直角三角形全等的判定

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教学目标 教学重、难点 1、掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ） 2、创建全等条件与三角形中各定理联系解综合问题。

3、能证明角平分线的性质定理和逆定理、三角形三条角平分线交与一点；
4、从简单的数学例子中体会反证法的含义；
5、逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力。

重、难点：掌握直角三角形全等的判定定理：斜边、直角边公理：斜边和一条直角边对应
相等的两个直角三角形全等 角平分线的性质定理和逆定理、
逐步学会分析的思考方法，发展演绎推理能力
教 学 内 容
直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ） 角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
角平分线判定定理：在一个角的内部，并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
例1：已知：如图△ABC 中，BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD 、CE 交于O 点，且BD=CE 求证：OB=OC.
分析：欲证OB=OC 可证明∠1=∠2，由已知发现，∠1，∠2均在直角三角形中，因此证明△BCE 与△CBD 全等即可
证明：∵CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，则∠BEC=∠CDB=90°
∴在Rt △BCE 与Rt △CBD 中⎩
⎨⎧==BC BC BD
CE
∴Rt △BCE ≌Rt △CBD(HL) ∴∠1=∠2，∴OB=OC
例2：已知：Rt△ABC中，∠ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC，过D作AB的垂线交AC于E，求证：CD⊥BE
分析：由已知可以得到△DBE与△BCE全等
即可证明DE=EC又BD=BC，可知B、E在线段CD的中垂线上，故CD⊥BE。

证明：∵DE⊥AB∴∠BDE=90°，∵∠ACB=90°
∴在Rt△DEB中与Rt△CEB中
BD=BC
BE=BE
∴Rt△DEB≌Rt△CEB（HL）
∴DE=EC又∵BD=BC
∴E、B在CD的垂直平分线上
即BE⊥CD.
例3：已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC求证：DG=EG。

分析：在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点则有DG=EG
因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，利用已知的众多条件可以通过直角三角形的全等得到。

证明：作FQ⊥BD于Q，∴∠FQB=90°
∵DE⊥AC∴∠DEC=90°
∵FG⊥CD CD⊥BD ∴BD//FG，∠BDC=∠FGC=90°
∴QF//CD∴QF=DG，
∴∠B=∠GFC
∵F为BC中点
∴BF=FC
在Rt △BQF 与Rt △FGC 中⎪⎩
⎪
⎨⎧=∠=∠∠=∠FC BF GFC B FGC BQF
∴△BQF ≌△FGC （AAS ） ∴QF=GC ∵QF=DG ∴DG=GC
∴在Rt △DEC 中，∵G 为DC 中点∴DG=EG
本 次 课 后 作
业
1．选择：
（1）两个三角形的两条边及其中一条边的对角对应相等，则下列四个命题中，真命题的个数是（ ）个
①这两个三角形全等; ②相等的角为锐角时全等 ③相等的角为钝角对全等; ④相等的角为直角时全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 （2）在下列定理中假命题是（ ）
A ．一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形
B ．一个直角三角形必能分成两个等腰三角形
C ．两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形
D ．两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形
（3）如图，Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，延长BC 到D ，使CD=AC 则AC ：BD=
（ ）
A ．1：1
B ．3：1
C ．4：1
D ．2：3
（4）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 、CE ，分别是斜边AB 上的高与中线，CF 是∠
ACB 的平分线。

则∠1与∠2的关系是（ ）
A．∠1<∠2 B．∠1=∠2; C．∠1>∠2 D．不能确定
（5）在直角三角形ABC中，若∠C=90°，D是BC边上的一点，且AD=2CD，则∠ADB的度数是（）
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．解答：
（1）已知：如图∠B=∠E=90°AC=DF FB=EC 求证：AB=DE.
（2）已知：如图AB⊥BD，CD⊥BD，AB=DC求证：AD//BC.
（3）已知如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD=BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E、F
求证：CE=DF.
3、已知，如下图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，CF ⊥AD 于F ，且BC=DC 。

你能说明BE 与DF 相等吗？
4、已知：Rt ABC 中，∠C=90°,AC=6,BC=8,AD 平分∠CAB ，求CD 的长。

5、如图，AD 是∠BAC 的平分线，点E 、F 分别在AB ，AC 边上，且∠EDF+∠BAC=180°，则DE 与DF 有什么关系？证明你的结论。

C
D
B
A
A B
C
F
E
D
F E
D
C
B A
6、如图，在ABC
中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于点F，EG⊥AC交AC的延长线于点G，求证：BF=CG。

7、已知(如右图)BD⊥AM于点D，CE⊥AN于点E，BD、CE交点
F，CF=BF，求证：点F在∠A的平分线上.
8、如图，已知∠B=∠C=90º，M是BC中点，MN⊥AD，
若∠1＝∠2，求证：∠3=∠4
1
2
3
4
N
M
D C
B A
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志成教育教导处。