2020-2021学年高考数学(理)考点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

2020-2021学年高考数学（理）考点：函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用
1．简谐运动的有关概念
2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )一个周期内的简图时，要找五个特征点
3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径．
概念方法微思考
1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？ 提示 向左平移φ
ω
个单位长度．
2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？对称中心是什么？ 提示 对称轴是直线x ＝k πω＋π2ω－φ
ω(k ∈Z )，
对称中心是点⎝⎛⎭⎫k πω－φω，0(k ∈Z )．
1．（2020•新课标Ⅰ）设函数()cos()6f x x π
ω=+在[π-，]π的图象大致如图，则()f x 的最小正周期
为( )
A ．
109
π
B ．
76
π C ．
43
π D ．
32
π 【答案】C
【解析】由图象可得最小正周期小于413()99πππ--=
，大于4102()99
ππ
π⨯-=，排除A ，D ； 由图象可得44()cos()0996
f πππ
ω-=-+=， 即为4962
k πππ
ωπ-
+=+，k Z ∈，(*) 若选B ，即有212776
πωπ=
=，由4129762k πππ
π-⨯+=+，可得k 不为整数，排除B ； 若选C ，即有23423
πωπ=
=，由439262k ππππ-⨯+=+，可得1k =-，成立． 故选C ．
2．（2019•天津）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最
小正周期为2π
，且()4g π，则3()(8
f π
= )
A ．2- B
．C
D ．2
【答案】C 【解析】
()f x 是奇函数，0ϕ∴=，
则()sin()f x A x ω=
将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．
即1
()sin()2
g x A x ω=
()g x 的最小正周期为2π，
∴
2212
π
πω=，得2ω=，
则()sin g x A x =，()sin 2f x A x =，
若()4
g π
，则()sin 44g A ππ==2A =，
则()2sin 2f x x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯=== 故选C ．
3．（2019•天津）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对
应的函数为()g x ．若()4g π=，则3()(8
f π
= )
A ．2-
B ．
C
D ．2
【答案】C 【解析】
()f x 是奇函数，0ϕ∴=，
()f x 的最小正周期为π，
∴
2π
πω
=，得2ω=，
则()sin 2f x A x =，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()sin g x A x =，
若()4
g π
，则()sin 44g A ππ==2A =，
则()sin 2f x A x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯== 故选C ．
4．（2018•全国）要得到cos y x =，则要将sin (y x = ) A ．向左平移π个单位 B ．向右平移π个单位
C ．向左平移2π
个单位 D ．向右平移
2
π
个单位 【答案】C
【解析】要将sin y x =的图象向左平移2π个单位，可得sin()cos 2
y x x π
=+=的图象， 故选C ．
5．（2018•天津）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，所得图象对应的函数( )
A ．在区间3[
4π，5]4
π
上单调递增 B ．在区间3[
4
π
，]π上单调递减
C ．在区间5[4π，3]2
π
上单调递增 D ．在区间3[
2
π
，2]π上单调递减 【答案】A
【解析】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，
得到的函数为：sin 2y x =， 增区间满足：2222
2
k x
k π
π
ππ-++，k Z ∈，
减区间满足：
32222
2
k x k π
π
ππ++，k Z ∈， ∴增区间为[4
k π
π-
+，
]4
k π
π+，k Z ∈，
减区间为[4
k π
π+，3]4k ππ+，k Z ∈，
∴将函数sin(2)5
y x π
=+
的图象向右平移
10
π
个单位长度，
所得图象对应的函数在区间3[4π，5]4
π
上单调递增． 故选A ．
6．（2018•天津）将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，所得图象对应的函数( )
A ．在区间[,]44ππ
-上单调递增
B ．在区间[4
π
-
，0]上单调递减
C ．在区间[,]42ππ
上单调递增
D ．在区间[2
π
，]π上单调递减
【答案】A
【解析】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10
π
个单位长度，
所得图象对应的函数解析式为sin[2()]sin 2105
y x x ππ
=-
+=．
当[,]44x ππ∈-时，2[2
x π∈-，]2π
，函数单调递增；
当[
4x π
∈，]2π时，2[2
x π
∈，]π，函数单调递减； 当[4
x π
∈-，0]时，2[2
x π
∈-
，0]，函数单调递增；
当[
2
x π
∈，]π时，2[x π∈，2]π，函数先减后增．
故选A ．
7．（2020•海南）如图是函数sin()y x ωϕ=+的部分图象，则sin()(x ωϕ+= )
A ．sin()3x π
+
B ．sin(2)3
x π
-
C ．cos(2)6
x π
+
D ．5cos(
2)6
x π
- 【答案】BC
【解析】由图象知函数的周期22()36
T ππ
π=⨯-=，即2ππω=，即2ω=， 由五点对应法得26
π
ϕπ⨯+=，
得23
πϕ=， 则
22()sin(2)cos(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)32366263
f x x x x x x x ππππππππ
=+
=--=--=+=--=- 故选BC ．
1．（2020•马鞍山三模）将函数1|sin 2|2y x =+图象上的所有点先向左平移12
π
个单位长度，再向下平移
1
2
个单位长度得到函数()y f x =的图象，则函数()y f x =在[0，2]π上零点的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
【答案】C
【解析】将函数1|sin 2|2y x =+
图象上的所有点先向左平移12
π
个单位长度， 可得1
|sin(2)|62
y x π=++的图象；
再向下平移
12个单位长度得到函数11
()|sin(2)|622
y f x x π==++- 的图象． 在[0，2]π上，2[66x π
π+
∈，4]6
π
π+．
令()0f x =，可得11
|sin(2)|622
x π++=，
故 sin(2)06x π+=，或sin(2)16
x π
+=-．
由sin(2)06x π+= 可得，26x π
π+=，2π，3π，4π， 即512x π=
，1112π，1712π，2312
π． 由sin(2)16x π+=-可得，3262x ππ+=，或7262
x ππ
+=，
即23x π=
，或53
x π=． 故()f x 在[0，2]π上零点的个数为6，这6个零点分别为512π，1112π，1712π，2312π，23
π
，53π． 故选C ．
2．（2020•福州三模）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象上相邻两条对称轴的距离为2
π
，把()
f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移53
π
个单位长度，得到函数()g x 的图象，则( ) A ．()cos4g x x =- B ．()cos4g x x =
C ．()cos g x x =-
D ．()cos g x x =
【答案】D
【解析】函数()sin()(0)6f x x πωω=+>图象上相邻两条对称轴的距离为2
π
，
∴
1222ππω=，2ω∴=，()sin(2)6
f x x π
=+． 把()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 可得sin()6y x π
=+ 的图象，
再把得到的图象向右平移53
π
个单位长度， 得到函数53()sin()sin()cos 362
g x x x x πππ
=-+=-=的图象， 故选D ．
3．（2020•梅河口市校级模拟）函数()2sin(2)(0)2
f x x π
ϕϕ=+-<<的图象向左平移
6
π
个单位长度后所得图象关于直线8
x π
=对称，则函数()f x 的一个递增区间是( )
A ．5[,]243
ππ
-
B ．7[,
]424ππ
-
C ．1931[,]2424
ππ
D ．[,]43
ππ
-
【答案】C
【解析】函数()2sin(2)(0)2
f x x π
ϕϕ=+-
<<的图象向左平移
6
π
个单位长度后，
可得sin(2)3
y x π
ϕ=+
+的图象．
根据所得图象关于直线8
x π
=对称，可得28
3
2
k π
π
π
ϕπ⨯
+
+=+
，k Z ∈，
令0k =，可得12
π
ϕ=-，()2sin(2)12
f x x π
∴=-
．
由2222
12
2
n x n π
π
π
ππ--
+
，求得572424
n x n ππ
ππ-
+
，故函数()f x 的增区间为5[24n ππ-，7]24
n π
π+
， 令1n =，可得函数()f x 的一个递增区间为19[24π，31]24
π
，
故选C ．
4．（2020•和平区校级一模）将函数sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移()2
π
ϕϕπ个单位长度得到()f x 的图象，
若函数()f x 的最大负零点在区间45(,)34
ππ
--上，则ϕ的取值范围是( ) A ．23(
,)34
ππ B ．2(
,]3
ππ C ．3(
,]4
ππ D ．(,]2
π
π
【答案】A
【解析】将函数sin y x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 可得sin 2
x
y =的图象；
再将所得到的图象向右平移()2
π
ϕϕπ个单位长度得到()sin(
)2
x f x ϕ
-=的图象． 令()0f x =，求得sin(
)02x ϕ-=，∴2
x k ϕ
π-=，k Z ∈， 2x k πϕ∴=+，当1k =-时，函数()f x 的最大负零点2πϕ-+在区间45(,)34
ππ
--上， 45234πππϕ∴-
<-+<-，∴2334
ππ
ϕ<<
， 故选A ．
5．（2020•眉山模拟）已知函数()cos ()f x x x x R =+∈，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的
12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动6
π
个单位长度，得到()y g x =的图象，则以下关于函数()y g x =的结论正确的是( )
A ．若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的整数倍
B ．3
x π
=是函数()g x 图象的对称轴
C ．点3(
4
π
，0)是函数()g x 图象的对称中心
D ．函数()g x 在区间[4π
-，]4
π
上单调递增 【答案】B
【解析】函数()cos ()2sin()6f x x x x R x π
+∈=+，
将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变）， 可得2sin(2)6
y x π
=+的图象，
再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()2sin(2)6
y g x x π
==-的图象． 若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是()g x 的半个周期2
π
的整数，故A 不正确；
令3x π=，求得()2g x =，为最大值，故3
x π
=是函数()g x 图象的对称轴，故B 正确；
令34
x π
=，求得()g x = 点3(4π，0)不是函数()g x 图象的对称中心，故C 不正确；
在区间[4π-，]4π上，22[63x ππ-∈-，]3
π
，函数()g x 没有单调性，故排除D ，
故选B ．
6．（2020•雨花区校级模拟）要得到函数cos(2)6y x π=-的图象，可把函数sin(2)6
y x π
=+的图象(
)
A ．向右平移6
π B ．向右平移
12
π
C ．向左平移
6
π D ．向左平移
12
π
【答案】D
【解析】由于cos(2)sin(2)sin(2)sin[2()]66266126
x x x x πππππππ
-=-+=++=++．
故要得到函数cos(2)6y x π=-的图象，可把函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移12
π
．
故选D ．
7．（2020•青羊区校级模拟）已知()2cos cos )f x x x x =+，将函数()f x 的图象向右平移3
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为( ) A ．2
k x π
=
，k Z ∈ B ．12
2
k x π
π
=
+
，k Z ∈
C ．4
2
k x π
π
=
+
，k Z ∈ D ．3
2
k x π
π
=
+
，k Z ∈ 【答案】A
【解析】()2cos cos )21cos22sin(2)16
f x x x x x x x π
=+=++=++，
()
f x 图象向右平移3
π
个单位长度得到的解析式为
2sin[2()]12sin(2)12cos21362
y x x x πππ
=-++=-+=-+，
令2x k π=，则2k x π
=，
所以对称轴为2
k x π
=，k Z ∈．
故选A ．
8．（2020•黄州区校级三模）把函数()sin(2)6
f x x π
=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，
再向左平移3
π
个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递减区间为( ) A ．[π，2]π B ．4[,]33ππ C ．[,]123ππ D ．5[,]44
ππ
【答案】B
【解析】函数()sin(2)6f x x π
=-的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍， 可得sin()6
y x π
=-的图象；
再向左平移3π个单位，得到函数()sin()sin()366g x x x πππ
=+-=+的图象． 令322262k x k πππππ+++，求得42233
k x k ππ
ππ++
， 可得函数()g x 的减区间为4[2,2]33
k k ππ
ππ++，k Z ∈，
故选B ．
9．（2020•新华区校级模拟）已知函数()2sin()(0,||)2f x x π
ωϕωϕ=+><，其图象相邻的最高点之间
的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位长度后得到函数()g x 的图象，且()g x 为
奇函数，则( )
A ．()f x 的图象关于点(,0)6π
对称
B ．()f x 的图象关于点(,0)6
π
-
对称
C ．()f x 在(,)63ππ
-上单调递增
D ．()f x 在2(,)36
ππ
--上单调递增 【答案】C
【解析】函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<其图象相邻的最高点之间的距离为π，
所以函数的周期为：2T π
πω
==
，则2ω=，
所以函数()2sin(2)f x x ϕ=+，
将函数()y f x =的图象向左平移12
π
个单位长度时，得到函数
()()2sin[2()]2sin(2)12
126
g x f x x x π
ππ
ϕϕ=+
=+
+=++，
函数是奇函数有：6
k π
ϕπ+=，k Z ∈，
又||2
π
ϕ<
，解得：6π
ϕ=-
，可得()2sin(2)6
f x x π
=-， 对于A ，()2sin 1066f ππ
==≠，故错误；
对于B ，()2sin()2062f ππ
-=-=-≠，故错误； 对于C ，令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
-
+
，k Z ∈，解得6
3
k x k π
π
ππ-
+
，k Z ∈，可得()f x 在
(,)63
ππ
-上单调递增，故C 正确，D 错误．
故选C ．
10．（2020•靖远县四模）要得到函数sin(32)y x =+的图象，只需将函数sin(31)y x =-的图象( ) A ．向左平移3个单位长度 B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
【答案】C
【解析】因为sin(32)sin[3(1)1]y x x =+=+-，所以要得到函数sin(32)y x =+的图象，只需把函数sin(31)y x =-的图象上所有的点向左平移1个单位长度． 故选C ．
11．（2020•马鞍山三模）将函数()2sin()6f x x π
=+的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标
不变），再将所得图象向左平移
3
π
个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则( )
A ．1
()2sin 2g x x =
B ．1()2sin()23
g x x π
=+
C ．()2sin(2)6g x x π
=-
D ．5()2sin(2)6
g x x π=+
【答案】B
【解析】()2sin()6f x x π=+的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，得到12sin()26
y x π
=+，
再将其向左平移3π个单位长度，得到11()2sin[()]2sin()23623
g x x x πππ=++=+． 故选B ．
12．（2020•道里区校级四模）将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3
π
个单位长度，得到函数()
g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴可以是( ) A ．6
x π
=
B ．3
x π
=
C ．712
x π
=
D ．512
x π=
【答案】D
【解析】将函数()sin(2)3f x x π=+的图象向右平移3
π
个单位长度，
得到函数()sin(2)3g x x π=-的图象，令232x k πππ-=+，求得5212
k x ππ
=+
，k Z ∈， 则函数()g x 的图象的对称轴防为5212
k x ππ
=
+
，k Z ∈． 令0k =，可得()g x 图象的一条对称轴可以是512
x π=， 故选D ．
13．（2020•天心区校级模拟）若将函数()sin()6f x x πω=+的图象向右平移23
π
个单位长度后与原函
数的图象关于x 轴对称，则ω的最小正值是( ) A ．
3
2
B ．3
C ．
92
D ．6
【答案】A
【解析】把函数()sin()6f x x πω=+的图象向右平移23
π
个单位长度后与原函数的图象关于x 轴对
称，
则平移了半个周期的奇数倍，于是有
2(21)()3k k Z ππ
ω
=+∈， 即33()2k k Z ω=+∈，故ω的最小正值是
3
2
，
故选A ．
14．（2020•道里区校级四模）为了得到函数cos2y x =的图象，只需把函数2sin()cos()
66y x x ππ
=++的图象( ) A ．向右平行移动12
π
个单位长度 B ．向左平行移动12
π
个单位长度
C ．向左平移移动
6π
个单位长度 D ．向右平行移动6
π
个单位长度
【答案】B
【解析】只需把函数2sin()cos()sin(2)663y x x x πππ=++=+的图象 向左平行移动12
π
个单位长度，
‘
即可得到函数sin(2)cos22y x x π
=+=的图象， 故选B ．
15．（2015•银川校级一模）已知函数2()sin(2)2cos 16
f x x x π
=-+-
（Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间，并说明可把()f x 图象经过怎样的平移变换得到()sin 2g x x =的图象．
（Ⅱ）若在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且1a =，2b c +=，f （A ）12
=，求ABC ∆的面积． 【解析】（Ⅰ）2()sin(2)2cos 16
f x x x π
=-+-
1
2cos2cos22x x x =-+
=
1
2cos 2
x + 2x sin(2)6
x π
=+，
令：222()2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
++
+
∈，
解得：()3
6
k x k k Z π
π
ππ-
++
∈，
所以函数的单调递增区间为：[,]()36
k k k Z π
π
ππ-
++∈， 把函数()sin(2)6f x x π=+的图象上的所有点的坐标向右平移12
π
个单位，就可得到()sin 2g x x =的
图象． （Ⅱ）
f （A ）12=
，1sin(2)62
x π∴+=． 又0A π<<，
∴
1326
6
6
A π
π
π<+
<
． 5266
A π
π∴+
=
， 故3
A π
=
．
在ABC ∆中，
1a =，2b c +=，3
A π
=
，
2212cos b c bc ∴=+- A ，
即143bc =-．1bc ∴=．
1
sin 2
ABC S bc ∆∴= A =． 16．（2020•闵行区校级模拟）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个长度单位，得到
()2sin(2)3g x x π=-的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的2
3
（纵坐标不变）
，得到函数()h x 的图象．
（1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式；
（2）当[0,]2
x π
∈时，求函数()h x 的单调递减区间． 【解析】（1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个长度单位， 得到()2sin(2)2sin(22)3g x x x π
ϕ=-=-的图象，
223
k π
ϕπ∴=
+，即6
k π
ϕπ=+
，k Z ∈，故ϕ的最小值为
6
π． 再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的2
3
（纵坐标不变）， 得到函数3()2sin(2
)2sin(3)233
h x x x ππ
=-=-的图象． 故()2sin(3)3
h x x π
=-． （2）当[0,]2x π∈时，3[33
x ππ
-∈-，7]6π，
故当3[3
3x π
π
-
∈-
，]2
π
时，即[0x ∈，5]18π，函数()h x 单调递增，
故当3[
3
2
x π
π
-
∈，
7]6π时，即5[
18x π∈，]2π，函数()h x 单调递减，故()h x 的递减区间为5[,]182
ππ
．
17．（2020•宁波模拟）已知函数2()2sin cos()cos cos 6f x x x x x x π
=++．
（Ⅰ）求()f x 的振幅、最小正周期和初相位； （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移3π个单位，得到函数()y g x =的图象，当[,]63
x ππ
∈-时，求()g x 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）因为函数2()2sin cos()cos cos 6
f x x x x x x π
=++
22sin (cos cos sin sin )2cos 66x x x x x π
π=-+
222sin 2cos x x x x =
-+
2cos22sin(2)6
x x x π
=+=+．
故周期为
22ππ=，振幅为2，初相位6
π； （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
3
π
个单位，得到函数
()2sin[2()]2sin(2)2cos2362
y g x x x x πππ
==-+=-=-；
即函数()2cos2y g x x ==-； 当[,]63x ππ∈-时，2[3x π
∈-，2]3π；
1
cos2[2
x ∴∈-，1]；
()[2g x ∴∈-，1]．
即()g x 的取值范围是[2-，1]．
18．（2020•潍坊模拟）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的图象如图所示．
（1）求()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度，得到函数()y g x =，设()()()h x g x f x =+，求函数()h x 在[0，]2
π
上的最大值．
【解析】（1）由题意可得2A =，最小正周期74()123T πππ=⨯-=，则22T
π
ω==， 由77(
)2sin()2126
f ππ
ϕ=+=-， 又||2
π
ϕ<
， 可得3
π
ϕ=
，
所以()2sin(2)3
f x x π
=+．
（2）由题意可知()2sin[2()]2sin 263g x x x ππ
=-+=，
所
以
()()()2sin(2)2sin 22sin 2cos 2cos2sin 2sin 23sin 2)3336
h x g x f x x x x x x x x x π
π
π
π
=+=++=++==+，
由于[0x ∈，]2π，可得：2[66
x ππ
+∈，7]6π，
可得：()max h x =
19．（2020
•合肥三模）已知函数())(0,||)2f x x π
ωϕωϕ=+><的部分图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图象向左平移
4
π
个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间[0，]π上的值域．
【解析】（1
）由已知函数())(0,||)2f x x π
ωϕωϕ=+><
的部分图象得10
8
ϕπωϕ=-⎨+=⎪⎩，
解得2
4
ωπϕ
=⎧⎪
⎨=-⎪⎩，∴())4f x x π=-．
（2
）将函数()f x 的图象向左平移
4π
个单位，可得)4
y x π
=+的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数())4g x x π
=+ 的图象．
[0x ∈，]π，∴5[,]444
x π
ππ
+
∈，∴sin()[4x π+∈，
()g x ∴的值域为[-．
20．（2020•山东模拟）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，函数
()cos (sin )f x x x x =，将()f x 的图象向左平移12
π
个单位得到函数()y g x =的图象，
且1
()22
C g =，c =．
（1）求C ；
（2）若223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-，求cos()A C -．
【解析】（1）()cos (sin )f x x x x =
1sin 2sin(2)23x x x π
==-， ()()sin(2)126
g x f x x ππ
∴=+
=-，
1()22C g =，∴1sin()62
C π-=， ∴56
6
6C π
π
π-
=
或
，∴()3
C π
π=或舍， 故3
C π
=
．
（2）223(sin sin )3sin 8sin sin B C A B C -=-， 由正弦定理得：223()38b c a bc -=-，
∴22223
b c a bc +-=-，
∴2221cos 23
b c a A bc +-==-，∴sin 3A =
， cos()cos cos sin sin 33
A C A A ππ
∴-=+，
1132=-⨯=
21．（2020•南通模拟）已知函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ<<，2
π
-和
32
π
是函数()f x 的图象与x 轴的2个相邻交点的横坐标，且当2
x π
=时，()f x 取得最大值．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()y f x =的图象向右平移π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在区间[0，2]π上的最大值和最小值．
【解析】（1）数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，)，2
π
-和
32
π
是函数()f x 的图象与x 轴的2个相邻交点的横坐标， 所以
32222
T ππ
π=+=，整理得4T π=， 所以1
2
ω=， 当2
x π
=
时，()f x 取得最大值．
故12()222k k Z ππϕπ⨯+=+∈，整理得2()4
k k Z π
ϕπ=+∈， 由于0ϕπ<<，当0k =时，4
π
ϕ=．
所以1()2sin()24
f x x π=+．
（2）将函数1()2sin()24y f x x π==+的图象向右平移π个单位，得到函数1()2sin()
24
y g x x π
==-的图象，
由于02x π，所以134244
x π
ππ
--，
所以1sin()124
x π
-，
故()2g x ．
即函数的最大值为2，最小值为
22．（2020•淮阴区模拟）已知O 为坐标原点，(cos ,1)OA x =，(2cos 2)OB x x =，x R ∈，若
()f x OA OB =．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移
4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =在[12
π
-，5]12π上的最小值．
【解析】（1）由题意(cos ,1)OA x =，(2cos 2)OB x x =，x R ∈，
2()2cos 2cos2122sin(2)16
f x OA OB x x x x x π
===+=++，
()f x ∴的最小正周期为
22
π
π=． 令2222
6
2
k x k π
π
π
ππ-
+
+
，求得3
6
k x k π
π
ππ-
+
，
所以的单调递增区间为[3k π
π-
，]6
k π
π+，k Z ∈． （2）由（1）得()2sin(2)16
f x x π
=++，
所以将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）， 得到函数2sin()16y x π
=++ 的图象；
再将得到的图象向左平移4
π
个单位， 得到5()2sin()12sin()14612
g x x x π
ππ
=+++=++ 的图象 的图象． 在5[,
]1212ππ
-
上，5[123
x ππ
+
∈，5]6π，
∴当55126x ππ+
=时，()g x 取得最小值为52sin 126π+=，即函数()y g x =在5[,]1212
ππ
-上的最小值
为2．
23．（2020•浙江模拟）已知()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，04ω<<，||)4
π
ϕ<过点1(0,)2，且当6x π
=时，函数()f x 取得最大值1．
（1）将函数()f x 的图象向右平移6
π
个单位长度得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0，]2
π
上的值域．
【解析】（1）由题意可得1A =，由函数过1(0,)2，得1sin 2φ=，结合范围,:26
ππ
φφ<=可得，
由()12,6662
f k k Z ππππ
ωπ=⇒+=+∈，
04ω<<，
∴可得：2ω=，可得：()sin(2)6
f x x π
=+，
∴()()sin(2)66
g x f x x π
π
=-
=-．
（2）
()2cos22sin(2)6
h x x x x π
+=+，
由于710,,:2,:21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛
⎫∈+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭可得可得，
可得：12sin(2)26
x π
-+，
()h x ∴在[0,]2
π
上的值域为[1-，2]．
24．（2019•柯城区校级模拟）设函数3()cos()sin()(0)32
f x x x ππ
ωωω=--->，已知函数()y f x =图
象的相邻两对称轴之间的距离为2
π
． （Ⅰ）求()8
f π
的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上的各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移6π个单位，得到()y g x =函数的图象，求函数()g x 在(2
π
-，3)4π上的值域．
【
解析】（Ⅰ）函数
31
()cos()sin()cos cos )3223
f x x x x x x x πππ
ωωωωωω=---=+++，
函数()y f x =图象的相邻两对称轴之间的距离为2
π
，
∴
1222ππω=，2ω∴=，())3
f x x π
=+，
1236
()3sin()cos cos sin ))84343432f πππππππ+∴+=++=
． （Ⅱ）将函数()y f x =的图象上的各点的横坐标伸长原来的2倍（纵坐标不变），可得
)3
y x π
+ 的图象；
将得到的图象向右平移6π个单位，得到())6
y g x x π
==+ 函数的图象． 在(2π-，3)4π上，(63x ππ+∈-，11)12π，sin()[13
x π
+∈-，1]，
故函数()g x 在(2
π
-，3)4π上的值域为[．
25．（2019•江苏模拟）已知函数()2sin()(03
f x x π
ωω=+>，)x R ∈，A ，B 是()f x 的图象与直线1
y =的两个交点，且AB 的最小值为3
π
．
（1）求ω的值；
（2）将函数()f x 的图象向左平移
12
π
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2
倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，若2
()33
g πα+=，(0,)απ∈，求()g α的值．
【解析】（1）由函数()2sin()13f x x πω=+=，整理得1
sin()32
x πω+=．
所以23
6
x k π
π
ωπ+
=+
或523
6
x k π
π
ωπ+
=+
，()k Z ∈，
设A 和B 的横坐标为1x 和2x ，且AB 的最小值为
3
π． 所以12125|()()|||33366
x x x x πππππ
ωωωω+-+=-==-解得2ω=．
（2）由（1）得()2sin(2)3f x x π=+，函数的图象向左平移12
π
个单位，得到
2sin(2)2cos263
y x x ππ
=++=．
再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()2cos g x x =的图象，
由于2()33
g πα+=，
所以2
2cos()33
πα+=，
整理得1
cos()33
πα+=，由于(0,)απ∈，
所以(,)332
π
ππ
α+
∈，整理得sin()3πα+=
故()cos cos[()]cos()cos sin()sin 333333
g ππππππ
ααααα==+-=+++=
． 26．（2019•西湖区校级模拟）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()y f x =的图象向右平移6
π
个单位得到函数()g x ，当[0,]2x π∈时，求函数
()()()h x f x g x =+的值域．
【解析】（1）由图象知，2A =，(0)2sin f ϕ==得sin ϕ， 得4
π
ϕ=
，
即()2sin()4f x x π
ω=+，
由五点对应法得
12
4
2
π
π
π
ω+
=
得
12
4
π
π
ω=
，得3ω=，
则()2sin(3)4
f x x π
=+．
（2）将函数()y f x =的图象向右平移6
π
个单位得到函数()g x ， 即()2sin[3()]2sin(3)644
g x x x πππ
=-+=-，
则
()()()2sin(3)2sin(3)44
h x f x g x x x x x x x x ππ
=+=++-==，
[0,]2
x π
∈时，
3[0x ∴∈，
3]2
π
，则3[x ∈-，
即函数的值域为[-．
27．（2019•西湖区校级模拟）已知函数()2sin(2):3
f x x π
=+
（Ⅰ）若[0,]4x π
∈，求()y f x =的最大值和最小值，并写出相应的x 值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图
象，区间[a ，](b a ，b R ∈且)a b <满足：()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，]b 中，求b a -的最小值． 【解析】（Ⅰ）[0,]4x π
∈，
2[
3
3
x π
π
∴+
∈，
5]6
π， ∴
1sin (2)123
x x π
+， 12sin (2)23
x x π
+，
即()[1f x ∈，2]， 当4
x π
=
时，()f x 取得最小值，最小值为1，当12
x π
=
时，()f x 取得最大值，最大值为2；
（Ⅱ）函数()y f x =的图象向右平移12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象，
则()2sin[2()]12sin(2)11236
g x x x πππ
=-
++=++，
令()2sin(2)106g x x π=++=，解得6x k ππ=-+或2x k π
π=+，k Z ∈， 即()g x 的零点相离间隔依次为和
3π或23
π
， 故若()y g x =在[a ，]b 上至少含有20个零点，则b a -的最小值为2281093
33
π
ππ
⨯
+⨯
=
．
28．（2019•陕西三模）将函数()cos sin )f x x x x x =+-的图象向右平移3
π
个单位长度后可得到函数()g x 的图象
()I 求函数()g x 的解析式及最小正周期；
（Ⅱ）若(0,)2
x π
∈，求()g x 的最大值及取得最大值时x 的值
【解析】()()cos sin )2sin()2cos()2sin(2)663
I f x x x x x x x x πππ
=+-=++=+，
将()f x 的图象向右平移
3π
个单位长度后可得到函数()g x 的图象 即()2sin[2())]2sin(2)333
g x x x πππ
=-+=-，
则函数()g x 的最小正周期22
T π
π==；
（Ⅱ）若(0,)2x π∈，则2(0,)x π∈，2(33
x ππ
-∈-，2)3π，
则当232x ππ-=时，即512
x π
=时，函数()g x 取得最大值，最大值为2．
29．（2019•黄冈模拟）已知函数2())12sin 2
f x x x π
=++-．
（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数()f x 在[0，]π上的图象． （2）先将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的对称中心．
【解析】（1）2())12sin 2cos222f x x x x x π=++-+= sin(2)6x π
+，
在[0，]π上，2[66
x π
π+∈，13]6π， 列表如下：
函数()f x 在区间[0，]π上的图象是：
作图如下：
．
（2）将函数()2f x = sin(2)6x π+的图象向右平移6π个单位后得到2y = sin(2()))266
x ππ
-+=
sin(2)6
x π
-的图象，
再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()2g x = sin()
26
x π
-的图象， 由
()26
x k k Z π
π-=∈得23x k ππ=+，
故()g x 的对称中心为(3
k π
π+，0)()k Z ∈．。