安徽省蚌埠市2024届高三第四次教学质量检查考试数学试题

安徽省蚌埠市2024届高三第四次教学质量检查考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若()()123a b m ==r r
，，，，且a b ⊥r r ，则实数m =（ ） A ．6
B ．6-
C ．3
D ．3-
2．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>，直线2y x =-是双曲线C 的一条渐近线，则该双
曲线的离心率为（ ）
A B C
D 3．为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在
5家商场的售价x （元）及其一天的销售量y （件）进行调查，得到五对数据()(),12345i i x y i =，
，，，，经过分析、计算，得108x y ==，，y 关于x 的经验回归方程为$$3y x a =-+，则相应于点()910，的残差为（ ） A ．1-
B ．1
C ．3-
D ．3
4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +＝（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．9
5．32(1)(2)x y -+的展开式中，满足4m n +=的m n x y 项的系数之和为（ ） A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
6．“函数()tan y x ϕ=-的图象关于π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
对称”是“ππ4k ϕ=-+，Z k ∈”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．如图所示，圆台的上、下底面半径分别为4cm 和6cm ，1AA ，1BB 为圆台的两条母线，截面11ABB A 与下底面所成的夹角大小为60︒，且1O e 劣弧¼11A B 的弧长为8π
cm 3，则三棱台
111ABO A B O -的体积为（ ）
A ．
3
19cm 3
B ．3
C ．319cm
D ．3
8．已知00m n >>，，则下列选项中，能使2m n +取得最小值18的为（ ） A ．32mn =
B ．8m n mn +=
C ．2868m n +=
D ．224162m n +=
二、多选题
9．已知复数2i z a =+（a 为实数），若z a 的值可能为（ ） A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
10．已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，且阴影部分的
面积为4π，则（ ）
A ．函数()f x 的最小正周期为π
B ．点3π,08⎛⎫
⎪⎝⎭
为曲线()y f x =的一个对称中心
C ．直线2π
3
x =
为曲线()y f x =的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间3π,π4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增
11．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.已知抛物线2:4E x y =的焦点为F ，准线为,,l A B 为抛物线E 上两个动点，且,,F A B 三点不共线，抛物线E 在,A B 两点处的切线分别为1212,,,,l l l l T A B ⋂=在l 上的射影点分别为11,A B ，则（ ）
A ．点F 关于1l 的对称点在l 上
B ．点T 在l 上
C ．点T 为11FA B V 的外心
D ．FT AB ⊥
三、填空题
12．已知集合{}1,3,21A m =--，集合{}2
3,B m =，若B A ⊆，则实数m = .
13．今年3月5日，李强总理在政府工作报告中强调“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．新质生产力代表一种生产力的跃迁，它是科技创新在其中发挥主导作用的生产力，具有高效能、高效率、高质量的特征，为了让同学们对新质生产力有更多的了解，某中学利用周五下午课外活动时间同时开设了四场公益讲座，主题分别是“新能源与新材料的广泛应用”、“AI +医疗的发展趋势”、“低空经济的前景展望”、“从人工智能、工业互联网到大数据”．已知甲、乙、丙、丁四人从中一共选择两场去学习，则甲、乙两人不参加同一个讲座的选择共有 种（用数字作答）．
14．已知函数()()1
e 022021
2242
x
x x f x x f x x -⎧<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<≤⎩，，，，方程()f x m =有五个不等实根()12345i x i =，
，，，，则实数m 的取值范围是 ；令()5
1
i i i t x f x ==∑，则t 的最小值为 .
四、解答题
15．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C
的对边，(
)
)sin a B B b c =-． (1)求角A ；
(2)若ABC V
6，求a ．
16．某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
(1)判断是否有99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关？
(2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其
中男、女学生独立闯关成功的概率分别为34、2
3，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生
闯关成功的概率. 参考数据与公式：
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，其中n a b c d =+++.
17．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，侧面11A ABB 为矩形，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC P ∠=︒，为线段11A B 上一点，满足112A PA PBB PC ∠=∠=，．
(1)求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；
(2)若PA PB =，求二面角A PC D --的正弦值．
18．如图所示，平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，四边形KLMN 为矩形，()0,1A ，
()()0,12,0B C -，分别为KN LM MN ，，的中点，E F ，两点满足：()1OE tOC CF t OA ==-u u u r u u u r u u u r u u u r
，，
其中t 为非零实数．直线AF 与BE 交于点R ．已知椭圆22
22Γ:1(0)x y
a b a b
+=>>过A B C ，，三
点．
(1)求椭圆Γ的标准方程及其焦距；
(2)判断点R 与椭圆Γ的位置关系，并证明你的结论；
(3)设()()1122,,P x y Q x y ，为椭圆Γ上两点，满足////OP BE OQ AF ，，判断2
2
OP OQ +是否
为定值，如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
19．已知函数()()()ln 1,ax
f x x
g x x a =+=
+，其中1a ≥． (1)若1a =，证明：0x >时，()()21x
f x
g x <+；
(2)若函数()()()F x f x g x =-在其定义域内单调递增，求实数a 的值；
(3)已知数列{}
n a 的通项公式为n
n a =341e n n a a +>>．。