A1-1-10对数的概念与性质
对数的性质和运算法则
(一)对数的性质 先提问学生上节课书上P．109第17题答案． 第17题：把指数式化为对数式，或对数式化为指数式． (1)logaN=b→ab=N， (2)a0=1→loga1=0， (3)a1=a→logaa=1． 总结出对数两条性质： (1)1的对数为0． (2)底数的对数为1． 提问：0和负数有否对数？为什么？ 总结出对数第三条性质：0和负数没有对数．
logaMn=(logaM)n． 指出错误的原因并举例说明． 例 lg2(8+8)≠lg28+log28． 五、作业 P．79中3、4、5、6；P．109中18、19． 六、板书设计
练习：P．78中2、3．
例3
计算：
(四)总结 本节学习的是对数的性质及运算法则，要求学生理解推 导这些运算法则的依据和推导过程，会用语言叙述，要 记住这些公式并能熟练应用．指出新学这四个法则容易 产生下面的错误： loga(M+N)=logaM+logaN； loga(MN)=logaMlogaN；
对数的性质和运算法则对数的性质与运算法则对数运算法则对数函数运算法则对数的运算法则对数函数的运算法则自然对数运算法则对数乘法运算法则指数对数运算法则对数运算法则的推导
1．15 ．
对数的性质和运算法则
一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．对数的性质． 2．对数运算法则． (二)能力训练点 1．利用对数式与指数式的关系研究证明对数的三条性质，培 养学生逻辑思维能力(观察、分析、归纳、类比)． 2．掌握好积、商、幂、方根的对数运算法则，能根据公式法 则进行数、式、方程的正确运算及变形，进一步培养学生合理 的运算能力． (三)德育渗透点 1．利用指、对数式关系启发学生研究对数性质及运算法则培 养学生注意探索、研究、揭示事物的内在联系，培养分析问题、 解决问题的能力．
对数函数的概念对数函数ylogx的图像和性质(ppt)
(2)y log x
(4)y ( )x 2
(2)y x
(3)y log1.4x
(4)y log x
2
思考探究3：
你能用描点法画出对数函数
ylog2x和 ylog1x
2
的图像吗? 作图步骤: ①列表,
②描点,
③连线.
画y=log2x的图像
列 表
x
… 1 1 1 2 4…
4
2
y=log2x … -2 -1 0 1 2 …
y
描2
点
1 11
连 线
42
O
1
2
34
-1
若把对数函数的
-2
思考：
底数换成3，4， 7.6，10……图像 性质又会是怎样
与上相仿
的？
性质：
（1）定义域是 (0, )
（2）值域是 R x
（3）图像过特殊点 (1,0)
（4）在其定义域上是 增函数
画y=log 1 x的图像
2
列
x
1
1
12 4
4
2
表
y log 1 x
(2){x|x > 1 且x≠1}; 3
提升总结 对数函数的定义域即使对数式有意义的x的取值
范围,其中需真数大于0,底数大于0且不等于1
思考探究2：
指数函数 y a x 和对数函数 ylo g ax (a0 ,a1 ) 有什么关系？
指数函数 y a x 和对数函数 x loga y 刻画的是同
1. 掌握对数函数的概念、反函数的概念.（重点） 2. 知道对数函数与指数函数互为反函数.（易混点） 3. 会画具体的对数函数的图像. （难点）
底数 指数 幂
教学课件第1课时对数的定义与性质
[例 4] 对数式 loga－2(5－a)＝b 中，实数 a 的取值范围是
()
A．(－∞，5)
B．(2,5)
C．(2，＋∞)
D．(2,3)∪(3,5)
[错解] A
由题意，得 5－a>0，∴a<5.
[错因分析] 该解法忽视了对数的底数和真数都有范围
限制，只考虑了真数而忽视了底数．
[正解]
5－a>0， D 由题意，得a－2>0，
请同学们结合本节课的学习，说出你有什么收获？ 1．对数的定义
一般地,如果a(a>0,且a≠1)的 x 次幂等于N, 即ax=N, 那么数x叫做以a为底N的对数, 记作
logaN=x (式中的a叫做对数的底数,N叫做真数). 2．掌握指数式与对数式的互化
loga N x ax N (a>0,且a≠1)
3．掌握对数的性质.
③∵log1
2
8＝－3，∴(12)－3＝8.
④∵log3217＝－3，∴3－3＝217.
[点评] 互化时，首先指数式与对数式的底数相同，其次 将对数式的对数换为指数式的指数(或将指数式的指数换为对 数式的对数)．
探究二 对数与指数的关系
ab N 叫做指数式, loga N b 叫做对数式.
当 a 0, a 1, N 0 时，
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
第二章
2．2 对 数 函 数
第二章
2.2.1 对数与对数运算
第二章
第 1 课时 对数的定义与性质
1.理解对数的概念；（重点） 2.能够说明对数与指数的关系； 3.掌握对数式与指数式的相互转化．（难点） 4.掌握对数的性质.(重点）
温故知新 1．在指数 ab＝N 中，a 称为 底数，b 称为 指数 ，N 称为 幂值，在引入了分数指数幂与无理数指数幂之后，b 的取值范 围由初中时的限定为整数扩充到了实数 ． 2．若 a>0 且 a≠1，则 a0＝ 1 ；a1＝ a ；对于任意 x∈R， ax>0.
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结(共12页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对数函数（一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；○2 x N N a a x=⇔=log ；○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○2 =N Ma log M a log －N a log ； ○3 na M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。
如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．对数函数·例题解析例1．求下列函数的定义域：（1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=．解：（1）由2x >0得0≠x ，∴函数2log x y a =的定义域是{}0x x ≠；（2）由04>-x 得4<x ，∴函数)4(log x y a -=的定义域是{}4x x <；（3）由9-02>-x 得-33<<x ，∴函数)9(log 2x y a -=的定义域是{}33x x -<<．例2．求函数251-⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 和函数22112+⎪⎭⎫⎝⎛=+x y )0(<x 的反函数。
高三数学 第一轮复习 06：对数、对数方程
高中数学第一轮复习06对数、对数方程·知识梳理·模块01：对数1、对数的定义：在0a >，1a ≠，且0N >的条件下，唯一满足x a N =的数x ，称为N 以a 为底的对数（logarithm），并用符号log a N 表示，而N 称为真数。
注意：对数的底是不等于1的正数。
负数和零没有对数。
2、指数式与对数式的关系：log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
由对数定义可知：log 1a a =(0,1)a a >≠。
3、对数恒等式：log a N a N =(0,01N a a >>≠且)。
4、对数的运算性质：对数性质1：当0,0M N >>成立，则log ()log log a a a MN M N =+。
对数性质2：当0,0M N >>成立，则log log log aa a MM N N=-。
对数性质3：当0N >，对任何给定得实数c 成立，则log log c a a N c N =。
特别的：log c a a c =公式拓展：b nmb a m a n log log =5、换底公式及衍生性质：换底公式：log log log m a m N N a=(0a >且1a ≠,0m >,1m ≠,0N >)换底公式推论：(1)ab b a log 1log =;(2)log log log a b a b c c ⋅=。
6、两种特殊的对数：①通常将以10为底的对数叫做常用对数。
N 的常用对数记作lg N 。
②另外在科学技术中，常使用无理数 2.71828e = 为底的对数，以e 为底的对数叫做自然对数，记为ln N 。
模块02：对数方程1、基本概念：在指数中含有未知数的方程叫指数方程。
2、解指数方程的基本思想：化同底或换元。
对数函数知识点总结
对数函数知识点一：对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数.其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域为),(+∞-∞.它是指数函数xa y = )10(≠>a a 且的反函数．注意： ○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 两个常用对数： (1)常用对数 简记为: lgN （以10为底） (2)自然对数 简记为: lnN （以e 为底）例1、求下列函数的定义域、值域：(1)41212-=--xy ( 2))52(log 22++=x x y (3))54(log 231++-=x x y (4))(log 2x x y a --=知识点二：对数函数的图象方法一：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于x y =的对称图形，即可获得。
同样：也分1>a 与10<<a 两种情况归纳，以x y 2log =与x y 21log =为例方法二： ①确定定义域; ②列表; ③描点、连线。
（1）x y 2log =（2） x y 21log =y=x o 11 yxy =log 2x o 11 yxy=xy =x 21log（3）x y 3log =（4） x y 31log =思考：函数x y 2log =与y =3log x 与y对函数的相同性质和不同性质. 相同性质： 不同性质：例2、作出下列对数函数的图象：知识点三：对数函数的性质由对数函数的图象，观察得出对数函数的性质．思考：底数a 是如何影响函数x y a log =的．（学生独立思考，师生共同总结）规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 例3、比较下列各组数中两个值的大小：⑴ 5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶)1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a ． 变式训练：（1）若3log 3log n m <，求n m 和的关系。
对数运算法则
故12y=1z-1x.
解法二3x=4y=6z=m，
则有3=m1x①,4=m1y②，6=m1z③，
③÷①，得m1z-1x=63=2=m12y.
∴1z-1x=12y.
9
logaMN=
logaMn=(n∈R)
(a>0,a≠1,M>0,N>0)
难点疑点突破
对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1?
理由如下：
①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28
②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数
③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数
(2)中logbc能否也换成以a为底的对数.
(3)应用(1)将logab换成以b为底的对数.
(4)应用(1)将loganbm换成以a为底的对数.
解答(1)设logaN=b，则ab=N,两边取以c为底的对数得：b·logca=logcN,
∴b=logcNlogca.∴logaN=logcNlogca.
∴Δ=S2+4S≥0，解得S≤-4或S≥0,
故lg(xy)的取值范围是(-∞,-4〕∪〔0,+∞).
5
求值：
(1)lg25+lg2·lg50+(lg2)2；
(2)2log32-log3329+log38-52log53；
(3)设lga+lgb=2lg(a-2b)，求log2a-log2b的值;
为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
高一数学对数函数题型及解题技巧
高一数学对数函数题型及解题技巧对数函数是高一数学中的一个重要概念，它的应用非常广泛。
下面我们来了解一些对数函数的题型及解题技巧。
一、基本概念对数函数的定义是：设a>0且a≠1，那么我们称y=loga(x)为以a为底，x的对数。
其中a称为底数，x称为真数，y称为以a为底，x的对数。
以10为底的对数函数常用符号是log(x)，而以e（自然对数）为底的对数函数常用符号是ln(x)。
二、题型分类1. 求解对数函数的定义域和值域。
定义域是x>0，值域是R（实数集）。
2. 计算对数函数的值。
根据定义，可以用对数的转化公式来计算对数函数的值。
例如log3(81)=4，因为3的4次方等于81。
3. 求解对数方程。
对数方程一般可以转化为指数方程来求解。
例如，求解log2(x)=3，可以将其转化为2的3次方等于x，即x=8。
4. 求解等比数列。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
如果要求等比数列的第n项，则有an=a1*q^(n-1)，其中q=loga(r)，a是公比的底数。
5. 求解对数函数的性质。
对数函数有多种性质，如对称轴、单调性、奇偶性等。
可以根据对数函数的图像来分析求解。
三、解题技巧1. 掌握对数函数的基本概念，理解对数函数的定义、性质和应用。
2. 熟练掌握对数函数的计算方法，掌握对数的转化公式、对数方程的转化方法和等比数列的求解方法。
3. 学会对数函数的图像分析方法，掌握对数函数的对称轴、单调性、奇偶性等特点，从而更好地解决对数函数相关的问题。
以上是关于高一数学对数函数题型及解题技巧的介绍，希望能够帮助大家更好地掌握对数函数的应用。
对数的概念和性质
（2）因为
a a
0
=1，所以㏒a1=0，即：1的对
数是0；
（3）因为
1
=a，所以㏒aa=1，即：底的对
数为1。
例二、求下列各式中x的值：
（1）㏒64x=-
2 3
；
（2）㏒x8=6； （4）-㏑e =x。
2
（3）lg100=x ；
练习：课本P64
3、4
本节作业：P74
形式
a = N 中，若已知a、N怎么来求x呢？
x
x
一般的，如果 a
= N，那么x叫作以a为底， N的对数；其中a叫作对数的底数，N叫作真 数。记作：x=㏒aN。
如：
=16 可以说成2是以4为底16的对 1 数，写作：2=㏒416 ； 4 2 =2 可以说
4
2
1 1 成 是以4为底2的对数，写作： =㏒42 。 2 2
习题2.2 A组1、2
以10为底的对数一般称为常用对数，记作：
lgN；以e为底的对数一般称为自然对数，记 作：㏑N。 指数、对数、根式关系如下：
名称 字母 式子
a
底数 方根 底数
b
N
a =N
b
b
N =a
㏒aN=b
幂指数 幂 根指数 被开方数 对数 真数
指数式和对数式可以互相转化： x
a
=N←→x=㏒aN （a＞0且a≠1）
对数的概念
引例：某种细胞分裂时，由1个分裂成两 个，两个分裂成4个……，一个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系式 为：
y＝ 2 (x∈N+)
x
用我们已经学习过的指数函数的知识，我们
对数函数的定义和性质
对数函数的定义和性质对数函数（logarithmic function）是数学中的一类函数，它作为指数函数（exponential function）的逆运算，广泛应用于代数、几何、微积分、概率论等学科中。
本文将介绍对数函数的定义和性质，以期为读者对这一重要的数学函数有更深入的理解。
一、对数函数的定义在介绍对数函数的定义之前，先给出指数函数的定义。
指数函数以某个正常数a为底数，自变量为x，形式为：y=a^x指数函数具有下列基本性质：1. 当a>1时，指数函数是一个增函数；当0<a<1时，指数函数是一个减函数。
2. 当a=1时，指数函数是常函数y=1。
3. 当x=0时，指数函数的值为1，即a^0=1。
对数函数的定义就是指数函数的逆函数，即对数函数y=loga(x)满足下列条件：1. a^y=x，其中a为某个正常数，称为对数函数的底数。
2. 当y=loga1(x)，则a1^y=x。
由此可见，对数函数与指数函数是密切相关的，它们之间互为逆运算。
我们通常使用自然对数（即底数为e，其中e≈2.71828）和常用对数（即底数为10）。
二、对数函数的性质1. 对数函数的定义域和值域对数函数y=loga(x)的定义域是正实数集合R+，即x>0。
对于不同的底数a，对数函数的值域不同。
例如，当底数为e时，自变量趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷大；当自变量趋近于正无穷大时，对数函数的值趋近于正无穷大。
而当底数为10时，对数函数的值域为实数集合R。
2. 对数函数的图像对数函数y=loga(x)的图像具有以下特点：当底数a>1时，对数函数是一个增函数，它的图像呈现出从左下向右上的单调上升曲线；当0<a<1时，对数函数是一个减函数，它的图像呈现出从左上向右下的单调下降曲线。
当a=1时，对数函数的图像是一条水平直线y=0。
3. 对数函数的导数和积分对数函数的导数表示为：(d/dx)loga(x)=1/(xlna)对数函数的导数是正比与自变量的倒数，增函数的导数始终是正的，减函数的导数始终是负的。
对数知识点总结集合
对数知识点总结集合一、对数的概念1.1 对数的定义对数是数学中常见的概念，它是指数的逆运算。
对数以一个常数为底数，另一个数为真数，找到一个指数，使得底数的这个指数等于真数。
对数的定义形式如下：如果 a>0 且a≠1，且a ≠ 1，那么称指数x是以a为底的数b的对数。
记作x=log_ab，读作“以a为底b的对数等于x”，其中a为底数，b为真数，x为对数。
1.2 对数的性质对数具有一些基本性质，这些性质在处理对数运算时非常重要。
（1）对数的底数必须是大于0且不等于1的实数。
（2）对数的真数必须是大于0的实数。
（3）对数的值与指数的值之间具有一一对应的关系，即以a为底的b的对数等于x，等价于a的x次幂等于b。
（4）对数运算遵循对数法则，包括对数的乘法法则、对数的除法法则、对数的幂法则等。
二、对数的运算2.1 对数的运算法则对数的运算规则与指数运算法则非常类似，具体包括以下几个方面的法则：（1）对数的乘法法则：log_ab + log_ac = log_a(bc)（2）对数的除法法则：log_ab - log_ac = log_a(b/c)（3）对数的幂法则：log_ab^m = m*log_ab（4）对数的换底公式：log_ab = log_cb / log_ca2.2 对数的应用对数的运算在实际问题中具有广泛的应用，特别是在科学、工程、经济等领域。
例如在计算机科学中，对数常常用于分析算法的时间复杂度；在经济学中，对数常常用于分析利润的增长率和复合增长；在生物学中，对数常常用于分析细胞的增长增殖率等。
三、常用对数与自然对数3.1 常用对数与自然对数常用对数以10为底数，通常用lg表示，而自然对数以常数e为底数，通常用ln表示。
常用对数和自然对数之间的换底公式为：lg_ab = ln_b / ln_103.2 常用对数与自然对数的特性常用对数与自然对数具有一些特性和性质，如：（1）lg_ac = ln_c / ln_a（2）ln_a = lg_a / lg_e3.3 常用对数与自然对数的应用常用对数和自然对数在实际问题中具有广泛的应用，如在计算机科学和工程学中，常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些复杂系统的性能和特性；在金融学和经济学中，常用对数和自然对数常常用于描述和分析一些金融商品、利率和风险等。
对数函数的特殊性质和特殊规律
对数函数的特殊性质和特殊规律介绍对数函数作为数学中的一个重要分支，其性质和规律一直是数学研究的热点。
对数函数主要用于求解指数函数的解析式，它在数学中有着广泛的应用。
本文将会从对数函数的定义、性质以及特殊规律三个方面来阐述对数函数的特殊性质和规律。
对数函数的定义以10为底的对数函数被称为常用对数函数，以e为底的对数函数被称为自然对数函数。
对数函数可以理解为对数函数和指数函数相互对立的两个函数。
具体来说，如果对数函数为y=loga(x)，那么指数函数的关系为x=a^y。
对数函数具体来说是指取对数的一种函数形式。
对于任意的非零实数x，实数a>0且a≠1，其对数的定义为：y=loga(x)其中a被称为底数，如果a=10，则称为常用对数，如果a=e （自然对数），则称为自然对数。
通过对数函数可以解决很多指数图像上的问题。
对数函数的性质对数函数的性质可以分为以下几个方面：1. 指数与对数函数互为反函数指数函数和对数函数是一对反函数，指数函数的图像为 x>0 、y>0 时的对数函数的图像。
2. 对数函数在0与1之间单调递减，在1与正无穷之间单调递增以自然对数函数作为例子，其在0与1之间单调递减，在1与正无穷之间单调递增。
当x>1时，增加极限小的x增加，它的值也就会变得越来越大。
3. 对数函数与指数函数关系对数函数与指数函数的关系是：log2(x) = y2^y = x其中，x、y的任意值均为正数4. 对数乘法法则对于任意的正整数m、n及正数a，有以下乘法公式成立：loga(m*n) = loga(m) + loga(n)这个公式也可表示成loga(m^n) = n*loga(m)，也就是说一个数的某次幂对数等于该数的对数乘以这个次幂。
对数函数的特殊规律对数函数的特殊规律主要是指指数函数、等比数列以及底数规律在对数函数中的求解方法。
指数函数求解对于指数函数y=a^x，常见的求解方式是通过对数函数的运算得到其解析式。
高考数学复习讲义： 对数与对数函数
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[易错提醒] 应用对数函数图象求解问题时易出现作图失误导致求 解错误，要记准记牢图象的变换规律．
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[集训冲关]
1.[考法一]函数 f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的图象大致为 ( )
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解析：由函数 f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关 于 y 轴对称．设 g(x)＝loga|x|，先画出 x>0 时，g(x)的图象， 然后根据 g(x)的图象关于 y 轴对称画出 x<0 时 g(x)的图象， 最后由函数 g(x)的图象向上整体平移一个单位即得 f(x)的图 象，结合图象知选 A. 答案：A
() ()
(3)存在这样的 M，N 使得 log2(MN)＝log2M·log2N.( )
答案：(1)× (2)× (3)√
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二、填空题
1．已知 log62＝p，log65＝q，则 lg 5＝________(用 p，q 表示)．
解析：lg 5＝lloogg66150＝log62＋q log65＝p＋q q. 答案：p＋q q
抓牢双基·自学回扣
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对数函数的性质
[基本知识]
函数
y＝logax(a>0，且 a≠1)
a>1
0<a<1
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性 单调性 在(0，＋∞)上是_增__函__数_ 在(0，＋∞)上是_减__函__数_
质 函数值
当 x＝1 时， y＝0
变化规 当 x>1 时， y>0 ； 当 x>1 时， y<0 ；
N 叫做真数，logaN 叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔ x＝logaN loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝ N
对数函数的概念、图象及性质(高中数学)
() A．y＝2＋log3x
logax(a> 0 且 a≠1)可知 D 正确．]
B．y＝loga(2a)(a>0，且 a≠1)
C．y＝logax2(a>0，且 a≠1)
D．y＝ln x
35
3．函数 f(x)＝ lg x＋lg(5－3x) 的定义域是( )
C [由l5g－x≥3x>0，0， 得
A.0，53 B.0，53 C.1，53
24
【例 3】 (1)当 a>1 时，在同一坐标系中，函数 y＝a－x 与 y＝logax
的图象为( )
A
B
C
D
(2)已知 f(x)＝loga|x|，满足 f(－5)＝1，试画出函数 f(x)的图象．
[思路点拨] (1)结合 a>1 时 y＝a－x＝1ax 及 y＝logax 的图象求解．
(2)由 f(－5)＝1 求得 a，然后借助函数的奇偶性作图．
27
C [∵在 y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0， ∴图象只能在 y 轴的左侧，故排除 A，D； 当 a＞1 时，y＝loga(－x)是减函数， y＝a－x＝1ax 是减函数，故排除 B； 当 0＜a＜1 时，y＝loga(－x)是增函数， y＝a－x＝1ax 是增函数，∴C 满足条件，故选 C.]
解得－1<x<0 或 0<x<4， 所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．
23
对数函数的图象问题
[探究问题] 1．如图，曲线 C1，C2，C3，C4 分别对应 y＝loga1x， y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x 的图象，你能指出 a1， a2，a3，a4 以及 1 的大小关系吗？ 提示：作直线 y＝1，它与各曲线 C1，C2，C3，C4 的交点的横坐标就 是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有 a4>a3>1>a2>a1>0. 2．函数 y＝ax 与 y＝logax(a>0 且 a≠1)的图象有何特点？ 提示：两函数的图象关于直线 y＝x 对称．
对数函数及其性质-对数的公式互化-详尽的讲解(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2.1 对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝a x 的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log81这两个式子表达3是同一关系，因此，有关系式a x＝N⇔x＝log a N，从而得对数恒等式：a log a N＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数log a N(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即log a1＝0；③底的对数等于1，即log a a＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①log a (MN )＝log a M ＋log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②log a M N＝log a M －log a N (a >0，a ≠1，M >0，N >0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③log a M n ＝n ·log a M (a >0，a ≠1，M >0，n ∈R )，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M >0，N >0，例如log a [(－3)×(－4)]是存在的，但是log a (－3)与log a (－4)均不存在，故不能写成log a [(－3)×(－4)]＝log a (－3)＋log a (－4)．②防止出现以下错误：log a (M ±N )＝log a M ±log a N ，log a (M ·N )＝log a M ·log a N ，log a M N ＝log a M log a N，log a M n ＝(log a M )n . 3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：log b N ＝log c N log c b(b >0，且b ≠1；c >0，且c ≠1；N >0)．证明 设log b N ＝x ，则b x ＝N .两边取以c 为底的对数，得x log c b＝log c N.所以x＝log c Nlog c b，即log bN＝log c Nlog c b.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)log b N＝1log N b或log bN·log N b＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；(2)log bn N m＝mn log b N(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R) .题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是( )①若M＝N，则log a M＝log a N；②若log a M＝log a N，则M＝N；③若log a M2＝log a N2，则M＝N；④若M＝N，则log a M2＝log a N2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④解析在①中，当M＝N≤0时，log a M与log a N均无意义，因此log a M＝log a N不成立．在②中，当log a M＝log a N时，必有M>0，N>0，且M＝N，因此M＝N成立．在③中，当log a M2＝log a N2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N.例如，M＝2，N＝－2时，也有log a M2＝log a N2，但M≠N.在④中，若M＝N＝0，则log a M2与log a N2均无意义，因此log a M2＝log a N2不成立．所以，只有②成立．答案 C点评正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件，使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log 32－log 3329＋log 38－5log 53； (2)lg25＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2； (3)log 52·log 79log 513·log 734. 分析 利用对数的性质求值，首先要明确解题目标是化异为同，先使各项底数相同，才能使用性质，再找真数间的联系，对于复杂的真数，可以先化简再计算．解 (1)原式＝2log 32－(log 332－log 39)＋3log 32－3＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg 102·lg(2×10)＋(lg2)2 ＝2lg(5×2)＋(1－lg2)·(lg2＋1)＋(lg2)2＝2＋1－(lg2)2＋(lg2)2＝3. (3)∵log 52·log 79log 513·log 734＝12log 52·2log 73－log 53·13log 74＝－lg2lg5·lg3lg7lg3lg5·13·lg4lg7＝－32. 点评 对数的求值方法一般有两种：一种是将式中真数的积、商、幂、方根利用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；另一种方法是将式中的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值．题型三 对数换底公式的应用计算：(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)．分析 由题目可获取以下主要信息：本题是一道对数化简求值题，在题目中各个对数的底数都各不相同．解答本题可先通过对数换底公式统一底数再进行化简求值． 解 方法一 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 方法二 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13lg53lg2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3lg2lg5＝13. 点评 方法一是先将括号内换底，然后再将底统一；方法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．已知log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，求实数x 的值．错解 由对数的性质可得x 2＋3x ＝x ＋3.解得x ＝1或x ＝－3.错因分析 对数的底数和真数必须大于0且底数不等于1，这点在解题中忽略了．正解 由对数的性质知⎩⎨⎧ x 2＋3x ＝x ＋3，x 2＋3x >0，x ＋3>0且x ＋3≠1.解得x ＝1，故实数x 的值为1.对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．1．(上海高考)方程9x －6·3x －7＝0的解是________． 解析 ∵9x －6·3x －7＝0，即32x －6·3x －7＝0∴(3x －7)(3x ＋1)＝0∴3x ＝7或3x ＝－1(舍去)∴x ＝log 37.答案 log 372．(辽宁高考)设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝____. 解析 g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝ln 12<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫ln 12＝eln 12＝12， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝12. 答案 121．对数式log (a －3)(7－a )＝b ，实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，7)B ．(3,7)C ．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)答案 C解析 由题意得⎩⎨⎧ a －3>0，a －3≠1，7－a >0，解得3<a <7且a ≠4.2．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －1答案 A解析 ∵a ＝log 32，∴log 38－2log 36＝3log 32－2(log 32＋1) ＝3a －2(a ＋1)＝a －2.3．log 56·log 67·log 78·log 89·log 910的值为( )A ．1B ．lg5 C.1lg5D ．1＋lg2 答案 C解析 原式＝lg6lg5·lg7lg6·lg8lg7·lg9lg8·lg10lg9＝lg10lg5＝1lg5. 4．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1 D ．(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，2a >1，∵a >0，a ≠1，log a (a 2＋1)<log a 2a ，∴0<a <1.∴12<a <1. 5．已知函数f (x )＝a x －1＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a 2，则a 的值为( )A ．4 B.14 C ．3 D.13答案 D6．若方程(lg x )2＋(lg7＋lg5)lg x ＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )A ．lg7·lg5 B．lg35 C ．35 D.135答案 D解析 ∵lg α＋lg β＝－(lg7＋lg5)＝－lg35＝lg 35∴α·β＝135.7．已知f (log 2x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝________. 答案2解析 令log 2x ＝12，则212＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝212＝ 2.8．log (2－1)(2＋1)＝________.答案 －1 解析 log2－1(2＋1)＝log2－1(2＋1)(2－1)2－1＝log (2－1)12－1＝－1.9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg x ＝－2＋0.778 1，则x ＝________.答案 0.06解析 ∵lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，而0.301 0＋0.477 1＝0.778 1，∴lg x ＝－2＋lg2＋lg3， 即lg x ＝lg10－2＋lg6.∴lg x ＝lg(6×10－2)，即x ＝6×10－2＝0.06.10．(1)已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365. 解 (1)lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )， ∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0. 即(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ，又∵⎩⎨⎧x >0，y >0，x －2y >0，∴x >2y >0，∴x ＝y ，应舍去，取x ＝4y .则log 2x y ＝log 24y y ＝log 24＝lg4lg 2＝4.(2)∵18b ＝5，∴log 185＝b, 又∵log 189＝a ， ∴log 365＝log 185lg 1836＝blog 18(18×2)＝b 1＋log 182＝b1＋log 18189＝b 1＋(1－log 189)＝b2－a.11．设a ，b ，c 均为不等于1的正数，且a x＝b y＝c z，1x ＋1y＋1z＝0，求abc的值．解令a x＝b y＝c z＝t (t>0且t≠1)，则有1x＝log t a，1y＝log t b，1z＝log t c，又1x＋1y＋1z＝0，∴log t abc＝0，∴abc＝1.12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x ＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．解∵关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lg a＋1＝0有等根，∴Δ＝0，即4－4[lg(c2－b2)－2lg a＋1]＝0.即lg(c2－b2)－2lg a＝0，故c2－b2＝a2，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形．2．2.1 对数与对数运算(一)学习目标1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．2．了解常用对数与自然对数的意义．3．理解对数恒等式并能用于有关对数的计算．自学导引1．如果a (a >0且a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．对数的性质有：(1)1的对数为零； (2)底的对数为1； (3)零和负数没有对数．3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数叫做自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .4．若a >0，且a ≠1，则a b ＝N 等价于log a N ＝b . 5．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1).一、对数式有意义的条件例1 求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.分析 由真数大于零，底数大于零且不等于1可得到关于x的不等式(组)，解之即可．解 (1)由题意有x －10>0，∴x >10，即为所求．(2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2.(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.点评 在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于零，对数的底数大于零且不等于1.变式迁移1 在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是( )A ．a >5或a <2B ．2<a <5C ．2<a <3或3<a <5D ．3<a <4 答案 C解析由题意得⎩⎨⎧5－a >0a －2>0a －2≠1，∴2<a <5且a ≠3.二、对数式与指数式的互化例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625； (2)log 128＝－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－2＝16; (4)log 101 000＝3.分析 利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化． 解 (1)∵54＝625，∴log 5625＝4.(2)∵log 128＝－3，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－3＝8. (3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14－2＝16，∴log 1416＝－2.(4)∵l og 101 000＝3，∴103＝1 000.点评 指数和对数运算是一对互逆运算，在解题过程中，互相转化是解决相关问题的重要途径．在利用a x ＝N ⇔x ＝log a N 进行互化时，要分清各字母分别在指数式和对数式中的位置．变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x 值：(1)log x 27＝32； (2)log 2x ＝－23；(3)log 5(log 2x )＝0; (4)x ＝log 2719；(5)x ＝log 1216.解 (1)由log x 27＝32，得x 32＝27，∴x ＝2723＝32＝9.(2)由log 2x ＝－23，得2－23＝x ，∴x ＝1322＝322.(3)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2. (4)由x ＝log 2719，得27x＝19，即33x ＝3－2，∴x ＝－23.(5)由x ＝log 1216，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ＝16，即2－x ＝24， ∴x ＝－4.三、对数恒等式的应用例3 (1)a log a b ·log b c ·log c N 的值(a ，b ，c ∈R ＋，且不等于1，N >0)；(2)412(log 29－log 25)．解(1)原式＝(a log a b )log b c ·log c N ＝b log b c ·log c N ＝(b log b c )log c N＝c log c N ＝N .(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95.点评 对数恒等式a log a N ＝N 中要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式；(3)其值为真数．变式迁移3 计算：3log 35＋(3)log 315.解 原式＝5＋312log 315＝5＋(3log 315)12＝5＋15＝655.1．一般地，如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b ＝N ，那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．2．利用a b ＝N ⇔b ＝log a N (其中a >0，a ≠1，N >0)可以进行指数与对数式的互化．3．对数恒等式：a log a N ＝N (a >0且a ≠1)．一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．100＝1与lg1＝0 B ．27－13＝13与log 2713＝－13C ．log 312＝9与912＝3D ．log 55＝1与51＝5 答案 C2．指数式b 6＝a (b >0，b ≠1)所对应的对数式是( )A ．log 6a ＝aB ．log 6b ＝aC ．log a b ＝6D ．log b a ＝6 答案 D3．若log x (5－2)＝－1，则x 的值为( )A.5－2B.5＋2C.5－2或5＋2 D ．2－ 5 答案 B4．如果f (10x )＝x ，则f (3)等于( ) A ．log 310 B ．lg3 C ．103 D ．310 答案 B解析 方法一 令10x ＝t ，则x ＝lg t ， ∴f (t )＝lg t ，f (3)＝lg3.方法二 令10x ＝3，则x ＝lg3，∴f (3)＝lg3. 5．21＋12·log 25的值等于( )A ．2＋ 5B ．2 5C ．2＋52D ．1＋52答案 B解析 21＋12log 25＝2×212log 25＝2×2log 2512＝2×512＝2 5.二、填空题6．若5lg x ＝25，则x 的值为________． 答案 100解析 ∵5lg x ＝52，∴lg x ＝2，∴x ＝102＝100.7．设log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n 的值为________． 答案 12解析 ∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝a 2m ·a n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12. 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 答案 600解析 102.778 2≈102×10lg6＝600. 三、解答题9．求下列各式中x 的值 (1)若log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 9＝1，则求x 值；(2)若log 2 003(x 2－1)＝0，则求x 值． 解(1)∵log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－2x 9＝1，∴1－2x 9＝3 ∴1－2x ＝27，即x ＝－13 (2)∵log 2 003(x 2－1)＝0 ∴x 2－1＝1，即x 2＝2 ∴x ＝± 210．求x 的值：(1)x ＝log 224；(2)x ＝log 93；(3)x ＝71－log 75；(4)log x 8＝－3；(5)log 12x ＝4.解(1)由已知得：⎝⎛⎭⎪⎪⎫22x＝4， ∴2－12x ＝22，－x 2＝2，x ＝－4.(2)由已知得：9x＝3，即32x＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)x ＝7÷7log 75＝7÷5＝75.(4)由已知得：x －3＝8，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x 3＝23，1x ＝2，x ＝12.(5)由已知得：x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124＝116.2.2.1对数与对数运算(二)学习目标1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．自学导引1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么， (1)log a (MN )＝log a M＋log a N ；(2)log a MN＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 2．对数换底公式：log a b ＝log c blog c a.一、正确理解对数运算性质例1 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x · log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a xy＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 A解析 对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．点评 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．变式迁移1 若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x答案 A二、对数运算性质的应用例2 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8；(2)2(lg 2)2＋lg 2·lg5＋(lg 2)2－lg2＋1； (3)lg 27＋lg8－lg 1 000lg1.2；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.分析 利用对数运算性质计算．解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55 ＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2 ＝lg 2(lg2＋lg5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1. (3)原式＝32lg3＋3lg2－32lg3＋2lg2－1＝3lg3＋6lg2－32(lg3＋2lg2－1)＝32.(4)原式＝(lg5)2＋lg2·(lg2＋2lg5)＝(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝(lg5＋lg2)2＝1.点评 要灵活运用有关公式．注意公式的正用、逆用及变形使用．变式迁移2 求下列各式的值： (1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514；(2)[(1－log 63)2＋log 62·log 618]÷log 64. 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7)＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝[log 262＋log 62·log 6(3×6)]÷log 622＝log 62(log 62＋log 63＋1)÷(2log 62)＝1.三、换底公式的应用例3 (1)设3x＝4y＝36，求2x ＋1y的值；(2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645. 解 (1)由已知分别求出x 和y . ∵3x ＝36,4y ＝36， ∴x ＝log 336，y ＝log 436， 由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364，∴1x ＝log 363，1y＝log 364，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. (2)∵log 189＝a,18b ＝5，∴log 185＝b . ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 18(18×2)＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b1＋log 18189＝a ＋b 2－a. 点评 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 1227＝a ，求log 616的值． 解 (1)利用换底公式，得lg4lg3·lg8lg4·lg mlg8＝2，∴lg m ＝2lg3，于是m ＝9. (2)由log 1227＝a ，得3lg32lg2＋lg3＝a ，∴lg3＝2a lg23－a ，∴lg3lg2＝2a 3－a.∴log 616＝4lg2lg3＋lg2＝42a3－a ＋1＝4(3－a )3＋a.1．对于同底的对数的化简常用方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．一、选择题1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3 答案 D解析 lg8＋3lg5＝lg8＋lg53＝lg1 000＝3.2．已知lg2＝a ，lg3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.aa ＋bD.ba ＋b答案 B解析 log 36＝lg6lg3＝lg2＋lg3lg3＝a ＋b b .3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg a b 2的值等于( )A ．2 B.12 C ．4 D.14答案 A解析 由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b ＝22－4×12＝2.4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则1x －1y等于( )A.13 B ．3 C ．－13 D ．－3 答案 A解析 由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13. 5．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 005)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案 C解析 因为f (x )＝log a x ，f (x 1x 2…x 2 005)＝8，所以f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 005) ＝log a x 21＋log a x 22＋…＋log a x 22 005＝2log a |x 1|＋2log a |x 2|＋…＋2log a |x 2 005| ＝2log a |x 1x 2…x 2 005| ＝2f (x 1x 2…x 2 005)＝2×8＝16. 二、填空题6．设lg2＝a ，lg3＝b ，那么lg 1.8＝__________. 答案a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg1.8＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg2＋lg9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．若log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，则log abc x 的值为____． 答案 1解析 log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c∵lo g a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6 ∴log x a ＝12，log x b ＝13，log x c ＝16，∴log abc x ＝112＋13＋16＝11＝1.8．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝________. 答案 2解析 由log 63＋log 6x ＝0.613 1＋0.386 9＝1. 得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2. 三、解答题9．求下列各式的值： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.解 (1)方法一 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg4＋lg7 5＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12.(2)方法一 原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2＝lg10·lg 52＋lg4＝lg ⎝⎛⎭⎪⎪⎫52×4＝lg10＝1. 方法二 原式＝(lg10－lg2)2＋2lg2－lg 22 ＝1－2lg2＋lg 22＋2lg2－lg 22＝1. 10．若26a＝33b＝62c，求证：1a ＋2b ＝3c.证明 设26a ＝33b ＝62c ＝k (k >0)，那么⎩⎨⎧6a ＝log 2k ，3b ＝log 3k ，2c ＝log 6k ，∴⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧1a ＝6log 2k＝6log k 2，1b ＝3log 3k ＝3log k3，1c ＝2log 6k＝2log k6.∴1a ＋2b＝6·log k 2＋2×3log k 3＝log k (26×36)＝6log k 6＝3×2log k 6＝3c，即1a ＋2b ＝3c.2．2.2 对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y ＝log a x (a >0且a ≠1)的函数叫做对数函数． 对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x 恰好是指数函数的函数值y ，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y ＝log a x 中，log a x 前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a 必须满足a >0，且a ≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lg x，以e为底的对数函数为y ＝ln x.2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有log a1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0 函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝a x (a>0，且a≠1)y＝log a x(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况a>1时，a>1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<==>>011101x x x a x ； 0<a <1时，x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<>==><011101x x x a x ()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==>>1001010x x x ； 0<a <1时，log a x()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<>==><1001010x x x 图象必 过定点点(0,1) 点(1,0)单调性a >1时，y ＝a x 是增函数；0<a <1时，y ＝a x 是减函数a >1时，y ＝log a x 是增函数；0<a <1时，y ＝log a x 是减函数图象y ＝a x 的图象与y ＝log a x 的图象关于直线y＝x 对称实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y ＝log m n 有以下规律：(1)当(m －1)(n －1)>0，即m 、n 范围相同(相对于“1”而言)，则log m n >0；(2)当(m －1)(n －1)<0，即m 、n 范围相反(相对于“1”而言)，则log m n <0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log 213<0，log 52>0等，一眼就看出来了！题型一 求函数定义域求下列函数的定义域： (1)y ＝log 3x －12x ＋3x －1； (2)y ＝11－log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)．分析 定义域即使函数解析式有意义的x 的范围． 解(1)要使函数有意义，必须{ 2x ＋3>0，x －1>0，3x －1>0，3x －1≠1同时成立，解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－32，x >1，x >13，x ≠23. ∴x >1. ∴定义域为(1，＋∞)．(2)要使原函数有意义，需1－log a (x ＋a )>0， 即log a (x ＋a )<1＝log a a .当a >1时，0<x ＋a <a ，∴－a <x <0. 当0<a <1时，x ＋a >a ，∴x >0.∴当a >1时，原函数定义域为{x |－a <x <0}； 当0<a <1时，原函数定义域为{x |x >0}．点评 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑：真数大于零，底数大于零且不等于1，若分母中含有x ，还要考虑不能使分母为零．题型二 对数单调性的应用(1)log 43，log 34，log 4334的大小顺序为( )A ．log 34<log 43<log 4334B ．log 34>log 43>log 4334C ．log 34>log 4334>log 43D ．log 4334>log 34>log 43(2)若a 2>b >a >1，试比较log a a b ，log b ba，log b a ，log a b 的大小．(1)解析 ∵log 34>1,0<log 43<1， log 4334＝log 43⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫43－1＝－1，∴log 34>log 43>log 4334.答案 B(2)解 ∵b >a >1，∴0<ab<1.∴log a a b <0，log b ba ∈(0,1)，logb a ∈(0,1)．又a >b a >1，且b >1，∴log b ba <logb a ，故有log a a b <log b ba<log b a <log a b .点评 比较对数的大小，一般遵循以下几条原则： ①如果两对数的底数相同，则由对数函数的单调性(底数a >1为增；0<a <1为减)比较．②如果两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量进行比较．③如果两对数的底数不同而真数相同，如y ＝log a 1x 与y ＝log a 2x 的比较(a 1>0，a 1≠1，a 2>0，a 2≠1)．当a 1>a 2>1时，曲线y 1比y 2的图象(在第一象限内)上升得慢．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2.而在第一象限内，图象越靠近x 轴对数函数的底数越大．当0<a 2<a 1<1时，曲线y 1比y 2的图象(在第四象限内)下降得快．即当x >1时，y 1<y 2；当0<x <1时，y 1>y 2即在第四象限内，图象越靠近x 轴的对数函数的底数越小．已知log a 12<1，那么a 的取值范围是________．分析 利用函数单调性或利用数形结合求解．解析 由log a 12<1＝log a a ，得当a >1时，显然符合上述不等式，∴a >1；当0<a <1时，a <12，∴0<a <12.故a >1或0<a <12.答案 a >1或0<a <12点评 解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答．理解会用以下几个结论很有必要：(1)当a >1时，log a x >0⇔x >1，log a x <0⇔0<x <1； (2)当0<a <1时，log a x >0⇔0<x <1，log a x <0⇔x >1.题型三 函数图象的应用若不等式2x －log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解要使不等式2x<logax 在x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时恒成立，即函数y=logax的图象在⎪⎭⎫⎝⎛21,0内恒在函数y=2x 图象的上方，而y=2x 图象过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21.由图可知，loga 21>2，显然这里0<a<1，∴函数y=logax 递减． 又loga 21>2=log 2aa ，∴a 2>21，即a>2221⎪⎭⎫⎝⎛.∴所求的a 的取值范围为2221⎪⎭⎫⎝⎛<a<1.点评 原问题等价于当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛21,0时，y1=2x 的图象在y2=logax 的图象的下方，由于a 的大小不确定，当a>1时，显然y2<y1，因此a 必为小于1的正数，当y2的图象通过点⎪⎭⎫⎝⎛2,21时，y2满足条件，此时a 0=2221⎪⎭⎫⎝⎛.那么a 是大于a 0还是小于a 0才满足呢？可以画图象观察，请试着画一画．这样可以对数形结合的方法有更好地掌握．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．错解∵f(x)的值域是R，∴ax2＋2x＋1>0对x∈R恒成立，即{a>0Δ<0⇔{a>04－4a<0⇔a>1.错因分析出错的原因是分不清定义域为R与值域为R的区别．正解函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)的值域是R⇔真数t＝ax2＋2x＋1能取到所有的正数．当a＝0时，只要x>－12，即可使真数t取到所有的正数，符合要求；当a≠0时，必须有{a>0Δ≥0⇔{a>04－4a≥0⇔0<a≤1.∴f(x)的值域为R时，实数a的取值范围为[0,1]．本节内容在高考中考查的形式、地位与指数函数相似，着重考查对数的概念与对数函数的单调性，考查指数、对数函数的图象、性质及其应用．1．(广东高考)已知函数f (x )＝11－x的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C ．{x |－1<x <1}D ．∅解析 由题意知M ＝{x |x <1}，N ＝{x |x >－1}． 故M ∩N ＝{x |－1<x <1}． 答案 C2．(湖南高考)下列不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32解析 ∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 25>log 23>log 22＝1.又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴log 32<log 33＝1.∴log 32<log 23<log 25. 答案 A3．(全国高考)若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a 解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t >0.∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a . ∴c >a >b . 答案 C1．已知函数f (x )＝1＋2x 的定义域为集合M ，g (x )＝ln(1－x )的定义域为集合N ，则M ∩N 等于( )A ．{x |x >－1}B ．{x |x <1}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－12<x <1D ．∅答案 C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x ，若f (a )＝12，则f (－a )等于( )A.12 B ．－12 C ．－2 D ．2 答案 B解析 f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝－lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋a 1－a －1 ＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－12.3．已知a ＝log 23，b ＝log 32，c ＝log 42，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b 答案 A解析 因为a ＝log 23>1，b ＝log 3 2<1，所以a >b ； 又因为2>3，则log 32>log 33＝12， 而log 42＝log 22＝12， 所以b >12，c ＝12，即b >c .从而a >b >c .4．函数f (x )＝lg|x |为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数答案 D解析已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，|x|＝x，即函数y＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．5．函数y＝a x与y＝－log a x (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为( )答案 A解析方法一若0<a<1，则曲线y＝a x下降且过(0,1)，而曲线y＝－log a x上升且过(1,0)；若a>1，则曲线y＝a x上升且过(0,1)，而曲线y＝－log a x下降且过(1,0)．只有选项A满足条件．方法二注意到y＝－log a x的图象关于x轴对称的图象的表达式为y＝log a x，又y＝log a x与y＝a x互为反函数(图象关于直线y＝x 对称)，则可直接选定选项A.6．设函数f (x )＝log 2a (x ＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为( )A ．(0，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎪⎫12，1D.⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，12 答案 D解析 已知－1<x <0，则0<x ＋1<1，又当－1<x <0时，都有f (x )>0，即0<x ＋1<1时都有f (x )>0，所以0<2a <1，即0<a <12.7．若指数函数f (x )＝a x (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式log a (x ． 答案 {x |1<x <2}解析 由题可知a ＝1.2，∴log 1.2(x －1)<0， ∴log 1.2(x －1)<log 1.21，解得x <2， 又∵x －1>0，即x >1，∴1<x <2. 故原不等式的解集为{x |1<x <2}．8．函数y ＝log a x (1≤x ≤2)的值域为[－1,0]，那么a 的值为________．答案 12解析 若a >1，则函数y ＝log a x 在区间[1,2]上为增函数，其值域不可能为[－1,0]；故0<a <1，此时当x ＝2时，y 取最小值－1， 即log a 2＝－1，得a －1＝2，所以a ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1log a x ，x ≥1是实数集R 上的减函数，那么实数a 的取值范围为__________．答案⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫17，13 解析 函数f (x )为实数集R 上的减函数， 一方面，0<a <1且3a －1<0，所以0<a <13，另一方面，由于f (x )在R 上为减函数， 因此应有(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，即a ≥17.因此满足题意的实数a 的取值范围为17≤a <13.10．已知f (x )＝1＋log 2x (1≤x ≤4)，求函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值和最小值．解∵f(x)的定义域为[1,4]，∴g(x)的定义域为[1,2]．∵g(x)＝f2(x)＋f(x2)＝(1＋log2x)2＋(1＋log2x2)x＋2)2－2，＝(log2又1≤x≤2，∴0≤log2x≤1.∴当x＝1时，g(x)min＝2；当x＝2时，g(x)max=7.学习目标1．掌握对数函数的概念、图象和性质．2．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．自学导引1．对数函数的定义：一般地，我们把函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．2．对数函数的图象与性质定义y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过点(1,0)，即log a1＝函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0]对称性函数y＝log a x与y＝log1a x 的图象关于x轴对称对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)和指数函数y ＝a x _(a >0且a ≠1)互为反函数．一、对数函数的图象例1 下图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取3，43，35，110，则图象C 1，C 2，C 3，C 4相应的a 值依次是( ) A.101,53,34,3B ．53,101,34,3C ．101,53,3,34D ．53,101,3,34 答案 A解析 方法一 因为对数的底数越大，函数的图象越远离y 轴的。
小学数学中的对数与指数简介
小学数学中的对数与指数简介对数与指数是数学中的基础概念，它们在小学数学中也有一定的应用。
本文将对对数与指数在小学数学中的简介进行讨论。
一、对数的概念及性质对数是指数运算的逆运算。
在小学数学中，对数常用于解决指数方程，特别是底数相同的指数方程。
在数学中，我们常见的对数有自然对数和常用对数。
自然对数以e为底，常用对数以10为底。
对数的定义如下：设a为正实数，且a≠1，那么对数函数log_a(x)（读作“以底数a为底x的对数”或“log a x”）表示满足a^log_a(x) = x的唯一实数。
其中，x称为真数，a称为底数，log_a(x)称为对数。
对数具有以下性质：1. log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y)，即两数相乘的对数等于对数的和。
2. log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)，即两数相除的对数等于对数的差。
3. log_a(x^n) = nlog_a(x)，即一个数的指数的对数等于指数与底数对数的乘积。
4. log_a1 = 0，即底数的对数等于1。
二、指数的概念及性质指数是表示重复乘积的运算。
在小学数学中，指数常用于表示幂运算，也用于解决对数方程。
指数的定义如下：对于非零实数a和自然数n，a的n次幂（记作a^n）表示n个因子都是a的乘积。
指数具有以下性质：1. a^m * a^n = a^(m+n)，即相同底数的指数相乘等于指数的和。
2. (a^m)^n = a^(mn)，即一个数的指数的指数等于指数的乘积。
3. a^(-n) = 1/(a^n)，即一个非零实数的负指数等于该数的倒数的正指数。
三、对数与指数的应用对数与指数在小学数学中有一定的应用。
例如在解决指数方程时，我们常常需要使用对数。
对数可以将指数方程转化为对数方程，更易于解决。
另外，对数与指数也与科学计数法密切相关。
科学计数法是一种表示较大或较小数值的方法，可以简化数值的表示。
科学计数法中的指数部分即为对数的应用。
对数与对数运算学习讲解
对数与对数运算学习讲解1.对数的定义一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记做x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.解读：(1)由对数定义可以知道，当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N ，也就是说指数式与对数式实际上是表示a 、N 之间的同一种关系的两种形式，因此可以互相转化；(2)根据对数定义可以知道，a log a N ＝N ，即a 的log a N 次方等于N ，对数恒等式也是化简或计算的重要公式.2.对数的性质(1)零和负数没有对数，由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)中N 总是正数；(2)1的对数为0，由于任何非零实数的零次幂都等于1，所以log a 1＝0；(3)底数的对数等于1，由于a 1＝a 对于任何非零实数都成立，所以log a a ＝1.3.对数的运算性质若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ，即正数积的对数，等于同一底数的各个数的对数和；(2)log a M N＝log a M －log a N ，即两个正数商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数；(3)log a M n ＝n log a M ，正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数.这些性质一般运用于对数的计算、化简或证明中.例1 将下列对数式化成指数式、指数式化成对数式：(1)log3127＝－3；(2)log232＝5；(3)63＝216；(4)10－3＝0.001.解(1)3－3＝127；(2)25＝32；(3)log6216＝3；(4)log100.001＝－3，也可写成lg 0.001＝－3.评注本题考查了对数式与指数式的互化.解题所用知识都是依据对数的定义，要注意对数的真数是指数的幂，对数的值是指数式中的指数.例2 求下列各式的值：(1)3log72－log79＋2log7322；(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.解(1)原式＝log723－log79＋log7(322)2＝log723×32229＝log71＝0；(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5·(lg 5＋2lg 2)＋(lg 2)2＝2(lg 5＋lg 2)＋(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.评注利用对数的运算性质求值和化简，是对数运算常见的题型，对数运算性质的正向运用可以把真数的乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，这样就简化了计算，体现了利用对数运算的优越性.。
对数的概念
对 数对数的概念学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．知识点一 对数的有关概念对数的概念：一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．常用对数与自然对数：通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e ＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，log 10N 可简记为lg N ，log e N 简记为ln N .知识点二 对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇔log a N ＝x .对数恒等式：log a N a ＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1)．知识点三 对数的性质1．1的对数为零．2．底的对数为1.3．零和负数没有对数．1．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )2．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ )3．log a N >0(a >0且a ≠1，N >0)．( × )4．若ln N ＝12，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × )一、指数式与对数式的互化例1 将下列指数式与对数式互化：(1)2－2＝14；(2)102＝100； (3)e a ＝16；(4)1364-＝14； (5)log 39＝2；(6)log x y ＝z (x >0且x ≠1，y >0)．解 (1)log 214＝－2. (2)log 10100＝2，即lg 100＝2.(3)log e 16＝a ，即ln 16＝a .(4)log 6414＝－13. (5)32＝9.(6)x z ＝y .反思感悟 指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：(1)log 216＝4；(2)13log 27＝－3；(3)43＝64；(4)⎝⎛⎭⎫14－2＝16.解 (1)由log 216＝4，可得24＝16.(2)由13log 27＝－3，可得⎝⎛⎭⎫13－3＝27.(3)由43＝64，可得log 464＝3.(4)由⎝⎛⎭⎫14－2＝16，可得14log 16＝－2.二、利用对数式与指数式的关系求值例2 求下列各式中x 的值：(1)log 64x ＝－23；(2)log x 8＝6；(3)lg 100＝x . 解 (1)2233364(4)x --==＝4－2＝116.(2)因为x 6＝8，所以1111636662()8(2)2x x =====(3)10x ＝100＝102，于是x ＝2. 反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．跟踪训练2 (1)计算log 927；的值；(2)求下列各式中x 的值：①log 27x ＝－23；②log x 16＝－4. 解 (1)设x ＝log 927，则9x ＝27,32x ＝33，∴2x ＝3，x ＝32.设81x =，则x ＝81,43x ＝34，∴x 4＝4，x ＝16. (2)①∵log 27x ＝－23， ∴2233327(3)x --==＝3－2＝19. ②∵log x 16＝－4，∴x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫124， ∴x ＝12. 三、利用对数性质及对数恒等式求值例3 求下列各式中x 的值：(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)71log 57.x －＝解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1 000. (3)771log 5log 5777775.5x ÷÷－＝＝＝＝ 反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．log a N ＝0⇒N ＝1；log a N ＝1⇒N ＝a 使用频繁，应在理解的基础上牢记．(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：log log .a N N a a N a N ＝，＝跟踪训练3 (1)设3(log 21)327x ＋＝，则x ＝ .答案 13 (2)若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6答案 A解析 ∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1.∴x ＝3.同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.1．将⎝⎛⎭⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2 B ．13log 9＝－2 C ．13log (2)-＝9D ．log 9(－2)＝13答案 B解析 根据对数的定义，得13log 9＝－2，故选B.2．若log a x ＝1，则( )A ．x ＝1B ．a ＝1C ．x ＝aD ．x ＝10答案 C3．方程3log 2x ＝14的解是( ) A ．x ＝19 B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9 答案 A解析 ∵3log 2x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19. 4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0B ．138-＝12与log 812＝－13C ．log 39＝2与129＝3D ．log 77＝1与71＝7 答案 C5．已知log x16＝2，则x＝.答案 4解析log x16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，又因为x>0且x≠1，所以x＝4.1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的性质．2．方法归纳：(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．1．有下列说法：①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确说法的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，a x＝N才能化为对数式．2．已知－ln e2＝x，则x等于()A．－1 B．－2 C．1 D．2答案 B解析因为－ln e2＝x，所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.3．若log a 5b＝c，则下列等式正确的是()A．b5＝a c B．b＝a5c C．b＝5a c D．b＝c5a 答案 B解析由log a 5b＝c，得a c＝5b，所以b＝a5c.4．下列四个等式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2. 其中正确的是()A．①③B．②④C．①②D．③④答案 C解析①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝e e.故只有①②正确．5．若log a3＝m，log a5＝n，则a2m＋n的值是()A．15 B．75 C．45 D．225答案 C解析由log a3＝m，得a m＝3，由log a5＝n，得a n＝5，∴a2m＋n＝(a m)2·a n＝32×5＝45.6．＝.答案8解析设81＝t，则(3)t＝81,23t＝34，t2＝4，t＝8.7．已知log7[log3(log2x)]＝0，那么12x ＝.答案2 4解析∵log7[log3(log2x)]＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴23＝x，∴12x -＝()1322-＝18＝122＝24. 8．若对数log (x －1)(2x －3)有意义，则x 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎭⎫32，2∪(2，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x －1≠1，2x －3>0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，x ≠2，x >32，得x >32且x ≠2. 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．(1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)12log 8＝－3；(4)log 3127＝－3. 解 (1)∵53＝125，∴log 5125＝3.(2)∵4－2＝116，∴log 4116＝－2. (3)∵12log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8. (4)∵log 3127＝－3，∴3－3＝127. 10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．①log 2x ＝－25；②log x 3＝－13. (2)已知6a ＝8，试用a 表示下列各式．①log 68；②log 62；③log 26.解 (1)①因为log 2x ＝－25，所以x ＝252-＝582. ②因为log x 3＝－13，所以13x -＝3，所以x ＝3－3＝127. (2)①log 68＝a .②由6a ＝8得6a ＝23，即36a ＝2，所以log 62＝a 3. ③由36a ＝2得32a ＝6，所以log 26＝3a.11．方程lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)的根为( )A ．－3B ．3C ．－1或3D ．1或－3 答案 B解析 由lg(x 2－1)＝lg(2x ＋2)，得x 2－1＝2x ＋2，即x 2－2x －3＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.经检验x ＝－1是增根，所以原方程的根为x ＝3. 12.0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为( )A ．6 B.72 C ．8 D.37答案 C解析 0.51log 412-+⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫12－1·12log 412⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2×4＝8.13．若log (1－x )(1＋x )2＝1，则x ＝ . 答案 －3解析 由log (1－x )(1＋x )2＝1，得(1＋x )2＝1－x ， ∴x 2＋3x ＝0，∴x ＝0或x ＝－3.注意到⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－x ≠1，∴x ＝－3. 14．若x 满足(log 2x )2－2log 2x －3＝0，则x ＝ .答案 8或12解析 设t ＝log 2x ，则原方程可化为t 2－2t －3＝0，解得t ＝3或t ＝－1， 所以log 2x ＝3或log 2x ＝－1，所以x ＝23＝8或x ＝2－1＝12.15．若a >0，23a ＝49，则23log a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 B解析 因为23a ＝49，a >0， 所以a ＝3249⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫233， 设23log a ＝x ，所以⎝⎛⎭⎫23x ＝a .所以x ＝3.16．若12log x ＝m ，14log y ＝m ＋2，求x 2y 的值． 解 因为12log x ＝m ，所以⎝⎛⎭⎫12m ＝x ，x 2＝⎝⎛⎭⎫122m . 因为14log y ＝m ＋2，所以⎝⎛⎭⎫14m ＋2＝y ，y ＝⎝⎛⎭⎫122m ＋4. 所以x 2y ＝⎝⎛⎭⎫122m ⎝⎛⎭⎫122m ＋4＝⎝⎛⎭⎫122m －(2m ＋4)＝⎝⎛⎭⎫12－4＝16.。
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2. 2.1第一课时 对数的概念教案【教学目标】1.理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化2.渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，提高数学发现能力【教学重难点】 重点：对数的概念难点：对数概念的理解. 【教学过程】一、预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、情景导入、展示目标。
（一）复习引入：1庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？2假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？抽象出：1. ＝？，＝0.125x=? 2. =2x=?也是已知底数和幂的值，求指数你能看得出来吗？怎样求呢？（二）新授内容：定义：一般地，如果 的b 次幂等于N, 就是，那么数 b 叫做 以a 为底 N 的对数，记作 ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数例如： ;; 探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）⑵，∵对任意 且 , 都有 ∴同样易知： ⑶对数恒等式如果把 中的 b 写成 , 则有421⎪⎭⎫ ⎝⎛x⎪⎭⎫ ⎝⎛21⇒()x%81+⇒()1,0≠>a a a N a b=b N a =log 1642=⇔216log 4=100102=⇔2100log 10=2421=⇔212log 4=01.0102=-⇔201.0log 10-=01log =a 1log =a a 0>a 1≠a 10=a 01log =a 1log =a a N a b=N a log N aNa =log⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N 的常用对数简记作lgN例如：简记作lg5 ; 简记作lg3.5.⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，为了简便，N 的自然对数简记作lnN例如：简记作ln3 ; 简记作ln10（6）底数的取值范围；真数的取值范围（三）合作探究，精讲点拨 探究一：指对互化例1将下列指数式写成对数式：（课本第87页） （1）=625 （2）=（3）=27 (4) =5.73解析：直接用对数式的定义进行改写． 解：（1）625=4； （2）=-6； （3）27=a ； （4）点评：主要考察了底真树与幂三者的位置． 变式练习１： 将下列对数式写成指数式： （1）； （2）128=7；（3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303解：（1） （2）=128；（3）=0.01； （4）=10探究二：计算例２计算： ⑴，⑵，⑶，⑷解析：将对数式写成指数式，再求解． 解：⑴设 则 , ∴ ⑵设 则, , ∴N 10log 5log 105.3log 10N e log 3log e 10log e ),1()1,0(+∞ ,0(+∞4562-641a3m ）（315log 2log 6413log m =73.5log 31416log 21-=2log 16)21(4=-72210-303.2e27log 981log 43()()32log 32-+625log 345=x 27log 9,279=x3233=x23=x =x 81log 43()8134=x4433=x 16=x⑶令 =,∴, ∴⑷令 , ∴, , ∴点评：考察了指数与对数的相互转化． (四)小结：本节主要学习了对数的概念，要熟练的进行指对互化． 【板书设计】 一、对数函数概念 二、例题例1 变式1 例2 变式2【作业布置】导学案课后练习与提高2.2.1对数的概念导学案课前预习学案一、预习目标了解对数的概念，知道常用对数与自然对数以及这两种对数符号的记法，了解对数恒等式，二、预习内容 对数概念：1.一般地，如果()的次幂等于，即，那么数叫做 ，记作．其中，叫做对数的 ，叫做 ．例如：，读作：以3为底9的对数为2 ．（1）概念分析：对数式中各字母的取值范围：： ； ： ； ： ．（2）零和负数没有对数；1的对数为0，即（且）；底数的对数为1，即（且）．2.以10为底的对数称为 ，以e 为底的对数称为3.三、提出疑惑=x ()()32log 32-+()()13232log -++()()13232-+=+x1-=x =x 625log 345()625534=x43455=x 3=x a 0,1a a >≠b N b a N =b log a N b =a N 2339 log 92=⇒=log a b N =a 0,1a a >≠b b R ∈N 0N >log 10a =0a >1≠a log 1a a =0a >1≠a log ba a =log a Na =课内探究学案一、 学习目标1、 理解指数式与对数式的相互关系，能熟练进行指数式与对数式的互化。
2‘2、 并能运用恒等式进行计算。
学习重难点：理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化、二、 学习过程 （一）合作探究探究一.指数式和对数式互化 1.将下列指数式写成对数式：解析：直接用对数式的定义进行改写．解：点评：主要考察了底真树与幂三者的位置．变1.将下列对数式写成指数式：探究二.求对数值2、⑴，⑵，⑶，⑷解析：将对数式写成指数式，再求解． 解：点评：考察了指数与对数的相互转化．变2.求下列对数的值（1） （2） （3）42115625 10 81 () 5.731003a m e -===①②③④＝2121log 16 4 log 7 lg 0.01 2 ln10 2.303128=-=-=-①②③④＝27log 981log 43()()32log 32-+625log 34572log4)381(log 3课后练习与提高1．对数式的值为 （ ）（A ） 1（B ）-1（C ）（D ）-2、若log [ log ( lo g x)] = 0，则x 为( )．(A)． (B)．(C)．(D)．3.计算 （1） （2）4.已知且，，，求的值。
73221-32133121423(2log 2)3+=52log 35=0a >1a ≠log 2a m =log 3a n =2m na +2. 2.1第二课时 对数的运算性质【教学目标】1．知识目标：掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能力目标：能较熟练地运用法则解决问题； 【教学重难点】重点、对数运算性质难点：对数运算性质的证明方法. 【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。
（一）、复习引入：1．对数的定义 其中 a 与 N2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵，⑶对数恒等式3．指数运算法则（二）、新授内容：积、商、幂的对数运算法则：如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：证明：①设M=p, N=q b N a =log ∈),1()1,0(+∞ ∈,0(+∞01log =a log =a a N aNa =log )()(),()(),(R n b a ab R n m aa R n m a a a n n n mnnm n m n m ∈⋅=∈=∈=⋅+)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=a log a log由对数的定义可以得：M=，N=∴MN= = ∴MN=p+q ，即证得MN=M + N ②设M=p ，N=q由对数的定义可以得M=，N=∴∴ 即证得 ③设M=P 由对数定义可以得M=,∴＝ ∴=np ， 即证得=n M说明：上述证明是运用转化的思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式 ①简易语言表达：“积的对数 = 对数的和”……②有时逆向运用公式：如③真数的取值范围必须是：是不成立的是不成立的④对公式容易错误记忆，要特别注意：，（三）、合作探究，精讲点拨 例1 计算（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg 解析：用对数的运算性质进行计算．解：（1）25= =2（2）1=0（3）（×25）= +p a qa paq a q p a +a log a log a log a log a log a log p a qa q p q pa aa N M -==q p N M a -=log N M NMa a alog log log -=a log pa n M np a a log n M a log nM a log 10log 2log 5log 101010==+),0(+∞)5(log )3(log )5)(3(log 222-+-=--)10(log 2)10(log 10210-=-N M MN a a a log log )(log ⋅≠N M N M a a a log log )(log ±≠±5log 4.0log 2log 745251005log 5log 254.0log 2log 742log 742log 52= + = 2×7+5=19（4）lg = 点评：本题主要考察了对数性质的应用，有助于学生掌握性质． 例2 用，，表示下列各式：解析：利用对数的性质化简． 解：（1）=（xy ）-z=x+y- z （2）=（= +=2x+点评：熟悉对数的运算性质． 变式练习、计算： (1)lg14-2lg+lg7-lg18 (2) (3) 说明：此题可讲练结合. (1)解法一：lg14-2lg+lg7-lg18 =lg(2×7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(×2) =lg2+lg 7-2lg7+2lg3+lg7-2lg3-lg2=0解法二：lg14-2lg +lg7-lg18=lg14-lg +lg7-lg18=lg评述：此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.2log 722⨯2log 52510052lg1052log10512==x a log y a log z a log 32log )2(;(1)log zyx zxyaa zxyalog a log a log a log a log a log 32log zyx aa log 2x3log )z y a -a log 2x a log 3log z y a -a log z y a a log 31log 21-379lg 243lg 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+3723372)37(01lg 18)37(7142==⨯⨯23lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg )2(25===评述：此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3)题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系.(2)题要避免错用对数运算性质. （四）、反思总结，当堂检测 1.求下列各式的值：（１）６－３ （２）lg ５＋lg ２2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg ；【板书设计】一、对数概念及其运算性质 二、例题 例1 变式1 例2 变式2【作业布置】导学案课后练习与提高2.2.1对数的运算性质导学案1023lg)10lg(32lg )3lg(2.1lg 10lg 38lg 27lg )3(2213213⨯=+=-+212lg 23lg )12lg 23(lg 23=-+-+=2log 2log zxy 2课前预习学案一、预习目标初步了解对数的运算性质，知道推导这些法则的依据和过程； 二、预习内容1．对数的定义 其中 a 与 N2．指数式与对数式的互化3.重要公式：⑴负数与零没有对数；⑵ ，⑶对数恒等式3．指数运算法则 三、提出疑惑课内探究学案三、 学习目标1．掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能较熟练地运用法则解决问题； 学习重点、对数运算性质学习难点：对数运算性质的证明方法.四、 学习过程 （一）合作探究探究一：积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：解析：利用对数的性质与对数式与指数式的关系证明． 点评：知道公式的推倒过程有利于学生掌握公式．探究二 例1 计算（1）25， （2）1， （3）（×）， （4）lg 解析：用对数的运算性质进行计算．b N a =log ∈),1()1,0(+∞ ∈,0(+∞=1log a =a a log =Na alog )_______()(),______()(),_____(R n ab R n m a R n m a a n nm n m ∈=∈=∈=⋅)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log NM log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=5log 4.0log 2log 74525100解：点评：本题主要考察了对数性质的应用，有助于学生掌握性质．例2 用，，表示下列各式：解析：利用对数的性质化简． 解：点评：熟悉对数的运算性质．变式练习：计算： (1)lg14-2lg +lg7-lg18 (2) (3)（二）反思总结（三）当堂检测 1.求下列各式的值：（１）６－３ （２）lg ５＋lg ２x a log y a log z a log 32log )2(;(1)log zyx zxyaa 379lg 243lg 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+2log 2log2. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式：(1) lg （xyz ）； （２）lg ；课后练习与提高1．若3a =2,则log 38-2log 36用a 的代数式可表示为（ ） （A ）a-2 （B ）3a-(1+a)2 （C ）5a-2 （D ）3a-a 2２、已知lga ，lgb 是方程2x －4x ＋1 = 0的两个根，则(lg )的值是( )． (A)．4 (B)．3 (C)．2 (D)．1 ３、下列各式中正确的个数是 ( )．① ② ③（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3４．已知，，那么______．５、若lg2 = a ，lg3 = b ，则lg =_____________． ６. 用lg ｘ，lg ｙ，lg ｚ表示下列各式： （１）； （２） zxy 22ba 254zxy 3lgzy x 2lg2. 2.1第三课时 对数的运算性质的应用【教学目标】1．知识目标：掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程； 2．能力目标：能较熟练地运用法则解决问题； 【教学重难点】重点：对数运算性质难点：对数运算性质的应用. 【教学过程】(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。