第五章边界层理论单页

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边界层理论

1. 引言像交织着爱、恨及相互需要的情侣关系一样，科学和技术之间的历史关系也是那样的令人惊讶和热烈．明显地，我们深深着迷于自亚里士多德、伽利略、牛顿、莱布尼兹一直到爱因斯坦在研究运动时通过思考获得的惊人科学奇迹，同时从车轮、天文望远镜、航天器到计算机的成功技术也是那样地引人入胜．超越世俗的孰优孰劣的疑问，科学和技术难道不是智慧和理性的两张面孔吗？对于引导我们到达宏观世界知识最外缘的数学模型，物理学家能对此满意吗？显然不，人们更需要去认识客观事物、去检验理论、去实验、去模拟和去探索，同时人们也需要去寻求、创造和理解．如今，运动力学（the science of motion-the mechanics-）是建立在数学建模、数值模拟和实验基础上的，后三者相互支撑并确保其平衡．但是，现今实验的成本、建模的难度、数值计算强度的增加都破坏了这个漂亮的结构，使之凌乱不堪．由物理学家构建的数学模型和数学之间的紧密联系要求数学模型的解能够使我们在绝大多数情况下忽略模型的分析而偏重于它的数值解，但有时这是非常困难的．很显然，力学家虽然没有耐心等待数学家对数学模型进行慢慢地分析,但是他们却一定准备沿着一条充满了严谨的启发推理的数学之径前行．自莱布尼兹和十分精确的几何领域中的分析出现后，许多数学工具得到使用．在数学模型的发展和寻求其解中，数学力量对物理学的进步贡献卓越．间或，一些令人惊讶的成果在被物理学家普遍称为“近似理论”中取得．因此，在众多的近似和分析理论中，发散级数被长期使用．数学家对这些级数的情有独钟绝非毫无根据．从明确定义的函数中计算出的级数的各项一定蕴含了扩展函数的信息．一般的，发散级数仅仅是渐进级数．和收敛级数不同之处是渐进级数是部分和，而这种部分和是扩展函数在当某个确定参数很小时的较好的表示．当参数为零时，函数被级数的首项精确表示．当参数非零但很小时，任意部分和是函数的近似．小参数一般用ε来表示．在物理学中,想将一个研究中的数学模型推导成其解是原模型近似解的简化模型，小参数是个决定因素，除了渐进级数的概念外，这还是个渐进展开的概念，也许在更一般的意义来讲，这也是一个近似的概念，而近似正是我们思考的核心．像“理论”这个词的含义有多种理解一样，“近似”一词也有多种解释．即使我们在数理物理学方面自我要求苛刻，但一些歧义依然存在．对照于由欧几里得规范的严格的推理要求的说法，“近似”一词有两种含义．当一种渐进近似获得之后，对于数学家而言，依据数学公式让ε取值足够小，近似的精确度就会非常明确．另一方面对于物理学家来说，近似就是寻找一个参数特定的值但精确度事前却未知．本书的主要目的就是通过提出一种连续的完备的扩张方法使得这两种定义一致．而这种SCEM 方法考虑的就是遵循一些严格的数学程序不得不解决的具体问题．而SCEM 方法讲述的正是贯穿本书的主题，被称之为奇异摄动问题．在这些问题中，当0→ε时，解不会一致趋于让0=ε时的相应的简化方程的解．值得注意的是非一致性是发生在维数小于原始区域的区域中．这也是这类问题被称为边界层的原因．当一个参数很小时，近似解的非一致性是个数学问题．但现在幸运的是，我们作为物理学家能分辨出哪些是已知的物理量，哪些是未知的．这些属于物理问题性质的基础知识能使我们更好地掌握数学模型．这是个具有特征尺度的无量纲化过程的例子，它能使我们决定一些特定参数是否取得很小．事实上，正是通过被物理描述提供的多种选择去无量纲化才使得奇异摄动受到质疑．在机翼附近的流体只有远离机翼时才是真正意义上的无粘性．然而，对于稳定的不可压流体，作为控制方程的Navier-Stokes 方程，在无量纲的形式中，其物理参数只有雷诺数．现在，如果远离机翼，特征长度尺度就是雷诺数的倒数，和整体相比是非常小的．忽略了雷诺数倒数的项，我们得到的欧拉方程好像粘性消失了．并非流体的粘性系数取了另外的值，而是远离了机翼后速度的梯度足够小，粘性的影响可以被忽略了．这就意味着特征长度尺度的改变将使我们考虑气流壁附近的粘性影响是必不可少的．因此，基于后一种的长度尺度上的雷诺数将不再很大．靠近机翼，Navier-Stokes方程推导成边界层方程，即使这个模型比满足于边界条件的Navier-Stokes模型要简单．如何用在远离机翼时有效的欧拉方程的解和靠近机翼时有效的边界层方程的解去构造一种Navier-Stokes方程的一致有效的近似解呢？这是想解决这类特殊问题的关键之所在．即使研究高雷诺数流体外的其他问题，也是这种主要的思路．如何去寻找一些特征退化的问题和它们的有效区域，如何将它们联系起来，并最终构造一个初始问题的近似，这些都是统领全书的议题的关键点．诚然，应用的主要范围是流体动力学，但是2到6章的部分应用更是广泛且对物理学家来说非常有用，更一般意义上的应用是当我们面对大小参数模型时，我们能想起奇异摄动问题．第2章主要介绍这些问题．甚至最为简单的线性震动的例子都能说明方程的无量纲化过程是能让我们把握数学模型本质的首要关键．在这种框架下，物理学家这种去理解自己研究主题并建构模型的技能显然是解决问题的最强有力的工具．Friedrich's模型问题的简化使精确解很直接，并且对于奇异摄动问题来说，它也是刻画其解主要方法的教学案例．事实上，下一章主要讲两种方法，其中一种是众所周知的匹配渐进展开法，记作MMAE．另外一个方法鲜有人知，就是SCEM，我们也会明白它将是本书剩下的一个中心．第3章处理的是边界层的结构．一般地，物理的考察能给出寻找边界层位置的一些必要的线索．然而，一个简单的问题，一个精确解未知的二阶线性常微分方程，我们能将边界层的位置作为稳定问题来研究．这里给出了几个例子，是寻找一种解的近似和与之要求相应的边界层结构的．在所有的例子中，与初始值问题相比，我们最关注的是至少在局部存在定理无效的边值问题．在讲述正文时，附录能给予补充．在每章的结尾，复杂的问题都能让读者在相应的章节里找到结果．在本书的结尾给出了非常详尽的解．一些问题是真正的研究主题和从未发表的结论导出来的．本书是在法国出版的名为《渐进分析和库什极限》的英文版本．两个版本的大多数章节内容是一样的．其中第9章增补了针对于空气动力学流体的IBL方法的应用，第12章是全新的，用来处理通道流体．这些增补的内容进一步证明了SCEM的有效性．我们非常希望能通过这本书给读者提供一些必要的基本原理（包括数学的、实际的，等等）去理解和应用一些专用于边界层的标准渐进方法．在数理物理学中的许多问题中，这些方法是清楚理解解的结构的基础，而理解解的结构对于得到适当的数值解是非常关键的．此外，对于寻找含有边界层问题解的一致有效近似，我们希望SCEM能给予一个新的解释．在正则形式上，对于这种有效工具，SCEM与MMAE都提供了等效的补充观点．应用这种广义展开的补充，对现在还是不清楚的交互式边界层，SCEM能给我们带来合理的论证．如果推广的SCEM能应用于一些未知领域，那么我们将感到非常欣慰，因为我们工作的目的正是如此．例如，在流体动力学中，不稳定的或者三维的边界层，不稳定性和它们的控制都是将来研究的重要课题．2.奇异摄动问题的介绍物理学中使用的数学模型通常导致一个没有显示解的问题，当小参数出现或当计算区域是很大时，计算它们的数值解也变得相当困难．在这种情形下，往往通过令参数为零或者将研究限制在一个较小的区域，就能简化模型，这就是摄动问题．当小参数趋于零，记为0→ε，可能出现两种情况，一种是原问题的解当0→ε时并不在其定义域内一致地趋向退化问题（Reduced problem ）的解，另一种是在其定义域内一致地趋向退化问题的解．为了解决比较困难的数学问题，奇异摄动问题产生了．为了清楚地描述奇异摄动问题，下面我们来考虑一个积分微分算子（integro-differentialoperator ）εL 并求方程0)],([=Φεεεx L 的一个解),(εεx Φ，这里x 是区域D 中的变量，00εε≤<，0ε是一个固定的充分小的正常数．参数ε是一个无量纲，其蕴含着整个问题都是用无量纲变量来表示的．设0)]([00=Φx L 就是所谓的简化问题，先考虑简单问题，假定范数0Φ-Φε在研究区域D 中很小．用最大模范数，我们有),(0εδεK Max D<Φ-Φ 其中K 是一个不依赖于ε的正常数，)(εδ是一个正函数且.0)(lim 0=→εδε 如果这种性质满足，这个问题就称之为一个正则摄动问题（见问题2-4）．如果一些问题在整个区域D 中不满足上述性质，并且在比区域D 小的一个区域中一个奇点出现，那它就称为一个奇异摄动问题．在本章考虑的模型中，εΦ是已知的．这些教学问题都是用来描述主要的概念性难点以及解决这些难点的各种方法．2.1 正则和奇异问题2.1.1 线性震荡线性振子是正则摄动问题的典型例子．为了进一步地研究，我们来考虑下面的方程0222=++=y dxdy dx y d y L εε (2.1a) 且服从于初始条件.1,000====x x dx dyy (2.1b)函数),(εx y 要求0>x ，并且ε是一个充分小的正参数．所有量都是无量纲．当阻尼很小时，这个方程模拟了质点在阻尼弹性运动系统中的运动．这里“小”的含义在下面的分析中非常重要．下面一个小质量的物理问题是很有趣的．设),,,,(0I k m t y β*是质点离平衡位置的关于时间的位置函数．κ是弹性常数，β是阻尼系数．如果质点是从具有冲量0I 的平衡位置开始运动，那么(2.1a)能记为,022=*++**ky dtdy dt y d m β (2.2a) 且服从于初始条件.,0000I dt dy m y t t ===*=*(2.2b)设y 和x 都是无量纲变量Ly y *=，T t x =，其中L 和T 分别是未被定义的长度和时间尺度．物体运动源自于冲量，因此令0I m L T =是合理的．有了这些新的变量，(2.2a)就可以写成无量纲形式,0022220=++y dx dy mLk I dx y d k mL I β (2.3a) 且服从于初始条件.1,000====x x dx dyy (2.3b)这样两个无量纲组产生了，并且都包含任意的长度L ，L 可以被m k I L 0=和mk I L 0β=两种方法定义．物理上，两个系数不是同一数量级的，当研究其中一个的小性时，另一个为)1(ο数量级，即可以用渐进分析．下面举两个例子：1.如果是弹性阻尼，第一组k mL I 220比第二组mLk I 0β要大的多，并且 m kI L 0=和k m T =，因此小参数可以定义为.2m k βε=只要x 有界，下面我们就能看出相应的问题就是典型的正则摄动问题．这还是个小阻尼的例子．方程(2.3a) 化成.0222=++y dxdy dx y d ε根据Poincaré，当0→ε时，解的渐进行为可以按ε的幂展开为.)()()(),(2210 +++=x y x y x y x y εεε对于一个泰勒级数展开，式子中“ ”意味着省略项要比2ε小,并且近似性随着ε越来越小而越来越好．将展开式代入到初始方程并使得相同ε幂的系数相等，下面的方程来自于ε的零次幂系数和一次幂系数．)a 00202=+y dx y d ,1,00000====x x dx dy y)b dx dy y dx y d 012122-=+ .1,00101====x x dx dy y关于0y 的第一个问题是退化问题，能够得出无阻尼解.sin 0x y =关于1y 的第二问题能得到一个修正,sin 1x x y -=于是，一个近似解为.sin )1( +-=x x y ε可以看出，在有限时间区间τ<<x 0（其中τ不依赖于ε）中近似是一致有效的，修正很小．如果时间区间很大，近似无效．通过令1=ετ就能看出．由于时间区间太大，在展开式中出现奇点，所以这类问题被称之为“无穷时间”问题．这个专业术语来自于行星运动轨迹的研究．在小的时间尺度下由摄动方法获得的解是有效的，但是“无穷时间”项如果超过以一百年为阶的时间尺度，那它将没有什么实际意义．拿上述的近似解与精确解做比较，我们可以获得启发．由（2.6）给出的近似解正是精确解x e x y x221sin 1),(εεεε--=-泰勒级数展开的第一项．2.第二种情况．质量小，长度和时间尺度是mk I L 0β= 和.k T β=小参数ε是由2βεmk=定义的，(2.3a) 化成022=++y dx dy dx y d ε，.1,000====x x dx dyy （2.7）这个问题是个典型的奇异摄动问题，这奇异摄动问题恰好就是本书的主题．2.1.2 无穷时间问题我们考虑这个方程,0=+=y dxdy y L εε (2.8a) 服从初始条件 10==x y (2.8b)我们求它在0≥x 时的解．用如同（2.5）一样的展开，我们找到一个形如+++++=)()()()(),(2210x y x y x y x y x y n n εεεε的y 的近似值．将这个展开式代入（2.8a ）并使得相同ε幂的系数相等，得出下列相继的方程结果：1.00=dxdy 具有初始条件.100==x y 2.01y dxdy -=具有初始条件.101==x y 3.1--=n n y dx dy 具有初始条件.10==x n y 整理关于n y y y ,,10的这些解，得出.!)1(21),(22+-+++-=n x x x x y n n εεεε （2.9）从精确解x e x y εε-=),( (2.10)我们可以看出困难之所在了．当x 变得很大时，对于一些项的考察，上面的展开将不再有效．显著的特点就是当ε很小和x 有界时，无穷级数能收敛到精确解，赋予ε一些值，则级数的部分和就是近似解．这时的展开式是一个收敛级数，而其部分和就是渐进展开的最简化形式．当x 大于原点的邻域时，为了转移奇性我们进行坐标变换.11+=x t图2.1 （2.8a ）的近似解由（2.9）给出的；y 的精确解由（2.10）给出的．令),(),(εεx y t Y ≡，我们能将（2.8a ）写成02=-=Y dtdY t Y L εε （2.11a ）并服从于条件 .11==t Y （2.11b ）一个直接的展开.)()()(),(2210 +++=t Y t Y t Y t Y εεε导出近似解 .)21121()11(1),(22 ++-+-+=tt t t Y εεε （2.12）相继的近似在原点附近有越来越多的奇性（图2.2）．通过展开下面的精确解可以看出．)]11(exp[),(--=t t Y εε （2.13）这个特点在相似的问题中也存在，但我们使用一个特殊的方法可以处理．下面考虑方程0)(=++=y dxdy y x y L εε .11==x y （2.14）我们在区间10≤≤x 中求解．图 2.2 （2.11a ）的近似解由（2.12）给出的；Y 的精确解由（2.13）给出的．展开式 )()(),(10x y x y x y εε+=导出下列方程 1.000=+y dxdy x.110==x y 2.dxdy y y dx dy x 0011-=+ .011==x y 结果 +-+=)11(211),(2x x x x y εε （2.15）能清楚地看出在原点附近，第二个近似比第一个近似的奇性多（图2.3）．精确解12),(22+++-=εεεεx xx y （2.16）在原点是有界的，对于ε大于0的任意值，12),0(+=εεy ，这是一个典型的“无穷时间”问题．图 2.3 （2.14）的近似解由（2.15）给出的；y 的精确解由（2.16）给出的．2.1.3 奇异问题奇异问题的原型是由Friedrichs[36]介绍的，用来证明由Prandtl[78]提出的边界层和粘性流体的一个匹配的．我们考虑下面一个方程 022=-+=a dxdy dx y d y L εε ,10<<a （2.17a ）服从于边界条件,1,010====x x y y （2.17b ）我们在区间10≤≤x 中求解．这是一个比初始值问题复杂一些的边界值问题，像本章的其他研究问题一样，它的精确解是已知的．0=ε时，它的退化问题是0000=-=a dxdy y L ，其解由A ax y +=0给出．这里的A 是一个常数，由两个边界条件决定．一般地，同时满足两个边界条件是不可能的．这个特点是某些奇异问题所特有的．当0=ε时，退化问题的阶要比初始问题的阶要低．如果边界条件0=x 是强行赋予的，解则变成.0ax y =由于a y =)1(0，所以这种近似不是一致有效的．类似地，如果强行赋给一个边界条件1=x ，则解变成,10a ax y -+= （2.18）它使得.1)0(0a y -=边界条件在原点不满足一定表明这是一个非一致收敛区域。

第五章边界层理论

1Transport Phenomena, Xu Jian, 2009第五章边界层理论边界层概念边界层方程边界层分离2Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念在上述层流动量传递的若干实例的分析中，(1)形状简单；(2)引入了假设：管道无限长、忽略进口段影响。

实际问题要复杂得多。

边界层理论，粘滞力对动量传递影响的一般理论，是粘性流体力学的基础，也与热量传递过程和质量传递过程有着密切的关系。

3Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念Prandtl(1904)提出边界层概念，把统一的流场，划分成两个区域，边界层和外流区；其流体流动（沿流动方向和沿与流动方向垂直的方向）有不同的特点。

边界层：流体速度分布明显受到固体壁面影响的区域。

边界层的形成：¾壁面处流体的“不滑脱”no-slip ¾流体的“内摩擦”作用边界层厚度δ¾U ＝0Æ0.99 U 04Transport Phenomena, Xu Jian, 20095Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.1 边界层概念流过一物体壁面的流体分成两部分¾边界层，粘性流体，不能忽略粘滞力¾外流区，理想流体，可以忽略粘滞力6Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层理论的要点边界层厚度δ的变化¾前缘处，δ＝0¾x ↑, δ↑；沿壁面的法向将有更多的流体被阻滞¾δ<<x边界层内，δ<<x （距离很小）；0Æ0.99 U 0（速度变化大）¾速度梯度很大，剪切力很大¾流体速度减慢Æ惯性力<<层外，惯性力与粘性力数量级相当7Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层流动的转变x<x c (临界距离)层流边界层过渡区湍流边界层转变判据：¾临界值：5×105；¾特征长度：距前缘的距离；¾特征速度：来流速度0Re xU ρμ=8Transport Phenomena, Xu Jian, 2009圆管进口段效应靠近管壁部分：边界层，速度减慢；厚度不断增大，进口段长度之后，汇交在管中心处；充分发展段的流动状态取决于交汇处边界层的流动状态；进口段的中心部分：无粘性流动区，速度均匀，区域不断缩小，在边界层汇交时消失；沿程速度不断增大Î压降增大（附加压降）；9Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2 边界层方程普兰德边界层方程：量级比较边界层积分动量方程：动量衡算沿平壁层流边界层的计算：动量积分方程的应用10Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程2222222211x x x x xy y y y y x y u u u u P u u x y x x y u u u u P u u x y y x y μρρμρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠讨论不可压缩流体在平板壁面上的稳态二维层流2222221x x x x Du u u u PDt x x y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠2222221y y y yDu u u uPDtyx y z υρ⎛⎞∂∂∂∂=−+++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠不可压缩流体的Navier-Stocks 方程不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，方程简化为：y0x u u x y∂∂+=∂∂连续性方程：11Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.1 普兰德边界层方程普兰德首先发现可以通过比较数量级简化方程：¾Re 较大时，边界层的厚度δ<<x¾边界层内的惯性力和粘性力数量级相当标准数量级：¾x 为距离的标准数量级，记为x=O(1)¾u 0为速度的标准数量级，记为u 0=O(1)¾边界层厚度δ的数量级记为δ= O(δ)，远远小于O(1) 其他物理量的数量级：¾u x 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)¾y 与u 0是一个数量级，记为u x =O(1)12Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级(1)(1)(1)x x u u O O x x O ∂Δ≈==∂Δ()222(1)(1)(1)(1)x x u u O O x O O x ∂Δ≈==∂Δyx u u x y ∂∂+=∂∂(1)x u O x∂=∂+(1)y u O y∂=∂()y u O δ=(1)1()()x x u u O O y y O δδ∂Δ≈==∂Δ()22222(1)1()()x x u u O O y O y δδ∂Δ≈==∂Δ22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠数量级(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δ13Transport Phenomena, Xu Jian, 2009其他物理量的数量级22221x x x x xy u u u u P u u x y x x y μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)(1)×1()()δδ×(1)21()δInertial Force=Viscous Force:2()O μδρ=1(1)PO xρ∂≤∂22221y yy yx y u u u u P u u x y y xy μρρ⎛⎞∂∂∂∂∂+=−++⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂∂⎝⎠(1)()δ×()(1)δ×()δ1()δ2()δ()δ≤()δ(1)14Transport Phenomena, Xu Jian, 2009普兰德边界层方程2210x x xxy yx u u u dP u u x ydx y u u x yμρρ∂∂∂+=−+∂∂∂∂∂+=∂∂000x y x y u u y u u ====∞=时，时，普兰德边界层方程B.C.通过数量级比较得到的简化方程：应用条件：不可压缩流体在边界层中作稳态二维流动，而且Re 比较大15Transport Phenomena, Xu Jian, 20095.2.2 边界层积分动量方程卡门避开使用N-S 方程，直接对边界层进行衡算x 方向质量衡算：¾左侧进入：¾右侧流出：¾上部外流区进入yxz dxdy 1个单位距离δlyu 0, ρμlx u dy ρ∫()00ll x xu dy u dy dxxρρ∂+∂∫∫()lx u dy dxxρ∂∂∫()()2220000000u (-u )ll l l x x x xlx x u dy u dy dx u dy u dy dxx xdx u u dyx ρρρρρ∂∂+−−∂∂∂=∂∫∫∫∫∫x 向净动量变化率：不可压缩流体沿平板壁面的稳态二维流动16Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程作用于控制体的x 向外力¾壁面剪切力：¾作用在左右侧面的压力差：1s dx τ−⋅⋅1Pdx l x∂−⋅⋅∂00(u )l x x s Pu u dy l x xρτ∂∂−=+∂∂∫0[,]x y l u u δ∈=00(u )x x sP u u dy x xδρδτ∂∂−=+∂∂∫只考虑x 方向的流动00(u )x x s d dPu u dy dx dxδρδτ−=+∫边界层内外压力近似相等00(u )x x sd u u dy dx δρτ−=∫卡门边界层积分动量方程17Transport Phenomena, Xu Jian, 2009边界层积分动量方程可以求出边界层厚度、流体阻力、曳力系数等；方程有u x ，τw ，δ三个变量，需要补充u x =f 1(y)，τw =f 2(δ)的关系；需要预先假定一个速度分布方程才能求解，故只能算是一种近似的方法。

第五章边界层理论

A2 0.332
x
v0
是平板流动边界层微分方程解的最终结论。
5.0
5 .0
5.3. 边界层内积分方程
1.边界层积分方程的建立
M x ux dy
0 2 Wx uxux dy ux dy 0 0 l l
l
M x x
d l x u x dy u dy 0 0 x dx
速度的0.99处到固体壁面间的距离定义为边界层的厚度。
层流底层
5.1. 边界层理论的基本概念
2 边界层的形成与特点：
① 形成：
流体流过平板，与平板紧临的流体受平板阻力而与平
板相对静止，边界层其余内各层流体自上而下依次受到下层流体的粘性力作用而速度逐渐减小，这样就产生了速度梯度较大的边界层。
5.1. 边界层理论的基本概念
d u0 u x u x dy 0 0 dx 3 ux 3 y 1 y u 2 2 0 u x y 0 0 a0 u x y u 0 2 3 u u a by cy dy y u0 b 3 u0 x y x y 0 2 y u x 2 b 2cy 3dy 2 0 u0 y y ux d y 0 3 2 y 0 2 y 2u x 2c 6dy y 0 2c 0 2 c0 y y 0
长度L,宽度B的平板总阻力
积分方程的解
4.64 x
v0 4.64 1 Re x
3
S
B
0

L
0

y 0
dxdz
3 0.646 v0 LB

17589第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象

第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象5.1 边界层理论的要点5.1.1 问题的提出前述，Re∝惯性力/粘性力当Re<1时，惯性力<<粘性力，可用“爬流”模型，略去惯性力项，N-S方程==>爬流方程（stokes近似），解决一些实际问题（沉降、润滑、渗流等），获得比较满意的结果。

但工程流动问题，绝大多数的Re很大。

这时，是否可以完全略去粘性力，使Navier-Stokes方程==>Euler方程（理想流体）。

但是，这样的结果与实际情况相差很大。

突出的一例即“达朗倍尔佯谬（paradox）——在流体中作等速运动的物体不受阻力”。

究竟应当怎样才能正确地处理大Re数的流动呢？这个矛盾一直到1904年，德国流体学家普兰德（Prandtl）提出了著名的边界层理论（大Re数的流动中，大部分区域的惯性力>>粘性力，但在紧靠固——流边界的极薄流层中，惯性力≈粘性力），才令人满意地解决了大Re数的流动的阻力问题。

后人把Prandtl 提出的流动边界层概念，推广到流动系统的传热边界层和传质边界层，从而确定传热、传质的速率以及了解有关的影响因素。

还有人研究了边界层中的化学反应，解决了一些实际问题。

因此，边界层理论被认为是近代流体力学的奠基石。

5.1.2 流动边界层（速度边界层）以平板流动为例，x方向一维稳态流动，在垂直壁面的y方向上，流动可划分为性质不同的两个区域：（1）y<δ（边界层）：受壁面影响，法向速度变化急剧，du/dy很大，粘性力大（与惯性同阶），不能忽略。

（2）y>δ(层外主流层)：壁面影响很弱，法向速度基本不变，du/dy≈0。

所以可忽略粘性力（即忽略法向动量传递）。

按理想流体处理，Euler方程适用。

这两个区域在边界层的外缘衔接起来，由于层内的流动趋近于外流是渐进的，不是突变的，因此，通常约定：在流动边界层的外缘处（即y＝δ处），u x＝0.99u∞，δ——流动边界层厚度，δ＝δ(x)。

第5章-边界层理论基础PPT课件

第五章边界层理论
虽然对Re很小的流动，惯性力可以忽略，但对于Re很大的流动，粘性力却不能忽略，否则会带来很大的误差，这是何故？
如水和空气，其粘度都很小，在处理其高
速流动时，如果忽略粘性力的影响，就会
导致与实际不符的错误结果。这个矛盾在
普兰德(Plandt)提出边界层学说之后，才获
得令人满意的解答。 -
-
20
卡门边界层方程即适用于层流，也适用于湍流。
例：流体沿平板壁面流动时层流边界层的计算，主要目标是边界层厚度和曳力子数的计算
大量观察和测量得知ux与y的关系与抛物线近似，因此可假设：
uxabycy2dy3 a,b,c,d 待定
边界条件：
-
21
y 0处ux 0 a 0
dux dy
-
5
随着边界层的厚度逐渐增加，边界层内
部也会发生变化，在边界层厚度较小处，
其内部流动为层流，该区域称为层流边
界层，当其厚度达到其临界厚度δc或临
界距离xc时，其内的流动逐渐经过一过
渡区转变为湍流，此后的边界层称为湍
流边界层，即使在这区域靠近壁面极薄
的一层流体内，仍然维持层流，称为层
流内层。
-
6
临界距离xc的长度与壁面前缘的形状、粗糙度、流体性质和流速大小有关。壁面愈粗糙xc愈短。
-
10
但实际中流速ux接近u0到一定程度时，便可赋予其有应用价值的边界层厚度定义：
(1)
取ux达到u0的99％时的y值，即
ux u0
0 .9 9
处，y的值即为边界层厚度。
(2)可假设一个表示边界层内速度分布的
公式，如抛物线方程，计算当ux达到
u0时的y值，即为边界层厚度。

第五章不可压缩流体二维边界层概述

因此，在边界层内的流体质点除了受到摩擦阻力的作用外，还受到流动方向上压强差的作用。在圆柱体前半部边界层内的流体质点受到摩擦阻滞逐渐减速，不断消耗动能。但由于压强沿流动方向逐渐降低，使流体质点得到部分增速，也就是说流体的部分压强能转变为动能，从而抵消一部分因摩擦阻滞作用而消耗的动能，以维持流体在边界层内继续向前流动。
外部流动
尾迹外部流动边界层
外部流动
尾迹
外部流动边界层（a）流线形物体；（b）非流线形物体图5-4 曲面边界层分离现象示意图
现以不可压缩流体绕流圆柱体为例，着重从边界层内流动的物理过程说明曲面边界层的分离现象。当黏性流体绕圆柱体流动时，在圆柱体前驻点A处，流速为零，该处尚未形成边界层，即边界层厚度为零。随着流体沿圆柱体表面上下两侧绕流，边界层厚度逐渐增大。层外的流体可近似地作为理想流体，理想流体绕流圆柱体时，在圆柱体前半部速度逐渐增加，压强逐渐减小，是加速流。当流到圆柱体最高点B时速度最大，压强最小。到圆柱体的后半部速度逐渐减小，压强逐渐增加，形成减速流。由于边界层内各截面上的压强近似地等于同一截面上边界层外边界上的流体压强，所以，在圆柱体前半部边界层内的流动是降压加速，而在圆柱体后半部边界层内的流动是升压减速。
而从 x dx 处控制面CD流出的质量流量为 K x 2 2 v x dy dx Kx dx v x dy x x 0 0
0
x 处控制面
由不可压缩流体的连续性方程可知，通过CD与AB控制面质量流量的差值应等于由BC控制面流入的质量流量，于是流入BC 控制面的质量流量与动量分别为
边界层外边界
II尾部流区域
I边界层边界层外边界
图5-1 翼型上的边界层

边界层理论Ch05-Boundary-Layer-Theory

BUCT BSc 2011 23 BUCT BSc 2011 24
4
Boundary layer equations
Applying our analysis to the momentum equations gives (x direction) :
μ ⎛ ∂ 2u x ∂ 2u x ⎞ 1 ∂p ∂u ∂u + = ux x + u y x ⎜ ⎟− ρ ⎝ ∂x 2 ∂y 2 ⎠ ρ ∂x ∂x ∂y
y ≈ dy ≈ u y ≈ du y ≈ O(δ h )
BUCT
BSc 2011
19
BUCT
BSc 2011
20
Boundary layer equations
2. The velocity in the x direction (along the plate) is much greater than the velocity in the y direction (perpendicular to the plate)
N-S Equations at x direction:
μ⎜
⎛ ∂ u x ∂ u x ∂ u x ⎞ ∂pd + 2 + 2 ⎟− 2 ∂y ∂z ⎠ ∂x ⎝ ∂x
2 2 2
Boundary layer equations x direction
Stationary flow:
∂u x =0 ∂t
u x ≈ du x ≈ x ≈ dx ≈ p ≈ O (1)
BUCT
BSc 2011
21
BUCT
BSc 2011
22
Boundary layer equations

边界层理论

不可压缩连续性方程
x 0 x y y
边界层外理想流动边界层内粘性流动
《高等流体力学》
13/78
§3 层流边界层微分方程
量阶分析方法
边界层长度尺度与浸没物体几何尺度同量阶边界层动量方程量阶分析雷诺数边界层厚度
边界层长度方向分速度和势流区速度同量阶
《高等流体力学》
14/78
0.8
0.9
0.1496745
0.1891148
0.371663
0.416718
0.451190
0.443628
23/78
《高等流体力学》
§4 半无限大平板层流边界层布拉修斯解
用数值的方法直接求解布拉修斯方程的一些结果

1.0
f
0.2329900
f'
0.460632
f ''
0.434379
1.1
1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7
0.0023480
0.0093914 0.0211275 0.0375492 0.0586472 0.0843856 0.1147447
0.049659
0.093905 0.140806 0.187605 0.234227 0.280575 0.326532
0.469563
0.469306 0.468609 0.467254 0.465030 0.461734 0.457177
§3 层流边界层微分方程
引入无量纲变量
* x
量阶分析方法
x
U
* y
y
V
x*
x L
y*
y

无量纲连续性方程

传热学-第五章3-4

三、Pr数
Pr

a
源自cc Pr数反映了流体的物性参数对换热的影响，故称为物性相似准则数。
ν——反映了流体分子的动量扩散的能力参数，ν越大，粘性的影响传递越远，δ越厚。
a——反映了流体分子的热量扩散的能力参数，a越大，热扩散越快，δt越厚。 Pr数反映了动量和热量在流动中扩散的相对程度，两者之比是热边界层与速度边界层增厚的相对快慢。
表明：此情况下动量传递与热量传递规律相似特别地：对于 = a 的流体（Pr=1），速度场与无量纲温度场将完全相似，这是Pr的另一层物理意义：表示流动边界层和温度边界层的厚度相同
§5-4 边界层积分方程组及比拟理论
在上一节中是通过量级比较，简化方程组，导出求解对流换热系数hx的关系式，称之为分析解。本节通过求解边界层的积分方程求得hx的关系式称之为近似解，简单容易。
数量级分析：比较方程中各量或各项的量级的相对大小；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化例：二维、稳态、强制对流、层流、忽略重力此时，将主流方向的数量级看为1，y方向的数量级看成小量用Δ表示，基本量的数量级如下：
主流速度： u 数量级为1 Y方向速度：v 数量级为Δ 温度：导热系数：λ数量级为Δ2 粘性系数：η数量级为Δ2
体热量传递的渗透深度。
流动边界层与热边界层的状况决定了热量传递过程和边界层内的温度分布
层流：温度呈抛物线分布湍流：温度呈幂函数分布湍流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层流
T T y y w,t w, L
故：湍流换热比层流换热强！
速度梯度大，粘滞应力大
边界层外： u 在 y 方向不变化， u/y=0 边界层区：流体的粘性作用起主导作用，流体的运动可用粘性流体运动微分方程组描述（N-S方程）粘滞应力为零 — 主流区

第5章对流传热理论与计算-3-边界层理论ppt课件

29
2 热边界层的特点
❖ （1）热边界层区和主流区 ❖ ——热边界层区：温度变化非常剧烈 ❖ ——主流区：等温流动区域 ❖ （2）热边界层厚度也是一个小量
Tw 最新版整理ppt
30
❖ （3）热边界层厚度沿流动方向也不断增加 ❖ （4）热边界层内的传热机理取决于层内的流动状态
Tw
最新版整理ppt
31
10
❖ 速度边界层（Velocity boundary layer）：将壁面附近速度存在强烈变化的流体薄层
❖ 速度边界层的外缘—主流速度的99％处 ❖ 速度边界层厚度—壁面至边界层外缘间的距离 ❖ Boundary Layer Thickness，记作δ
最新版整理ppt
11
2 速度边界层的特征
❖ （1）边界层厚度和壁面尺寸相比是一个小量
最新版整理ppt
12
❖ （2）边界层区和主流区 ❖ 边界层内速度变化剧烈，主流区速度几乎不变
边界层区内：
u0.9 y
9 u 0
❖ 速度梯度极大，粘性力大
❖ 边界层内粘性力和惯性力处于同一数量级
❖ 考虑流体粘性，实际流体，适用N-S方程
最新版整理ppt
13
❖ （2）边界层区和主流区 ❖ 边界层内速度变化剧烈，主流区速度几乎不变
主流区：
u 0 y
❖ 可忽略粘性切应力
❖ 无粘性的理想流体
❖ 采用伯努利方程描述
u2 p
gz C
2 最新版整理ppt
14
❖ （3）边界层厚度沿流动方向是不断增加的
最新版整理ppt
15
❖ （4）边界层内的流态 ❖ ——主流区无粘性，不必考虑流态 ❖ ——边界层区，粘性流体，有层流、湍流之分 ❖ 流态判断准则——雷诺数

第五章边界层

对于实际流体的流动，无论流动形态是层流还是紊流，真正能求解的问题很少。

这主要是由于流体流动的控制方程本身是非线性的偏微分方程，处理非线性偏微分方程的问题是当今科学界的一大难题，至今还没有找到一套完整的求解方案。

但在实际工程中的大多数问题，是流体在固体容器或管道限定的区域内的流动，这种流动除靠近固体表面的一薄层流体速度变化较大之外，其余的大部分区域内速度的梯度很小。

对于具有这样特点的流动，控制方程可以简化。

首先，由于远离固体壁面的大部分流动区域流体的速度梯度很小，可略去速度的变化，这部分流体之间将不考虑粘性力的存在，视为理想流体，用欧拉方程或伯努利方程就可求解。

而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程简化后再去求解。

这样对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。

第一节边界层理论的基本概念一、边界层的定义流体流经固体表面时，靠近表面总会形成一个薄层，在此薄层中紧贴表面的流体流速为零，但在垂直固体表面的方程（法向）上速度增加得很快，即具有很大的速度梯度，甚至对粘度很小的流体，也不能忽略它表现出来的粘性力。

（因此，流体在绕流过固体壁面流动时，紧靠固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层称为边界层。

）而在此边界层外，流体的速度梯度很小，甚至对粘度很大的流体，其粘性力的影响也可忽略，流体的流速与绕流固体表面前的流速v0一样。

可以把这部分在边界层外流动的流体运动视为理想流体运动，不考虑粘性力的影响。

边界层内、外区域间没有明显的分界面，而把边界层边缘上的流体流速v x视为v x=0.99v0，因此从固体表面至v x=0.99v0处的垂直距离视为边界层的厚度δ。

二、边界层的形成与特点边界层内的流动可以是层流，也可以是带有层流底层的紊流，还可以是层流、紊流混合的过渡流。

评判边界层层流或紊流的参数为雷诺数Re=vxρ/η，式中v为边界层外边界上流体流速，x为距边界层起点的距离（即流体进入平板的长度）。

第五章边界层理论解读

式(5-1)中的第一式为连续性方程；第二式为x方向的动量传输方程，可简化为
(5-2) 式(5-1)中的第三式为 y 方向的动量传输方程，因为边界层厚度δ 很小，除 1/ρ(∂p/∂y)项外，其它各项与 x 方向上的动量传输方程相比可略而不计，可简化为 (5-3)
因为∂p/∂y=0．故x方向动量中 ∂p/∂x 可以写为全微分dp/dx。应用上述方程组去求解边界层内流动问题时，特别是式中 ∂p/∂x 成为全微分后，其值可由主流区的运动方程求得。对主流区同一 y 值，不同 x 值的伯努利方程可写为 (5-4)
4）AD 面上的动量由于 AD 是固体表面，无流体通过 AD 流入或流出，即质量通量为零，但由粘性力决定的粘性动量通量是存在的，其量值为 τ0 ，所以在控制体内由 AD 面单位时间传给流体的粘性动量为 τ0∆x。沿 x 方向一般来说可能还会存在着压力梯度，所以作用在 AB 面与 CD 面上的压力差而施加给控制体的冲量为 (5-13) 由讨论边界层微分方程时我们知道 ∂p/∂y=0，所以：
而靠近固体壁面的一个薄层——称为流动边界层，在它内部由于速度梯度较大，不能略去粘性力的作用，但可以利用边界层很薄的特点，在边界层内把控制方程简化后再去求解。
这种对整个区域求解的问题就转化为求解主流区内理想流体的流动问题和靠近壁面的边界层内的流动问题。
第一节
边界层理论的基本概念
一、边界层的定义
（3）湍流区：随着进流尺寸的进一步增加，使得Rex ＞ 3×106，这时边界层内流动形态已进入湍流状态，边界层的厚度随进流长度的增加而迅速增加。
应当注意，无论是对过渡区还是湍流区，边界层最靠近壁面的一层始终做层流流动，这一层称为层流底层，这主要是因为在最靠近壁面处壁面的作用使该层流体所受的粘性力永远大于惯性力所致。这里要特别说明的是，边界层与层流底层是两个不同的概念。层流底层是根据有无脉动现象来划分，而边界层则是根据有无速度梯度来划分的。因此，边界层内的流动既可以为层流，也可以为湍流。

边界层理论

4.64 x
v0
4.64
x Rex
小结
一、本课的基本要求
1．掌握边界层概念及分类。 2．了解边界层微分方程的建立及求解方法。 3．了解边界层积分方程的建立及求解方法。
二、本课的重点、难点
重点：边界层概念。难点：边界层方程的建立及求解。
l 0
vx
dy
x
AD面上的动量
τwΔx
M l
qml v0
v0
d dx
l 0
vxdyx
代入动量平衡关系
d
dx
l 0
(
v0
vx
)vx
dy
w
l l
0 0
在δ~l区域vx=v0
d
dx
(v0
0
vx )vxdy
w
称冯·卡门边界层动量积分方程。层流、紊流边界层均适用。
因由控制体导出，积分解法又称近似积分解法。
5.1 边界层概念
3．管内流动时的边界层
汇合前
层流边界层层流紊流边界层紊流
L 100 d L 25 ~ 40 d
汇合后：充分发展了的管流，速度分布不变。
紊流：紊流核心区+层流底层
5.2 边界层微分方程
1．微分方程的建立
建立方法元体分析法
连续性方程简化
vx vy 0 x y
紊流边界层：流体惯性力起主导作用
5.1 边界层概念
边界层内流动的判别标准
Rex
u0 x
u0 x
Rexc 2105
Rex<2t;Rex<3106 Rex>3106
过渡区紊流边界层
边界层以外的区域为主流区，速度梯度为零，无黏性力作用。因

流体力学6-4

利用卡门涡街的特性, 利用卡门涡街的特性,可制成涡旋流量计
卡门涡街不利的一面卡门涡街涡旋的交替脱落可能会引起设备的共振,从而造成设备的损坏. 备的共振,从而造成设备的损坏.
如电厂锅炉中的空气预热器, 如电厂锅炉中的空气预热器,空气横掠管束, 管束,设计时需要避免涡旋脱落频率与设备固有频率相近,以免引发共振, 设备固有频率相近,以免引发共振,造成设备的损坏. 成设备的损坏.
δ = 0.37x Re1/ 5 x
摩擦阻力
FDx = 0.036blρV 2 Re l1 / 5
摩擦系数
Cf = FDx 1 ρV 2 bl 2 = 0.074 Re l1 / 5
§3边界层的分离与卡门涡街
边界层的分离:当流体绕流非流线型物体时,物面上的边界层在某个位置开始脱离物体表面,并在物体表面附近出现回流, 这种现象称为边界层分离现象.
流体力学 (6)
第五章边界层概述
§1流体流动的两种状态(书p76) 雷诺实验(1883年) 层流和湍流雷诺数
Re = ud
γ
§2边界层的概念流体绕流物体时,粘性对流动的影响主要限于紧贴固体壁面的一薄层中, 这一薄层称为边界层. 这一理论由德国科学家普朗特于 1904年提出
以流体绕流圆柱体为例: 流动可分为三个区:边界层,尾流区和外部势流区
马格纳斯效应
§4流体绕流的阻力和阻力系数流体绕流的阻力和阻力系数
流体的绕流阻力摩擦阻力压差阻力
1 2 FD = C D ρV A 2
C D = f (Re)
Re=15,000 流体绕流球体的边界层分离点向后移 Re=30,000 球体前端绕有一细带
流线型物体的阻力系数远小于其他物体(分离点后移) 物体(分离点后移)

边界层理论-

到20世纪初，航空工业的发展，需要解决粘性流体中较大速度的物体运动问题，促使粘性流体运动的理论大大地向前推进。1904年普朗特（1875-1953）在德国海德尔堡第三届国际数学家学会上宣读题为“关于摩擦极小的流体运动”的论文，建立了边界层理论。他根据对水槽中水流实验的观察分析，提出边界层的概念：粘性极小的流体绕物体流动时，在紧靠物体附近存在着一层极薄的边界层，其中粘性起着很大的影响。而在边界层外，流体中的粘性可以忽略不计，可认为是理想流体。由于边界层极薄，经简化N-S方程得出普朗特边界层方程，对过去不可理解和难以解答的现象，如流体阻力问题，给予明确的解答。普朗特建立的边界层理论，改变了长期以来理论流体力学和水力学相互脱节的状况，将理论与实践紧密地联系在一起，形成了理论与实验并重的现代流体力学。
边界层理论
科学理论
01 理论提出
03 分析方法 05 分离和转捩
目录
02 基本特征 04 边界层方程组 06 历史和发展
流体在大雷诺数下作绕流流动时，在离固体壁面较远处，粘性力比惯性力小得多，可以忽略；但在固体壁面附近的薄层中，粘性力的影响则不能忽略，沿壁面法线方向存在相当大的速度梯度，这一薄层叫做边界层。流体的雷诺数越大，边界层越薄。从边界层内的流动过渡到外部流动是渐变的，所以边界层的厚度δ通常定义为从物面到约等于99%的外部流动速度处的垂直距离，它随着离物体前缘的距离增加而增大。根据雷诺数的大小，边界层内的流动有层流与湍流两种形态。一般上游为层流边界层，下游从某处以后转变为湍流，且边界层急剧增厚。层流和湍流之间有一过渡区。当所绕流的物体被加热（或冷却）或高速气流掠过物体时，在邻近物面的薄层区域有很大的温度梯度，这一薄层称为热边界层。
层流边界层和紊流边界层都能发生分离，但由于紊流内脉动运动引起的动量交换，使边界层内的速度剖面均匀化，增大壁面附近流体的动能，所以紊流边界层比层流边界层承受较大的逆压梯度，而不易分离。

边界层理论

第八章边界层理论§8-1 边界层的基本概念实际流体和理想流体的本质区别就是前者具有粘性。

对层流而言，单位面积摩擦力的大小yu d d μτ=，可以看出，对于确定的流体的等温流场，摩擦力的大小与速度梯度有关，其比例函数即动力粘度。

速度梯度yu d d 大，粘性力也大，此时的流场称为粘性流场。

若速度梯度yu d d 很小，则粘性力可以忽略，称为非粘性流场。

对于非粘性流场，则可按理想流体来处理。

则N-S 方程可由欧拉方程代替，从而使问题大为简化。

Vlv llV v A yu V l t V lt u m ρρμρρ======2223d d d d 粘性力惯性力当空气、蒸汽，水等小粘度的流体与其它物体作高速相对运动时，一般雷诺数很大。

由vVl ==粘性力惯性力Re ，则在这些流动中，惯性力>>粘性力，所以可略去粘性力。

但在紧靠物体壁面存在一流体薄层，粘性力却与惯性力为同一数量级。

所以，在这一薄层中，两者均不能略去。

这一薄层就叫边界层，或叫速度边界层，由普朗特在1904年发现。

a ．流体流过固体壁面，紧贴壁面处速度从零迅速增至主流速度，这一流体薄层，就叫边界层或速度边界层。

b ．整个流场分为两部分层外，=∂∂yu ，粘性忽略，无旋流动。

层内，粘性流，主要速度降在此，有旋流动。

c ．由边界层外边界上∞=V u %99，来定义δ，δ为边界层厚度。

d ．按流动状态，边界层又分为层流边界层和紊流边界层。

由于在边界层内，流体在物体表面法线方向(即yu ∂∂)速度梯度很大，所以，边界层内的流体具有相当大的旋涡强度；而在层外，由于速度梯度很小。

所以，即使对于粘度很大的流体，粘性力也很小，故可忽略不计，所以可认为，图8-2空气沿平板边界层速度分布外部区域边界层边界层外的流动是无旋的势流。

边界层的基本特征有： (1)1<<Lδ⇒薄层性质，其中L 为物体的长度；沿流方向↑↑→δx 。

第五章边界层理论及近似解析

v u y
fx
1
p x
2u x2
2u y 2
右括号中第一项比第二项低2 个量级可略。
ue2 L
ue2 L
L ue
ue
ue2 L
ue2 L
ue L2
ue 2
边界层内粘性力与惯性力同量
级不可忽略，故ν的量级为:
v t
u
v x
v
v y
fy
1
p y
2v x2
2v y 2
ue 2
ue2 , L
1901年Prandtl担任汉诺威（Hanover)科技大学数学工程系的力学教授，在这里他提出边界层理论（Boundary layer theory）并开始研究通过喷管的超音速流动问题。1904年 Prandtl在德国海德堡（idelberg）第三次国际数学年会上发表了著名的关于边界层概念的论文，这一理论为流体力学中物面摩擦阻力、热传导、流动分离的计算奠定了基础，是现代流体力学的里程碑论文，从此Prandtl成为流体力学界的知名学者。
Ludwig Prandtl介绍
普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。”
普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、Von Karman是其学生之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。
eue22 ueu uudy
0
2
0
u eue

边界层理论

y 0
h
λ：流体导热系数
t
t y
y 0
∂t/∂y：贴壁流体层的温度梯度注意与导热问题第三类边界条件的区别
SJTU-OYH
对流传热问题的数学描述假设：流体为连续介质，流动为二维；流体为不可压缩牛顿流体；常物性、无内热源；忽略粘性耗散热；
忽略辐射换热。四个未知量：u, v, p, t。
x<xc, Re<Rec 层流 x>xc, Re>Rec 湍流
层流底层（粘性底层）：紧靠壁面处，粘性力占主导地位，使粘附于壁的一极薄层仍然会保持层流特征。层流底层内具有最大的速度梯度。 SJTU-OYH
4-2边界层型对流传热问题的数学描述波尔豪森热边界层的概念：实验发现：流体对流换热时温度梯度主要存在于近壁面的薄层，主流区温度梯度几乎为零。
4-2边界层型对流传热问题的数学描述波尔豪森热边界层的概念：与边界层内速度分布一样，热边界层内的温度分布也与流动形态密切相关。层流：温度呈抛物线分布湍流：温度呈幂函数分布
y y w ,t w ,l
hw,t hw,l
u ' v' ＋＝0 x' y '
u ' u ' p ' 1 2u ' 2u ' u ' ＋v' ＝－ Eu 2 2 x' y ' x' Re x' y '
欧拉数雷诺数普朗特数贝克莱数努谢尔数
2 Eu p /( u )
v v v p 2v 2v （ u v ) Fy ( 2 2 ) x y y x y

第五章 边界层理论单页

边界层理论

第五章 边界层理论

第五章 边界层理论

17589第五章边界层理论及层流边界层中的传递现象

第5章-边界层理论基础PPT课件

第五章 不可压缩流体二维边界层概述

边界层理论Ch05-Boundary-Layer-Theory

边界层理论

传热学-第五章3-4

第5章 对流传热理论与计算-3-边界层理论ppt课件

第五章 边界层

第五章边界层理论解读

边界层理论

流体力学6-4

边界层理论-

边界层理论

第五章 边界层理论及近似解析

边界层理论

第五章边界层理论单页

第五章边界层理论

第五章边界层理论

第五章不可压缩流体二维边界层概述

第5章对流传热理论与计算-3-边界层理论ppt课件

第五章边界层

第五章边界层理论及近似解析