【新学案】高二数学人教A版必修5(浙江专用)课件第一章 解三角形 本章整合

������2 = ������2 + ������ 2 -2bc������������������A,������2 = ������ 2 + ������2 -2ac������������������B,������ 2 = ������2 + ������2 -2ab������������������C 余弦定理 ������������������A =
应用 1 如图,已知在四边形 ABCD 中,AD ⊥CD,AD=10,AB=14,∠ BDA=60° ,∠BCD=135 ° ,求 BC 的长.
专题一
专题二
专题三
提示:本题中的图形是由两个三角形组成的四边形,在 △ABD 中,已知 两边和一边的对角,用正弦定理可求出另一边的对角,但得不到其与△BCD 的关系,可再考虑用余弦定理求出 BD,其恰是两个三角形的公共边,这样可 在△BCD 中应用正弦定理求 BC 的长.
专题一
专题二
专题三
提示:借助于正弦定理转化为讨论 A+B 的范围. 解析: ∵ cos A=sin
������ -A 2 ������ 2
,∴ sin
������ -A 2 ������ 2
>sin B.
又 A,B 均为锐角, ∴ -A 为锐角,∴ -A>B. ∴ A+B< ,又 A+B+C=π, ∴ C> ,∴ △ABC 是钝角三角形. 答案: C
������ 2
C 2
sin(A+B)=sin C,sin
2
③在△ABC 中,a +b <c ⇔cos C<0⇔ <C<π,a +b =c ⇔cos C=0⇔C= ,a2+b2>c2⇔cos C>0⇔0<C< .
������ 2 ������ 2
������ 2
2
2
2
专题一
专题二
专题三
应用 1 在△ABC 中,2acos B=c,则△ABC 是( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形
专题一
专题二
专题三
①在△ABC 中,A>B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B;A=B⇔a=b⇔sin A=sin B⇔cos A=cos B. ②在△ABC 中,A+B+C=π,A+B=π-C,
A+B C =cos . 2 2
2 2
A+B 2
= − ,则 cos(A+B)=-cos C,
a2 +c2-b 2a· 2ac
2
=c.
方法二 :由正弦定理,得 2× 2Rsin Acos B=2Rsin C,
专题一
专题二
专题三
即 2sin Acos B=sin C. 又 sin(A+B)+sin(A-B)=2sin Acos B, 所以 sin(A+B)+sin(A-B)=sin C. 又 A+B+C=π,所以 sin(A+B)=sin C, 所以 sin(A-B)=0. 又 0<A<π,0<B< π,则-π<A-B<π. 所以有 A=B,则 △ABC 是等腰三角形. 答案:A
专题一
专题二
专题三
解析:由直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离, 得
c a2+b
2
>1,即 a +b <c ,
a2 +b -c2 C= <0, 2ab
2
2
2
2
于是 cos
故角 C 是钝角,△ABC 是钝角三角形. 答案:D
专题一
专题二
专题三
应用 3 在△ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cos A> sin B,则△ABC 的形状是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
)
提示:思路一,转化为三角形的边的关系,利用代数运算获得三角形的边 之间的关系式 ;思路二,转化为三角形的角的关系,利用三角函数知识获得三 角形的角之间的关系式.由于受三角函数知识的限制,提倡将已知条件等式 转化为边的关系来判断三角形的形状.
专题一
专题二
专题三
解析:方法一 :由余弦定理,得 所以 a2+c2-b2=c2,则 a=b. 所以△ABC 是等腰三角形.
本章整合
正弦定理
a ������������������A
=
b ������������������B
=
c ������������������C
解三角形
已知两角和一边:先求第三个角,再用正弦定理求出另两边 已知两边及其中一边的对角:先用正弦定理求出另一边的对角,再求第三个角和第三条边
距离问题 高度问题 应用举例 角度问题 几何计算问题
������ 2 ������ 2
专题一
专题二
专题三
专题二 正弦定理、余弦定理与三角函数的综合运用
以三角形为载体,以正弦定理、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手 段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中,通常 交替使用正弦定理、余弦定理,以达到简化解题的目的.
专题一
专题二
专题三
������ +������2 -������2 ,������������������B 2������������
2
=
������2 +������2 -������ 2������������
2
,������������������C =
������2 +������ -������2 2������������
2
解三角形
已知三边:用余弦定理求出两角,用三角形内角和定理求出第三个角 已知两边和它们的夹角:用余弦定理求出另一边和一角,再求出第三个角
专题一
专题二
专题三
专题一
判断三角形的形状
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式) 判断三角 形的形状时,需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的 关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型,此类题目要求准确 地把握三角形的分类,三角形按边的关系分为等腰三角形、 等边三角形和不 等边三角形;三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角 形. 判断三角形的形状,一般有以下两种途径 :将已知条件统一化成边的关 系,用代数方法求解;将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解,在解 三角形时常用的结论有 :
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题一
专题二
专题三
应用 2 若 a,b,c 是△ABC 的三边,直线 ax+by+c=0 与圆 x2+y2=1 相离, 则△ABC 一定是( )
A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 提示:由直线与圆相离,得圆心到直线的距离大于半径,列出关于 a,b,c 的不等式,再用余弦定理来确定角的范围.