专题28 网格中的三角函数(提优)-冲刺2021年中考几何专项复习(原卷版)

专题28 网格中的三角函数（提优）
一．选择题
1．在4×5网格中，A ，B ，C 为如图所示的格点（正方形的顶点），则下列等式正确的是（ ）
A ．sin A =√32
B ．cos A =12
C ．tan A =√33
D ．cos A =√22
2．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠C ＝（ ）
A ．12
B ．√22
C ．√32
D ．2√55
3．在如图网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正切值是（ ）
A ．23
B ．32
C ．35
D ．53 4．△ABC 在网格中按如图所示放置，则sin A 的值是（ ）
A ．12
B ．√22
C ．√32
D ．√52
5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD ＝（ ）
A ．√5
B ．3
C ．√10
D ．2
6．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点若△ABC 的顶点都在格点上，则cos ∠ABC 的值是（ ）
A ．13
B ．12
C ．√55
D ．2√55
7．如图，在边长为1的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，连接AB ，BC ，CD ，AE ，线段AE 的延长线交BC 于点F ，则tan ∠AFB 的值（ ）
A ．12
B ．√33
C ．49
D ．14 8．如图，网格中小正方形的边长都为1，点A ，B ，C 在正方形的顶点处，则cos ∠ACB 的值为（ ）
A ．2√3417
B ．√22
C ．√8517
D ．7√8585
9．在如图所示8×8的网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点E ，则∠AED 的正切值是（ ）
A ．2
B ．12
C ．23
D ．√55
二．填空题
10．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点O ，则∠AOC 的正弦值是 ．
11．如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则tan ∠ACB 等于 ．
12．如图，点A ，B ，C 为正方形网格中的3个格点，则tan ∠ACB ＝ ．
13．在如图所示的网格图中，小正方形的边长为1，点A 、B 、C 、D 都在格点上，AB 与CD 相交于点E ，则∠AED 的正切值是 ．
14．如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，若点A，O，B都在格点上，则tan∠AOB＝．
15．如图，在1×3的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APC＝．
16．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝．
17．如图，是由10个小正三角形构造成的网格图（每个小正三角形的边长均为1），则sin（α+β）＝．
18．在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点O，则tan∠BOC的值为．
19．（1）如图1，如果ɑ，β都为锐角，且tanɑ=1
3，tanβ=
1
2，则ɑ+β＝；
（2）如果ɑ，β都为锐角，当tanɑ＝5，tanβ=2
3时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角ɑ，画出
∠MON ，使得∠MON ＝ɑ﹣β．此时ɑ﹣β＝ 度．
20．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为 ．
三．解答题
21．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，线段AB 、CD 的端点均为格点．
（1）AB 的长度为 ，CD 的长度为 ．
（2）若AB 与CD 所夹锐角为α，求tan α的值．
22．如图，射线OA 放置在4×5的正方形虚线网格中，现请你在图中找出格点（即每个小正方形的顶点）B ，并连接OB 、AB 使△AOB 为直角三角形，并且
（1）使tan ∠AOB 的值为1；
（2）使tan ∠AOB 的值为1
2．
23．如图，是由边长相等的小正方形组成的网格，点A，B，C均在格点上，连接BC．（1）tan∠ABC的值等于；
（2）在网格中，用无刻度直尺，画出∠CBD，使tan∠CBD=2 3．
24．阅读下列的材料，某数学学习小组遇到这样的一个问题：
如图α、β都为锐角，且tanα=1
4，tanβ=
3
5，求α+β的度数．
该数学课外小组最后是这样解决问题的，如图1，把α、β放在正方形网格中，使得∠ABD＝α，∠CBE ＝β，且BA，BC直线BD的两侧，连接AC．
（1）观察图象可知，α+β＝∠ABC＝°；
（2）请参考该数学小组的方法解决问题：如果α，β都为锐角，当tanα＝3，tanβ=1
2时，在图2的正方
形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON＝α﹣β，并求∠MON的度数．
25．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求出所有满足条件的线段AE的长度．（3）求sin∠BAC的值．
26．数学老师布置了这样一个问题：
如果α，β都为锐角．且tanα=1
3，tanβ=
1
2．求α+β的度数．
甲、乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题．他们分别设计了图1和图2．（1）请你分别利用图1，图2求出α+β的度数，并说明理由；
（2）请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ=2
3时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠
MON，使得∠MON＝α﹣β．求出α﹣β的度数，并说明理由．
27．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的四个顶点都在格点上，O为AD
边的中点，若把四边形ABCD绕着点O顺时针旋转180°，试解决下列问题：（1）画出四边形ABCD旋转后的图形；
（2）求点C旋转过程所经过的路径长；
（3）设点B旋转后的对应点为B′，求tan∠DAB′的值．。