2022年青岛版九上《用因式分解法解一元二次方程》习题精选(附答案)(二)

4.4 用因式分解法解一元二次方程 习题精选〔二〕
直接开平方法
1．如果〔x －2〕2=9，那么x ＝ ．
2．方程〔2y －1〕2－4=0的根是 ．
3．方程〔x+m 〕2＝72有解的条件是 ．
4．方程3〔4x －1〕2=48的解是 ．
配方法
5．化以下各式为〔x +m 〕2+n 的形式．
〔1〕x 2－2x －3=0 ．
〔2〕210x = ．
6．以下各式是完全平方式的是〔 〕
A ．x 2+7n =7
B ．n 2－4n －4
C ．21
1
216x x ++
D ．y 2－2y +2
7．用配方法解方程时，下面配方错误的选项是〔
〕
A ．x 2+2x －99=0化为〔x +1〕2=0
B ．t 2－7t －4=0化为2765
()24t -=
C ．x 2+8x +9=0化为〔x +4〕2=25
D ．3x 2－4x －2=0化为2210
()39x -=
8．配方法解方程．
〔1〕x 2+4x =－3 〔2〕2x 2+x=0
因式分解法
9．方程〔x +1〕2=x +1的正确解法是〔 〕
A ．化为x +1=0
B ．x +1＝1
C ．化为〔x +1〕〔x +l －1〕＝0
D ．化为x 2+3x +2＝0
10．方程9〔x +1〕2－4〔x －1〕2=0正确解法是〔 〕
A ．直接开方得3〔x +1〕=2〔x －1〕
B ．化为一般形式13x 2+5＝0
C ．分解因式得[3〔x +1〕+2〔x －1〕][3〔x +1〕－2〔x —1〕]=0
D ．直接得x +1＝0或x －l ＝0
11．〔1〕方程x 〔x +2〕=2〔z +2〕的根是 ．
〔2〕方程x 2－2x －3=0的根是 ．
12．如果a 2－5ab －14b 2=0，那么
235a b b
+= ． 公式法
13．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0〔a ≠0〕的求根公式是 ，其中b 2—4ac ．
14．方程〔2x +1〕〔x +2〕=6化为一般形式是 ，b 2—4ac ，用求根公式求得x 1= ，x 2= ，x 1+x 2= ，12x x = ，
15．用公式法解以下方程．
〔1〕〔x +1〕〔x +3〕＝6x +4．
〔2〕21)0x x ++=．
〔3〕 x 2
－〔2m +1〕x +m ＝0．
16．x 2－7xy +12y 2＝0〔y ≠0〕求x ：y 的值．
综合题
17．三角形两边的长是3，8，第三边是方程x 2—17x +66＝0的根，求此三角形的周长．
18．关于x 的二次三项式：x 2+2rnx +4－m 2是一个完全平方式，求m 的值．
19．利用配方求2x 2－x +2的最小值．
20．x 2+ax +6分解因式的结果是〔x －1〕〔x +2〕，那么方程x 2+ax +b ＝0的二根分别是什么?
21．a 是方程x 2－3x +1=0的根，试求的值．
22．m 是非负整数，方程m 2x 2－〔3m 2—8m 〕x+2m 2－13m+15=0至少有一个整数根，求m
的值．
23．利用配方法证明代数式－10x 2+7x －4的值恒小于0．由上述结论，你能否写出三个二次三项式，其值恒大于0，且二次项系数分别是l 、2、3．
24．解方程
〔1〕〔x 2+x 〕·〔x 2+x －2〕=24；
〔2〕260x x --=
25．方程x 2－6x －k ＝1与x 2－kx －7=0有相同的根，求k 值及相同的根．
26．张先生将进价为40元的商品以50元出售时，能卖500个，假设每涨价1元，就少卖10个，为了赚8 000元利润，售价应为多少?这时，应进货多少?
27．两个不同的一元二次方程x 2+ax +b =0与x 2+ax +a =0只有一个公共根，那么〔 〕
A ．a =b
B ．a －b =l
C ．a +b =－1
D ．非上述答案
28．在一个50米长30米宽的矩形荒地上设计改造为花园，使花园面积恰为原荒地面积的寺，试给出你的设计．
29．海洲市出租车收费标准如下
〔规定：四舍五入，精确到元，N ≤15〕N 是走步价，李先生乘坐出租车打出的电子收费单是：里程11公里，应收29．1元，你能依据以上信息，推算出起步价N 的值吗?
30．方程〔x －1〕〔x +2〕〔x －3〕＝0的根是 ．
31．一元二次方程x 2—2x ＝0的解是〔 〕
A ．0
B ．2
C ．0，－2
D ．0，2
32．方程x 2+kx —6=0的一根是2，试求另一个根及k 的值．
33．方程(2)310m m x mx +++=是一元二次方程，那么这方程的根是什么?
34．x 1、x 2是方程2x 2—3x —6=0的二根，求过A 〔x 1+x 2，0〕B 〔0，x l ·x 2〕两点的直线解析式．
35．a 、b 、c 都是实数，满足2(2)80a c c -++=，ax 2+bx +c ＝0，求代数式x 2+2x +1的值．
36．a 、b 、c
满足方程组求方程2848a b ab c +=⎧⎪⎨=+-⎪⎩的解。

37．三个8相加得24，你能用另外三个相同的数字也得同样结果吗?能用8个相同的数字得到1 000吗?能用3个相同的数字得到30吗?
参考答案：
1．x 1＝5，x 2＝—l
2．1231,22
y y ==- 3．n ≥0 4．1253,44
x x ==- 5．〔1〕〔x —1〕2
—4〔2
〕2122x ⎛
++ ⎝⎭ 6．C 7．C
8．〔1〕方程化为〔x +2〕2
＝l ，∴x 1=—l ，x 2＝—3． 〔2〕方程化为2102x x +=配方得2
11416x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴1210,2x x ==- 9．C 10．C
11．〔1〕x 1＝2，x 2＝—2．
〔2〕x 1＝3，x 2＝—1．
12．∵a 2—5ab —14b 2＝0，
∴〔a —7b 〕〔a +2b 〕＝0，
∴ a ＝76或a ＝—26． ∴23172315555
a b a b b b ++==-或 13
．0x =≥
14．2x 2+5x —4=0，57，1x =,254x --=,1252
x x +=-,x 1x 2=—2．
15．〔1〕1211x x ==．
〔2〕1213x x ==-
〔3〕1212m x += ，2212
m x ++= 16．∵x 2—7xy +12y 2＝0，
∴〔x —3y 〕〔x —4y 〕＝0，
∴ x ＝3y 或x ＝4y ，
∴x ：y ＝3或x ：y ＝4．,
17．由x 2—17x+66＝0得x 1＝11，x 2＝6．但x ＝11不合题意，故取x ＝6．
∴三角形周长是17．
18．∵x 2+2mx +4—m 2是完全平方式，∴4m 2—4〔4—m 2〕＝0．解之，m m ==
19．222111522222248x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， ∴2x 2—x +2的最小值是
158。

20．x 1＝l ，x 2＝—2
21．由题意得a 2—3a +l ＝0，
∴a 2—3a ＝—l ，a 2+l ＝30． ∴原式=2222(3)5161(3)311333a a a a a a a a a a a a a
-+-+-+--+===-． 22．原方程可变为[mx —〔2m —3〕][mx — 〔m —5〕]＝0，
∴12352,1x x m m =-=-假设x 1为整数，那么3m
为整数， ∴m ＝l 或m ＝3．假设x 2为整数，那么
5m 为整数． ∴m ＝l 或m ＝5．因而m 的值是l 或3或5．
23． 2
271111074102040x x x ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭． ∴271110,02040x ⎛⎫--≤-< ⎪⎝⎭
． ∴2
71111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝
⎭ ∴原式＜0．
举例略．
24．〔1〕〔x + x 〕〔 x 2+ x —2〕＝24，整理得 〔x 2+ x 〕2—2〔x 2 + x 〕—24＝0，
∴〔x 2+ x —6〕〔 x 2+ x +4〕．
∴x 2+ x —6＝0．x 2+ x +4＝0由x 2+ x —6＝0得x 1＝—3，x 2＝2．方程x 2+ x +4＝0无解．
∴原方程的根是x ＝—3或x ＝2．
〔2〕260x x --=，即60x x --=，解得x ＝3或x ＝2〔舍去〕， x 1＝3，x 2＝—3．∴原方程的根是x ＝3或x ＝—3．
25．〔1〕设方程只有一个根相同，设相同的根是m ．
∴有m —6m —k —1＝0，①
m 2—mk —7＝0，②
①—②得〔k —6〕 m ＝k —6，k ≠6时，∴m ＝1将，m ＝l 代人①得k ＝—6．
〔2〕设方程有两个相同的根，那么有—k ＝—6且—k —l ＝—7．∴k ＝6．
∴k ＝—6时，方程有一个相同的根是x ＝1；k ＝6时，方程有两个相同的根是x 1＝7，x 2＝—1．
26．设涨价x 元，那么售价定为〔50+x 〕元．依题意列方程得〔500—10x 〕[〔50+x 〕—40]＝8 000．解之，x 1＝30，x 2＝10．x ＝30时，50+x ＝80，售量为500—300＝200．x ＝10时50+x ＝60，售量为500—100＝400．因而，售价定为80元时，进货200个，售价定为60元时，进货400个．
27．D
28．可给出如下图的设计，求出x 即可．由题意，可列出方程5030(503)(302)2x x ⨯--=
．化简得3x 2—95x +375＝0，解之x 1＝4.62，x 2＝27.04．经检验x ＝27.04不合题意，舍去，故取x ＝4.62．
28题图
29．由题意，可列出方程2225(63)
(116)29.1N N N
+-+-=． 解之，N 2—29.1N+191＝0．
∴N 1＝10，N 2＝19.1〔不合题意舍去〕
∴起步价是10元．
30．x 1＝l ，x 2＝—2，x 3＝3
31．D
32．k ＝l ，另根—3．
33．先确定m ＝2，∴方程是4x 2+6x +l=0．123344
x x --== 34．通过解方程可知A 〔32
，0〕，B 〔0，—3〕，∴过AB 的直线是y ＝2x —3． 35．由题意得2—a ＝0，a 2+b +c ＝0，c +8＝0，
∴a ＝2，b ＝4，c ＝—8．
∴x 满足2x 2+4x —8＝0，即x 2
+2x —4＝0．
∴x 2+2x +l ＝4+1＝5．
36．a 、b 是方程＝0的根．
∴222(8)4(48)4(0c c =---+=--≥．∴c = ∴8,16.
a b a b +=⎧⎨=⎩∴a ＝b ＝4．
∴原方程为2440x +-=．方程的根是1222x x =
=
4.1 一元二次方程
1. 以下方程是一元二次方程的是 〔 〕
A. 21503x x -=
B. 2134x x x +=
C. 2110x x --=
D. 2111
x x =+- 2. 一元二次方程的一般形式是 〔 〕
A. ax2＋bx＋c＝0
B. ax2＋bx＋c(a≠0)
C. ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
D. ax2＋bx＋c＝0(b≠0)
3. 假设px2－3x＋p2－p＝0是关于x的一元二次方程，那么〔〕
A. p＝1
B. p＞0
C. p≠0
D. p为任意实数
4. 关于x的一元二次方程〔3－x〕〔3＋x〕－2a〔x＋1〕＝5a的一次项系数为〔〕
A. 8a
B. －8a
C. 2a
D. 7a－9
5. 假设〔m2－4〕x2＋3x－5＝0是关于x的一元二次方程，那么〔〕
A. m≠2
B. m≠－2
C. m≠－2，或m≠2
D. m≠－2，且m≠2
6. 把方程x(x＋1)＝2化为一般形式为，二次项系数是 .
7. 0是关于x的方程〔m＋3〕x2－x＋9－m2＝0的根，那么m＝ .
8. 某小区有一块等腰直角三角形状的草坪，它的面积为8m2，求草坪的周长是多少. 设直角边长为x m，根据题意得方程 . 〔不解〕
9. 假设关于x的方程kx2＋3x＋1＝0是一元二次方程，那么k .
10. 当m时，方程〔m－1〕x2－(2m－1)x＋m＝0是关于x的一元一次方程；当m时，上述方程才是关于x的一元二次方程.
x＝1是一元二次方程ax2＋bx－40＝0的一个根，且a≠b，求
22
22
a b
a b
-
-
的值.
12. 如下图，有一个面积为120m2的长方形鸡场，鸡场一边靠墙〔墙长18m〕，另三边用竹篱笆围成，假设所围篱笆的总长为32m，求鸡场的长和宽各为多少米. 〔只列方程〕
13. 如果x2＋3x＋2与a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c是同一个二次三项式的两种不同形式，你能求出a，b，c的值吗？
参考答案
1. A[提示：抓住一元二次方程的三个特征：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是
2. ]
2. C
3. C[提示：二次项系数不为0. ]
4. C[提示：首先把方程整理为一般形式为x 2＋2ax ＋7a －9＝0，其中一次项系数为2a . 应选C. ]
5. D[提示：二次项系数m 2－4≠0. ]
6. x 2＋x －2＝0 1[提示：∵x(x ＋1)＝2，∴x 2＋x －2＝0. ]
7. ±3[提示：此题分两种两种考虑. 当m ＋3＝0时，方程化为一元一次方程；当m ＋3≠0时，方程化为一元二次方程. ] 8. 2182x =[提示：S 等腰直角三角形＝12
⨯两腰乘积. ] 9. ≠0[提示：一元二次方程成立的条件为二次项系数不为0. ]
10. ＝1 ≠1[提示：考查一元一次方程、一元二次方程成立的条件. ]
11. 提示：此题综合考查一元二次方程解的概念和分式的化简及整体代入思想. 解：把x ＝1代入一元二
次方程ax 2
＋bx －40＝0，得a ＋b －40＝0，∴2222a b a b -=-()()2()a b a b a b +-=- 4020.22
a b +== 12. 解：设平行于墙的边长为x m ，那么垂直于墙的边长为322x -m ，由题意得x ·322
x -＝120，即x 2－32x ＋240＝0.
13. 解：能，根据题意得x 2＋3x ＋2＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ，即x 2＋3x ＋2＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋(a ＋b ＋c )，
123,2,a a b a b c =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，∴解得11,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，。