修车间派人来修理。

已知该种车床损坏率是服从普阿松分布的随机变量，平均每天2台。

又知机修车间对每台损坏车床的修理时间为服从负指数分布的随机变量，平均每台的修理时间为1/d μ。

但μ是一个与机修人员编制及维修设备配备好坏（即与机修车间每年开支费用K ）有关的函数。

已知
()0.10.001(1900)K K K μ=+≥元
又已知机器损坏后，每台的生产损失为400元/d ，试决定使该厂生产最经济的K 及μ的值。

答案：在这个问题中包括两方面费用：①机器损坏造成的生产损失1S 和②机修车间的开支
2S ，要使整个系统生产最经济，就是要使12S S S =+为最小。

下面以一个月为期进行计
算：
1()()()40025.510200()10200(
)
0.10.0012
10200(
)
0.001 1.9
s S L K K λλ
μλ
λ
=⨯⨯=⨯⨯==-+-=-正修理和待修机器数每台每天的生产损失每个月的工作日数
2/12
2
/1210200()
0.001 1.9
S K S K K =∴=+-
令
2120400(0.001)012(0.001 1.9)
dS dK K =-=- 计算得17550,17.65,2767K S μ===元元。

19、某律师事务咨询中心，前来咨询的顾客服从泊松分布，平均每天到达50个。

各位被咨询律师回答顾客问题的时间是随机变量，服从负指数分布，每天平均接待10人。

每位律师工作1天需支付100元，而每回答一名顾客的问题的咨询费为20元，试为该咨询中心确定每天工作的律师人数，以保证纯收入最多。

答案：这是一个//M M n 系统确定n 的问题，因为：50,10,/5λμρλμ====，
/5/n n ρρ*==,则：
1
1001!!1k k n k p k k ρρρ--*=⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦
∑ 设()f n 表示当律师数为n 个时的纯收入，则：
20055()1002005!(1)!(5)k n n k n f n n p k n n -=⎡⎤
=-++⎢⎥
--⎣⎦
∑ 对n 的约束只有一个，即1ρ*<，由此可得5n >，为求n ，我们由下表计算()f n ，再取最大值。

由此可以看出，当时，律师咨询中心的纯收入最大。

20、汽车按普阿松分布到达某高速公路收费口，平均90/h 。

每辆车通过收费口平均需时35s ，服从负指数分布。

司机抱怨等待时间太长，管理部门拟采用自动收款装置使收费时间缩短到30s,但条件是原收费口平均等待车辆超过6辆，且新装置的利用率不低于75%时才采用，问上述条件下新装置能否被采用。

答案：原收费口平均等待车辆 6.12q L =，采用新装置后利用率可达75%,故应采用新装置。

21、某街道口有一电话亭，在步行距离为4 min 的拐弯处有另一电话亭。

已知每次电话的
平均通话时间为1/3min μ=的负指数分布，又已知到达这两个电话亭的顾客均为10λ=个/h 的普阿松分布。

假如有名顾客去其中一个电话亭打电话，到达时正有人通话，并且还有一个人在等待，问该顾客应在原地等待，还是转去另一电话亭打电话。

答案：如去另一电话亭时，3min q W =，加步行共需7min ，而原地等待平均只需6min ，故结论为应在原地等待。

22、某医院急诊室每小时到达1个病人，输入为最简单流，急诊室仅有1名医生，病人接受紧急护理平均需20min ，服务时间为负指数分布，试求：
(1)稳态情况下：①没有病人的概率；②有两个病人的概率；③急诊室里病人的平均数；④排队中病人的平均数；⑤病人在急诊室中的平均时间。

(2)为了保证病人所花总时间少于25 min ,平均服务时间必须降至多少分钟？ 答案：
1,3/h λμ==人 1
3
λρμ=
= //1/M M ∞
系统 (1) 0111/32/30.67P ρ=-=-== 所以没有病人的概率为0.67
有两个人的概率：222(1)(1/3)(11/3)2/270.074P e ρ=-=-==
急诊室里的病人的平均数：1(1/2)0.531L λ
μλ⎛⎫
=
=== ⎪--⎝⎭人人人 排队中病人的平均数：1110.167236
q L L ρ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭
人＝人＝人
病人在急诊室中的平均时间：11W 0.531h h μλ⎛⎫= ⎪⎝⎭
＝
＝－－ (2) 11255
16012
W μλμ=
=<=-- 12171 3.4/55
h μμ->
⇒>=人 11
0.294/17.64min/3.4
h μ
=
==人人 所以为了保证病人所花总时间少于25min,平均服务时间必须降至17.64min 。

23、工件按普阿松流到达某加工设备, 20λ=个/h ，据测算该设备每多加工一个工件将
增加收入10元，而由于工件多等待或滞留将增加支出1元/h ,试确定该设备最优的加工效率μ。

答案：2021.414μ=+
= 24、某厂的原料仓库，平均每天有20车原料入库，原料车到达服从泊松分布，卸货率服从负指数分布，平均每人每天卸货5车，每个装卸工每天总费用50元。

由于人手不够而影响当天装卸货物，导致每车的平均损失为每天200元。

试问，工厂应安排几名装卸工最节省开支？
答案：此问题为一个//M M n 系统确定n 的问题，因为：20,5,/4λνρλμ====，/4/n n ρρ*==。

设()f n 表示当装卸工有n 个时工厂在装卸方面的总支出，则所求为：
()50[]w Min n n E C =+
其中w C 为由于贷车等待装卸而导致的单位时间的经济损失。

1
2100100(1)!()n w C L n n ρρρ+⎡⎤==+⎢⎥--⎣
⎦ 经计算得
由此可以看出，当有9名装卸工时，工厂的支出最小。

25、某机场有两条跑道，每条跑道只能供1架飞机降落，平均降落时间为2min ，并假定飞机在空中等待的时间不得超过l0min ，试问该机场最多能接受多少架飞机降落？ 答案： //2M M
10min,0.5/min q W μ==架
1
1002
22!!(1)1
12(1)1
12(1)
2k s s k P k s σσρσσρλλλμμμ
--=⎡⎤=+
⎢⎥-⎣⎦=++
-=
++
-∑
20
23
3
2
223
222
222!(1)
122!(1)122(1)
2(4)
100.91
(4)100.919.10.919.110.92110.5q q
q q q q L P L W L W L L σρρλμλλλλμμμμλμμλλλλμμλλσ=-=⋅-++-=
-===→=-==⨯=⎛
⎫=+=+=≈ ⎪⎝⎭
架
架架
即该机场最多能接受11架飞机降落。

26、某单位电话交换台有一部200门内线的总机。

已知在上班的时间内，有20%内线分机平均每40 min 要一次外线电话，80%的分机平均隔2h 要一次外线电话，又知从外单位打来电话的呼唤率平均1次／min 。

设通话时间长度平均3 min,又以上时间均属负指数分布。

如果要求外线电话接通率为95%以上，问该交换台应设置多少条外线？ 答案：（1）来到电话交换台的呼唤有两类：一是各分机往外打电话，二是从外单位打进来的电话。

前一类1601
(
0.20.8)200140402
λ=⨯+⨯⨯=后一类260λ=，根据普阿松分布性质，来到交换台的总呼唤流仍为普阿松分布，其参数12200λλλ=+=。

（2）这是一个多服务站的带消失的系统，要使电话接通率达到95%以上，即损失要低于
5%，也即0()/!
0.05[()/!]s s S
n n S P n λμ
λ
μ
==
≤∑
问题中20,
10λ
μμ
==，可以用表进行计算，求S 。

根据计算看出为了外线接通率达到95%时，应不少于15条外线。

27、考虑一个顾客输入为普阿松流、服务时间为负指数分布的排队服务系统，求：
(a)有一个服务站时，当平均服务时间为6s ，到达时间分别为有5: 0 , 9. 0 , 9. 9名／min 时的,,s q s q L L W W 和；
(b)有两个并联服务站时，当平均服务时间为12s ，到达时间分别为5.0，9.0, 9. 9名/min 时的,,s q s q L L W W 和。

答案：(a)和(b)的计算结果分别见下表1和表2
28、某公司的一个仓库可同时贮存4件物品，对该物品的需求服从普阿松分布。

平均10件／月，当取走一件物品时，立即提出订货，但平均需1个月到货，服从负指数分布。

如有顾客购货而仓库内无货时，该顾客将去别处购买。

求该公司由于仓库无货而离去的顾客与总顾客的比例。

答案：本题中将存贮的物品当作服务员，订货所需时间看作服务员对一名顾客的服务时间，当4个物品均在订购途中时，即4名服务员均处于忙碌，到达顾客将离去，其概率为
444
0(/)/4!0.647[()/!]
n n p n λμλμ
=
=
=∑
29、有M/M/1/5/∞模型，平均服务率10μ=，就两种到达率：6;15λλ== (分钟）已计算出相应的概率n p ，如表所示．
试就这两种情况计算求：
(1)有效到达率和服务台的服务强度； (2)系统中平均顾客数； (3)系统的满足率；
(4)服务台应从哪些方面改进工作？理由是什么？
答案：解第一种情况：当6,10λμ==时，有50.04,/0.6N p p ρλμ====
（1）有效到达率为
5(1)6(10.04) 5.76e p λλ=-=-=
服务台的服务强度为
6
(1)(10.04)0.60.960.57610
N p λρμ=
-=⨯-=⨯= (2)系统中平均顾客数为/s q L L λμ=+
1
2
515144[1()(1)]()!()
0.60.42[10.6(51)(10.6)0.6]0!(10.6)1
0.42(10.640.40.6)0.696
0.4
c N c N c
q c c c L p N c c I c ρρρρρ-----=------=⨯⨯---⨯-⨯-=⨯⨯--⨯⨯=
/0.696 5.76/10 1.272s q e L L λμ=+=+=
（3）系统的满足率为50.04p =
（4）服务台应降低服务强度，原因是因为系统中没有顾客的概率比重较大。

第二种情况：当15λ=时，50.37,/ 1.5N p p ρλμ====。

（1）有效到达率为
(1)15(10.37)9.45e N p λλ=-=⨯-=
服务台的服务强度为
15
(1)(10.37)0.94510
N p λρμ=
-=⨯-= （2）系统中平均顾客数为
/s q e L L λμ=+ 1
02
2
51512
[1()(1)]
(1)!()
1.5
0.03[1 1.5(51)(1 1.5) 1.5] 1.636(1 1.5)
c N c N c
q c c L L p N c c c p ρρρρ+----=⋅------=⨯
---⨯-⨯≈-
1.63699.45/10
2.581e
s q L L λμ
=+
=+= （3）系统的满足率为50.37p =。

（4）服务台应提高服务率，原因是/1λμ>，会使排队队长增大而等待空间有限，致使有些顾客得不到服务而自动离开。

30、某货场计划安装起重设备专为来运货的汽车装货。

有三种起重设备可供选择，如表所
设来运货的汽车按普阿松分布到达，平均到达150辆/,每辆车载重量5 ,由于货物包装、品种上差别，每辆汽车实际装载时间服从负指数分布，已知该货场工作10 /h d ,又每辆汽车停留的经济损失为10元/h 。

试决定该货场应安装哪一种起重机械最合算？ 答案：15λ=车/h ，20/,40/,120/h h h μμμ===乙甲丙车车车，见表
31、某车间有4台自动车床可自动运转，仅在故障时需要工人调整一下，平均每小时有2台需要调整，调整一次平均时间为1h,调整工人工资每小时0.4元，机床停工损失每小时1.2元。

试求应由几个工人看管，才能使总费用最小？ 答案：///4/4M M s
2/,12,()0.4 1.2()0.4
()(1)0.33(1)()
1.2
h F s S L s L s L s L s L s λ
λμσμ
****====+-+≤=≤--台台/h,=
当1s =时
1
02340!14!4!4!4!()!122223!2!1!1!
1
0.00161848192384m k k m P m k σ-=⎡⎤==
⎢⎥-⎣⎦++++==++++∑ 01
(1)4(10.0016) 3.50082
L m P μλ=-
-=--= 当2s =时，2
121
r s λμ=
==⨯ 1
0012
2!!!()!!()!1
4!4!24!4!1223!2!2!2!1!11
0.007818482(2424)
s s m k
k k k s m s m P r k m k s m k σ-==+⎡⎤=+⎢⎥
--⎣⎦=⎛⎫++++ ⎪⨯⎝⎭
==++++∑∑ 12340.0624,0.1872,0.3744,0.3744P P P P ====
4
10.62420.187230.374440.3744 3.0576n n L np ===+⨯+⨯+⨯=∑
当3s =时，2
0.6673
r =
= 1
0013423!!!()!
!()!1
4!4!4!34!0.66712223!2!2!1!3!3!1
1
0.011618243221.376
s s m k
k k k s m s m P r k m k s m k σ-==+⎡⎤=+⎢⎥
--⎣⎦=
⨯⨯++++⨯⨯⨯==++++∑∑ 12344
10.0928,0.2784,0.3712,0.2480
0.092820.278430.371240.2480 2.7552
n n P P P P L np =======+⨯+⨯+⨯=∑
(1)(2) 3.5008 3.05760.4432
(2)(3) 3.0576 2.75520.3024
L s L s L s L s --==-==-==-=
所以，(2)(3)0.33(1)(2)L s L s L s L s =-=≤≤=-= 所以，2,s *=即应由2个工人看管，才能使总费用最小。

32、顾客按普阿松分布到达只有一名理发员的理发店。

平均10人/h 。

理发员对每名顾客的服务时间服从负指数分布，平均为5 min 。

理发店内包括理发椅共有三个座位，当顾客到达无座位时，就依次站着等待。

试求：(a)顾客到达时有座位的概率；(b)到达的顾客需站着等待的概率；(c)顾客从进入理发店到离去超过20 min 的概率；(d)理发店内应有多少座位，才能保证80%顾客在到达时就有座位。

答案：（a ）0.4213; (b)0.5787; (c)0.5134; (d)9个座位
33、来到某餐厅的顾客流服从普阿松分布，平均20/h 。

餐厅于上午11:00开始营业，试求：（a ）当上午11:07有18名顾客在餐厅时，于11:12恰好有20名顾客的概率（假定该时间区间内无顾客离去）（b ）前一名顾客于11:25到达，下一名顾客在11:28至11:30之间到达的概率。

答案：（a ）0.2623 (b)0.179 34、设到达一个加工中心的零件平均为60件/h ，该中心的加工能力为平均75件/h ,问处于稳定状态时该加工中心的平均输出率为60件/h 还是75件/h ?简要说明理由。

答案：稳定状态时平均输出率为60件/h
35、某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从普阿松分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6 min.求：
(1)修理店空闲时间概率； (2)店内有3个顾客的概率； (3)店内至少有一个顾客的概率； (4)在店内顾客平均数； 答
案
：
解
该
系
统
为
(//1//)
M M ∞∞模型，
4,60/610,/4/102/5λμρλμ======。

（1）0112/53/50.6p ρ=-=-==； （2）333(1)(12/5)(2/5)0.038p ρρ=-=-= （3）0116/102/50.4p -=-== （4）4
104
s L λμλ
=
=
--人=20.673≈人；
36、某加油站有一台油泵。

来加油的汽车按普阿松分布到达，平均每小时20辆，但当加。